27.2圓心角弧弦弦心距之間的關(guān)系（原卷版）

27.2圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系1.經(jīng)歷探索圓的中心對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性的過程，體會(huì)利用旋轉(zhuǎn)來研究圓的性質(zhì)2.理解圓心角的概念,掌握圓心角定理3.理解1的弧的概念,明確圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)之間的關(guān)系4.掌握圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系，并會(huì)運(yùn)用它們之間的相互關(guān)系解決簡單的幾何問題知識(shí)點(diǎn)一圓心角、弧、弦、弦心距等的概念名稱內(nèi)容特別說明圖示圓心角以圓心為頂點(diǎn)的角.如圖1中的∠AOC沒有特別說明時(shí)，本章中的圓心角通常是指大于0°且小于180°的角圖1圖2弦聯(lián)結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段.如圖2中弦AB直徑過圓心的弦.如圖1中AB圓的直徑是弦圓弧圓上任意兩點(diǎn)之間的部分，簡稱弧.如圖1中弧AC,記作AC半圓圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)將圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.如圖1中半圓AB半圓所對的圓心角是一個(gè)平角優(yōu)弧大于半圓的弧.如圖1中劣弧小于半圓的弧.如圖1中弦心距圓心到弦的距離，即圓心到弦的垂線段的長.如圖2,垂線段OC的長是弦AB的弦心距弦心距是“距離”,可通過從圓心作弦的垂線段將弦心距用圖形表示出來，表述“這一垂線段表示弦心距”等弧能夠重合的兩條弧“兩條弧相等”是指“兩弧能夠重合”,而不僅僅指兩條弧的長度相等等圓半徑長相等的兩個(gè)圓，即能夠重合的兩個(gè)圓等圓可看作同一個(gè)圓移動(dòng)到不同的位置時(shí)的圖形注意：“等弧”是指能夠重合的弧，只有在同圓或等圓中才有等弧.因?yàn)樵谝粋€(gè)圓中一條弦所對的弧有兩條,所以由“弦相等”得出“弧相等”,這里的“弧相等”指的是對應(yīng)的劣弧與劣弧相等、優(yōu)弧與優(yōu)弧相等不能忽略“在同圓或等圓中”這個(gè)前提，如果丟掉這個(gè)前提,即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等.如圖所示，兩個(gè)圓的圓心相同，與對應(yīng)同一個(gè)圓心角，但≠，≠.即學(xué)即練1如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)E，且AB=CD．

求證：CE=BE．知識(shí)點(diǎn)二圓的旋轉(zhuǎn)不變性1.圓具有旋轉(zhuǎn)不變性由于圓上所有的點(diǎn)到圓心的距離都相等，因此把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，所得的圖形都和原圖形重合2.中心對稱圖形在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做它的對稱中心.注意：圓中的概念辨析(1)直徑與弦的關(guān)系：直徑是弦，且是圓中最長的弦，但弦不一定是直徑；(2)等弧的概念：等弧不只是指兩條弧的長度相等，而是指兩條弧能夠重合，即長度相等的兩條弧不一定是等?。?3)半圓與弧的關(guān)系：半圓既不是劣弧也不是優(yōu)弧，半圓是弧，但弧不一定是半圓.知識(shí)點(diǎn)三圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理及其推論1.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等.2.推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條劣弧(或優(yōu)弧)、兩條弦、兩條弦的弦心距得到的四組量中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余三組量也分別相等.注意：在應(yīng)用圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系的定理及其推論解決問題時(shí)，一定要注意“在同圓或等圓中”這個(gè)前提條件，否則結(jié)論不一定成立.3.1°的弧在一個(gè)圓中,我們把1°圓心角所對的弧叫做1°的弧4.圓心角度數(shù)與它所對弧的度數(shù)的關(guān)系n°的圓心角所對的弧就是n°的弧(1)相等的弧(即能夠重合的弧)與度數(shù)相等(或長度相等)的弧的含義是不同的，只有弧的度數(shù)和弧的長度都相等的兩條弧才是等弧，即等弧一定有相同的度數(shù)且等弧必須在同圓或等圓中存在,而相同度數(shù)的弧不一定是等弧.(2)圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等,不能寫成∠AOB=,正確寫法是∠AOB的度數(shù)等于的度數(shù).即學(xué)即練1有下列說法：①同圓中，所有的半徑都相等；②弦是直徑；③半徑相等的兩個(gè)半圓是等??；④長度相等的兩條弧是等?。虎莅雸A是弧，但弧不一定是半圓．其中正確的說法有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)半圓既不是優(yōu)弧，也不是劣弧.等弧必須具備兩個(gè)條件，一是兩弧所在圓的半徑相等,二是弧的長度相等，只有在同圓或等圓中才存在等弧,在大小不等的兩個(gè)圓中不存在等弧，因此在判斷兩弧是否為等弧時(shí)，首先要看兩弧所在的圓是否為同圓或等圓,然后再看弧的長度是否相等即學(xué)即練2如圖，平行四邊形ABCD中，以A為圓心，AB為半徑的圓分別交AD，BC于F，G，延長BA交圓于E．求證：EF=FG．知識(shí)點(diǎn)四圓周角、圓周角定理及其推論1.圓周角必須滿足的兩個(gè)條件(1)角的頂點(diǎn)在圓上；(2)角的兩邊都與圓相交.如圖,∠BAE、∠BDC都是圓周角.2.圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.3.圓周角定理的重要推論：(1)同弧或等弧所對的圓周角相等.(2)半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.即學(xué)即練如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作圓O，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．（1）求證：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度數(shù)．題型1利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解例1如圖，是的直徑，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D，C是的三等分點(diǎn)，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．舉一反三1如圖，是的直徑，，，則．

