專(zhuān)題39二次函數(shù)中的線段周長(zhǎng)問(wèn)題(原卷版+解析)

專(zhuān)題39二次函數(shù)中的線段周長(zhǎng)問(wèn)題【題型演練】一、單選題1．（2020·福建·龍海二中一模）拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC＝3OA，求拋物線的解析式（）A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x﹣4 D．y＝x2﹣2x﹣52．（2022·廣東·惠州市惠城區(qū)博文學(xué)校九年級(jí)期中）已知拋物線在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，它與x，y軸的交點(diǎn)分別為A，B．點(diǎn)P是其對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)圖中提供的信息，給出以下結(jié)論：①；②x＝3是的一個(gè)根；③周長(zhǎng)的最小值是；④拋物線上有兩點(diǎn)和，若，且，則，其中正確的有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．43．（2021·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C1：y＝a1x2（a1≠0）與拋物線C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的交點(diǎn)P在第三象限，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，與物線C1，C2分別交于點(diǎn)M，N．若＝，則的值是（

）A． B．n﹣1 C．n D．4．（2015·江蘇蘇州·九年級(jí)期末）如圖，已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，過(guò)其頂點(diǎn)M的一條直線與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為N（－1，1）．若要在y軸上找一點(diǎn)P，使得PM＋PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（0，2） B．（0，） C．（0，） D．（0，）5．（2019·浙江·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線y=-x2+2x+m+1交x軸于點(diǎn)A（a，0）和B（B，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D．下列四個(gè)判斷：①當(dāng)x>0時(shí)，y>0；②若a=-1，則b=4；③拋物線上有兩點(diǎn)P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x1<1<x2，且x1+x2>2，則y1>y2；④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為，其中正確判斷的序號(hào)是（）A．① B．②C．③ D．④6．（2019·浙江湖州·九年級(jí)期末）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A（﹣6，0），點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，且⊙C與y軸相切，點(diǎn)P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)D為PA的中點(diǎn)，連結(jié)OD，則OD的最大值是（）A． B． C．2 D．7．（2018·河北邢臺(tái)·一模）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線及其對(duì)稱(chēng)軸分別交于點(diǎn)，以下結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②存在點(diǎn)，使；③是定值；④設(shè)點(diǎn)關(guān)于的軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在下方．其中正確的是（

）A．①③ B．②③C．②④ D．①④8．（2020·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線為常數(shù))交軸于點(diǎn)，與軸的一個(gè)交點(diǎn)在和之間，頂點(diǎn)為．①拋物線與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；②若點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，則③將該拋物線向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，所得拋物線解析式為；④點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)分別在軸和軸上，當(dāng)時(shí)，四邊形周長(zhǎng)的最小值為．其中正確判斷的序號(hào)是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④9．（2019·浙江溫州·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線交坐標(biāo)軸于A、B、C三點(diǎn)，直線為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，E為對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（D點(diǎn)在x軸下方），直線交直線于點(diǎn)M、直線交直線于點(diǎn)N，在點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，線段的變化趨勢(shì)為（

）A．一直在增大 B．一直不變 C．先增大后減小 D．先減小后增大10．（2022·浙江溫州·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為（

）A．6 B． C． D．二、填空題11．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，拋物線與直線交與點(diǎn)A與點(diǎn)B，點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交拋物線于點(diǎn)Q，則線段PQ長(zhǎng)的最大值為_(kāi)______．12．（2022·吉林白城·九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作軸，交拋物線于另一點(diǎn)D，若，則c的值為_(kāi)____．13．（2022·山東·日照市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在拋物線上取點(diǎn)，在y軸負(fù)半軸上取一個(gè)點(diǎn)，使為等邊三角形，然后在第四象限取拋物線上的點(diǎn)，在y軸負(fù)半軸上取點(diǎn)，使為等邊三角形，重復(fù)以上的過(guò)程，可得，則的坐標(biāo)為_(kāi)_______．14．（2022·山東·武城縣魯權(quán)屯鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線平移得到拋物線C，如圖所示，且拋物線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，點(diǎn)P是拋物線C上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，則的最大值為_(kāi)_____．15．（2022·廣東·測(cè)試·編輯教研五一模）如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)在的左側(cè)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿折疊得，則線段的最小值是______．16．（2021·新疆·烏魯木齊市第四十四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=OC，點(diǎn)M、N是直線x=-1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN=2（點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方），則四邊形BCNM的周長(zhǎng)的最小值是______．三、解答題17．（2021·新疆·烏魯木齊市第五十四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知直線y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸與直線AB交于點(diǎn)E，拋物線頂點(diǎn)為D．(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．