新疆昌吉回族自治州瑪納斯縣第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析_第1頁
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新疆昌吉回族自治州瑪納斯縣第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,空間四邊形OABC中,,,,點(diǎn)M在上,且滿足,點(diǎn)N為BC的中點(diǎn),則()A. B.C. D.2.如圖,在正方體中,E為的中點(diǎn),則直線與平面所成角的正弦值為()A. B.C. D.3.設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在上且,則的面積為()A. B.3C. D.24.已知四面體中,,若該四面體的外接球的球心為,則的面積為()A. B.C. D.5.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)B為短軸的一個(gè)端點(diǎn),則的周長(zhǎng)為()A.20 B.18C.16 D.96.在中國(guó)古代,人們用圭表測(cè)量日影長(zhǎng)度來確定節(jié)氣,一年之中日影最長(zhǎng)一天被定為冬至.從冬至算起,依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣,其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列,若冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5尺,小寒、雨水,清明日影長(zhǎng)之和為28.5尺,則大寒、驚蟄、谷雨日影長(zhǎng)之和為()A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺7.在中,角,,所對(duì)的邊分別為,,,若,則的形狀為()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定8.直線l的方向向量為,且l過點(diǎn),則點(diǎn)到l的距離為()A B.C. D.9.已知函數(shù),.若存在三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.10.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)在橢圓上,若、、是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則點(diǎn)到軸的距離為A B.4C. D.11.已知等比數(shù)列的公比為,則“是遞增數(shù)列”的一個(gè)充分條件是()A. B.C. D.12.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.直線與直線垂直,則______14.若直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________15.若p:存在,使是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______16.已知平面和兩條不同的直線,則下列判斷中正確的序號(hào)是___________.①若,則;②若,則;③若,則;④若,則;三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)為深入學(xué)習(xí)貫徹總書記在黨史學(xué)習(xí)教育動(dòng)員大會(huì)上的重要講話精神和中共中央有關(guān)決策部署,推動(dòng)教育系統(tǒng)圍繞建黨百年重大主題,深化中學(xué)在校師生理想信念教育,引導(dǎo)師生學(xué)史明理、學(xué)史增信、學(xué)史崇德、學(xué)史力行,以昂揚(yáng)的狀態(tài)迎接中國(guó)共產(chǎn)黨建黨周年,哈工大附中高二年級(jí)組織本年級(jí)同學(xué)開展了一場(chǎng)黨史知識(shí)競(jìng)賽.為了解本次知識(shí)競(jìng)賽的整體情況,隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖(1)求直方圖中a的值,并求該次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)(精確到0.1);(2)已知該樣本分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中,男生占,女生占現(xiàn)從該樣本分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中隨機(jī)抽出人,求至少有人是女生的概率.18.(12分)已知橢圓C:()的離心率為,并且經(jīng)過點(diǎn),(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,點(diǎn)為橢圓C上任意一點(diǎn),直線的斜率分別為,,求證:為定值19.(12分)如圖,在四棱錐中,側(cè)面底面,是以為斜邊的等腰直角三角形,,,,點(diǎn)E為的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)如圖1,已知矩形中,,E為上一點(diǎn)且.現(xiàn)將沿著折起,使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置,且,得到的圖形如圖2.(1)證明為直角三角形;(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在線段上,判斷直線與平面位置關(guān)系,并說明理由.21.(12分)已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn),橢圓C的離心率為.(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)從橢圓C在第一象限內(nèi)的部分上取橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)P,若橢圓C上有兩個(gè)點(diǎn)A,B使得的平分線垂直于坐標(biāo)軸,且點(diǎn)B與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)之差為,求直線AP的方程.22.(10分)中,三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知(1)求角A;(2)若,角A的角平分線交于D,,求a

