2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接-直線的傾斜角與斜率（七大題型）

復(fù)習(xí)材料

第08講直線的傾斜角與斜率

【題型歸納目錄】

題型一：直線的傾斜角與斜率定義

題型二：斜率與傾斜角的變化關(guān)系

題型三：已知兩點求斜率、已知斜率求參數(shù)

題型四：直線與線段相交關(guān)系求斜率范圍

題型五：直線平行

題型六：直線垂直

題型七：直線平行、垂直在幾何問題的應(yīng)用

【知識點梳理】

知識點一：直線的傾斜角

平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與X軸相交的直線，如果把X軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合

時所轉(zhuǎn)的最小正角記為a,則。叫做直線的傾斜角.

規(guī)定：當(dāng)直線和x軸平行或重合時，直線傾斜角為0。，所以，傾斜角的范圍是(TWa<18(r.

知識點詮釋：

1、要清楚定義中含有的三個條件

①直線向上方向；

②x軸正向；

③小于180。的角.

2、從運動變化觀點來看，直線的傾斜角是由x軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所成的角.

3、傾斜角&的范圍是0°Wa<180°.當(dāng)a=0。時，直線與x軸平行或與x軸重合.

4、直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有唯一的傾斜角和它對應(yīng).

5、已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點和這條直線的傾斜角可以唯一確定直

線的位置.

知識點二：直線的斜率

1、定義:

傾斜角不是90。的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用左表示，即k=tana.

知識點詮釋：

(1)當(dāng)直線/與x軸平行或重合時，a=0。，Ar=tan0°=0；

(2)直線/與x軸垂直時，a=90。，左不存在.

由此可知，一條直線/的傾斜角a一定存在，但是斜率先不一定存在.

2、直線的傾斜角。與斜率人之間的關(guān)系

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由斜率的定義可知，當(dāng)a在(0°,90。)范圍內(nèi)時，直線的斜率大于零；當(dāng)a在(90。,180。)范圍內(nèi)時，直線的

斜率小于零；當(dāng)&=0。時，直線的斜率為零；當(dāng)a=90。時，直線的斜率不存在.直線的斜率與直線的傾斜

角(90。除外)為一一對應(yīng)關(guān)系，且在［0。,90。)和(90。,180。)范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越

大則斜率越大，反之亦然.因此若需在［0。,90。)或(90。,180。)范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小

即可，反之亦然.

知識點三：斜率公式

已知點必)、P2(x2,y2),且［8與x軸不垂直，過兩點［(再,弘)、的直線的斜率公式

k=y^.

%一再

知識點詮釋：

1、對于上面的斜率公式要注意下面五點：

(1)當(dāng)占=%時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角a=90。，直線與x軸垂直；

(2)左與耳、鳥的順序無關(guān)，即必，力和再，馬在公式中的前后次序可以同時交換，但分子與分母不能

交換；

(3)斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標(biāo)求得；

(4)當(dāng)弘=%時，斜率左=0,直線的傾斜角a=0°,直線與x軸平行或重合；

(5)求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率而得到.

2、斜率公式的用途：由公式可解決下列類型的問題：

(1)由片、鳥點的坐標(biāo)求上的值；

⑵已知左及X”%，%,％中的三個量可求第四個量；

(3)已知人及耳、鳥的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))可求H巴|；

(4)證明三點共線.

知識點四：兩直線平行的條件

設(shè)兩條不重合的直線44的斜率分別為若/1/〃2，貝I"與4的傾斜角內(nèi)與4相等.由%=%，

可得tanax=tana2,BPkx=k2.

因此，若4/4，則kx=k1.

反之，若左=心，則人/4?

知識點詮釋：

1、公式4/40勺=心成立的前提條件是①兩條直線的斜率存在分別為配發(fā)2；②乙與4不重合；

2、當(dāng)兩條直線的斜率都不存在且不重合時，4與4的傾斜角都是90。，貝必/4.

