第六章圖形的相似（平行截線線段成比例拓展）

第六章圖形的相似（平行截線線段成比例拓展）【平行線分線段成比例定理】?jī)蓷l直線被三條平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，簡(jiǎn)稱為平行線分線段成比例定理．如圖：如果，則，，．典例1如圖，是的中線，E是上一點(diǎn)，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作交于點(diǎn)H，根據(jù)是的中線，可得，根據(jù)平行線分線段成比例可得，有已知條件可得，進(jìn)而可得．【詳解】解：作交于點(diǎn)H，∵是的中線，，，，，，，∴，，．故選：B．跟蹤訓(xùn)練1如圖，中，，，求的值為．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作交于，由平行線分線段成比例得到，，則，，得到，即可得到的值．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作交于，

∵，，∴，，∴，，∴，∴．故答案為：典例2如圖，三條直線，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)可得，從而得到，再由，可得，最后再由可得，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：，，，，，，，，，故選：A．跟蹤訓(xùn)練2【教材呈現(xiàn)】下面是華師版教材九年級(jí)上冊(cè)52頁(yè)的部分內(nèi)容：我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩條直線與一組平行踐相交時(shí)，所截得的線段存在一定的比例關(guān)系：．這就是如下的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所傅的對(duì)應(yīng)線段成比例，（簡(jiǎn)稱“平行錢分線段成比例“

【問(wèn)題原型】如圖①，中，點(diǎn)為邊上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交為邊于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，，，則．【結(jié)論應(yīng)用】（1）如圖②，中，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，直線交于點(diǎn)交于點(diǎn)．求證：；（2）如圖③，中，，，，若、分別是邊、的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，連接、分別交于點(diǎn)、，則周長(zhǎng)的最小值是．

【答案】（1）2.7；（2）見解析；（3）【分析】（1），，，，，即可求得；（2），，，，同理，，即可證明；（3）過(guò)點(diǎn)作以所在直線為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，交于點(diǎn)，易得，，且、分別是邊，的中點(diǎn)，為的中位線，，連接，此時(shí)與的交點(diǎn)，此時(shí)周長(zhǎng)最小，根據(jù)勾股定理即可求出進(jìn)而求出作答．【詳解】解（1）：，，又，，，即，，故答案為：2.7；（2）證明：，，，，，，同理，，；（3）解：過(guò)點(diǎn)作以所在直線為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，交于點(diǎn)，易得，如圖，

，且、分別是邊，的中點(diǎn)，為的中位線，，連接，此時(shí)與的交點(diǎn)，此時(shí)周長(zhǎng)最小，，，，，，在中，，，故答案為：．典例3如圖中，、為的三等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，與、分別交于、，則．

【答案】【分析】首先過(guò)點(diǎn)M作，交分別于K，N，由M是的中點(diǎn)與、為的三等分點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得，，，然后根據(jù)比例的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)M作，交分別于K，N，

∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，∵、為的三等分點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴，，設(shè)，∴，∴．故答案為：．跟蹤訓(xùn)練3如圖，已知M、N為的邊BC上的兩點(diǎn)，且滿足，一條平行于AC的直線分別交AB、AM和AN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E和F，求的值．

【答案】4【分析】分別過(guò)點(diǎn)M，N作，交于點(diǎn)K、Q，交于點(diǎn)T，利用平行線分線段成比例可得，利用三角形相似性質(zhì)可得，，再利用比例性質(zhì)可求出．【詳解】如圖，分別過(guò)點(diǎn)M，N作，交于點(diǎn)K、Q，交于點(diǎn)T，∵，∴，∴，，同理：，，，∵，∴．典例4如圖，已知是軸上的點(diǎn)，且，分別過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)，連接依次產(chǎn)生交點(diǎn)，則的橫坐標(biāo)是．【答案】【分析】先表示（1，0），（2，0），（3，0），…（n，0），（1，），（2，1），（3，），…（n，），過(guò)作⊥x軸，垂足為，利用平行線分線段成比例定理計(jì)算的坐標(biāo)，多計(jì)算兩個(gè)，確定其規(guī)律即可．【詳解】∵，∴（1，0），（2，0），（3，0），…（n，0），∴（1，），（2，1），（3，），…（n，），過(guò)作⊥x軸，垂足為，∴∥∥，∴：=：=：，∴：=：1，∴==，∴即的橫坐標(biāo)為；過(guò)作⊥x軸，垂足為，∴∥∥，∴：=：=：∴：=1：，∴==，∴即的橫坐標(biāo)為；由此得到的橫坐標(biāo)是，故答案為：．