舉一反三2在中，弧弧，，求的度數(shù)．

題型2利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證例2如圖，四邊形內(nèi)接，平分，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．舉一反三1如圖，的弦、的延長線相交于點(diǎn)，且，

(1)求證：；(2)求證：．舉一反三2如圖，是的兩條弦，．求證：．

題型3圓心角概念辨析例3下列說法中，正確的是（

）A．長方體的截面形狀一定是長方形 B．各邊都相等的多邊形叫做正多邊形C．三棱錐只有三個(gè)面 D．頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角舉一反三1直徑為的中，弦，則弦所對的圓心角是．舉一反三2如圖，圓心角．(1)判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若，求的度數(shù)．題型4求圓弧的度數(shù)例4如圖是兩個(gè)大小不同的量角器．小量角器由于長時(shí)間使用，某些刻度已經(jīng)模糊不清．現(xiàn)將兩個(gè)量角器的零刻度線放在同一直線上，使與C重合（如下圖）．如果兩個(gè)半圓的公共點(diǎn)P在大量角器上對應(yīng)的度數(shù)為，那么在小量角器上對應(yīng)的度數(shù)為（

）A． B． C． D．舉一反三1如圖中，，以C為圓心，為半徑的圓交于點(diǎn)D，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．舉一反三2如圖，已知的半徑長為，、是的兩條弦，且，的延長線交于點(diǎn)，連結(jié)，．

(1)求證：．(2)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．(3)當(dāng)是直角三角形時(shí)，求、兩點(diǎn)之間的距離．題型五圓周角的概念辨析例5下列說法中，正確的是（）A．過圓心的直線是圓的直徑B．直徑是圓中最長的弦C．相等長度的兩條弧是等弧D．頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角舉一反三1如圖，直線l經(jīng)過⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且∠AOC=30°，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與圓心O不重合)，直線CP與⊙O相交于另一點(diǎn)Q，如果QP=QO，則舉一反三2如圖，△ABC內(nèi)接于圓，弦BD交AC于點(diǎn)P，連接AD．下列角中，AB所對圓周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC題型六圓周角定理例6如圖，△ABC的外角∠DAC的平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)E，若∠DAE=75°，則∠BEC的度數(shù)為度．

舉一反三1如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，若∠AOB=68°，則∠ACB的度數(shù)為(

)

A．34° B．42° C．54° D．68°舉一反三2如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，若∠AOB=68°，則∠ACB的度數(shù)為（

）

A．34° B．42° C．54° D．68°題型七同弧或等弧所對的圓周角相等例7如圖，△ADC內(nèi)接于圓O，BC是圓O的直徑，若∠A=66°，則∠BCD等于(