(2)①求拋物線的解析式；②點(diǎn)M是拋物線在第二象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得△MAB的面積最大?若存在，請(qǐng)求這個(gè)最大值并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿對(duì)稱(chēng)軸向下以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？直接寫(xiě)出所有符合條件的t值．18．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，已知拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，連接、．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作∥軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，求出的周長(zhǎng)最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；19．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與該二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為，B點(diǎn)在y軸上．(1)求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)在x軸上找一點(diǎn)Q，使的周長(zhǎng)最小，求出此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)；20．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)直線的函數(shù)解析式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，若過(guò)點(diǎn)的直線交線段于點(diǎn)，將的面積分成的兩部分，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；(3)在y軸上找一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為21．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)P是直線下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)E，求周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；22．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的解析式；(2)在x軸上找一點(diǎn)E，使的周長(zhǎng)最小，求符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)；23．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，如圖．(1)求拋物線的解析式；(2)直線的函數(shù)解析式為_(kāi)_____，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____，______．(3)在軸上找一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最?。?qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；24．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)求的最小值25．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．(1)直接寫(xiě)出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)F，使得△BCF周長(zhǎng)最小，若存在求點(diǎn)F坐標(biāo)，并求周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由26．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直線l：與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P在直線l下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作軸交l于點(diǎn)D，軸交l于點(diǎn)E，求的最大值27．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上異于的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在這樣的點(diǎn)，使線段的長(zhǎng)有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；28．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖1，連接，點(diǎn)P是線段上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PZx軸交于點(diǎn)Z，過(guò)點(diǎn)P作PQCB交直線于點(diǎn)Q，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的條件下，將該拋物線向下平移個(gè)單位，向右平移3個(gè)單位，使得P點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)．點(diǎn)S是新拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，在平面上否存在一點(diǎn)N，使以、S、A、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．專(zhuān)題39二次函數(shù)中的線段周長(zhǎng)問(wèn)題【題型演練】一、單選題1．（2020·福建·龍海二中一模）拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC＝3OA，求拋物線的解析式（）A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x﹣4 D．y＝x2﹣2x﹣5【答案】A【分析】由拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可求OC得長(zhǎng)，根據(jù)OB＝OC＝3OA，進(jìn)而求出OB、OA，得出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)的關(guān)系式.【詳解】解：在拋物線y＝ax2+bx﹣3中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，點(diǎn)C（0，﹣3）∴OC＝3，∵OB＝OC＝3OA，∴OB＝3，OA＝1，∴A（﹣1，0），B（3，0）把A（﹣1，0），B（3，0）代入拋物線y＝ax2+bx﹣3得：a﹣b﹣3＝0，9a+3b﹣3＝0，解得：a＝1，b＝﹣2，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；是一道二次函數(shù)綜合題.2．（2022·廣東·惠州市惠城區(qū)博文學(xué)校九年級(jí)期中）已知拋物線在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，它與x，y軸的交點(diǎn)分別為A，B．點(diǎn)P是其對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)圖中提供的信息，給出以下結(jié)論：①；②x＝3是的一個(gè)根；③周長(zhǎng)的最小值是；④拋物線上有兩點(diǎn)和，若，且，則，其中正確的有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸方程求得a、b的數(shù)量關(guān)系；②根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性知拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3；③利用兩點(diǎn)間線段最短來(lái)求△PAB周長(zhǎng)的最小值；④根據(jù)二次函數(shù)圖象，當(dāng)x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，根據(jù)離對(duì)稱(chēng)越遠(yuǎn)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)就越小得出結(jié)論．【詳解】解：①根據(jù)圖象知，對(duì)稱(chēng)軸是直線，則b=-2a，即2a+b=0．