軸對(duì)稱圖形與等腰三角形專項(xiàng)復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)分層訓(xùn)練）

軸對(duì)稱圖形與等腰三角形專項(xiàng)復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)分層訓(xùn)練）一、單選題（每題4分）1．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于12BC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N．作直線MN，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，則△ABD的周長(zhǎng)為（A．25 B．22 C．19 D．18【答案】C【分析】由垂直平分線的性質(zhì)可得BD＝CD，由△ABD的周長(zhǎng)＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．【詳解】解：由作圖的過(guò)程可知，DE是BC的垂直平分線，∴BD＝CD，∵AB=7，AC=12，∴△ABD的周長(zhǎng)＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC＝19．故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長(zhǎng)等知識(shí)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，AB＝10，S△ABD＝15，則CD的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面積列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD，∴S△ABD＝12AB?DE＝12×10?DE＝解得DE＝3，∴CD＝3．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=8，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，則四邊形AEFG的周長(zhǎng)是（

）A．32 B．24 C．16 D．8【答案】C【分析】根據(jù)EF∥AC，GF∥AB，可得四邊形AEFG是平行四邊形，從而得到FG=AE，AG=EF，再由EF∥AC，可得∠BFE=∠C，從而得到∠B=∠BFE，進(jìn)而得到BE=EF，再根據(jù)四邊形AEFG的周長(zhǎng)是2（AE+EF），即可求解．【詳解】解∶∵EF∥AC，GF∥AB，∴四邊形AEFG是平行四邊形，∴FG=AE，AG=EF，∵EF∥AC，∴∠BFE=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠BFE，∴BE=EF，∴四邊形AEFG的周長(zhǎng)是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于12BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD．若AC=4，AB=10，則△ACD的周長(zhǎng)為（

）A．8 B．9 C．10 D．14【答案】D【分析】根據(jù)作圖可得MN是BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得CD=DB，然后可得AD+CD=10，進(jìn)而可得△ACD的周長(zhǎng)．【詳解】解：根據(jù)作圖可得MN是BC的垂直平分線，∵M(jìn)N是BC的垂直平分線，∴CD=DB，∵AB=10，∴CD+AD=10，∴△ACD的周長(zhǎng)=CD+AD+AC=4+10=14，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和作法，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．5．（2023秋·四川廣元·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足為E，BF∥AC交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若BC恰好平分∠ABF．則下列結(jié)論中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中線；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可得∠ADB=90°，然后可證△ADC≌△ADB，△DEC≌△DFB，進(jìn)而問(wèn)題可求解．【詳解】解：∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，∴∠CAD=∠BAD=1∵BF∥AC，∴∠CAB+∠ABF=180°，∴∠DAB+∠ABD=90°，即∠ADB=90°，∴AD⊥BC，即AD是△ABC的高，故①正確；∵∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，∴△ADC≌△ADB（ASA），∴DB=DC，即AD是△ABC的中線，故②正確；∵BF∥AC，∴∠CED=∠F，∵∠CDE=∠BDF，∴△DEC≌△DFB（AAS），∴ED＝FD，故③正確；過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，如圖所示：∵AD平分∠BAC，BC平分∠ABF，∠AED=∠F=90°，∴DE=DG=DF，∵AD=AD，∴△AED≌△AGD（HL），∴AE=AG，同理可知BF=BG，∵，∴AB=AE+BF，故④正確；綜上所述：正確的個(gè)數(shù)有4個(gè)；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰直角三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】當(dāng)AB是腰長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個(gè)小正方形與A、B頂點(diǎn)相對(duì)的頂點(diǎn)，連接即可得到等腰三角形；當(dāng)AB是底邊時(shí)，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，AB垂直平分線上的格點(diǎn)都可以作為點(diǎn)C，然后相加即可得解．