知識點五：兩直線垂直的條件

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設(shè)兩條直線4,4的斜率分別為-若，則勺?&=-1.

知識點詮釋：

1、公式4，乙O左?內(nèi)=T成立的前提條件是兩條直線的斜率都存在；

2、當(dāng)一條垂直直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，兩條直線也垂直.

【典例例題】

題型一：直線的傾斜角與斜率定義

例1.（2023?山東濱州?高二統(tǒng)考期末）直線5-3y+46=0的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【解析】因為直線-3y+4百=0的斜率為左=g,因此，該直線的傾斜角為300.

故選：A.

例2.（2023?高二課時練習(xí)）對于下列命題：①若。是直線1的傾斜角，則0。＜。＜180。；②若直線傾斜角為

a,則它斜率左=tana；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜

角.其中正確命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】對于①：若。是直線的傾斜角，則0。＜9＜180。；滿足直線傾斜角的定義，則①正確；

對于②：直線傾斜角為口且a#90。，它的斜率左=tana；傾斜角為90。時沒有斜率，所以②錯誤；

對于③和④：可知直線都有傾斜角，但不一定有斜率；因為傾斜角為90。時沒有斜率，所以③正確；④錯誤;

其中正確說法的個數(shù)為2.

故選：B.

例3.（2023?福建福州?高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知傾斜角為。的直線/與直線x+Gy-3=0的

夾角為60。，則6的值為（）

A.30°或150°B.60°或0°C.90°或30°D.60°或180°

【答案】C

【解析】x+43y-3=0,BPy=-^y-x+^3,

設(shè)直線的傾斜角為夕，夕則tan0=-，，0=150°,

夾角為60。，故6=90?；?=30。.

故選：C.

例4.（2023?江蘇南京?高二南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校?？计谥校┲本€/經(jīng)過/（TO）,8（1,2）兩點，則

直線/的傾斜角是（）

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71712〃34

A.一B.一C.—D.—

6434

【答案】B

2-0

【解析】設(shè)直線的傾斜角為由已知可得直線的斜率k=t^na=--=1,

1+1

又ae[0,乃），所以傾斜角是5,

故選：B.

例5.（2023?新疆烏魯木齊?高二烏魯木齊市第四中學(xué)?？计谥校┮阎本€經(jīng)過點（1,0）,（4,6）,該直線的傾

斜角為（）.

5兀7C—兀2兀

A.—B.—C.—D.—

6363

【答案】c

【解析】因為直線過點2（4,6）,

所以直線的斜率為左；=等，

設(shè)直線的傾斜角為a,貝Utana=也，

3

TT

因為OWa（兀，所以

6

故選：C.

例6.（2023?湖南林B州?高二校考期中）直線n的傾斜角為150。，則它的斜率k=（）

A.—B.--C.V3D.-V3

33

【答案】B

【解析】它的斜率左=tan150。=-tan30。=-

3

故選：B

題型二：斜率與傾斜角的變化關(guān)系

例7.（2023?福建寧德?高二統(tǒng)考期中）已知直線過42,3）,8（1,加）兩點，且傾斜角為45。，則機=（）

A.0B.3C.2D.5

【答案】C

【解析】因為直線過42,3）,8（1,加）兩點，且傾斜角為45。，

所以三1=12!145。=1,解得〃7=2,

2—1

故選：C.

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例8.（2023?高二課時練習(xí)）若如圖中的直線6,的斜率為3上2,%，貝1（）

A.kx<k2<k3B.k3<kx<k2C.k2<kx<k3D.k3<k2<kx

【答案】c

【解析】設(shè)直線/3/的傾斜角分別為"，，，顯然一（0,3,夕”,旦&>夕,

所以&=tany>0,仆=tana<0,k2=tan/H<0,

又尸tanx在）€后,兀）上單調(diào)遞增,故勺=tana>tan￡=左2，

所以左2<瓦<%.

