2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：課時作業(yè)三十九 求通項公式

三十九求通項公式

（時間：45分鐘分值:85分）

【基礎(chǔ)落實練】

1.（5分）數(shù)列｛小｝中,四+1=2恁+1/1=1,則6!ioo=（）

A.2100+lB.2101C.2100-lD.2100

【解析】選C.數(shù)列｛a｝中,即+1=2右+1,

故許+1+1=2（4〃+1）,41+1=2#）,

所以｛?！?1｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

所以4〃+1=2〃,即許=2"-1,故?00=2100-1.

2.（5分）已知數(shù)列｛為｝滿足&1=3以"+1=5即-8,則〃2026的值為（）

A.52025-2B.52025+2

C.52026+2D.52026-2

【解析】選B.因為砧=5為-8,

所以小+廠2=5（%2）,又見-2=1,

所以色〃-2｝是公比為5,首項為1的等比數(shù)列,

所以為-2=5"-1,斯=5"」+2,所以a2026=52。25+2.

2a1

3.（5分）在數(shù)列｛“中0=1，砧^^何￡N*）,則%是這個數(shù)列的（）

A.第6項B.第7項

C.第8項D.第9項

【解析】選B.由。田可得

a九十乙口九十1%乙

即數(shù)列圖是以1為首項為公差的等差數(shù)列，故ji+（”-i）x|4t+;,

221

即即ITT，由;m=z，解得”=7?

4.（5分）在數(shù)列｛%｝中，若41=2,許+1=3斯+2"+1,則%=（）

A./r2"

B.|--

22n

D43T2"+i

【解析】選c令吟+2,

a3a+2n+1

n+1n

-4-7-k7

十

b,.9n+1----------------,n+lzo

人L1z%2,

—+2—+2

2n2n

又仇1+2=3,所以｛bJ是以3為首項,a|為公比的等比數(shù)列，

分3

所以兒F+2=3X(""L得斯=2-3"-2叫

2乙

2

5.(5分)已知數(shù)列｛斯｝滿足。1=1,%+1=%+1083(1-標江)廁①1=()

A.-1B.-2

C.-3D.l-log340

【解析】選C.因為tz?+i=tz?+log3(1-^py)=6Z?+log3^py=6Z?+log3(2n-1)-log3(2?+1),

所以??+1-a?=log3(2n-1)-log3(2n+1),

===

貝Ua4i-?4olog379-log381,a4o-a39log377-log379,...,a3-a2log33-log35,a2-?i

=log3l-log33,

將以上40個式子相加得a4i-?i=log31-log381.

=

又ai=l,所以a4ilog3l-log381+l=-3.

2n

6.(5分x多選題)已知數(shù)列｛&｝的前n項和為S/1=15+1=&+2為+1,數(shù)列｛----｝

anan+l

的前n項和為Tn,nGN*,則下列說法正確的是()

A.數(shù)列3+1｝是等差數(shù)列

B.數(shù)列｛為+1｝是等比數(shù)列

C數(shù)列｛詼｝的通項公式為斯=2"-1

DZ<1

【解析】選BCD.因為￡+i=S〃+2a〃+l,所以S〃+「S"=2a〃+l,

即q〃+i=2即+1,為+1+1=2（斯+1）.

因為。1=10+1=2,所以數(shù)列｛斯+1｝是公比為2的等比數(shù)列，所以選項B正確,A不

正確.

又4"+1=2-2"」=2",所以故選項C正確.

2n_2n_11

anan+i（2n-l）（2n+1-l）2n-l2n+1-l，

所以（2-；）+（1--；）+...+（一一13-）=1七*<1,所以選項D正確.

2-12-12-12-12-12-12-1

7.（5分）已知數(shù)列｛&｝中,ai=l,q"+i=3a“+4,則a?=.

【解析】設(shè)。"+1+右3（即+。,即許+1=3許+2%,又an+i=3an+4,

根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等，解得右2,故*+2=3（恁+2）.

b.1a義1+2

令女尸斯+2,貝U伍刊+2:3,且二一二+2—一3,

un,十乙

所以｛6｝是以3為首項,3為公比的等比數(shù)列，

所以兒=3*3〃-1=3〃,即即=3"-2.

