滬科版九年級數(shù)學(xué) 22.2 相似三角形的判定(學(xué)習(xí)、上課課件)_第1頁
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文檔簡介

22.2相似三角形的判定第二十二章相似形學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1相似三角形平行線截三角形相似的定理利用角的關(guān)系判定三角形相似的定理利用邊角關(guān)系判定三角形相似的定理利用三邊關(guān)系判定三角形相似的定理直角三角形相似的判定逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)流程2知識(shí)點(diǎn)相似三角形知1-講11.定義如果兩個(gè)三角形中,對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例,那么這兩個(gè)三角形相似.數(shù)學(xué)表達(dá)式:如圖22.2-1,在△ABC和△A'B'C'中,

△ABC∽△A′B′C′知1-講2.

相似三角形的表示方法相似用符號“∽”表示,讀作“相似于”.如圖22.2-2,△ABC與△A'B'C'相似,記作“△ABC∽△A'B'C'”,讀作“△ABC相似于△A'B'C'”.知1-講特別警示:用符號“∽”表示兩個(gè)三角形相似時(shí),要把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的大寫字母寫在對應(yīng)的位置上.如△ABC∽△A'B'C'表示頂點(diǎn)A與A',B與B',C與C'分別對應(yīng);如果僅說“△ABC與△A'B'C'

相似”,沒有用“∽”連接,則需要分類討論它們頂點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系.知1-講

知1-練例1如圖22.2-3,已知△ABC∽△ADE,∠A=70°,∠B=40°,AB=6,BC=6,AD=3.解題秘方:緊扣“相似三角形定義中對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例”求解.知1-練

(1)求△ABC與△ADE的相似比;知1-練

(2)求∠AED的度數(shù)和DE的長.知1-練感悟新知1-1.如圖,已知△ABC∽△ADE,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°.(1)

求∠AED和∠ADE的度數(shù);解:∵∠BAC=45°,∠ACB=40°,∴∠ABC=95°.

∵△ABC∽△ADE,∴∠AED=∠ACB=40°,∠ADE=∠ABC=95°.知1-練感悟新知(2)求DE的長.知2-講知識(shí)點(diǎn)平行線截三角形相似的定理21.定理平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,截得的三角形與原三角形相似.數(shù)學(xué)表達(dá)式:如圖22.2-4所示,∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE.書寫兩個(gè)三角形相似時(shí),要把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的大寫字母寫在對應(yīng)的位置上.知2-講2.

作用本定理是相似三角形判定定理的預(yù)備定理,它通過平行證三角形相似,再由相似證對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例.知2-講特別提醒根據(jù)定理得到的相似三角形的三個(gè)基本圖形中都有BC∥DE,圖22.2-4①②很像大寫字母A,故我們稱之為“A”型相似;圖22.2-4③很像大寫字母X,故我們稱之為“X”型相似(也像阿拉伯?dāng)?shù)字“8”).知2-練如圖22.2-5,已知在ABCD中,E為AB延長線上的一點(diǎn),AB=3BE,DE與BC相交于點(diǎn)F,請找出圖中各對相似三角形,并求出相應(yīng)的相似比.例2知2-練解題秘方:緊扣“平行線截三角形兩邊的兩種基本圖形——‘A’型和‘X’型”進(jìn)行查找.知2-練

知2-練感悟新知2-1.如圖,在ABCD中,E

是AB

延長線上一點(diǎn),連接DE,交AC于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)F,那么圖中相似三角形(不含全等三角形)共有(

)

A.6對B.5對C.4對D.3對B知2-練如圖22.2-6,在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD,從木桿的頂端D觀察井水水岸C,視線DC與井口的直徑AB交于點(diǎn)E,如果測得AB=1.6米,BD=1米,BE=0.2米,那么AC為_______米.例37知2-練解題秘方:判斷是用“平行線截線段成比例”,還是用“平行線截三角形相似的對應(yīng)邊成比例”解題是關(guān)鍵.

知2-練感悟新知3-1.如圖,在ABCD中,AC

與BD相交于點(diǎn)O,E

為OD

的中點(diǎn),連接AE并延長交DC于點(diǎn)F,則DF∶FC=(

)A.1∶4B.1∶3C.2∶3D.1∶2D知3-講知識(shí)點(diǎn)利用角的關(guān)系判定三角形相似的定理31.

定理如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似(可簡單說成:兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似).數(shù)學(xué)表達(dá)式:如圖22.2-7所示,在△ABC和△DEF中,∵∠A=∠D,且∠B=∠E,∴△ABC∽△DEF.知3-講特別提醒由兩角分別相等判定兩個(gè)三角形相似,其關(guān)鍵是找準(zhǔn)對應(yīng)角.一般地,相等的角是對應(yīng)角.如:公共角、對頂角、同角(等角)的余角(補(bǔ)角)等都是相等的角,解題時(shí)要注意挖掘題目中的隱含條件.知3-講2.

