專題06方程思想在勾股定理中應(yīng)用(原卷版+解析)

專題06方程思想在勾股定理中應(yīng)用專題說明專題說明勾股定理是幾何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一條重要性質(zhì).同時(shí)由勾股定理及其逆定理，能夠把形的特征轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系，它把形與數(shù)密切地聯(lián)系起來，因此，它在理論上也有重要地位.方程思想是初中數(shù)學(xué)中一種基本的數(shù)學(xué)思想方法.方程可以清晰的反應(yīng)已知量和未知量之間的關(guān)系，架起溝通已知量和未知量的橋梁.本節(jié)課為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)運(yùn)用方程思想解決問題起著鋪墊作用。【典例分析】【典例1】（2021秋?峨邊縣期末）有一塊直角三角形紙片，兩直角邊分別為：AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長．【變式1-1】（2022秋?新泰市期末）如圖所示，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上且與AE重合，你能求出CD的長嗎？【變式1-2】（2021秋?景德鎮(zhèn)期中）如圖，△ABC的三邊分別為AC＝5，BC＝12，AB＝13，將△ABC沿AD折疊，使AC落在AB上．（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）求折痕AD的長．【典例2】如圖，在銳角△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于D點(diǎn)，求AD的長．【變式2-1】（2021秋?象山縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝14，BC＝15，AC＝13，AD⊥BC．（1）求BD的長．（2）求△ABC的面積．【變2-2】已知：如圖，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求BC邊上的高．【典例3】（2021秋?廣南縣期末）如圖，一棵豎直生長的竹子高為8米，一陣強(qiáng)風(fēng)將竹子從C處吹折，竹子的頂端A剛好觸地，且與竹子底端的距離AB是4米．求竹子折斷處與根部的距離CB．【變式3-1】（2021春?安徽月考）《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有立木，系索其末，委地四尺，引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何？譯文：今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牽著繩索（繩索頭與地面接觸）退行，在距木根部8尺處時(shí)繩索用盡，問繩索長是多少？根據(jù)題意求出繩索長．【變式3-2】（2022春?十堰月考）《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一其中記載了這樣一個(gè)問題：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何？”譯文：今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牽著繩索（繩索頭與地面接觸）退行，在距木柱根部8尺處時(shí)繩索用盡．問繩索長是多少尺？【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2022秋?路北區(qū)校級(jí)期末）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE是BC的垂直平分線，∠A＝90°，AD＝4，則CD＝（）A．8 B．7 C．6 D．52．（2021秋?禪城區(qū)期末）如圖有一個(gè)水池，水面BE的寬為16尺，在水池的中央有一根蘆葦，它高出水面2尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，則這個(gè)蘆葦?shù)母叨仁牵ǎ〢．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺3．（2020秋?槐蔭區(qū)期末）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kun，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），從點(diǎn)O處推開雙門，雙門間隙CD的長度為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D到門檻AB的距離都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長是（）A．104寸 B．101寸 C．52寸 D．50.5寸4．（2021秋?洛江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，若將AC沿AE折疊，使得點(diǎn)C與AB上的點(diǎn)D重合，則△AEB的面積為cm2．5．（2021秋?興文縣校級(jí)期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，則重疊部分△AFC的面積為．6．（2021秋?靖江市校級(jí)期中）《九章算術(shù)》中有一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，則折斷處離地面的高度為尺．7．（2022春?谷城縣期末）如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，求這根蘆葦?shù)拈L度是多少尺？8．（秋?東臺(tái)市期中）如圖，折疊長方形的一邊AD，使點(diǎn)D落在邊BC的點(diǎn)F處，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求（1）FC的長．（2）EF的長．9．（2020秋?越城區(qū)期中）已知，如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BD為∠ABC的角平分線交AC于D，過點(diǎn)D作DE垂直AB于點(diǎn)E，（1）求BC的長；（2）求AE的長；（3）求BD的長10．（秋?溧水區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于點(diǎn)P．（1）求證：PB＝PC．（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．11．（2021秋?法庫縣期末）筆直的河流一側(cè)有一旅游地C，河邊有兩個(gè)漂流點(diǎn)A，B．其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊新建一個(gè)漂流點(diǎn)H（A，H，B在同一直線上），并新修一條路CH，測(cè)得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．（1）判斷△BCH的形狀，并說明理由；（2）求原路線AC的長．12．（2021秋?濟(jì)陽區(qū)期末）如圖，小剛想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端A處的繩子垂到地面B處后還多2米．當(dāng)他把繩子拉直并使下端剛好接觸到地面C處，發(fā)現(xiàn)繩子下端到旗桿下端的距離為6米，請(qǐng)你幫小剛求出旗桿的高度AB長．13.（2021秋?