27.2圓心角弧弦弦心距之間的關系（原卷版）

27.2圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系1.經歷探索圓的中心對稱性和旋轉不變性的過程，體會利用旋轉來研究圓的性質2.理解圓心角的概念,掌握圓心角定理3.理解1的弧的概念,明確圓心角的度數與它所對的弧的度數之間的關系4.掌握圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系，并會運用它們之間的相互關系解決簡單的幾何問題知識點一圓心角、弧、弦、弦心距等的概念名稱內容特別說明圖示圓心角以圓心為頂點的角.如圖1中的∠AOC沒有特別說明時，本章中的圓心角通常是指大于0°且小于180°的角圖1圖2弦聯(lián)結圓上任意兩點的線段.如圖2中弦AB直徑過圓心的弦.如圖1中AB圓的直徑是弦圓弧圓上任意兩點之間的部分，簡稱弧.如圖1中弧AC,記作AC半圓圓的任意一條直徑的兩個端點將圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.如圖1中半圓AB半圓所對的圓心角是一個平角優(yōu)弧大于半圓的弧.如圖1中劣弧小于半圓的弧.如圖1中弦心距圓心到弦的距離，即圓心到弦的垂線段的長.如圖2,垂線段OC的長是弦AB的弦心距弦心距是“距離”,可通過從圓心作弦的垂線段將弦心距用圖形表示出來，表述“這一垂線段表示弦心距”等弧能夠重合的兩條弧“兩條弧相等”是指“兩弧能夠重合”,而不僅僅指兩條弧的長度相等等圓半徑長相等的兩個圓，即能夠重合的兩個圓等圓可看作同一個圓移動到不同的位置時的圖形注意：“等弧”是指能夠重合的弧，只有在同圓或等圓中才有等弧.因為在一個圓中一條弦所對的弧有兩條,所以由“弦相等”得出“弧相等”,這里的“弧相等”指的是對應的劣弧與劣弧相等、優(yōu)弧與優(yōu)弧相等不能忽略“在同圓或等圓中”這個前提，如果丟掉這個前提,即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等.如圖所示，兩個圓的圓心相同，與對應同一個圓心角，但≠，≠.即學即練1如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點E，且AB=CD．

求證：CE=BE．知識點二圓的旋轉不變性1.圓具有旋轉不變性由于圓上所有的點到圓心的距離都相等，因此把圓繞圓心旋轉任意一個角度，所得的圖形都和原圖形重合2.中心對稱圖形在平面內，把一個圖形繞某個點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形,這個點叫做它的對稱中心.注意：圓中的概念辨析(1)直徑與弦的關系：直徑是弦，且是圓中最長的弦，但弦不一定是直徑；(2)等弧的概念：等弧不只是指兩條弧的長度相等，而是指兩條弧能夠重合，即長度相等的兩條弧不一定是等弧；(3)半圓與弧的關系：半圓既不是劣弧也不是優(yōu)弧，半圓是弧，但弧不一定是半圓.知識點三圓心角、弧、弦、弦心距之間關系的定理及其推論1.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等.2.推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條劣弧(或優(yōu)弧)、兩條弦、兩條弦的弦心距得到的四組量中有一組量相等，那么它們所對應的其余三組量也分別相等.注意：在應用圓心角、弧、弦、弦心距之間關系的定理及其推論解決問題時，一定要注意“在同圓或等圓中”這個前提條件，否則結論不一定成立.3.1°的弧在一個圓中,我們把1°圓心角所對的弧叫做1°的弧4.圓心角度數與它所對弧的度數的關系n°的圓心角所對的弧就是n°的弧(1)相等的弧(即能夠重合的弧)與度數相等(或長度相等)的弧的含義是不同的，只有弧的度數和弧的長度都相等的兩條弧才是等弧，即等弧一定有相同的度數且等弧必須在同圓或等圓中存在,而相同度數的弧不一定是等弧.(2)圓心角的度數與它所對的弧的度數相等,不能寫成∠AOB=,正確寫法是∠AOB的度數等于的度數.即學即練1有下列說法：①同圓中，所有的半徑都相等；②弦是直徑；③半徑相等的兩個半圓是等??；④長度相等的兩條弧是等??；⑤半圓是弧，但弧不一定是半圓．其中正確的說法有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個半圓既不是優(yōu)弧，也不是劣弧.等弧必須具備兩個條件，一是兩弧所在圓的半徑相等,二是弧的長度相等，只有在同圓或等圓中才存在等弧,在大小不等的兩個圓中不存在等弧，因此在判斷兩弧是否為等弧時，首先要看兩弧所在的圓是否為同圓或等圓,然后再看弧的長度是否相等即學即練2如圖，平行四邊形ABCD中，以A為圓心，AB為半徑的圓分別交AD，BC于F，G，延長BA交圓于E．求證：EF=FG．知識點四圓周角、圓周角定理及其推論1.圓周角必須滿足的兩個條件(1)角的頂點在圓上；(2)角的兩邊都與圓相交.如圖,∠BAE、∠BDC都是圓周角.2.圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.3.圓周角定理的重要推論：(1)同弧或等弧所對的圓周角相等.(2)半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.即學即練如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作圓O，交BC于點D，交AC于點E．（1）求證：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度數．題型1利用弧、弦、圓心角的關系求解例1如圖，是的直徑，點E在上，點D，C是的三等分點，，則的度數是（

