數(shù)學互動課堂極值點

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導引導1.可導函數(shù)極值的概念如圖,觀察圖形,展示出圖象在點(x1,f（x1）)處的切線的變化。不難得出：曲線在極值點處切線的斜率為0,曲線在極大值點左側切線的斜率為正,右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正，得到可導函數(shù)極值的概念。疑難疏引對此概念的幾點說明如下：(1)函數(shù)f（x）在點x0及其附近有定義，是指在點x0及其左右鄰域都有意義。(2）極值是一個局部概念,是僅對某一點的左右兩側鄰域而言的.(3)函數(shù)的極值不是唯一的。即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個。（4）極大值與極小值之間無確定的大小關系.即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，x1是極大值點，x4是極小值點，而f（x4）＞f（x1)（5)函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點.而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內部，也可能在區(qū)間的端點。由上圖可以看出，在函數(shù)取得極值處，如果曲線有切線的話，則切線是水平的,從而有f′（x）=0.但反過來不一定。如函數(shù)y=x3，在x=0處,曲線的切線是水平的，但這點的函數(shù)值既不比它附近的點的函數(shù)值大，也不比它附近的點的函數(shù)值小.假設x0使f′(x)=0,那么x0在什么情況下是極值點呢?如上圖所示，若x0是f（x)的極大值點,則x0兩側附近點的函數(shù)值必須小于f（x0）.因此，x0的左側附近f(x）只能是增函數(shù)，即f′(x0）＞0。x0的右側附近f（x）只能是減函數(shù)，即f′（x0）＜0，同理，如下圖所示,若x0是極小值點，則在x0的左側附近f（x)只能是減函數(shù)，即f′(x0）＜0，在x0的右側附近f(x）只能是增函數(shù)，即f′（x0)＞0，從而我們得出結論:若x0滿足f′(x0)=0，且在x0的兩側f(x）的導數(shù)異號，則x0是f（x）的極值點，f(x0）是極值，并且如果f′(x0）在x0兩側滿足“左正右負”，則x0是f（x）的極大值點，f(x0)是極大值；如果f′（x0）在x0兩側滿足“左負右正”，則x0是f（x)的極小值點,f（x0）是極小值。2.求可導函數(shù)y=f（x)極值的步驟：(1）求導數(shù)f′（x）;（2）求方程f′（x）=0的所有實數(shù)根;（3)對每個實數(shù)根進行檢驗，判斷在每個根的左右側，導函數(shù)f′(x）的符號如何變化.由上面介紹的方法確定函數(shù)是否取得極值，以及極值是什么。活學巧用1。求函數(shù)f（x)=x3—3x2-9x+5的極值。解析：f′(x)=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3)，令f′（x)=0，解得x1=-1，x2=3?！鄕＜-1時，f′（x)＞0，函數(shù)f（x）遞增；-1＜x＜3時，f′(x)＜0,函數(shù)f(x)遞減；x＞3時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）遞增,∴f（x）極大值=f(-1）=10；f(x）極小值=f（3）=-22.2.求函數(shù)f(x)=-2的極值.解析：由f（x）=—2知函數(shù)f(x)的定義域為R.f′(x）=.令f′（x）=0，得x=—1，或x=1。x（—∞,-1）-1（-1，1）1（1,+∞)f′（x)-0+0-f(x)↘極小值-3↗極大值-1↘由上表可以看出，當x=-1時,函數(shù)有極小值,且f（—1)==—3，當x=1時，函數(shù)有極大值，且f（1）==-1。3.已知函數(shù)f(x)=x3＋ax2+bx+c，當x=-1時，取得極大值7；當x=3時,取得極小值.求這個極小值及a、b、c的值.解析：f′(x）=3x2+2ax+b.據(jù)題意，—1，3是方程3x2+2ax+b=0的兩個根，由韋達定理得：∴a=—3,b=-9∴f（x）=x3—3x2-9x+c∵f（-1）=7，∴c=2極小值f(3)=33-3×32-93+2=-25∴極小值為-25，a=—13,b=—9，c=2.4.已知函數(shù)f（x)=ax3+bx2—3x在x=±1處取得極值.(1)討論f(1)和f（-1)是函數(shù)f（x)的極大值還是極小值；(2）過點A（0，16）作曲線y=f（x）的切線,求此切線方程.解析:（1)f′（x)=3ax2+2bx-3,依題意，f′(1）=0，f′（—1)=0，即解得a=1,b=0.∴f（x）=x3—3x，則f′(x）=3x2-3=3(x-1）（x+1）.令f′(x）=0，得x=1或x=-1。當x變化時,f′(x)和f（x）的變化狀態(tài)如下表：x（-∞,—1）—1（—1,1)1(1，+∞）f′(x）+0-0+f(x）↗↘↗由上表可以看出,當x=-1時，函數(shù)f（x)取得極大值；當x=1時,函數(shù)f(x)取得極小值.(2)由(1）的計算可知曲線方程為y=f(x)=x3—3x，且點A(0,16)不在該曲線上，設切點為M(x0,y0），則點M的坐標滿足y0=。又