常見的相似三角形的類型(1)平行線型:如圖22.2-8①,若DE∥BC,則△ADE∽△ABC;(2)相交線型:如圖22.2-8②,若∠AED=∠B,則△AED∽△ABC;知3-講(3)“子母”型:如圖22.2-8③,若∠ACD=∠B,則△ACD∽△ABC;(4)“K”型:如圖22.2-8④,若點(diǎn)A,C,D共線,且∠A=∠D=∠BCE=90°,則△ACB∽△DEC,圖形整體像一個(gè)橫放的字母K,所以稱為“K”型相似.知3-練感悟新知如圖22.2-9,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D,E

分別在CB,AC

的延長線上,∠ADE=60°.求證:△ABD∽△DCE.例4

知3-練感悟新知解題秘方:緊扣“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”找到兩組角對應(yīng)相等即可.證明:∵∠ABC=∠ACB=60°,∴∠ABD=∠DCE=120°.∵∠ADB+∠DAB=∠ABC=60°,∠ADB+∠EDC=∠ADE=60°,∴∠DAB=∠EDC.∴△ABD∽△DCE.知3-練感悟新知4-1.

[期末·六安]如圖,在△ABC

與△ADE中,∠C=∠E,∠1=∠2,證明:△ABC

∽△ADE.證明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,∴∠BAC=∠DAE.又∵∠C=∠E,∴△ABC∽△ADE.知3-練感悟新知

例5知3-練感悟新知解題秘方:先利用勾股定理求出BC

的長,再分類討論.根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”和“相似三角形的對應(yīng)邊成比例”計(jì)算.知3-練感悟新知

知3-練感悟新知答案:D

知3-練感悟新知5-1.如圖,在△ABC中,按如下步驟作圖:(1)以點(diǎn)B為圓心,BA

長為半徑畫弧,交BC

于點(diǎn)D;(2)以點(diǎn)C為圓心,CA

長為半徑畫弧,交CB

于點(diǎn)E.若AB=AC=2,∠B=36°,求ED

的長.知3-練感悟新知解:連接AE,AD.由作圖可得BD=BA=2,CA=CE=2.∵AB=AC,∠B=36°,∴∠B=∠C=36°,∴∠BAD=∠ADB=72°,∠CAE=∠CEA=72°,∴∠ADB=∠CEA,∠BAE=∠CEA-∠B=36°,∴AE=AD,∠BAE=∠B.∴BE=AE.∴AE=BE=AD.知3-練感悟新知知4-講知識(shí)點(diǎn)利用邊角關(guān)系判定三角形相似的定理4

知4-講特別提醒運(yùn)用該定理證明相似時(shí),一定要注意邊角的關(guān)系,相等的角一定是成比例的兩組對應(yīng)邊的夾角.類似于判定三角形全等的SAS的方法.知4-練

例5

知4-練解題秘方:先緊扣“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似”證明兩個(gè)三角形相似,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例解決問題.

知4-練感悟新知6-1.如圖,根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù),一定能得到(

)A.△AED∽△CEDB.△ABE∽△ACBC.△ABC∽△EDCD.△AED∽△CBAC知5-講知識(shí)點(diǎn)利用三邊關(guān)系判定三角形相似的定理5

知5-講特別提醒1.由三邊成比例判定兩個(gè)三角形相似的方法與三邊對應(yīng)相等判定三角形全等的方法類似,只需把三邊對應(yīng)相等改為三邊成比例即可.2.應(yīng)用時(shí)要注意比的順序性,即分子為同一個(gè)三角形的三邊,分母為另一個(gè)三角形的三邊,同時(shí)要注意邊的對應(yīng)情況,用大邊對大邊、小邊對小邊的思路找對應(yīng)邊.感悟新知知5-練[期中·安慶]如圖22.2-14,正方形網(wǎng)格中的小正方形的面積都為1,網(wǎng)格中有△ABC

和△DEF(三角形中的每個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上).這兩個(gè)三角形相似嗎?請說明你的理由.例7知5-練感悟新知解題秘方:先根據(jù)勾股定理分別求出△ABC和△DEF的三邊長,再判斷它們是否對應(yīng)成比例即可.

知5-練感悟新知

知5-練感悟新知7-1.如圖,網(wǎng)格中相似的兩個(gè)三角形是________.(填序號)①③知6-講知識(shí)點(diǎn)直角三角形相似的判定61.

定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似(可簡單說成:斜邊和一組直角邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似).知6-講2.

直角三角形相似的判定方法(1)一組銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似;(2)兩組直角邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似;(3)斜邊和一組直角邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.知6-講

知6-講思路總結(jié)判定兩個(gè)三角形相似的思路:已知平行于三角形一邊的直線,直接找兩個(gè)三角形相似;已知一角對應(yīng)相等,找另一角對應(yīng)相等,或夾這個(gè)角的兩邊對應(yīng)成比例;已知兩邊對應(yīng)成比例,找夾角相等,或與第三邊成比例;已知直角三角形,找一組銳角相等,或兩組直角邊對應(yīng)成比例,或斜邊和一組直角邊對應(yīng)成比例.知6-練[母題教材P84練習(xí)T3]在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,下列條件中,不能判定這兩個(gè)三角形相似的是()A.∠A=55°,∠D=35°B.

AC=9,BC=12,DF=6,EF=8C.

AC=3,BC=4,DF=6,DE=8D.

AB=10,AC=8,DE=15,EF=9例8知6-練解題秘方:緊扣“直角三角形相似的判定方法”一一進(jìn)行驗(yàn)證

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