江陰市期末）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地°送行二步恰竿齊，五尺板高離地…”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千OA靜止的時(shí)候，踏板離地高一尺（AC＝1尺），將它往前推進(jìn)兩步（EB＝10尺），此時(shí)踏板升高離地五尺（BD＝5尺），求秋千繩索（OA或OB）的長度．專題06方程思想在勾股定理中應(yīng)用專題說明專題說明勾股定理是幾何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一條重要性質(zhì).同時(shí)由勾股定理及其逆定理，能夠把形的特征轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系，它把形與數(shù)密切地聯(lián)系起來，因此，它在理論上也有重要地位.方程思想是初中數(shù)學(xué)中一種基本的數(shù)學(xué)思想方法.方程可以清晰的反應(yīng)已知量和未知量之間的關(guān)系，架起溝通已知量和未知量的橋梁.本節(jié)課為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)運(yùn)用方程思想解決問題起著鋪墊作用?！镜淅治觥俊镜淅?】（2021秋?峨邊縣期末）有一塊直角三角形紙片，兩直角邊分別為：AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長．【解答】解：∵△ACD與△AED關(guān)于AD成軸對(duì)稱，∴AC＝AE＝6cm，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝62+82＝102，∴AB＝10，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，設(shè)CD＝DE＝xcm，則DB＝BC﹣CD＝8﹣x，在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，即CD＝3cm．【變式1-1】（2022秋?新泰市期末）如圖所示，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上且與AE重合，你能求出CD的長嗎？【解答】解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：AB＝＝＝10．由折疊的性質(zhì)可知：DC＝DE，AC＝AE，∠DEA＝∠C．∴BE＝4，∠DEB＝90°．設(shè)DC＝x，則BD＝8﹣x．在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+ED2＝BD2，即42+x2＝（8﹣x）2．解得：x＝3．∴CD＝3．【變式1-2】（2021秋?景德鎮(zhèn)期中）如圖，△ABC的三邊分別為AC＝5，BC＝12，AB＝13，將△ABC沿AD折疊，使AC落在AB上．（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）求折痕AD的長．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形；（1分）∵AC2+BC2＝52+122＝169＝AB2，（2分）∴∠C＝90°；∴△ABC是直角三角形．（1分）（2）設(shè)折疊后點(diǎn)C與AB上的點(diǎn)E重合．設(shè)CD＝x，則DE＝x，AE＝5，BE＝8，BD＝12﹣x；∵∠AED＝∠C＝90°，∴在Rt△EBD中，x2+82＝（12﹣x）2，解得：x＝，（3分）∴AD＝＝．（3分）【典例2】如圖，在銳角△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于D點(diǎn)，求AD的長．【答案】AD=12【解答】解：設(shè)BD＝x，則CD＝14﹣x，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵△ADB與△ACD均為直角三角形，∴AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解得x＝9，∴BD＝9，∴AD＝＝＝12．【變式2-1】（2021秋?象山縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝14，BC＝15，AC＝13，AD⊥BC．（1）求BD的長．（2）求△ABC的面積．【答案】（1）BD的長是（2）84【解答】解：（1）設(shè)BD＝x，則CD＝15﹣x．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝142﹣x2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（15﹣x）2，由勾股定理得到：142﹣x2＝132﹣（15﹣x）2．解得x＝．即BD的長是；（2）由（1）知，BD＝．Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝142﹣x2，即AD2＝142﹣（）2＝（）2，∴AD＝，∴S△ABC＝BC?AD＝×15×＝84．【變2-2】已知：如圖，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求BC邊上的高．【答案】8【解答】解：延長CB，作AD⊥BC，交CB的延長線于點(diǎn)D，設(shè)AD＝x，BD＝y(tǒng)，在直角△ADB中，AB2＝x2+y2，在直角△ADC中，AC2＝x2+（y+BC）2，解方程得y＝6，x＝8，即AD＝8，∵AD即BC邊上的高，∴BC邊上的高為8．答：BC邊上的高為8．【典例3】（2021秋?廣南縣期末）如圖，一棵豎直生長的竹子高為8米，一陣強(qiáng)風(fēng)將竹子從C處吹折，竹子的頂端A剛好觸地，且與竹子底端的距離AB是4米．求竹子折斷處與根部的距離CB．【解答】解：由題意知BC+AC＝8，∠CBA＝90°，∴設(shè)BC長為x米，則AC長為（8﹣x）米，∴在Rt△CBA中，有BC2+AB2＝AC2，即：x2+16＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴竹子折斷處C與根部的距離CB為3米．【變式3-1】（2021春?安徽月考）《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有立木，系索其末，委地四尺，引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何？譯文：今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牽著繩索（繩索頭與地面接觸）退行，在距木根部8尺處時(shí)繩索用盡，問繩索長是多少？根據(jù)題意求出繩索長．【解答】解：設(shè)繩索長為x尺，根據(jù)題意得：x2﹣（x﹣4）2＝82，解得：x＝10，答：繩索長為10尺．【變式3-2】（2022春?十堰月考）《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一其中記載了這樣一個(gè)問題：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何？”譯文：今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牽著繩索（繩索頭與地面接觸）退行，在距木柱根部8尺處時(shí)繩索用盡．問繩索長是多少尺？【解答】解：設(shè)繩索AC的長為x尺，則木柱AB的長為（x﹣3）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2﹣AB2＝BC2，即x2﹣（x﹣3）2＝82，解得x＝，答：繩索長為尺【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2022秋?