【詳解】解：如圖，分情況討論：①AB為等腰△ABC的底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有2個(gè)；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)．共有6個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形．分類討論思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．7．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一次函數(shù)y=x+4的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C-2,0是x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為直線y=x+4和y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CEF周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（

A．E-52,32，C．E-52,32，【答案】C【分析】作C（-2，0）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)G（2，0），作C（2，0）關(guān)于直線y=x+4的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD，連接DG交AB于E，交y軸于F，此時(shí)△CEF周長(zhǎng)最小，由y=x+4得A（4，0），B（0，4），∠BAC=45°，根據(jù)C、D關(guān)于AB對(duì)稱，可得D（4，2），直線DG解析式為y=-13x+23，即可得F【詳解】解：作C-2,0關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)G2,0，作C2,0關(guān)于直線y=x+4的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD，連接DG交AB于E，交y∴DE=CE，CF=GF，∴CE+CF+EF=DE+GF+EF=DG，此時(shí)△CEF周長(zhǎng)最小，由y=x+4得A-4,0，B∴OA=OB，△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∵C、D關(guān)于AB對(duì)稱，∴∠DAB=∠BAC=45°，∴∠DAC=90°，∵C-2,0∴AC=OA-OC=2=AD，∴D-4,2由D-4,2，G2,0可得直線DG解析式為在y=-13x+23∴F0,由y=x+4y=13∴E-∴E的坐標(biāo)為-52,32故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查與一次函數(shù)相關(guān)的最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握用對(duì)稱的方法確定△CEF周長(zhǎng)最小時(shí)，E、F的位置．8．（2023春·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）長(zhǎng)方形如圖折疊，D點(diǎn)折疊到D'的位置，已知∠D'FC＝40°，則∠EFC＝（A．120° B．110° C．105° D．115°【答案】B【分析】根據(jù)翻折不變性可知，∠DFE=∠D′FE，又因?yàn)椤螪′FC=40°，根據(jù)平角的定義，可求出∠EFC的度數(shù)．【詳解】根據(jù)翻折不變性得出，∠DFE=∠EFD′，∵∠D′FC=40°，∠DFE+∠EFD′+∠D′FC=180°，∴2∠EFD′=180°40°=140°，∴∠EFD′=70°，∴∠EFC=∠EFD′+∠D′FC=70°+40°=110°．故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了角的計(jì)算和翻折變化，掌握長(zhǎng)方形的性質(zhì)和翻折不變性是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·重慶南岸·八年級(jí)重慶市廣益中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠A=90°，△ABC的外角平分線CD與內(nèi)角平分線的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AD，點(diǎn)E為BD中點(diǎn)．有下列結(jié)論：①∠BDC=45°；②∠CED=∠EDF；③12BD+CE=BC；④S△ADE+A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】由角平分線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可得∠DCF=45°+∠DBC，可求∠BDC=45°，故①正確，由余角的性質(zhì)可證∠CED=∠EDF，故②正確，由“AAS”可證ΔAEB?ΔHED，ΔDCF?