6.2黃金分割（練習）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊（蘇科版）

第六章圖形的相似6.2黃金分割基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一．單選題1．已知點P是線段AB的黃金分割點，且AP＞BP，則下列比例式能成立的是（）A．ABAP＝BPAB B．BPAP＝ABBP C．APAB＝BP【詳解】解：根據(jù)黃金分割定義可知：AP是AB和BP的比例中項，∴AP2＝AB?BP，∴APAB＝BP故選：C．2．在設(shè)計人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感．按此比例，如果雕像的高為3m，那么它的下部應(yīng)設(shè)計為多高？設(shè)它的下部設(shè)計高度為xm，根據(jù)題意，列方程正確的是（）A．x2＝3（x﹣3） B．x2＝3（3﹣x） C．x2＝3 D．x2＝3﹣x【詳解】解：設(shè)雕像的下部設(shè)計高度為xm，∵雕像的高為3m，∴雕像上部設(shè)計高度為（3﹣x）m，∵雕像的上部與下部的高度比等于下部與全部的高度比，∴3?xx＝∴x2＝3（3﹣x）．故選：B．3．已知點P是線段AB的黃金分割點（AP＞PB），AB＝6，那么AP的長是（）A．35﹣3 B．2﹣5 C．25﹣1 D．5﹣2【詳解】解：由于P為線段AB＝6的黃金分割點，且AP是較長線段；則AP＝6×5?12＝3故選：A．4．矩形的兩條相鄰的邊的長分別為a、b，下列數(shù)據(jù)能構(gòu)成黃金矩形（寬與長的比為黃金比的矩形）的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝5+2 B．a(chǎn)＝4，b＝5﹣2 C．a(chǎn)＝4，b＝25+4 D．a(chǎn)＝4，b＝25﹣2【詳解】解：∵寬與長的比是5?1∴當a＝4，b＝5+2時，ab＝45+2＝45當a＝4，b＝5﹣2時，ba＝5?24當a＝4，b＝25+4時，ab＝425+4＝2當a＝4，b＝25﹣2時，ba＝25?24＝故選：D．5．如圖，C是AB的黃金分割點（AC＞CB），BG＝AB，以CA為邊的正方形的面積為S1，以BC、BG為邊的正方形的面積為S2，則S1與S2的關(guān)系為（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．無法判斷【詳解】解：根據(jù)黃金分割的概念和正方形的性質(zhì)知：AC2＝AB?BC，S1S2＝AC2BC?BG＝AC2BC?AB＝AC故選：C．6．如圖，點E是正方形ABCD的邊AB邊上的黃金分割點，且AE＞EB，S1表示AE為邊長的正方形面積，S2表示以BC為長，BE為寬的矩形面積，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面積，S3：S2的值為（）A．12 B．23 C．5?1【詳解】解：設(shè)AB＝a，∵點E是邊AB邊上的黃金分割點，AE＞EB，∴AE＝5?12AB＝5∴BE＝AB﹣AE＝a﹣5?12a＝3?∴S3：S2＝5?12a故選：C．7．“雙減”期間，某校音樂社團購買了一種樂器，如圖．樂器上的一根弦AB＝60cm，兩個端點A，B固定在樂器板面上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則C，D之間的距離為（）A．（305﹣30）cm B．（605﹣30）cm C．（100﹣305）cm D．（605﹣120）cm【詳解】解：∵點C是靠近點B的黃金分割點，點D是靠近點A的黃金分割點，AB＝60cm，∴AC＝BD＝5?12AB＝5?12×60＝（30∴CD＝AC﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝（605﹣120）（cm）．故選：D．二．填空題8．大自然是美的設(shè)計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”（黃金比為5?12≈0.618），如圖，P為AB的黃金分割點（AP＞BP），如果AB的長度為10cm，那么較長線段AP的長度為【詳解】解：∵P為AB的黃金分割點（AP＞PB），AB＝10cm，∴AP＝5?12AB≈0.618×10≈6.2（故答案為：6.2．9．已知點C是線段AB的黃金分割點，若AB＝8，則線段AC的長為．【詳解】解：∵點C是線段AB的黃金分割點，AB＝8，∴AC＝5?12AB＝45﹣4，或AC＝8﹣（45﹣4）＝12﹣4故答案為：45﹣4或12﹣45．10．當一個人的上半身（肚臍以上的高度）與下半身（肚臍以下的高度）的比值越接近黃金分割比0.618時，越給人一種美感．