答案：3"-2

8.（5分）若數(shù)列｛aj中,?=0,即+1=許+（2“-1）（"金N*）,則通項公式a『.

【解析】恁=件+…

=0+1+3+…+(2"-3)=(個1)2,

所以該數(shù)列的通項公式為。.=（個1）2.

答案：（/1）2

9.（5分）已知數(shù)列｛即｝滿足?=1,2"%”=%,則通項公式許=.

【解析】方法一：

(n-l)n

所以為=(｝—.

方法二:由2"%"=4"_1得斯=(；尸即一1,

(n-l)n

所以為=(；)""*=(介1?"AQ...=(；)""《嚴.….&b]=(1)("-1)+("-2)+…+2+1=(；)2

(n-l)n

答案:(1)~

a

10.(10分)已知在數(shù)列｛斯｝中,41=1，&+「4a+3("WN*).

⑴求證:｛'+2｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛斯｝的通項公式.

【解析】⑴因為41=1,恁+1不^(“￡2,所以1^=^+4,所以1^+2=36+2).

因為5+2=3,所以F+2｝是以3為首項,3為公比的等比數(shù)列.

alan

11

（2）由（1）知7+2=3x3"」=3",所以。產(chǎn)

an3-2

11.（10分）（2023?合肥模擬）已知等差數(shù)列｛aJ的各項均為正數(shù)必=1,a2+a5+a^a3a5.

⑴求｛4｝的前“項和

（2）右數(shù)列｛b兩足仇=1,許+2。什1=區(qū)瓦,求｛bJ的通項公式.

【解析】（D等差數(shù)列｛%｝中,

因為。2+。5+。8=的。5,所以3a5=。3。5,

又因為等差數(shù)列｛aJ的各項均為正數(shù).所以的=3,

又因為勾=1,所以不今?1,

所以許=〃,所以必/曜.

【解析】（2）由⑴得4"=”,因為仇=1,且斯+2兒+1=為瓦,所以b#0,

r-r-I\I+1%幾

所以b=a…=九+2

bs力Qb?771719

ph-LJ—=---xx—x—=---xx-x-......

/bnlb2n+143n(n+1),

9

所以心"可（佗2）?當片1時也符合

所以仍J的通項公式為bn--^—

【能力提升練】

12.(5分)已知函數(shù)於)虧%,數(shù)列｛?。凉M足ai=l,a“+i=/a)("￡N*),則數(shù)列｛a外的

通項公式為

【解析】由已知得，加^^,

1111

所以LT+3,即--「3,

an+1anan+lan

所以數(shù)列J｝是首項為a1,公差d為3的等差數(shù)列,所以苒1+(〃-163=3〃2

analUn

1

故a〃FU（"￡N*）.

Dil-乙

1

答案:a”-（“￡N*）

Dft-乙

13.（5分）設(shè)數(shù)列｛四｝的前n項和為S",若S2=4g+i=2S”+l,〃WN*,

則a[=

'a.+a=4,

【解析】方法一:由a2=2旬3+1,解得"i=L

由a"+i=S"+i-S"=2S"+l,得S”+i=3S"+l,

_11

所以S〃+i+^=3（S"+》

所以R1是以5為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以S〃+|4X3",

3n1

即S〃1-,所以&=12L

fa+a=4.,"a=1

方法二:由127’解得1

=24+1,畔何a2=3?

又隔+i=2S幾+l,a〃+2=2S〃+i+l,兩式相減得@+2s+i=2a〃+i,

所以｛?！ǎ鞘醉棡?,公比為3的等比數(shù)列，

3nI

所以邑=于,所以85=121.

答案：1121

14.(10分)設(shè)數(shù)列｛&｝的前n項和為S”已知。1=1$+1=4即+2.

⑴設(shè)6"=4〃+1-2恁,證明:數(shù)列｛/?"｝是等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列｛“〃｝的通項公式.

【解析】⑴由⑥=1及S〃+i=4a〃+2,

得。1+。2=52=4。1+2.

所以處=5,所以仇=。2-2勾=3.

1%+1=44+2@

Sn=4