ΔDCH，可得BE=BE，SΔAEB=SΔHED，SΔDCH=SΔDCF，可得【詳解】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC∵∠ACF=∠BAC+∠ABC，12∠ACF=12又∵∠DCF=∠DBC+∠BDC，∴∠BDC=45°，故①正確；∵DF⊥BC，∴∠DFB=∠BAC=90°，∴∠ABE+∠AEB=∠DBC+∠BDF，∴∠AEB=∠BDF，，故②正確；過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于，如圖所示：，∴∠DHE=∠BAE=90°，∵點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，，∴在中根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知BE+CE>BC，即12BD+CE>BC，故③∵BE=DE，∴S在ΔAEB和ΔHED中，∠BAE=∠DHE∠AEB=∠DEH∴ΔAEB?ΔHED(AAS)，∴S∴S在ΔDCF和中，∠DCF=∠DCH∠DHC=∠DFC∴ΔDCF?ΔDCH(AAS)，∴S∴SΔADE+故選：D．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，外角的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，且DE＝DG，則∠AED＋∠AGD和是（

）A．180° B．200° C．210° D．240°【答案】A【分析】過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AC于，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF=DH，則可根據(jù)“HL”判斷Rt△DFE?Rt△DHG，所以∠DEF=∠DGH，然后利用∠AED+∠DEF=180°得到．【詳解】解：過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AC于，如圖，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DF=DH，在Rt△DFE和Rt△DHG中，DE=DGDF=DH∴Rt△DFE?Rt△DHG(HL，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)．利用角平分線性質(zhì)構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．二、填空題（每題5分）11．（2023秋·廣東江門·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在ΔABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,則SΔACD=【答案】1【分析】作DF⊥AC于點(diǎn)F，由角平分線的性質(zhì)推出DF=DE=1，再利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，作DF⊥AC于點(diǎn)F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE=1，∴S△ACD故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，通過(guò)作輔助線求出三角形ACD中AC邊上的高是解題的關(guān)鍵．12．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=．

【答案】12【分析】由角平分線與平行線易得∠EBG=∠EGB，從而得到EB=EG，同理可得DF=DC，再根據(jù)EB+DC=EG+DF=ED+FG即可得答案．【詳解】∵BG平分∠EBC∴∠EBG=∠GBC∵ED∥BC∴∠EGB=∠GBC∴∠EBG=∠EGB∴EB=EG同理可得DF=DC∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=8+4=12故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考角平分線與平行線，掌握角平分線加平行線，可得等腰三角形這一幾何模型是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·江蘇淮安·七年級(jí)淮安市徐楊中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的點(diǎn)，AD=BE，AE與CD交于點(diǎn)F，AG⊥CD于點(diǎn)G，則∠FAG的度數(shù)為．【答案】30°/30度【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°，則由AD＝BE得到BD＝CE，再根據(jù)“SAS”可判斷△ACE≌△CBD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠CAE＝∠BCD，所以∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°，而∠AGF＝90°，利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠FAG的度數(shù)．【詳解】∵△ABC為等邊三角形，∴AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°，∵AD＝BE，∴BD＝CE，∵在△ACE和△CBD中AC=CB∠ACE=∠B∴△ACE≌△CBD（SAS），∴∠CAE＝∠BCD，∵∠AFG＝∠CAF＋∠ACF，∴∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°，∵AG⊥CD，∴∠AGF＝90°，∴∠FAG＝90°?60°＝30°．故答案為30°．【點(diǎn)睛】本題考查了本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇南京·南師附中新城初中?？级＃┤鐖D，在直角坐標(biāo)系中，已知A（4，0），點(diǎn)B為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AB，以AB為一邊向下作等邊△ABC，連接OC，則OC的最小值為．【答案】2【分析】以O(shè)A為對(duì)稱軸，構(gòu)造等邊三角形ADF，作直線DC，交x軸于點(diǎn)E，先確定點(diǎn)C在直線DE上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短計(jì)算即可．