）

A． B． C． D．舉一反三1如圖，是的直徑，，，則．

舉一反三2在中，弧弧，，求的度數．

題型2利用弧、弦、圓心角的關系求證例2如圖，四邊形內接，平分，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．舉一反三1如圖，的弦、的延長線相交于點，且，

(1)求證：；(2)求證：．舉一反三2如圖，是的兩條弦，．求證：．

題型3圓心角概念辨析例3下列說法中，正確的是（

）A．長方體的截面形狀一定是長方形 B．各邊都相等的多邊形叫做正多邊形C．三棱錐只有三個面 D．頂點在圓心的角叫圓心角舉一反三1直徑為的中，弦，則弦所對的圓心角是．舉一反三2如圖，圓心角．(1)判斷和的數量關系，并說明理由；(2)若，求的度數．題型4求圓弧的度數例4如圖是兩個大小不同的量角器．小量角器由于長時間使用，某些刻度已經模糊不清．現將兩個量角器的零刻度線放在同一直線上，使與C重合（如下圖）．如果兩個半圓的公共點P在大量角器上對應的度數為，那么在小量角器上對應的度數為（

）A． B． C． D．舉一反三1如圖中，，以C為圓心，為半徑的圓交于點D，則的度數為（

）A． B． C． D．舉一反三2如圖，已知的半徑長為，、是的兩條弦，且，的延長線交于點，連結，．

(1)求證：．(2)當時，求的度數．(3)當是直角三角形時，求、兩點之間的距離．題型五圓周角的概念辨析例5下列說法中，正確的是（）A．過圓心的直線是圓的直徑B．直徑是圓中最長的弦C．相等長度的兩條弧是等弧D．頂點在圓上的角是圓周角舉一反三1如圖，直線l經過⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點，點C在⊙O上，且∠AOC=30°，點P是直線l上的一個動點(與圓心O不重合)，直線CP與⊙O相交于另一點Q，如果QP=QO，則舉一反三2如圖，△ABC內接于圓，弦BD交AC于點P，連接AD．下列角中，AB所對圓周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC題型六圓周角定理例6如圖，△ABC的外角∠DAC的平分線交△ABC的外接圓于點E，若∠DAE=75°，則∠BEC的度數為度．

舉一反三1如圖，點A、B、C在⊙O上，若∠AOB=68°，則∠ACB的度數為(

)

A．34° B．42° C．54° D．68°舉一反三2如圖，點A、B、C在⊙O上，若∠AOB=68°，則∠ACB的度數為（

）

A．34° B．42° C．54° D．68°題型七同弧或等弧所對的圓周角相等例7如圖，△ADC內接于圓O，BC是圓O的直徑，若∠A=66°，則∠BCD等于(

)