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由空間向量的線性運(yùn)算求解【詳解】由題意,又,,,∴,故選:B2、D【解析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,求直線的方向向量、平面的法向量,應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)表示,求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),向量分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,可得,,,設(shè)面的法向量為,有,取,則,所以,,,則直線與平面所成角的正弦值為故選:D.3、B【解析】由是以P為直角直角三角形得到,再利用雙曲線的定義得到,聯(lián)立即可得到,代入中計(jì)算即可.【詳解】由已知,不妨設(shè),則,因?yàn)?,所以點(diǎn)在以為直徑的圓上,即是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形,故,即,又,所以,解得,所以故選:B【點(diǎn)晴】本題考查雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的計(jì)算問題,涉及到雙曲線的定義,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,是一道中檔題.4、C【解析】根據(jù)四面體的性質(zhì),結(jié)合線面垂直的判定定理、球的性質(zhì)、正弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】由圖設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn),連接,由,所以,面,則面,且,所以球心面,所以平面與球面的截面為大圓,延長(zhǎng)線與此大圓交于點(diǎn).在三角形中,由,所以,由正弦定理知:三角形的外接圓半徑為,設(shè)三角形的外接圓圓心為點(diǎn),則面,有,則,設(shè)的外接圓圓心為點(diǎn),則面,由正弦定理知:三角形PAB的外接圓半徑為,所以,又三角形中,,所以為的角平分線,則,在直角三角形OMD中,,在直角三角形OED中,,在三角形中,取中點(diǎn),由,所以,故選:C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:運(yùn)用正弦定理、勾股定理、線面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵.5、B【解析】根據(jù)橢圓的定義求解【詳解】由橢圓方程知,所以,故選:B6、A【解析】由題意可知,十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列,設(shè)冬至日的日影長(zhǎng)為尺,公差為尺,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,求出,即可求出,從而得到答案【詳解】設(shè)從冬至日起,小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列{},如冬至日的日影長(zhǎng)為尺,設(shè)公差為尺.由題可知,所以,,,,故選:A7、C【解析】由正弦定理得出,再由余弦定理得出,從而判斷為鈍角得出的形狀.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,所以的形狀為鈍角三角形.故選:C8、C【解析】利用向量投影和勾股定理即可計(jì)算.【詳解】∵,∴又,∴在方向上的投影,∴P到l距離故選:C.9、B【解析】根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),有一個(gè)零點(diǎn),進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí),有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,再研究函數(shù)即可得答案.【詳解】解:因?yàn)榇嬖谌齻€(gè)零點(diǎn),所以方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根,因?yàn)楫?dāng)時(shí),由得,解得,有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,所以當(dāng)時(shí),有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,即有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以令,則,所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,因?yàn)?,,,所以的圖象如圖所示,所以有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則故選:B10、D【解析】設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為根據(jù)橢圓方程求得c,進(jìn)而判斷出,即得或令,進(jìn)而可得點(diǎn)P到x軸的距離【詳解】解:設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M由于,,;,只能或令,得,故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的基本應(yīng)用考查了學(xué)生推理和實(shí)際運(yùn)算能力是基礎(chǔ)題11、D【解析】由等比數(shù)列滿足遞增數(shù)列,可進(jìn)行和兩項(xiàng)關(guān)系的比較,從而確定和的大小關(guān)系.【詳解】由等比數(shù)列是遞增數(shù)列,若,則,得;若,則,得;所以等比數(shù)列是遞增數(shù)列,或,;故等比數(shù)列是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列的一個(gè)充分條件為,.故選:D.12、B【解析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),依次分析即得解【詳解】選項(xiàng)A,,錯(cuò)誤;選項(xiàng)B,,正確;選項(xiàng)C,,錯(cuò)誤;選項(xiàng)D,,錯(cuò)誤故選:B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、##【解析】根據(jù)兩直線垂直得,即可求出答案.