【詳解】如圖，以O(shè)A為對(duì)稱軸，構(gòu)造等邊三角形ADF，作直線DC，交x軸于點(diǎn)E，∵△ABC，△ADF都是等邊三角形，∴AB=AC，AF=AD，∠FAC+∠BAF=∠FAC+∠CAD=60°，∴AB=AC，AF=AD，∠BAF=∠CAD，∴△BAF≌△CAD，∴∠BFA=∠CDA=120°，∴∠ODE=∠ODA=60°，∴∠OED=30°，∴OE=OA=4，∴點(diǎn)C在直線DE上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)OC⊥DE時(shí)，OC最小，此時(shí)OC=12OE=2故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判斷，三角形的全等判定和性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握三角形全等和垂線段最短原理是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2023春·江西吉安·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對(duì)小區(qū)環(huán)境進(jìn)行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長(zhǎng)為20m的斜坡，坡角∠BAD=30°，BD⊥AD于點(diǎn)D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為

(1)求該斜坡的高度BD；(2)求斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離．（假設(shè)圖中C，A，D三點(diǎn)共線）【答案】(1)10m(2)20m【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．（2）根據(jù)∠BAD=∠C+∠ABC，可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）∵∠BAD=30°，BD⊥AD∴BD=（2）∵C，A，D三點(diǎn)共線，∠BAD=30°∴∠ABC=∠BAD-∠C=15°∴AC=AB=20m【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）（1）唐朝詩(shī)人李顧的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖1所示，詩(shī)中大意是將軍從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，帶著馬走到河邊P點(diǎn)飲水后，再回到B點(diǎn)宿營(yíng)，請(qǐng)問(wèn)將軍怎樣走才能使總路程最短？請(qǐng)你通過(guò)畫圖，在圖中找出P點(diǎn)，使PA+PB的值最小，不說(shuō)明理由；（2）實(shí)踐應(yīng)用1，如圖2，點(diǎn)P為∠MON內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谏渚€OM、ON上分別找到兩點(diǎn)A、B，使△PAB的周長(zhǎng)最小，不說(shuō)明理由；（3）實(shí)踐應(yīng)用2：如圖3，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，M、N分別是AD、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，求CM+MN的最小值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）CM+MN的最小值為24【分析】（1）作B點(diǎn)關(guān)于直線l(小河)的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'，交l于P（2）分別作點(diǎn)P關(guān)于OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)P″和P'，連接P'P″交OM于A，ON于B，連接PA，PB，AB（3）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，交AB于CE，AD于O，連接ME，則CM+MN最小，證明△AOC≌△AOE，可得，AE=AC=6，可證得△COM≌△EOM，從而得到當(dāng)點(diǎn)N，M，E共線時(shí)，CM+MN最小，最小值為EN，且當(dāng)EN⊥AC時(shí)，NE最小，再根據(jù)S△ABC=12【詳解】解：（1）如圖，作B點(diǎn)關(guān)于直線l(小河)的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'，交l于P理由：根據(jù)作法得：PB=PB∴PA+PB=PA+PB∴當(dāng)點(diǎn)A,P,B'共線時(shí)，（2）如圖2，分別作點(diǎn)P關(guān)于OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)P″和P'，連接P'P″交OM于A，ON于B，連接PA，PB，AB理由：根據(jù)作法得：PB=PB'，∴PA+PB+AB=PA∴當(dāng)點(diǎn)P″,A,B,P（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，交AB于CE，AD于O，連接ME，則CM+MN最小，∴∠AOC=∠AOE=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，在△AOC和△AOE中，∠CAD=∠BADAO=AO∴△AOC≌△AOEASA∴OC=OE，AE=AC=6，∵∠AOC=∠AOE=90°，OM=OM，∴△COM≌△EOM，∴CM=EM，∴CM+MN=EM+MN≥EN，∴當(dāng)點(diǎn)N，M，E共線時(shí)，CM+MN最小，最小值為EN，且當(dāng)EN⊥AC時(shí)，NE最小，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，∵AC=6，BC=8，AB=10，∠ACB=90°，∴S△ABC即12解得：CF=24∵S△AEC∴EN=24∴CM+MN的最小值為245【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握“將軍飲馬”及其變形的模型．