故①正確；②根據(jù)圖象知，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0），對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1，則根據(jù)拋物線關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0），所以x=3是ax2+bx+3=0的一個(gè)根，故②正確；③如圖所示，點(diǎn)A關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是，即拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．連接與直線x=1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，則△PAB周長(zhǎng)的最小值是的長(zhǎng)度．∵B（0，3），，∴．而即△PAB周長(zhǎng)的最小值是．故③正確．④觀察二次函數(shù)圖象可知：當(dāng)x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則1-x1＜x2-1，∴y1＞y2．故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短．解答該題時(shí)，充分利用了拋物線的對(duì)稱(chēng)性．3．（2021·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C1：y＝a1x2（a1≠0）與拋物線C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的交點(diǎn)P在第三象限，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，與物線C1，C2分別交于點(diǎn)M，N．若＝，則的值是（

）A． B．n﹣1 C．n D．【答案】B【分析】令，求得P的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)兩拋物線的對(duì)稱(chēng)軸求得PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，由＝，得到＝，整理即可得到，即可求得＝n﹣1．【詳解】解：令a1x2＝a2x2+bx，解得x1＝0，x2＝，∴P的橫坐標(biāo)為，∵拋物線：的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣，∴PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝n﹣2，∴﹣1＝n﹣2，∴＝n﹣1，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得P的橫坐標(biāo)，表示出PM、PN是解題的關(guān)鍵．4．（2015·江蘇蘇州·九年級(jí)期末）如圖，已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，過(guò)其頂點(diǎn)M的一條直線與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為N（－1，1）．若要在y軸上找一點(diǎn)P，使得PM＋PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（0，2） B．（0，） C．（0，） D．（0，）【答案】A【詳解】試題分析：因?yàn)閽佄锞€y＝－x2＋px＋q的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝－3，過(guò)點(diǎn)N（－1，1），所以，解得，所以，所以頂點(diǎn)M為（-3,5），則點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（3,5），設(shè)直線N的解析式為，把點(diǎn)N（－1，1），點(diǎn)（3,5），代入得，解得，所以直線為，令x=0，則y=2，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2），故選A．考點(diǎn)：1．待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；2．軸對(duì)稱(chēng)；3．直線與y的交點(diǎn)．5．（2019·浙江·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線y=-x2+2x+m+1交x軸于點(diǎn)A（a，0）和B（B，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D．下列四個(gè)判斷：①當(dāng)x>0時(shí)，y>0；②若a=-1，則b=4；③拋物線上有兩點(diǎn)P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x1<1<x2，且x1+x2>2，則y1>y2；④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為，其中正確判斷的序號(hào)是（）A．① B．②C．③ D．④【答案】C【詳解】試題解析：①當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)一四象限，當(dāng)0＜x＜b時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞b時(shí)，y＜0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；②二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為x=-=1，當(dāng)a=-1時(shí)有=1，解得b=3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；③∵x1+x2＞2，∴＞1，又∵x1-1＜1＜x2-1，∴Q點(diǎn)距離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn)，∴y1＞y2，故本選項(xiàng)正確；④如圖，作D關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值．當(dāng)m=2時(shí)，二次函數(shù)為y=-x2+2x+3，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為y=-1+2+3=4，D為（1，4），則D′為（-1，4）；C點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，3）；則E為（2，3），E′為（2，-3）；則DE=；D′E′=；∴四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)．6．（2019·浙江湖州·九年級(jí)期末）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A（﹣6，0），點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，且⊙C與y軸相切，點(diǎn)P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)D為PA的中點(diǎn)，連結(jié)OD，則OD的最大值是（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】取點(diǎn)H（6,0）,連接PH,由待定系數(shù)法可求拋物線解析式,可得點(diǎn)C坐標(biāo),可得⊙C半徑為4,由三角形中位線的定理可求OD=PH,當(dāng)點(diǎn)C在PH上時(shí),PH有最大值,即可求解．【詳解】如圖,取點(diǎn)H（6,0）,連接PH,∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A（﹣6,0）,∴,解得:,∴拋物線解析式為：y＝﹣,∴頂點(diǎn)C（﹣3,4）,∴⊙C半徑為4,∵AO＝OH＝6,AD＝BD,∴OD＝PH,∴PH最大時(shí),OD有最大值,∴當(dāng)點(diǎn)C在PH上時(shí),PH有最大值,∴PH最大值為＝3+＝3+,∴OD的最大值為:,故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),三角形中位線定理等知識(shí),解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì).7．（2018·河北邢臺(tái)·一模）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線及其對(duì)稱(chēng)軸分別交于點(diǎn)，以下結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②存在點(diǎn)，使；③是定值；④設(shè)點(diǎn)關(guān)于的軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在下方．其中正確的是（