故選：C

例9.（2023?上海黃浦?高二上海市敬業(yè)中學(xué)?？计谥校┲本€（/+1卜-2①+1=0的傾斜角的取值范圍是（）

八兀［「兀兀［「兀3兀］「八TTI「3兀1

A.0,-B.C.D.0,-u--,7i

14」142」144」L4jL4）

【答案】C

TT

【解析】由題意知，若a=0，則傾斜角為6=1,

若"0,貝|]%=餐±1=;+；,

2a22a

①當(dāng)a>0時，q+-1-22、田-1-=1(當(dāng)且僅當(dāng)。=1時，取“=

22aN22a

一C+*%本,士=-1（當(dāng)且僅當(dāng)。=-1時，

②當(dāng)”0時,取“=”),

71371

^e(-co,-l]U[1,+℃),故。e7T7T

Z'52'T

71371

綜上，了彳

故選：C.

例10.（2023?安徽六安?高二?？茧A段練習(xí)）若過點/（3,4）,。（6,3a）的直線的傾斜角為銳角，則實數(shù)。的取

值范圍為（）

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14,44、4

A.。<—B.—C.a>—D.一

3333

【答案】c

【解析】因為直線/。的斜率左=號3/7；-4=。-；4，

6-33

又因為直線AQ的傾斜角為銳角,

44

所以。一］>0,解得

故選：C

例11.（2023?山東青島?高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知直線/的斜率為-1,則/的傾斜角為（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

【答案】D

【解析】解:因為斜率為-1,設(shè)直線傾斜角為&,0Ya<180。，

所以tantz=—1，即a=135°.

故選:D

例12.（2023?湖南湘潭?高二校聯(lián)考期末）若直線/的斜率為左，且左2=3,則直線/的傾斜角為（）

A.30°或150°B.45°或135°C.60°或120°D.90°或180°

【答案】C

【解析】設(shè)直線/的傾斜角為a,00<a<180°

因為左°=3,所以后=±V^，

當(dāng)左=K時，即tana=#!,則or=60°；

當(dāng)人=_布）時，即tana=-A/3，則a=120°>

所以直線/的傾斜角為60°或120°.

故選：C.

題型三：已知兩點求斜率、已知斜率求參數(shù)

例13.（2023?青海西寧?高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過點（18,8）,（4,-4）的直線的斜率為（）

48

AB.一D.

-17c77

【答案】c

【解析】人=次9126

18-4147

故選：C.

例14.（2023?廣西南寧?高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知工（3,2）,5（-4,1）,則直線48的斜率為（）

AB.C.-7D.7

-47

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【答案】B

7_i1

【解析】因為/（3,2）,5（-4,1）,所以線4s的斜率為左=言：=：

故選：B.

例15.（2023?浙江杭州?高二浙江省杭州第二中學(xué)?？计谀┮阎本€斜率等于-1,則該直線的傾斜角為（）

A.30°B.45°C.120°D.135°

【答案】D

【解析】設(shè)該直線的傾斜角為a，則

由上=-1,得tana=-l,又0Wa<180°,所以<z=135。.

故選：D.

例16.（2023?廣東汕尾?高二華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若過兩點/（3/）,N（0,6）的直線

的傾斜角為150。，則》的值為（）

A.GB.0C.-V3D.3

【答案】B

【解析】因為過兩點河（3,力，N（0,6）的直線的傾斜角為150。，

所以直線九W斜率為％=H=tanl50。，即左=匕8=一",

333

解得N=0.

故選：B.