四、證明題17．（2023春·山東棗莊·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，，垂足分別為D，E．求證：△OPD≌△OPE．【答案】見解析【分析】根據(jù)題意，用AAS證明△OPD≌△OPE．【詳解】證明：∵，∴OC為∠AOB的角平分線，又∵點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，，∴∠PDO=∠PEO=90°又∵PO=PO（公共邊），∴△OPD≌△OPEAAS【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，利用合適的條件證明三角形全等是本題的關(guān)鍵．18．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．(1)求證：∠EBD=∠EDB．(2)當(dāng)AB=AC時(shí)，請(qǐng)判斷CD與ED的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析(2)相等，見解析【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）利用平行線的性質(zhì)可得∠ADE=∠AED，則AD=AE，從而有CD=BE，由(1)得，∠EBD=∠EDB，可知BE=DE，等量代換即可．【詳解】（1）證明：∵BD是△ABC的角平分線，∴．∵DE∥BC，∴，∴∠EBD=∠EDB．（2）CD=ED．理由如下：∵AB=AC，∴．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴AC-AD=AB-AE，即CD=BE．由（1）得∠EBD=∠EDB，∴BE=ED，∴CD=ED．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，熟練掌握平行與角平分線可推出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．19．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB＋BP＝BQ＋AQ．（有多種輔助線作法）【答案】見解析【分析】方法一，延長(zhǎng)AB到D，使BD＝BP，連接PD，根據(jù)已知條件求得各個(gè)角的值，發(fā)現(xiàn)∠4＝∠C，∠5=∠D，進(jìn)而得QB＝QC，BD=BP，再根據(jù)△APD≌△APC，得AD＝AC，等量代換之后得證；方法二，過(guò)點(diǎn)P作PD//BQ交CQ于點(diǎn)D，結(jié)合已知條件可得BQ＋AQ＝CQ＋AQ＝AC，證明△ABP≌△ADP，可得AB＋BP＝AD＋PD＝AD＋CD＝AC，等量代換之后得證；【詳解】方法一、證明：延長(zhǎng)AB到D，使BD＝BP，連接PD，則∠D＝∠5.∵AP，BQ分別是∠BAC，∠ABC的平分線，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠1＝∠2＝30°，∠ABC＝180°－60°－40°＝80°，∠3＝∠4＝40°＝∠C，∴QB＝QC，又∠D＋∠5＝∠3＋∠4＝80°，∴∠5=∠D＝40°,∴BD=BP在△APD與△APC中，∠D＝∠C∴△APD≌△APC（AAS），∴AD＝AC．即AB＋BD＝AQ＋QC，∴AB＋BP＝BQ＋AQ．方法二、如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD∥BQ交CQ于點(diǎn)D，∵BQ平分∠ABC∴∠CBQ＝12∠ABC＝12×80°＝∴∠CBQ＝∠ACB，∴BQ＝CQ，∴BQ＋AQ＝CQ＋AQ＝AC①，∵PD∥BQ∴∠CPD＝∠CBQ＝40°，∴∠CPD＝∠ACB＝40°，∴PD＝CD，∠ADP＝∠CPD＋∠ACB＝40°＋40°＝80°，∵∠ABC＝80°，∴∠ABC＝∠ADP，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP，∵在△ABP與△ADP中，∠ABC＝∴△ABP≌△ADP（AAS），∴AB＝AD，BP＝PD，∴AB＋BP＝AD＋PD＝AD＋CD＝AC②，由①②可得，BQ＋AQ＝AB＋BP．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形全等的性質(zhì)與判定，等角對(duì)等邊，熟練以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．20．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F．（1）求證：AE＝CF；（2）求證：△EPF是等腰直角三角形；（3）求證：∠FEA＋∠PFC＝45°；（4）求證：S△PFC－S△PBE＝12S△ABC【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；（4）見解析．【分析】（1）先證明△EPB≌△FPA，得AF=BE，再由已知條件即可求證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合題意即可得證；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論，進(jìn)行角的等量代換，即可求證；（4）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用全等的性質(zhì)，可得，S△PFC－S△PBE＝S△PFC－S△FPA=【詳解】（1）如圖，連接AP，P是BC中點(diǎn)，∵AB＝AC，∠BAC＝90°,∴AP⊥BC，AP=1∴∠APB=90°，∠BAP=∠ABP=45°,∵∠EBP=180°-∠ABP=180°-45°=135°,∠FAP=∠FAB+∠BAP=90°+45°=135°,∴∠EBP=∠FAP,∵∠EPF=90°,∴∠EPB+∠BPF=∠BPF+∠FPA,∴∠EPB=∠FPA,在△EPB和△FPA中：∠EBP=∠FAP∴△EPB≌△FPA（ASA）,,∵AB∴AC+AF=AB+BE,即．