)

A．66° B．34° C．24° D．14°舉一反三1如圖，⊙O為△ABC的外接圓，半徑長為53，∠BAC=∠BOC=120°

(1)求BC的長．(2)作∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D．①求證：△BDC為等邊三角形；②若AC=63，求AD舉一反三2如圖AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩點(diǎn)，若∠BCD=28°，則∠ABD=．

題型八半圓(直徑)所對的圓周角是直角例8已知AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，連接BC，過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，交弧BC于點(diǎn)E，連接AE，交BC于F．

(1)如圖1，求證：∠BAC=2∠E．(2)如圖2，連接OF，若OF⊥AB,DF=1，求AE的長．舉一反三1如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D為BC中點(diǎn)，以AD為直徑作⊙O，分別交AB，BC于點(diǎn)E

(1)求證：AE=BE；(2)若AB=8，AC=6，求DF的長．舉一反三2如圖，已知BC為⊙O的一段弧，請根據(jù)要求畫出圖形．

(1)在圖中找出BC的圓心O，并畫出完整的圓（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）．(2)點(diǎn)A在BC上，在⊙O上找一點(diǎn)P，使得△PAC是直角三角形，且∠ACP=90°題型九90度的圓周角所對的弦是直徑例9如圖，已知BC為⊙O的一段弧，請根據(jù)要求畫出圖形．

(1)在圖中找出BC的圓心O，并畫出完整的圓（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）．(2)點(diǎn)A在BC上，在⊙O上找一點(diǎn)P，使得△PAC是直角三角形，且∠ACP=90°舉一反三1如圖是一個(gè)6×6的正方形網(wǎng)格，格點(diǎn)A，B，C均在ABC上，請按要求畫圖：①僅用無刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的畫圖痕跡；③標(biāo)注相關(guān)字母．（圖1、圖2在答題紙上）(1)在圖1中畫出ABC所在圓直徑BD．(2)在圖2中作∠CAE=67.5°，且點(diǎn)E在ABC上．舉一反三2如圖所示，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠B=50°,∠ACD=25°,∠BAD=65°．

求證：(1)AD=CD；(2)AB是⊙O的直徑．一、單選題1．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)A、B、C在圓O上，那么下列命題為真命題的是（

）A．如果半徑平分弦，那么四邊形是平行四邊形B．如果弦平分半徑，那么四邊形是平行四邊形C．如果四邊形是平行四邊形，那么D．如果，那么四邊形是平行四邊形2．（2022上·上海楊浦·九年級統(tǒng)考期中）新定義：由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，如圖，已知在的網(wǎng)格圖形中，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，如果，那么圖中所有符合要求的格點(diǎn)D的個(gè)數(shù)是（

）．A．3 B．5 C．7 D．93．（2022·上海金山·統(tǒng)考二模）下列命題中，真命題是（

）A．平行四邊形是軸對稱圖形 B．互為補(bǔ)角的兩個(gè)角都是銳角C．相等的弦所對的弧相等 D．等腰梯形的對角線相等4．（2022·上海金山·校考一模）如圖，是弧所在圓的圓心．已知點(diǎn)B、C將弧AD三等分，那么下列四個(gè)選項(xiàng)中不正確的是（

）A． B． C． D．．5．（2020·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，已知A、B、C、D四點(diǎn)都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四個(gè)說法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題6．（2023·上海·模擬預(yù)測）已知鈍角內(nèi)接于，，將沿所在直線翻折，得到，連接、，如果，那么的值為．7．（2022上·上?！ぞ拍昙壣虾Ｊ忻褶k新復(fù)興初級中學(xué)校考期中）如圖，是的直徑，，，則．8．（2022上·上?！ぞ拍昙壣贤飧街行？茧A段練習(xí)）中，是邊上的高，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊上且，延長與的延長線交于點(diǎn)G，若為等腰三角形，則．9．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，已知半圓直徑，點(diǎn)C、D三等分半圓弧，那么的面積為．10．（2022·上?！ど虾Ｊ羞M(jìn)才中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，已知扇形AOB的半徑為6，圓心角為90°，E是半徑OA上一點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)．將扇形AOB沿EF