例17.（2023?湖北荊州?高二統(tǒng)考階段練習(xí)）若直線經(jīng)過兩點/（用,1）,8（2-3機,2）,且其傾斜角為135。，則m

的值為（）

c1cl3

A.0B.—C.-D.一

224

【答案】D

【解析】經(jīng)過兩點』（加」），8（2-3%2）的直線的斜率為左=:=丁=，

2—3m—m2—4m

13

又直線的傾斜角為135。，.?.「1=-1,解得加=/

2-4m4

故選：D

例18.（2023?江蘇連云港?高二統(tǒng)考期末）設(shè)。為實數(shù)，已知過兩點3）,8（5,a）的直線的斜率為1,則a

的值為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】因為過兩點工（。,3）,8（5,a）的直線的斜率為1,

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所以二=1,解得a=4.

故選：C

題型四：直線與線段相交關(guān)系求斜率范圍

例19.（2023?廣東梅州?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點/（-3,4）,8（5,10）,直線/過點。（0,0）且與線段48相交,

則直線/的斜率的取值范圍是（）

~4~|（4-|

A.~~,2B.Iu[2,+”）

C.[2,+8）D.I-?=）5-y

【答案】B

4

【解析】直線的斜率分別為％=-§,%=2,

結(jié)合圖形可知：直線/過點。（0,0）且與線段相交時，勺e,口[2,+⑹，

故選：B

例20.（2023?廣東深圳?高二統(tǒng)考期末）已知/（2,-3）、5（2,1）,若直線/經(jīng)過點尸（0,-1）,且與線段。3有交

點，則/的斜率的取值范圍為（）

A.（-co,-2]U[2,+co）B.[-2,2]

C.(-oo,-l]u[l,+co)D.[-M]

【答案】D

【解析】過點尸作尸C1/2,垂足為點C,如圖所示:

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當(dāng)點〃在從點A運動到點C（不包括點C）時，直線/的傾斜角逐漸增大，

此時T=*<k<0；

當(dāng)點M在從點C運動到點B時，直線/的傾斜角逐漸增大，此時04人（心8=1.

綜上所述，直線/的斜率的取值范圍是［-1』.

故選：D.

例2L（2023?安徽滁州?高二校考期中）已知點4（7,2）,5（2,—2）,C（0,3）,若點是線段45上的一

點。0）,則直線CM的斜率的取值范圍是（）

』

A.-?1B..|,oU(o

C.D.-oo,u[l,+oo)

【答案】D

2-3-2-35

【解析】由斜率公式可得心。==1，得k=

-1-0BC2-02,

當(dāng)/介于NO之間時,直線斜率的取值范圍為［1,+8）,

5

當(dāng)M介于AD之間時,直線斜率的取值范圍為—oo.—

2

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|31,+0°)，

所以直線CN的斜率的取值范圍為

故選：D.

例22.(2023?廣東肇慶?高二?？计谥?已知兩點4-3,2),8(2,1),過點尸(0,-1)的直線與線段N5有交點，則

直線/的傾斜角的取值范圍為()

兀3兀兀3兀

A.45TB.2'T

It717C3兀

u

C.D.25T

【答案】A

【解析】由題意：如下圖所示:

=1,則左G(-QO,-1]U[1,+00),

TT3冗

若直線/的傾斜角同。㈤，則上i間所以。七中,

故選：A.

例23.(2023?江蘇連云港?高二?？计谀?經(jīng)過點P(0,-l)作直線/,且直線/與連接點/(1,-2),8(2,1)的線

段總有公共點，則直線/的傾斜角々的取值范圍是()

「兀371r「八兀r「3兀、

A?一B.[0,-]u[，n)

44T

_s兀、「3兀、

C.[0,—)u[—,71)D.[吟

【答案】B

【解析】由題知，直線/的傾斜角為a,則ae[0,7i),

-1+2==1,

?^PA0-10-2

且直線/與連接點(1,-2),8(2,1)的線段總有公共點,

如下圖所示,

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S兀r「3兀、

aG[o,—]^[—,n）.

44

故選：B

例24.（2023?江蘇鹽城?高二鹽城中學(xué)校考期末）已知4（2,0）、2（2,3）,直線/過定點尸（1,2）,且與線段”

相交，則直線/的斜率上的取值范圍是（）

A.-2<k<\B.--<k<\C.kwlD.上4-2或左21

2

【答案】A

【解析】設(shè)直線/與線段N8交于點。（2/）,其中OV〉V3,

所以，左=曰=八24-25.

