專題1.1二次根式（10大易錯(cuò)題型深度導(dǎo)練）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍（原卷版）

20222023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】專題1.1二次根式精講精練（10大易錯(cuò)題型深度導(dǎo)練）【目標(biāo)導(dǎo)航】【知識(shí)梳理】1.二次根式的定義形如的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)；判斷一個(gè)式子是二次根式，需要滿足以下條件：（1）根指數(shù)必須是2；（2）被開方數(shù)為．2.二次根式有無意義的條件：

（1）如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須是．

（2）如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證．3.二次根式的性質(zhì)：（1），（雙重非負(fù)性）．（2）（任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式）．應(yīng)用：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（3）（4）=·（a≥0，b≥0）（5）=（a≥0，b>0）4.二次根式的化簡：（1）二次根式化簡的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2，所得結(jié)果為最簡二次根式或整式．（2）最簡二次根式的條件：被開方數(shù)；被開方數(shù)中不含．5.二次根式的運(yùn)算：（1）二次根式的乘法·＝．（a≥0，b≥0）文字語言：二次根式與二次根式相乘，等于各個(gè)被開數(shù)的.推廣：（2）二次根式的除法：=（a≥0，b>0）文字語言：二次根式與二次根式相乘，等于各個(gè)被開數(shù)的.（3）二次根式的加減：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行，合并方法為系數(shù)，根式．

二次根式的加減步驟：

①如果有括號(hào)，根據(jù)去括號(hào)法則去掉括號(hào)．

②把不是最簡二次根式的二次根式進(jìn)行化簡．

③合并被開方數(shù)相同的二次根式．

6.二次根式的混合運(yùn)算：（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．①與實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序，最后，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．

②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)單項(xiàng)式，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作多項(xiàng)式．