1．如圖，在ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在BC邊上，過(guò)點(diǎn)D作DGBC，交AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EHAB，交AC于點(diǎn)H，DG的延長(zhǎng)線與EH的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，則下列式子一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：∵DGBC，∴，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵DGBC，∴，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵EHAB，∴，故C選項(xiàng)正確；∵EHAB，∴，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．2．如圖，已知，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，判斷即可．【詳解】解：∵AB∥CD∥EF，∴，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，∴，C選項(xiàng)正確；，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．3．如圖，直線被三條平行線所截，交點(diǎn)如圖所示，若，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵AD∥BE∥CF，∴，又AB=1.5，AC=6，DE=2，∴，∴DF=8，經(jīng)檢驗(yàn)：DF=8符合題意，∴EF=DFDE=6，故選B．4．如圖，已知直線，直線m、n與直線a、b、c分別交于點(diǎn)A、B、C、D、E、F，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可．【詳解】解：∵DE=7，EF=10，∴DF=17，，，故選：C．5．如圖，，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．3 C．2.5 D．2【答案】B【分析】利用平行線分線段成比例定理得到，然后根據(jù)比例的性質(zhì)可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：，，即，．故選：B．6．如圖，已知，，則下列比例式中錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平行線分線段成比例定理逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】∵，∴，∵，∴，∴，故A正確，不符合題意．∵，∴，即，∵，∴，即，∴，故B正確，不符合題意．∵，∴，∴，故C正確，不符合題意．∵，∴，∵不一定等于．∴不一定成立．故D錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．7．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，連接DE，且DE∥BC，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，連接AF交DE于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷；【詳解】解：，∴，∴，故選：．8．在中，點(diǎn)、分別在邊、的延長(zhǎng)線上（如圖），下列四個(gè)選項(xiàng)中，能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理、平行線的判定定理判斷即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，DE∥BC，A選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，DE∥BC，B、C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，DE∥BC，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．9．如圖，在△ABC中，D、E、F分別是邊BC、AC、AB上一點(diǎn)，連接BE交FD于點(diǎn)G，若四邊形AFDE是平行四邊形，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)四邊形AFDE是平行四邊形，于是得到DF∥AC，DE∥AF，由平行線分線段成比例逐一分析之．【詳解】∵四邊形AFDE是平行四邊形，∴DF∥AC，∴，故A正確；∵DE∥AF∴，故B正確；∵DF∥AC，∴又四邊形AFDE是平行四邊形∴AF=DE∴，故D正確；∵DF∥AC，∴，故C錯(cuò)誤；故選:C．10．有一種有趣的讀數(shù)法：如圖，在圖紙上確定縱軸與橫軸，從交點(diǎn)O處開始依次在兩軸上畫出單位相同的標(biāo)度，再作兩軸交角的角平分線OP，OP上的標(biāo)度與縱軸上的標(biāo)度在同一水平線上,拿一根直尺，使得它的兩端分別架在橫軸和縱軸上，且OA=a，OB=b，讀出直尺與OP的交點(diǎn)C的標(biāo)度就可以求出OC的長(zhǎng)度．當(dāng)a=4，b=6時(shí)，讀得點(diǎn)C處的標(biāo)度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過(guò)分別向橫軸和縱軸作輔助線得到等腰三角形，建立線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)利用平行線分線段成比例的推理，建立比例關(guān)系式即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)C點(diǎn)分別向