故選：A.

題型五：直線平行

例25.（2023?上海浦東新?高二?？计谀┮阎本€11：x+my—2m—2=0,直線12：mx+y—1—m=0,當(dāng)%〃%

時，m=_________

【答案】1

【解析】因為乙〃小且，2斜率一定存在，所以發(fā)=左2，即-'=-優(yōu)，，"=±1

m

又因為4為兩條不同的直線，所以加W-1，所以機=1

故答案為：1

例26.（2023?江蘇?高二專題練習(xí)）已知直線4的傾斜角為60。，直線4經(jīng)過點/卜，石），川-2,-26），則直

線4與4的位置關(guān)系是.

【答案】平行或重合

【解析】由己知，得勺=tan6（T=JLk,=6—卜26）,

141-（-2）

■■-klt=k,2,但直線4在y軸上的截距不確定，

直線4與12的位置關(guān)系是平行或重合.

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故答案為：平行或重合.

例27.（2023?高二課時練習(xí)）直線4的傾斜角為45。，直線4過-2,-1）,8（3,4）,則直線4與的位置關(guān)系

為.

【答案】平行或重合

【解析】??，傾斜角為45。的斜率勺=1

???/2過點/（-2,-1）,8（3,4）的斜率左2=三1=1

X=k2與12平行或重合

本題正確結(jié)果：平行或重合

例28.（2023?云南臨滄?高二校考階段練習(xí)）已知直線-3x+?^+1=0,l2；（a+2）x+y+。=0.當(dāng)（'時,

CL—.

【答案】-3

「1x3=4（4+2）

【解析】當(dāng)4〃4時，則需滿足，\'，解得a=-3,

[3awa+2

故答案為：—3

2

例29.（2023?高二?？颊n時練習(xí)）已知兩條直線＞=——x-1和y=（l-a）x+l互相平行，則正數(shù)a的值為

a

【答案】2

2

【解析】根據(jù)兩條直線的方程可以得出它們的斜率分別是匕=-*,k2=1-a-

a

2

因為兩條直線平行，所以有--=1-。，解得。=-1或。=2.

a

又因為。＞0,所以。=2.經(jīng)檢驗符合題意

故答案為：2.

例30.（2023?上海靜安?高二校考期中）已知直線4：x+ay=l,4：ax+y=l,若叫,則實數(shù)。=.

【答案】-1

【解析】因為直線4：x+ay=1,4：ax+y=l,且〃/配

所以/=lxl,解得a=l或a=-l,

當(dāng)。=1直線4：x+y=l,/2：x+V=l,兩直線重合，故舍去.

故答案為：-1

題型六：直線垂直

例31.（2023?高二課時練習(xí)）直線4過點4（機」）和點5（-1,7”），直線過點6（〃7+〃,〃+1）和點。（〃+1,〃-加）,

則直線4與4的位置關(guān)系是.

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【答案】垂直

【解析】①當(dāng)加=1時，直線4過點/(I/)和點8(7,1),

直線4過點c(i+*”+i)和點。+

此時直線4的斜率左=0,直線4的斜率不存在，因此4^/2;

②當(dāng)加=_1時，直線4過點和點直線4過點C(T+〃,"+l)

和點。5+1,“+1).此時直線4的斜率不存在，直線4的斜率與=0,因此4斗2；

③當(dāng)機7±1時，直線4的斜率勺=?！梗本€4的斜率左2=子二，

-l-ml-m

此時k、%=T,.LZ2.

故答案為：垂直.

例32.(2023?全國?高二期中)已知/(5,-1),如,1),C(2,3)三點，則aABC為三角形.