某位參加空姐選拔的選手身高165cm，上半身長65cm，那么她應(yīng)穿cm的鞋子才更美？（精確到1cm）．【詳解】解：設(shè)某位參加空姐選拔的選手應(yīng)穿xcm的鞋子才更美，根據(jù)題意，得：65165?65+x≈0.618，解得：∴某位參加空姐選拔的選手應(yīng)穿5cm的鞋子才更美．故答案為：5．11．已知線段AB，點P是它的黃金分割點，AP＞BP，設(shè)以AP為邊的等邊三角形的面積為S1，以PB、AB為直角邊的直角三角形的面積為S2，則S1與S2的關(guān)系是．【詳解】解：∵點P是它的黃金分割點，AP＞BP，∴AP：AB＝PB：AP，即AP2＝PB?AB，∵S1＝12×AP×32AP＝34AP2，S2＝12∵34＜1∴34AP2＜12AB?∴S1＜S2．故答案為：＜．12．實數(shù)a，n，m，b滿足a＜n＜m＜b，這四個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為A，N，M，B，若AM2＝BM?AB，BN2＝AN?AB，則稱m為a，b的“大黃金數(shù)”，n為a，b的“小黃金數(shù)”，當b﹣a＝4時，m﹣n＝．【詳解】解：由題意得：AB＝b﹣a＝4，設(shè)AM＝x，則BM＝4﹣x，∵AM2＝BM?ABx2＝4（4﹣x），解得：x＝﹣2±25，x1＝﹣2+25，x2＝﹣2﹣25（舍），∴AM＝BN＝25﹣2，∴MN＝m﹣n＝AM+BN﹣4＝2AM﹣4＝2（25﹣2）﹣4＝45﹣8．故答案為：45﹣8．13．黃金分割具有嚴格的比例性，蘊藏著豐富的美學(xué)價值，這一比值能夠引起人們的美感．如圖，連接正五邊形ABCDE的各條對角線圍成一個新的五邊形MNPQR．圖中有很多頂角為36°的等腰三角形，我們把這種三角形稱為“黃金三角形”，黃金三角形的底與腰之比為5?12．若DM＝2，則AB＝【詳解】解：∵五邊形內(nèi)角和（5﹣2）×180°＝540°，∴∠EDC＝108°，∠DCE＝∠DEC＝36°，∴△CDM為黃金三角形，∴DMCD＝5∵DM＝2，∴CD＝5+1，∴AB＝5+1．故答案為：5+1．三．解答題14．閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：黃金分割：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus，約前408年﹣﹣前355年）發(fā)現(xiàn)：如圖1，將一條線段AB分割成長、短兩條線段AP、PB，若短段與長段的長度之比等于長段的長度與全長之比，即PBAP＝APAB（此時線段AP叫做線段PB，AB的比例中項），則可得出這一比值等于5?12（0.618…）．這種分割稱為黃金分割，這個比值稱為黃金比，點采用如下方法可以得到黃金分割點：如圖2，設(shè)AB是已知線段，經(jīng)過點B作BD⊥AB于點B，且使BD＝12AB，連接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是線段AB（1）求證：C是線段AB的黃金分割點．（2）若BD＝1，則BC的長為．【詳解】（1）證明：設(shè)BD＝x，則AB＝2x，由勾股定理得：AD＝5x，∵DE＝BD＝x，∴AC＝AE＝AD﹣DE＝AD﹣BD＝（5﹣1）x，∴ACAB＝5∴C是線段AB的黃金分割點；（2）解：當BD＝1時，由（1）知AB＝2，AC＝5﹣1，∴BC＝AB﹣AC＝2﹣（5﹣1）＝3﹣5，故答案為：3﹣5．15．再讀教材：寬與長的比是5?12（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計，下面，我們用寬為2的矩形紙片折疊黃金矩形．（提示：第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平．第二步，如圖②，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平．第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把AB折到圖③中所示的AD處．第四步，展平紙片，按照所得的點D折出DE，使DE⊥ND，則圖④中就會出現(xiàn)黃金矩形．問題解決：（1）圖③中AB＝（保留根號）；（2）如圖③，判斷四邊形BADQ的形狀，并說明理由；（3）請寫出圖④中所有的黃金矩形，并選擇其中一個說明理由．