（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為．

（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．7.二次根式的應(yīng)用：把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識(shí)的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法．【典例剖析】&【變式訓(xùn)練】考點(diǎn)1二次根式的定義【例1】（2022春?會(huì)東縣校級(jí)月考）下列各式中，是二次根式的有（）（1）6；（2）3.14?π；（3）x2+1；（4）3?27；（5）x2+2x+2；（6）|x|A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【變式訓(xùn)練】【變式1.1】（2022秋?德惠市期末）下列各式是二次根式的是（）A．2 B．m C．?16 D．3【變式1.2】（2022春?利州區(qū)校級(jí)月考）已知下列各式：?12，x?3，a2+3，A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1.3】（2022秋?高陵區(qū)期中）二次根式a中a的最小值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2考點(diǎn)2二次根式的有意義的條件【例2】（2022秋?新華區(qū)校級(jí)期末）代數(shù)式x?2x+2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則xA．2 B．0 C．﹣2 D．﹣1【變式訓(xùn)練】【變式2.1】（2022秋?岳麓區(qū)校級(jí)期末）要使二次根式5x?2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x=25 B．x≠25 C．x≥【變式2.2】（2022秋?雙牌縣期末）當(dāng)x＝2時(shí)，下列各式中，沒有意義的是（）A．x?2 B．2?x C．x2?2 【變式2.3】（2022春?利州區(qū)校級(jí)月考）若y=x?2?2?x?4，則A．﹣2 B．2 C．4 D．6考點(diǎn)3二次根式的性質(zhì)與化簡【例3】（2022秋?市北區(qū)校級(jí)期末）下列各式中正確的是（）A．9=±3 B．x2=x C．3【變式3.1】（2022秋?海港區(qū)期末）若(x?3)2=x?3，則A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3【變式3.2】（2020秋?彌勒市校級(jí)月考）當(dāng)x=?34時(shí)，A．34 B．?34 C．±3【變式3.3】（2022秋?安岳縣期末）已知實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡：|a?2|+(a?4)A．2 B．﹣2 C．2a﹣6 D．﹣2a+6考點(diǎn)4最簡二次根式與同類二次根式【例4】（2022秋?漳州期末）下列各式中，屬于最簡二次根式的是（）A．3 B．4 C．12 D．【變式訓(xùn)練】【變式4.1】（2022秋?婁底期末）下列根式不是最簡二次根式的是（）A．a(chǎn)+1 B．2x?1 C．2b4 D．【變式4.2】（2022秋?臥龍區(qū)校級(jí)期末）下列二次根式中，能與2合并的是（）A．12 B．12 C．20 D．【變式4.3】（2022?天津模擬）若8與最簡二次根式m+1能合并，則m的值為（）A．7 B．9 C．2 D．1考點(diǎn)5二次根式的乘除【例5】．計(jì)算：（1）2532（2）36a【變式5.1】計(jì)算：（1）3224（2）1321【變式5.2】計(jì)算（1）45÷（﹣51（2）2a2b2c5÷（ab【變式5.3】．計(jì)算：（1）212÷3（2）5bab3×考點(diǎn)6二次根式的加減【例6】計(jì)算：（1）5+（2）38（3）23【變式訓(xùn)練】【變式6.1】計(jì)算：（1）22+3（2）8（3）16x（4）48?913+【變式6.2】計(jì)算下列各式：（1）5（2）12（3）27a（4）23【變式6.3】若a、b為有理數(shù)，且8+18+1考點(diǎn)7二次根式的混合運(yùn)算【例7】（2022秋?歷城區(qū)期末）計(jì)算：（1）|?22（2）(5【變式訓(xùn)練】【變式7.1】（2023?義烏市校級(jí)開學(xué)）計(jì)算：（1）|3（2）(32【變式7.2】（2022秋?深圳期末）計(jì)算：（1）28?（2）12+|（3）(3【變式7.3】（2022秋?高新區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：（1）(48（2）48+【【方法技巧】二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式“，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式“．③二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式．④在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．考點(diǎn)8二次根式的化簡求值【例8】（2022秋?天元區(qū)校級(jí)期末）已知a＝4﹣23，b＝4+23．（1）求ab，a﹣b的值；（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．【變式訓(xùn)練】【變式8.1】（2022春?高昌區(qū)月考）已知x=6+2，（1）求x﹣y的值；（2）求x2+2xy+y2的值．【變式8.2】（2022春?殷都區(qū)校級(jí)月考）已知a=5+2，b=5?2，求a2+ab【變式8.3】（2022秋?永年區(qū)期末）已知x=17?5（1）xy；（2）x2+3xy+y2．考點(diǎn)9二次根式的應(yīng)用【例9】（2020春?韓城市期末）如圖，有一張邊長為63cm的正方形紙板，現(xiàn)將該紙板的四個(gè)角剪掉，制作一個(gè)有底無蓋的長方體盒子，剪掉的四個(gè)角是面積相等的小正方形，此小正方形的邊長為3cm．求：（1）剪掉四個(gè)角后，制作長方體盒子的紙板的面積；（2）長方體盒子的體積．【變式訓(xùn)練】【變式9.1】（2022春?亭湖區(qū)校級(jí)月考）據(jù)研究，高空拋物下落的時(shí)間t（單位：s）加高度h（單位：m）近似滿足公式t=?（1）求從40m高空拋物到落地時(shí)間；（2）已知高空墜物動(dòng)能w（單位：J）＝10×物體質(zhì)量（單位：kg）×高度（單位：m），某質(zhì)量為0.1kg的玩具被拋出后經(jīng)過4s后落在地上，這個(gè)玩具產(chǎn)生的動(dòng)能會(huì)傷害到樓下的行人嗎？請(qǐng)說明理由（注：傷害無防護(hù)人體只需要65J的動(dòng)能）．【變式9.2】（2021春?羅山縣期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．12+13212×13；6+326×3；1+（2）由（1）中各式猜想a+b與2ab（a≥0，b≥0）的大小，并說明理由．（3）請(qǐng)利用上述結(jié)論解決下面問題：某同學(xué)在做一個(gè)面積為1800cm2，對(duì)角線相互垂直的四邊形風(fēng)箏時(shí)，求用來做對(duì)角線的竹條至少要多少厘米？【變式9.3】（2022秋?橋西區(qū)期中）交通警察通常根據(jù)剎車后車輪劃過的距離估計(jì)車輛行駛的速度，所依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)公式是v＝16df，其中v表示車速（單位：km/h），d表示剎車后車輪劃過的距離（單位：m），f表示摩擦系數(shù)，在某次交通事故調(diào)查中測得d＝20m，f＝1.2．（1）求肇事汽車的速度；（2）若此路段限速70km/h，請(qǐng)通過計(jì)算判斷肇事汽車是否超速？考點(diǎn)10二次根式與探究材料題【例10】（2021春?泗陽縣期末）在解決問題“已知a=12+3，求2a2∵a=1∴a﹣2=?3∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝﹣1．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過程，解答下列問題：（1）化簡：23（2）化簡：13（3）若a=1①12a2﹣a②2a2﹣5a2+1的值．【變式訓(xùn)練】【變式10.1】（2019春?沭陽縣期末）小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如：3+22=(1+設(shè)a+b2=(m+n2)2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有：a+b2=m2+2n2+2mn2，∴a＝m2+2請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b3=(m+n3)2，用含m、n的式子分別表示a、b得：a＝，（2）利用所探索的結(jié)論，用完全平方式表示出：7+43=（3）請(qǐng)化簡：12?6【變式10.2】（2021?市中區(qū)校級(jí)一模）觀察下面的式子：S1＝1+112+122，S2＝1+12（1）計(jì)算：S1=