路北區(qū)校級(jí)期末）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE是BC的垂直平分線，∠A＝90°，AD＝4，則CD＝（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【解答】解：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠CBD＝∠DBA，∵DE是BC的垂直平分線，∴CD＝BD，∴∠C＝∠CBD，∴∠C＝∠CBD＝∠DBA，∵∠A＝90°，∴∠C＝∠CBD＝∠DBA＝90°＝30°，∵AD＝4，∴BD＝2AD＝8，∴CD＝BD＝8，故選A．2．（2021秋?禪城區(qū)期末）如圖有一個(gè)水池，水面BE的寬為16尺，在水池的中央有一根蘆葦，它高出水面2尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，則這個(gè)蘆葦?shù)母叨仁牵ǎ〢．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺【答案】C【解答】解：設(shè)水池的深度為x尺，由題意得：x2+82＝（x+2）2，解得：x＝15，所以x+2＝17．即：這個(gè)蘆葦?shù)母叨仁?7尺．故選：C．3．（2020秋?槐蔭區(qū)期末）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kun，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），從點(diǎn)O處推開雙門，雙門間隙CD的長度為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D到門檻AB的距離都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長是（）A．104寸 B．101寸 C．52寸 D．50.5寸【答案】B【解答】解：取AB的中點(diǎn)O，過D作DE⊥AB于E，如圖2所示：由題意得：OA＝OB＝AD＝BC，設(shè)OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，則AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故選：B．4．（2021秋?洛江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，若將AC沿AE折疊，使得點(diǎn)C與AB上的點(diǎn)D重合，則△AEB的面積為cm2．【答案】15【解答】解：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．∵將AC沿AE折疊，使得點(diǎn)C與AB上的點(diǎn)D重合，∴EC＝DE，AC＝AD＝6cm，∠ADE＝∠C＝∠BDE＝90°，∴DB＝4cm，設(shè)EC＝DE＝xcm，在Rt△BDE中，DE2+BD2＝BE2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．∴BE＝BC﹣EC＝8﹣3＝5cm，∴S△ABE＝×BE×AC＝×5×6＝15（cm2）．故答案為：15．5．（2021秋?興文縣校級(jí)期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，則重疊部分△AFC的面積為．【答案】10【解答】解：易證△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，設(shè)D′F＝x，則AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝?AF?BC＝10．故答案為：10．6．（2021秋?靖江市校級(jí)期中）《九章算術(shù)》中有一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，則折斷處離地面的高度為尺．【答案】4.55【解答】解：設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則折斷的長度為（10﹣x）尺，由勾股定理得x2+32＝（10﹣x）2，解得x＝4.55，∴折斷處離地面的高度為4.55尺，故答案為：4.55．7．（2022春?谷城縣期末）如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，求這根蘆葦?shù)拈L度是多少尺？【解答】解：設(shè)這根蘆葦?shù)拈L度為x尺，水深為（x﹣1）尺，根據(jù)勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13，答：這根蘆葦?shù)拈L度是13尺．8．（秋?東臺(tái)市期中）如圖，折疊長方形的一邊AD，使點(diǎn)D落在邊BC的點(diǎn)F處，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求（1）FC的長．（2）EF的長．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10cm，∠B＝90°，∵根據(jù)折疊得出AF＝AD＝10cm，在RtABF中，由勾股定理得：BF＝＝6cm∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8cm，∠D＝90°，∵根據(jù)折疊得出DE＝EF，設(shè)EC＝xcm，則DE＝（8﹣x）cm，在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，x2+（10﹣6）2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，即EC＝3cm．∴DE＝EF＝5cm9．（2020秋?越城區(qū)期中）已知，如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BD為∠ABC的角平分線交AC于D，過點(diǎn)D作DE垂直AB于點(diǎn)E，（1）求BC的長；（2）求AE的長；（3）求BD的長【答案】（1）BC=6（2）AE=4（3）BD=3【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6；（2）∵BD為∠ABC的角平分線，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BE＝BC＝6，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4；（3）設(shè)CD＝DE＝x，則AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，所以，CD＝DE＝3，在Rt△BCD中，BD＝＝3．10．（秋?溧水區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于點(diǎn)P．（1）求證：PB＝PC．（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．【答案】（1）PB＝PC（2）AB＝10【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵BH，CM為△ABC的高，∴∠BMC＝∠CHB＝90°．∴∠ABC+∠BCM＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°．∴∠BCM＝∠CBH．∴PB＝PC．（2）解：∵PB＝PC，PB＝5，∴PC＝5．∵PH＝3，∠CHB＝90°，∴CH＝4．設(shè)AB＝x，則AH＝x﹣4．在Rt△ABH中，∵AH2+BH2＝AB2，∴（x﹣4）2+（5+3）2＝x2．∴x＝10．即AB＝10．11．（2021秋?法庫縣期末）筆直的河流一側(cè)有一旅游地C，河邊有兩個(gè)漂流點(diǎn)A，B．其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊新建一個(gè)漂流點(diǎn)H（A，H，B在同