（2）由（1）可知：△EPB≌△FPA，∴EP=FP，∵是直角，∴△EPF是等腰直角三角形．（3）如圖，連接EF,∵△EPB≌△FPA∴∠AFP=∠BEP∵△PEF是等腰直角三角形，∴∠FEP=45°∴∠FEP=∠FEA+∠BEP=∠FEA+∠PFC=45°∴即∠FEA＋∠PFC＝45°；（4）∵△EPB≌△FPA，∴∴S△PFC－S△PBE＝S△PFC－S△FPA∵P是BC中點(diǎn)，S△APC12S△ABC．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，中線的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．(1)證明：BE=CF；(2)如果AB=5，AC=3，求AE、BE的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)AE=4，BE=1【分析】（1）連接BD、CD，先由垂直平分線性質(zhì)得BD=CD，再由角平分線性質(zhì)得DE=CF，然后證Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出結(jié)論；（2）證明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，則CF=AFAC=AEAC，又因?yàn)锽E=ABAE，由（1）知BE=CF，則ABAE=AEAC，代入AB、AC值即可求得AE長(zhǎng)，繼而求得BE長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖，連接BD、CD，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△BED與Rt△CFD中，BD=CDDE=DF∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△AED與Rt△AFD中，AD=ADDE=DF∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∴CF=AFAC=AEAC，由（1）知：BE=CF，∴ABAE=AEAC即5AE=AE3，∴AE=4，∴BE=ABAE=54=1，【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定義和線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．22．（2023春·吉林松原·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在?ABCD中，BE、DG分別平分∠ABC、∠ADC，交(1)求證：BE∥DG,BE=DG；(2)過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F．若?ABCD的周長(zhǎng)為56，EF=6，求ΔABC的面積．【答案】(1)見詳解(2)84【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)證ΔABE?ΔCDGASA（2）作EQ⊥BC，由SΔABC【詳解】（1）證明：在?ABCD∵，∴∠BAE=∠DCG，∵BE、DG分別平分∠ABC、∴，在和ΔCDG中，∵∠BAE=∠DCG∴ΔABE?ΔCDGASA∴BE=DG，∴BE∥DG．（2）如圖，作EQ⊥BC，∵?ABCD的周長(zhǎng)為56∴AB+BC=28，∵平分∠ABC，∴EQ=EF=6，∴SΔABC【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的全等、角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．23．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）【模型建立】（1）如圖1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥ED于點(diǎn)E，求證：△BEC≌△CDA；【模型應(yīng)用】（2）如圖2，已知直線l1：y＝32x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至直線l2；求直線l2（3）如圖3，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)B（3，﹣4），過(guò)點(diǎn)B作BA⊥x軸于點(diǎn)A、BC⊥y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是直線y＝﹣2x+1上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限內(nèi)．試探究△CPD能否成為等腰直角三角形？若能，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）見詳解；（2）y=-5x-10；（3）點(diǎn)D坐標(biāo)（，-193）或（4，-7）或（83，【分析】（1）由垂直的定義得∠ADC=∠CEB=90°，根據(jù)平角的定義和同角的余角的相等求出∠DAC=∠ECB，角角邊證明△CDA≌△BEC；（2）證明△ABO≌∠BCD，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，5），構(gòu)建二元一次方程組求出k=-5，b=-10，利用待定系數(shù)法求出直線l2的函數(shù)表達(dá)式為y=5x10；（3）證明△MCP≌△HPD，由其性質(zhì)，點(diǎn)D在直線y=2x+1求出m=-103或n=0或-43，將m的值代入，得點(diǎn)D坐標(biāo)為（，-