【答案】直角

【解析】如圖，猜想是直角三角形，

由題可得邊所在直線的斜率的B=-；,邊3C所在直線的斜率程c=2,

由左族BC=T，得_L8C,即14BC=90。，

所以V/8C是直角三角形.

故答案為：直角.

例33.(2023?高二課時練習(xí))已知兩條直線//的斜率是方程3/+如-3=0(加€7?)的兩個根，貝也與4的位

置關(guān)系是

【答案】垂直

【解析】解析由方程3x2+sx-3=0,矢口A=冽2-4x3x(-3)=機？+36>0恒成立.

故方程有兩相異實根，即4與/2的斜率勺,%2均存在.

設(shè)兩根為再，三，則快=玉工2=-1,所以/J/?

復(fù)習(xí)材料

故答案為：垂直

例34.（2023?山東濱州?高二統(tǒng)考期末）已知直線?-2y-1=0與直線（。-1）x+即-1=0垂直，則實數(shù)a的值

為.

【答案】0或3

【解析】因為直線ox-2y-l=0與直線（a-l）x+ay-l=0垂直，

貝皿a-1）-2a=a（a-3）=0,解得a=0或3.

故答案為：0或3.

例35.（2023?廣東廣州?高二廣州市培正中學(xué)?？计谥校┮阎?jīng)過點/（-2,0）和點2（1,3）的直線h與經(jīng)過點

尸（O,T）和點。-2a）的直線4互相垂直，則實數(shù)。=.

【答案】1

3-0

【解析】因為-2,0）,8（1,3）,所以無曲=丁/殘=1,

1一（一，）

因為兩條直線相互垂直，所以直線尸。的斜率必然存在，

又尸（0,-1）,0（。,-2a）,則"0,左=3±1,

a

又所以ix3±l=-i,解得。=i.

a

所以a=1

故答案為：1.

例36.（2023?高二課時練習(xí)）已知直線4經(jīng)過點N（3,a）,5（a-2,3）,直線4經(jīng)過點C（2,3）,D（T,a-2）,若4，

則a的值為.

【答案】0或5

【解析】因為直線4經(jīng)過點C（2,3）,O（-l,a-2）,且2工-1,所以4的斜率存在，

而4經(jīng)過點/（3,。）,2（"2,3）,則其斜率可能不存在，

當(dāng)4的斜率不存在時，"2=3,即。=5,此時人的斜率為0,則4^/2,滿足題意；

當(dāng)4的斜率存在時，a-2豐3,即aw5,此時直線心4的斜率均存在，

由4乜得貼2=T,即一m?一^=-1，解得。=。；

（2-2-3-1-2

綜上，a的值為0或5.

故答案為：0或5.

題型七：直線平行、垂直在幾何問題的應(yīng)用

例37.（2023?高二課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，設(shè)三角形/3C的頂點分別為工（0,〃），8伍,0）,

C（c,0）,點尸（0,p）是線段上的一點（異于端點），設(shè)。也c,p均為非零實數(shù)，直線分別交

復(fù)習(xí)材料

【解析】由點8(仇0)和點尸(O,p),知直線BP的斜率為-r,

由點/(O,a)和點C(c,0),知直線AC的斜率為-巴,

C

因為跖，4C,所以-1即pa=-be；

由點C(c,0)和點尸(0,p),知直線CP的斜率為-￡,

C

由點4(0,4)和點8(女0),知直線AB的斜率為,

則直線CF與AB的斜率之積為1-41-M=詈==T，

VcbJbebe

所以CV14瓦

例38.(2023?高二課時練習(xí)汨知”(1,3),3(5,1),C(3,7),A,B,C,D四點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，求

點D的坐標(biāo).