）A．①③ B．②③C．②④ D．①④【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，且拋物線開(kāi)口向上，可對(duì)①作判斷；根據(jù)圖形中與軸交點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸與軸交點(diǎn)可對(duì)②作判斷；根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得：，根據(jù)線段的和與差可對(duì)③作判斷；根據(jù)的坐標(biāo)和到軸的距離可對(duì)④作判斷．【詳解】解：①由題意得：，開(kāi)口向上，拋物線對(duì)稱(chēng)軸是，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，拋物線過(guò)軸另一個(gè)點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，；故①正確；②當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，，，不可能與重合，故②不正確；③，故③正確；④把代入中，，當(dāng)時(shí)，，，點(diǎn)在的上方，故④不正確；所以正確的有：①③，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、與軸的交點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題是關(guān)鍵，并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．8．（2020·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線為常數(shù))交軸于點(diǎn)，與軸的一個(gè)交點(diǎn)在和之間，頂點(diǎn)為．①拋物線與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；②若點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，則③將該拋物線向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，所得拋物線解析式為；④點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)分別在軸和軸上，當(dāng)時(shí)，四邊形周長(zhǎng)的最小值為．其中正確判斷的序號(hào)是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的判別式的值，即可判斷①；根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性和二次函數(shù)的增減性，即可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”即可判斷③；先求出A，B，C的坐標(biāo)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連接，與軸、軸分別交于點(diǎn)，則四邊形的最小周長(zhǎng)，即可判斷④．【詳解】把代入中，得，，一元二次方程兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴拋物線與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故此小題結(jié)論正確；拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，又，點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，，故此小題結(jié)論錯(cuò)誤；將該拋物線向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位后，拋物線的解析式為：，即：，故此小題結(jié)論正確；當(dāng)時(shí)，拋物線的解析式為：，，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連接，與軸、軸分別交于點(diǎn)，則，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知最短，而的長(zhǎng)度一定，四邊形的最小周長(zhǎng)===．故此小題結(jié)論正確；綜上所述：結(jié)論正確的有，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)以及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，增減性，函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題與方程的根的關(guān)系，二次函數(shù)的平移規(guī)律，利用軸對(duì)稱(chēng)性，求線段和的最小值，是解題的關(guān)鍵．9．（2019·浙江溫州·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線交坐標(biāo)軸于A、B、C三點(diǎn)，直線為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，E為對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（D點(diǎn)在x軸下方），直線交直線于點(diǎn)M、直線交直線于點(diǎn)N，在點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，線段的變化趨勢(shì)為（

）A．一直在增大 B．一直不變 C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】B【分析】根據(jù)題意，分別解得點(diǎn)A、B、C、E的坐標(biāo)，設(shè)，分別解得直線BD、AD的表達(dá)式，再進(jìn)一步解得交點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，即可解得線段EM、EN的長(zhǎng)，據(jù)此解題．【詳解】拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線為E為對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)令x=0，解得y=-3，令y=0，則設(shè)直線的表達(dá)式為，代入點(diǎn)B、D得直線的表達(dá)式為設(shè)直線的表達(dá)式為，代入點(diǎn)A、D得直線的表達(dá)式為直線交直線于點(diǎn)M解得同理直線交直線于點(diǎn)N，解得的長(zhǎng)度不變，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，是重要考點(diǎn)，難度較大，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．10．（2022·浙江溫州·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】利用拋物線的解析式求得點(diǎn)C、D和E的坐標(biāo)，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和將軍飲馬模型作出點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交x軸于點(diǎn)G，交y軸于點(diǎn)F，此時(shí)EDFG周長(zhǎng)取最小值，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)和勾股定理即可求得結(jié)論．【詳解】解：令，則，∴，∵，∴，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，∵點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，∴，∴，作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交x軸于點(diǎn)G，交y軸于點(diǎn)F，如圖，則，，，，此時(shí)，∴此時(shí)四邊形EDFG周長(zhǎng)最小，延長(zhǎng)，它們交于點(diǎn)H，如圖，則，∴，∴四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、拋物線與x軸的交點(diǎn)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、勾股定理和拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)找出點(diǎn)F和G的位置是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，拋物線與直線交與點(diǎn)A與點(diǎn)B，點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交拋物線于點(diǎn)Q，則線段PQ長(zhǎng)的最大值為_(kāi)______．