【詳解】解：（1）∵四邊形MNCB是正方形，∴NC＝MN＝2，由折疊的性質(zhì)得：AC＝12NC在Rt△ABC中，AB＝AC2+BC2＝故答案為：5；（2）四邊形BADQ是菱形，理由如下：證明：由折疊可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，∵BQ∥AD，∴∠AQB＝∠DAQ，∴∠AQB＝∠BAQ，∴AB＝BQ，即AD＝AB＝BQ＝BD，∴四邊形BADQ為菱形；（3）圖④中的黃金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE，理由如下：∵AD＝AB＝5，AN＝AC＝1，∴CD＝5﹣1，ND＝5+1，∴CDBC＝5?12，MNND＝∴矩形BCDE，矩形MNDE是黃金矩形．提升篇提升篇16．（如圖1），點P將線段AB分成一條較小線段AP和一條較大線段BP，如果APBP＝BPAB，那么稱點P為線段AB的黃金分割點，設(shè)APBP＝BPAB＝k，則（1）以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰△APB（如圖2），等腰△APB即為黃金三角形，黃金三角形的定義為：滿足底腰＝腰底+（2）如圖1，設(shè)AB＝1，請你說明為什么k約為0.618；（3）由線段的黃金分割點聯(lián)想到圖形的“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成面積為S1和面積為S2的兩部分（設(shè)S1＜S2），如果S1S2＝S2S，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．（如圖3），點P是線段AB（4）圖3中的△ABC的黃金分割線有幾條？【詳解】解：（1）滿足寬長＝長（2）由BPAB＝k得：BP＝1×k＝k，則AP＝1﹣k由APBP＝BPAB得：BP2＝AP×即k2＝（1﹣k）×1，解得：k＝?1±5∵k＞0，∴k＝5?1（3）∵點P是線段AB的黃金分割點，∴APBP＝BP設(shè)△ABC的AB上的高為h，則S?APCS?BPC＝12AP×?∴S?APCS∴直線CP是△ABC的黃金分割線．（4）由（3）知，在BC邊上也存在這樣的黃金分割點Q，則AQ也是黃金分割線，設(shè)AQ與CP交于點W，則過點W的直線均是△ABC的黃金分割線，故黃金分割線有無數(shù)條．17．二次根式的除法，要化去分母中的根號，需將分子、分母同乘以一個恰當?shù)亩胃剑纾夯啠?2解：將分子、分寫同乘以2+1得12?1＝2+1類比應(yīng)用：（1）化簡：123?（2）化簡：12+1+13拓展延伸：寬與長的比是5?12的矩形叫黃金矩形，如圖①，已知黃金矩形ABCD的寬（1）黃金矩形ABCD的長BC＝；（2）如圖②，將圖①中的黃金矩形裁剪掉一個以AB為邊的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否為黃金矩形，并證明你的結(jié)論；（3）在圖②中，連接AE，則點D到線段AE的距離為．【詳解】解：類比應(yīng)用：（1）化簡得：123?11＝23故答案為：23+11；（2）根據(jù)題意可得：原式＝2﹣1+3﹣2+…+9﹣8＝﹣1+3＝2；拓展延伸：（1）∵寬與長的比是5?1∵黃金矩形ABCD的寬AB＝1，∴黃金矩形ABCD的長BC為：15?12＝2故答案為：5+1（2）矩形DCEF是黃金矩形，理由如下：由裁剪可知：AB＝AF＝BE＝EF＝CD＝1，根據(jù)黃金矩形的性質(zhì)可知：AD＝BC＝15?12＝2∴FD＝EC＝AD﹣AF＝5+12﹣1＝∴FDEF＝5?12∴矩形DCEF是黃金矩形；（3）如圖，連接AE，DE，過點D作DG⊥AE于點G，∵AB＝EF＝1，AD＝5+1∴AE＝12+1在△AED中，S△AED＝12×AD×EF＝12×AE×即AD×EF＝AE×DG，則5+12×1＝2×解得：DG＝10+∴點D到線段AE的距離為10+故答案為：10+18．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠BOC＝108°，過點C作直線CD分別交直線AB和⊙O于點D、E，連接OE，DE＝12AB，OD＝2．（1）求∠CDB的度數(shù)；（2）我們把有一個內(nèi)角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形．它的腰長與底邊長的比（或者底邊長與腰長的比）等于黃金分割比5?1①寫出圖中所有的黃金三角形，選一個說明理由；②求弦CE的長；③在直線AB或CD上是否存在點P（點C、D除外），使△POE是黃金三角形？若存在，畫出點P，簡要說明畫出點P的方法（不要求證明）；若不存在，說明理由．

【詳解】解：（1）∵AB是⊙O的直徑，DE＝12AB∴OA＝OC＝OE＝DE，∴∠EOD＝∠CDB，∠OCE＝∠OEC，設(shè)∠CDB＝x，則∠EOD＝x，∠OCE＝∠OEC＝2x，又∵∠BOC＝108°，∴∠CDB+∠OCD＝108°，∴x+2x＝108，x＝36°，∴∠CDB＝36°；（2）①有三個：△DOE，△COE，△COD，理由如下：∵OE＝DE，∠CDB＝36°，∴△DOE