【詳解】由直線與直線垂直得,.故答案為:.14、【解析】求導(dǎo)函數(shù),分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),得出原函數(shù)的單調(diào)性和極值,由此可求得答案.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù),則,所以當(dāng)或時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值,因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是,故答案為:.15、【解析】將問題分離參數(shù)得到存在,使成立,可得結(jié)論.【詳解】存在,使,即存在,使,所以故答案為:16、②④【解析】根據(jù)直線與直線,直線與平面的位置關(guān)系依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.詳解】若,則或,異面,或,相交,①錯(cuò)誤;若,則,②正確;若,則或或與相交,③錯(cuò)誤;若,則,④正確;故答案為:②④.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)利用頻率和為1求出a;利用百分位數(shù)的定義求出知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù);(2)先利用分層抽樣求出男、女生的人數(shù),利用古典概型求概率.【小問1詳解】,由,解得設(shè)該次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)為x,則,解得:.即該次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)為【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知:分?jǐn)?shù)在)的人數(shù)有人,所以這人中,女生有人,記為、,男生有人,記為、、、從這人中隨機(jī)選取人,基本事件為:、、、、、、、、、、、、、、,共種不同取法;則至少有人是女生的基本事件為、、、、、、、、,共種不同取法,則所求的概率為18、(1)(2)證明見解析【解析】(1)根據(jù)題意可列出關(guān)于的三個(gè)方程,解出即可得到橢圓C的方程;(2)根據(jù)對(duì)稱可得點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)斜率公式可得,然后由點(diǎn)為橢圓C上的點(diǎn)得,代入化簡(jiǎn)即可求出為定值【小問1詳解】由題意解得,.所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,所以的坐標(biāo)為.,,所以,又因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓C上的點(diǎn),所以.19、(1)見解析;(2)【解析】(1)用線線平行證明線面平行,∴在平面PCD內(nèi)作BE的平行線即可;(2)求二面角的大小,可以用空間向量進(jìn)行求解,根據(jù)已知條件,以AD中點(diǎn)O為原點(diǎn),OB,AD,OP分別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系﹒【小問1詳解】如圖,取PD中點(diǎn)F,連接EF,F(xiàn)C﹒∵E是AP中點(diǎn),∴EFAD,由題知BCAD,∴BCEF,∴BCFE是平行四邊形,∴BE∥CF,又CF平面PCD,BE平面PCD,∴BE∥平面PCD;【小問2詳解】取AD中點(diǎn)O,連接OP,OB,∵是以為斜邊等腰直角三角形,∴OP⊥AD,又平面平面,平面PAD∩平面=AD,∴OP⊥平面ABCD,∵OB平面ABCD,∴OP⊥OB,由BC∥AD,CD⊥AD,AD=2BC知OB⊥OD,∴OP、OB、OD兩兩垂直,故以O(shè)原點(diǎn),OB、OD、OP分別為x、y、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖:設(shè)|BC|=1,則B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,),P(0,0,1),則,設(shè)平面BED的法向量為,平面PBD的法向量為則,取,,取設(shè)二面角的大小為θ,則cosθ=﹒20、(1)證明見解析(2)答案不唯一,見解析【解析】(1)利用折疊前后的線段長(zhǎng)度及勾股定理求證即可;(2)動(dòng)點(diǎn)M滿足時(shí)和,但時(shí)兩種情況,利用線線平行或相交得到結(jié)論.【小問1詳解】在折疊前的圖中,如圖:,E為上一點(diǎn)且,則,折疊后,所以,又,所以,所以為直角三角形.小問2詳解】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在線段上,滿足,同樣在線段上取,使得,則,當(dāng)時(shí),則,又且所以,且,所以四邊形為平行四邊形,所以,又平面,所以此時(shí)平面;當(dāng)時(shí),此時(shí),但,所以四邊形為梯形,所以與必然相交,所以與平面必然相交.綜上,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足時(shí),平面;當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足,但時(shí),與平面相交.21、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由題意可得關(guān)于參數(shù)的方程,解之即可得到結(jié)果;(Ⅱ)設(shè)直線AP的斜率為k,聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得A點(diǎn)坐標(biāo),同理可得B點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合橫坐標(biāo)之差為,可得直線方程.【詳解】(Ⅰ)由拋物線方程可得焦點(diǎn)為,則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為,即.由,解得.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是;(Ⅱ)由題可知點(diǎn),設(shè)直線AP的斜率為k,由題意知,直線BP的斜率為

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