【答案】##0.25【分析】根據(jù)PQ∥y軸，可設(shè)點(diǎn)，則，從而得到，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵PQ∥y軸，∴可設(shè)點(diǎn)，則，∴，∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022·吉林白城·九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作軸，交拋物線于另一點(diǎn)D，若，則c的值為_(kāi)____．【答案】【分析】先用根與系數(shù)的關(guān)系求出，再根據(jù)求出，然后由得到關(guān)于c的方程，解方程求出c即可．【詳解】解：設(shè)，令，則，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，則，令，則，∴，∵軸，∴點(diǎn)D縱坐標(biāo)為c，當(dāng)時(shí)，則，解得：或，∴，∴，∵，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．（2022·山東·日照市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在拋物線上取點(diǎn)，在y軸負(fù)半軸上取一個(gè)點(diǎn)，使為等邊三角形，然后在第四象限取拋物線上的點(diǎn)，在y軸負(fù)半軸上取點(diǎn)，使為等邊三角形，重復(fù)以上的過(guò)程，可得，則的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】【分析】首先求出的坐標(biāo)，通過(guò)觀察得出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律求出的坐標(biāo)．【詳解】解：根據(jù)的坐標(biāo)，設(shè)直線解析式為，∴，∴直線的解析式為：，∵為等邊三角形，，∴，∴，，∵，又直線過(guò)點(diǎn)，則直線的解析式為：，聯(lián)立拋物線解析式得，解得：，∴，，，同理可得，，，……當(dāng)，，點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值=1+2+3+…+100=5050，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．14．（2022·山東·武城縣魯權(quán)屯鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線平移得到拋物線C，如圖所示，且拋物線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，點(diǎn)P是拋物線C上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【分析】求得拋物線C的解析式，設(shè)Q（x，0），則P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+PQ，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得．【詳解】解：設(shè)平移后的解析式為y=-x2+bx+c，∵拋物線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）和B（0，3），∴，解得，∴拋物線C的解析式為y=-x2+2x+3，設(shè)Q（x，0），則P（x，-x2+2x+3），∵點(diǎn)P是拋物線C上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3）=-x2+3x+3∴OQ+PQ的最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，平移，二次函數(shù)圖象與幾何變換，根據(jù)題意得出OQ+PQ=-x2+3x+3是解題的關(guān)鍵．15．（2022·廣東·測(cè)試·編輯教研五一模）如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)在的左側(cè)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿折疊得，則線段的最小值是______．【答案】##【分析】先根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)A，B，坐標(biāo)，從而得出，，，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)得出在以為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，最??；過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由中位線定理得出，的長(zhǎng)，然后由勾股定理求出，從而得出結(jié)論．【詳解】解：令，則，解得，，，，，，令，則，，，，為中點(diǎn)，，由沿折疊所得，，在以為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，最小，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，，，，又，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，翻折變換、勾股定理以及求線段最小值等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出，，的坐標(biāo)．16．（2021·新疆·烏魯木齊市第四十四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=OC，點(diǎn)M、N是直線x=-1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN=2（點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方），則四邊形BCNM的周長(zhǎng)的最小值是______．【答案】【分析】先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求出拋物線解析式，從而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，取E（0，1），連接AM，EM，AE，可證四邊形MNCE是平行四邊形，得到CN=ME，則四邊形BCNM的周長(zhǎng)=BC+CN+NM+BM，再由點(diǎn)A，B關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)，得到AM=BM，則四邊形BCNM的周長(zhǎng)=BC+NM+AM+ME，故當(dāng)A、M、E三點(diǎn)共線時(shí)，AM+ME最小，最小為AE，即此時(shí)四邊形BCNM的周長(zhǎng)最小，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），∴OA=OC=3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），∴，∴，∴拋物線解析式為，∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線，令，則，解得或（舍去），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），取E（0，1），連接AM，EM，AE，∴CE=ME=2，又∵，∴四邊形MNCE是平行四邊形，∴CN=ME，∴四邊形BCNM的周長(zhǎng)=BC+CN+NM+BM，∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)，∴AM=BM，∴四邊形BCNM的周長(zhǎng)=BC+NM+AM+ME，∴當(dāng)A、M、E三點(diǎn)共線時(shí)，AM+ME最小，最小為AE，即此時(shí)四邊形BCNM的周長(zhǎng)最小，∴，∴四邊形BCNM的周長(zhǎng)的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，平行四邊形的性質(zhì)與判定，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．（2021·新疆·烏魯木齊市第五十四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知直線y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸與直線AB交于點(diǎn)E，拋物線頂點(diǎn)為D．(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．(2)①求拋物線的解析式；②點(diǎn)M是拋物線在第二象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得△MAB的面積最大?若存在，請(qǐng)求這個(gè)最大值并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿對(duì)稱(chēng)軸向下以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？