【解析】由題，，(解),8(5,1),C(3,7),

所以必C=2,kAB=-1,kBC=T,

設(shè)。的坐標(biāo)為(x,y),分以下三種情況：

①當(dāng)8c為對角線時，有kCD=kAB,kBD=kAC,

所以，砧=七|=2'3三

2

得x=7,產(chǎn)5,即。(7,5)

②當(dāng)/C為對角線時，有kCD=kAB,kAD=kBC,

V一3歹一7]_

所以，k=—3,k=

ADx-\CDx-32

得X=-1,y=9,即。(-1,9)

③當(dāng)N2為對角線時，有kBD=kAC,kAD=kBC

所以號》=匕==2，kAD=--1=-3,

x-5X-L

復(fù)習(xí)材料

得x=3,y=~3,即。(3,-3)

所以。的坐標(biāo)為(7,5)或(-1,9)或(3,-3).

例39.(2023?全國?高二專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形。夕跳的頂點按逆時針順序依次是。(。⑼,

尸(1J),Q(l-2f,2+f),其中fe(0,+8),試判斷四邊形OPQR的形狀，并給出證明.

【解析】四邊形。尸是矩形.證明如下：

。尸邊所在直線的斜率自戶=t,

QR邊所在直線的斜率k==t,

QR1一：；；自)

OR邊所在直線的斜率自欠=，

尸。邊所在直線的斜率kPQ=言及=-p

所以k°p=%R,k0R=kPQ,所以O(shè)P//QR,OR//PQ,

所以四邊形OPQR是平行四邊形.

又期兒&='x=T,

所以。OR,所以四邊形。尸。滅是矩形.

乂_匚五，PL,，

令koQ.kpR=-\,即"j~~—=-1,無解，

1-2/1+2/

所以0。與依不垂直，故四邊形OPQR是矩形.

例40.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知4(1,2),5(5,0),C(3,4).

(1)若A,B,C,?？梢詷?gòu)成平行四邊形，求點。的坐標(biāo)；

(2)在(1)的條件下，判斷A,B,C,。構(gòu)成的平行四邊形是否為菱形.

【解析】(1)由題意得心B=0-2'=-：1，

5—12.

4-24-0/、

kAc=VT=1,后BC=^~^=_2，設(shè)D(a,6).

3—1J—J

若四邊形48CQ是平行四邊形，則3=心，kAD=kBC,

6-4_1

即:一:2,解得即。(T6).

b—2\b=6

----二—2、

、Q—1

若四邊形/&JC是平行四邊形，

=

則kcD=kAB，^BDk』C，

復(fù)習(xí)材料

b—4_1

zy-O_7{a=l/、

即";，解得L、，即。億2).

b-0[\b=2

—5

若四邊形/COD是平行四邊形，

則kcD=k/B,kBD=kAC,

._0一

即::，解得八°,BPO3,-2.

o-l0[b=-2

------二—z、

.a-1

綜上，點。的坐標(biāo)為(?1,6)或(7,2)或(3,-2).

(2)若。的坐標(biāo)為(-1,6),

因為心c=l，心°=便三二一1，

所以的c.《》=T，所以

所以平行四邊形/8C。為菱形.

若。的坐標(biāo)為(7,2),

2-2

因為kBC=—2,kAD——一-=0,

7—1

所以怎c?七。=0XT，所以平行四邊形ABDC不是菱形.

若。的坐標(biāo)為(3,-2),因為直線C。的斜率不存在，所以平行四邊形/C3D不是菱形.

因此，平行四邊形ABCD為菱形，平行四邊形ABDC,ACBD不是菱形

例41.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知四邊形ABCD的頂點8(6,1),C(3,3),。(2,5),是否存在點A,使

四邊形ABCD為直角梯形？若存在，求出點A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

r_i___-18

y—53—2x

【解析】設(shè)點/(x,y).若"〃")，則卜一?2-3，解得."T

y-5_i29'

—y—__

lx-225

18

???上點Z,冒2力9)

fy，-5—3_-_1___.2fJQ—86__

若AD//BC,則a；13,解得；：，...點

y-1325<1313)

'—y—

lx-62I13

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.(2023?江西萍鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末)若直線4:"+3y+2=0與直線人：.L(a+l)y+Q=0垂直，貝快數(shù)Q=()

復(fù)習(xí)材料

33

A.0B.1C.—D.—

42

【答案】D

【解析】直線4：ax+3y+2=0與直線/2：x-(°+l).v+a=0垂直，

3

貝|a_3(a+l)=0,解得0=__.