A．66° B．34° C．24° D．14°舉一反三1如圖，⊙O為△ABC的外接圓，半徑長為53，∠BAC=∠BOC=120°

(1)求BC的長．(2)作∠BAC的平分線交⊙O于點D．①求證：△BDC為等邊三角形；②若AC=63，求AD舉一反三2如圖AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩點，若∠BCD=28°，則∠ABD=．

題型八半圓(直徑)所對的圓周角是直角例8已知AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，連接BC，過點O作OD⊥BC于D，交弧BC于點E，連接AE，交BC于F．

(1)如圖1，求證：∠BAC=2∠E．(2)如圖2，連接OF，若OF⊥AB,DF=1，求AE的長．舉一反三1如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D為BC中點，以AD為直徑作⊙O，分別交AB，BC于點E

(1)求證：AE=BE；(2)若AB=8，AC=6，求DF的長．舉一反三2如圖，已知BC為⊙O的一段弧，請根據要求畫出圖形．

(1)在圖中找出BC的圓心O，并畫出完整的圓（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）．(2)點A在BC上，在⊙O上找一點P，使得△PAC是直角三角形，且∠ACP=90°題型九90度的圓周角所對的弦是直徑例9如圖，已知BC為⊙O的一段弧，請根據要求畫出圖形．

(1)在圖中找出BC的圓心O，并畫出完整的圓（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）．(2)點A在BC上，在⊙O上找一點P，使得△PAC是直角三角形，且∠ACP=90°舉一反三1如圖是一個6×6的正方形網格，格點A，B，C均在ABC上，請按要求畫圖：①僅用無刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的畫圖痕跡；③標注相關字母．（圖1、圖2在答題紙上）(1)在圖1中畫出ABC所在圓直徑BD．(2)在圖2中作∠CAE=67.5°，且點E在ABC上．舉一反三2如圖所示，四邊形ABCD內接于⊙O，∠B=50°,∠ACD=25°,∠BAD=65°．

求證：(1)AD=CD；(2)AB是⊙O的直徑．一、單選題1．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）已知點A、B、C在圓O上，那么下列命題為真命題的是（

）A．如果半徑平分弦，那么四邊形是平行四邊形B．如果弦平分半徑，那么四邊形是平行四邊形C．如果四邊形是平行四邊形，那么D．如果，那么四邊形是平行四邊形2．（2022上·上海楊浦·九年級統(tǒng)考期中）新定義：由邊長為1的小正方形構成的網格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，如圖，已知在的網格圖形中，點A、B、C、D都在格點上，如果，那么圖中所有符合要求的格點D的個數是（

）．A．3 B．5 C．7 D．93．（2022·上海金山·統(tǒng)考二模）下列命題中，真命題是（

）A．平行四邊形是軸對稱圖形 B．互為補角的兩個角都是銳角C．相等的弦所對的弧相等 D．等腰梯形的對角線相等4．（2022·上海金山·?？家荒＃┤鐖D，是弧所在圓的圓心．已知點B、C將弧AD三等分，那么下列四個選項中不正確的是（

）A． B． C． D．．5．（2020·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，已知A、B、C、D四點都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四個說法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正確的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題6．（2023·上?！つM預測）已知鈍角內接于，，將沿所在直線翻折，得到，連接、，如果，那么的值為．7．（2022上·上?！ぞ拍昙壣虾Ｊ忻褶k新復興初級中學校考期中）如圖，是的直徑，，，則．8．（2022上·上海·九年級上外附中?？茧A段練習）中，是邊上的高，點E，F在邊上且，延長與的延長線交于點G，若為等腰三角形，則．9．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，已知半圓直徑，點C、D三等分半圓弧，那么的面積為．10．（2022·上?！ど虾Ｊ羞M才中學校考一模）如圖，已知扇形AOB的半徑為6，圓心角為90°，E是半徑OA上一點，F是上一點．將扇形AOB沿EF