直接寫(xiě)出所有符合條件的t值．【答案】(1)（﹣3，0），（0，3）；(2)①，②存在，△MAB的面積最大為，此時(shí)，(3)當(dāng)t為3或4±或4秒時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形【分析】（1）y＝x+3，令x＝0，則y＝3，令y＝0，則x＝﹣3，即可求解；（2）①B的坐標(biāo)為：（0，3），故c＝3，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：b＝﹣2，即可求解；②過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，則，求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值，以及的值，從而求得的坐標(biāo)；（3）根據(jù)題意可得，進(jìn)而勾股定理分別求得，分PC＝PB、BC＝PC、BC＝PB，三種情況，分別解方程求解即可．【詳解】（1）解：y＝x+3，令x＝0，則y＝3，令y＝0，則x＝－3，故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣3，0），（0，3）；故答案為：（﹣3，0），（0，3）；（2）①B的坐標(biāo)為：（0，3），∴將點(diǎn)A的坐標(biāo)（﹣3，0）代入拋物線表達(dá)式得：，解得：b＝﹣2，∴拋物線的解析式為；②如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，則∴∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，為此時(shí)∴（3）令中y＝0，則＝﹣（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x＝1或，∴C（1，0）．∵，∴D（﹣1，4），∵點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿對(duì)稱(chēng)軸向下以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，∴．∵，，∴，，．①當(dāng)PC＝PB時(shí)，即解得：t＝3；②當(dāng)BC＝PC時(shí)，解得：t＝4±；③當(dāng)BC＝PB時(shí)，解得：t＝4或﹣2（舍去負(fù)值）綜上可知：當(dāng)t為3或4±或4秒時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、面積問(wèn)題、兩點(diǎn)間的距離公式以及勾股定理等，解題關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點(diǎn)間的距離公式以及勾股定理．18．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，已知拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，連接、．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作∥軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，求出的周長(zhǎng)最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；【答案】(1)(2)最大值為，【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)P作∥軸交BC于點(diǎn)H，由題意易得，則有，然后可得，，，進(jìn)而可求，設(shè)，設(shè)直線的解析式為：，則有，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)、、在拋物線的圖像上，∴將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入得：，解得，∴；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作∥軸交BC于點(diǎn)H，∵∥軸，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，又∵，∴，，∴，∴當(dāng)取最大值時(shí)，取最大值，設(shè)，設(shè)直線的解析式為：，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：，解得，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，∴的最大值，將代入到中，得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與該二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為，B點(diǎn)在y軸上．(1)求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)在x軸上找一點(diǎn)Q，使的周長(zhǎng)最小，求出此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)；【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線和直線解析式，即可求出m的值及這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）使的周長(zhǎng)最小，即是求的值最小，作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，當(dāng)A、Q、三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，的周長(zhǎng)最小，求出直線的解析式，進(jìn)而可得Q點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，∵點(diǎn)在拋物線上，則，解得，∴拋物線的解析式為，∵點(diǎn)在直線上，∴，解得；（2）解：∵，∴直線解析式為，當(dāng)時(shí)，，即，∴B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，將A、兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得，，∴直線的解析式為，如圖，當(dāng)A、Q、三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，的值最小，即的周長(zhǎng)最小，Q點(diǎn)為直線與x軸的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，即，解得，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，軸對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．20．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)直線的函數(shù)解析式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，若過(guò)點(diǎn)的直線交線段于點(diǎn)，將的面積分成的兩部分，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；(3)在y軸上找一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】(1)(2)；或(3)【分析】（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）求得線的表達(dá)式為：，依題意將的面積分成的兩部分，則或，進(jìn)而求得的縱坐標(biāo)，即可求解．（3）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接與軸交于點(diǎn)，連接、、，根據(jù)題意得出點(diǎn)，進(jìn)而待定系數(shù)法求得直線的表達(dá)式為：，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，，解得，故二次函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）點(diǎn)，，故點(diǎn)，設(shè)直線的表達(dá)式，，解得，∴直線的表達(dá)式為：；對(duì)于，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，故點(diǎn)；將的面積分成的兩部分，則或，則或，即或，解得：或，故點(diǎn)或；故答案為：，，或；（3）如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接與軸交于點(diǎn)，連接、、，的周長(zhǎng)最小，點(diǎn)，設(shè)直線的表達(dá)式為：，則，解得，故直線的表達(dá)式為：，令，則，故點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，面積問(wèn)題，軸對(duì)稱(chēng)求線段和，求一次函數(shù)解析式，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．