2

故選：D.

2.(2023?高二課時練習(xí))已知直線1的傾斜角為135。，直線4經(jīng)過點43,2),5(?,-1),且《與1垂直，直線

2

4：p=一三》+1與直線4平行，貝Ua+6等于()

b

A.-4B.-2C.0D.2

【答案】B

【解析】由題意知：^z=tanl350=-l,而<與/垂直，即勺=1,

22

又直線4"=-1與直線4平行，則-：=1，故6=-2,

bb

又4經(jīng)過點N(3,2),7?(a,-l),則勺=二1。=1,解得a=0,

a-3

所以。+b=—2.

故選：B.

3.(2023?廣東汕頭?高二金山中學(xué)校考期中)已知兩條直線4：辦+("2)>-1=0,4：3%+即+2=0,則/口4

是°=-1的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當(dāng)a=T時，4：N=3x+2,4=-gx-；,kek2=-3x1=-l,所以(U；

當(dāng)/K時，可得3xa+a(a-2)=a(a+l)=0,解得a=T或a=0,

所以〃2”是=-l”的必要不充分條件.

故選：A.

4.(2023?高二課時練習(xí))以4-2,-1)*(4,2),C(2,6),。(-3,1)為頂點的四邊形是()

A.平行四邊形，但不是矩形B.矩形C.梯形，但不是直角梯形D.直角梯

形

【答案】D

【解析】

復(fù)習(xí)材料

在坐標(biāo)系中畫出點，大致如上圖，其中左"二口；：-凝

/BCD2,c=M=k,AD//BC,

—5+22—4BC

卜,鈣=4+2=]也B%C=_1,4B_LBC,

所以四邊形是直角梯形;

故選：D.

。為VZ5C的邊ZC上

一動點，則直線助斜率左的變化范圍是（）

A.B.(-oo,0]o

C.D.(-oo,0]u[V3,+8)

【答案】D

【解析】如圖所示,

心6=匕1=0,后回1二1=百，

AB1+1BC2-1

因為。為V48C的邊/C上一動點，

所以直線2。斜率上的變化范圍是（-8,0］。［魚+可.

復(fù)習(xí)材料

故選：D.

6.（2023?安徽六安?高二校考階段練習(xí)）已知4（2,0）,5（4,4）,若。（九在線段48上,則4加一3”的最小

值為（）

A.-8B.8C.-4D.4

【答案】D

【解析】因為點力）在線段上，

所以幻8=七2，且％e[2,4],

即把=注，所以〃=2機一4,

4-2m—2

設(shè)z=4加一3〃=4Hz—3（2加一4）二一2加+12,

所以當(dāng)機=4時，=-2x4+12=4.

故選：D.

7.（2023?安徽六安?高二?？茧A段練習(xí)）若過點/（3,4）,。（6,3a）的直線的傾斜角為銳角，則實數(shù)。的取值范

圍為（）

4444

A.。<—B.a4—C.a>—D.Q2一

3333

【答案】C

【解析】因為直線/。的斜率左=邛3a一-4？=。-4；,

6-33

又因為直線AQ的傾斜角為銳角，

44

所以。一I〉。，解得。＞§.

故選：C

8.（2023?福建福州?高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知傾斜角為。的直線/與直線%+島-3=0的夾

角為60。，則0的值為（）

A.30°或150°B.60°或0°C.90?；?0°D.60。或180。

【答案】C

【解析】x+VSy—3=0,即歹=+,

設(shè)直線的傾斜角為夕，好[0,71）,則tan°=-，，0=150。，

夾角為60。,故