21．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)P是直線下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)E，求周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；【答案】(1)(2)，【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求解即可；（2）延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F，證明，通過(guò)相似三角形周長(zhǎng)比等于相似比，即可得出周長(zhǎng)的表達(dá)式，再將其改寫(xiě)為頂點(diǎn)式即可求出最值．【詳解】（1）設(shè)，把代入得：，解得：，∴；（2）解：如圖，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)，的周長(zhǎng)是l，∵，∴，∵，∴的周長(zhǎng)是12，設(shè)直線BC的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式是：，∴，∴，∵，∴，

∵軸，∴，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，l有最大值，最大值為，即周長(zhǎng)的最大值為，當(dāng)時(shí)，，∴．綜上：周長(zhǎng)的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式的方法，通過(guò)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比得出周長(zhǎng)的表達(dá)式．22．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的解析式；(2)在x軸上找一點(diǎn)E，使的周長(zhǎng)最小，求符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)；【答案】(1)(2)【分析】（1）由直線解析式可求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)E，此時(shí)為最小，且為的長(zhǎng)，即此時(shí)的周長(zhǎng)最小．由拋物線的解析式可求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求出直線的解析式，從而即可求出E點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，∴令，則；令，則，∴點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，解得：，故該拋物線的解析式：；（2）解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)E，此時(shí)為最小，且為的長(zhǎng)，即此時(shí)的周長(zhǎng)最小．對(duì)于，令，則，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵，∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．設(shè)直線的表達(dá)式為，將、D的坐標(biāo)代入得：，解得：，∴直線的表達(dá)式為：，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)E的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，如圖．(1)求拋物線的解析式；(2)直線的函數(shù)解析式為_(kāi)_____，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____，______．(3)在軸上找一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最?。?qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；【答案】(1)(2)；；(3)【分析】（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，再利用待定系數(shù)法求解解析式即可；（2）先求解的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解的解析式，再利用拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程求解拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，連接，證明，再利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可；（3）如圖，作關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交軸于，可得的周長(zhǎng)為，此時(shí)的周長(zhǎng)最短，再求解直線的解析式即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得故拋物線的表達(dá)式為：；（2）點(diǎn)，，故點(diǎn)，設(shè)直線AB的解析式為：，，解得，∴直線的表達(dá)式為：；對(duì)于，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線，把代入，∴頂點(diǎn)；如圖，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，連接，把代入，得，，為線段的中點(diǎn)，，在中，，，，，在中，（3）如圖，作關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交軸于，∴的周長(zhǎng)為，此時(shí)的周長(zhǎng)最短，設(shè)直線為，∴，解得：，∴直線為，當(dāng)時(shí)，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，拋物線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的計(jì)算，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求解三角形的周長(zhǎng)的最小值，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．24．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)求的最小值【答案】(1)(2)10【分析】（1）設(shè)，將代入求解即可；（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，利用勾股定理及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線交x軸于兩點(diǎn)，∴設(shè)，將代入，得：，解得：，∴，∴拋物線的解析式為；（2）如圖1，作點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，∵，，∴，∵O、關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴垂直平分，∴垂直平分，∴四邊形BOCO′是正方形，∴，在中，，∵，∴，即點(diǎn)Q位于直線與直線交點(diǎn)時(shí)，有最小值10．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，線段最短及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．25．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．(1)直接寫(xiě)出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)F，使得△BCF周長(zhǎng)最小，若存在求點(diǎn)F坐標(biāo)，并求周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)(2)存在，；【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，即可得出，設(shè)直線的解析式為：，求出解析式，把代入，求出，再求出，，，即可求出周長(zhǎng)．【詳解】（1）將，，代入得:,解得:所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式：（2）存在；∵拋物線的解析式為：，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，，∴，