專題05【五年中考+一年模擬】幾何壓軸題-備戰(zhàn)2023年江蘇鹽城中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編(原卷版+解析)

專題05幾何壓軸題1．（2022?鹽城）【經(jīng)典回顧】梅文鼎是我國(guó)清初著名的數(shù)學(xué)家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法．圖1是其中一種方法的示意圖及部分輔助線．在中，，四邊形、和分別是以的三邊為一邊的正方形．延長(zhǎng)和，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．（1）證明：；（2）證明：正方形的面積等于四邊形的面積；（3）請(qǐng)利用（2）中的結(jié)論證明勾股定理．【遷移拓展】（4）如圖2，四邊形和分別是以的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在下方是否存在平行四邊形，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形、的面積之和．若存在，作出滿足條件的平行四邊形（保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2020?鹽城）木門(mén)常常需要雕刻美麗的圖案．（1）圖①為某矩形木門(mén)示意圖，其中長(zhǎng)為200厘米，長(zhǎng)為100厘米，陰影部分是邊長(zhǎng)為30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心點(diǎn)處，在雕刻時(shí)始終保持模具的一邊緊貼木門(mén)的一邊，所刻圖案如虛線所示，求圖案的周長(zhǎng)；（2）如圖②，對(duì)于（1）中的木門(mén)，當(dāng)模具換成邊長(zhǎng)為厘米的等邊三角形時(shí)，刻刀的位置仍在模具的中心點(diǎn)處，雕刻時(shí)也始終保持模具的一邊緊貼木門(mén)的一邊，使模具進(jìn)行滑動(dòng)雕刻．但當(dāng)模具的一個(gè)頂點(diǎn)與木門(mén)的一個(gè)頂點(diǎn)重合時(shí)，需將模具繞著重合點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)雕刻，直到模具的另一邊與木門(mén)的另一邊重合．再滑動(dòng)模具進(jìn)行雕刻，如此雕刻一周，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出雕刻所得圖案的草圖，并求其周長(zhǎng)．3．（2019?鹽城）如圖①是一張矩形紙片，按以下步驟進(jìn)行操作：（Ⅰ）將矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上點(diǎn)處，如圖②；（Ⅱ）在第一次折疊的基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)再次折疊，使得點(diǎn)落在邊上點(diǎn)處，如圖③，兩次折痕交于點(diǎn)；（Ⅲ）展開(kāi)紙片，分別連接、、、，如圖④．【探究】（1）證明：；（2）若，設(shè)為，為，求關(guān)于的關(guān)系式．4．（2018?鹽城）【發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知等邊，將直角三角板的角頂點(diǎn)任意放在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），使兩邊分別交線段、于點(diǎn)、．（1）若，，，則；（2）求證：．【思考】若將圖①中的三角板的頂點(diǎn)在邊上移動(dòng)，保持三角板與邊、的兩個(gè)交點(diǎn)、都存在，連接，如圖②所示，問(wèn)：點(diǎn)是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【探索】如圖③，在等腰中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，將三角形透明紙板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)處（其中，使兩條邊分別交邊、于點(diǎn)、（點(diǎn)、均不與的頂點(diǎn)重合），連接．設(shè)，則與的周長(zhǎng)之比為（用含的表達(dá)式表示）．5．（2022?鹽城一模）【問(wèn)題背景】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小軍對(duì)蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)教材第42頁(yè)的第4題很感興趣．教材原題：如圖1，、是的高，是的中點(diǎn)．點(diǎn)、、、是否在以點(diǎn)為圓心的同一個(gè)圓上？為什么？小軍在完成此題解答后提出：如圖2，若、的交點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)、、、四點(diǎn)也在同一個(gè)圓上．（1）請(qǐng)對(duì)教材原題或小軍提出的問(wèn)題進(jìn)行解答．（選擇一個(gè)解答即可）【直接應(yīng)用】當(dāng)大家將上述兩題都解決后，組員小明想起了在七年級(jí)通過(guò)畫(huà)圖歸納出的一個(gè)結(jié)論：三角形的三條高所在直線交于同一點(diǎn)，可通過(guò)上面的結(jié)論加以解決．（2）如圖3，的兩條高、相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．求證：為的邊上的高．【拓展延伸】在大家完成討論后，曾老師根據(jù)大家的研究提出一個(gè)問(wèn)題：（3）在（2）的條件下連接、、（如圖，設(shè)，則的度數(shù)為．（用含的式子表示）6．（2022?建湖縣一模）【問(wèn)題再現(xiàn)】蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第94頁(yè)有這樣一題：如圖1，在正方形中，，，分別是，，上的點(diǎn)，，垂足為，那么．（填“”、“”或“”【遷移嘗試】如圖2，在的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)，，，為格點(diǎn)，交于點(diǎn)．求的度數(shù)；【拓展應(yīng)用】如圖3，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，分別以，為邊在的同側(cè)作正方形與正方形，連接分別交線段，于點(diǎn)，．①求的度數(shù)；②連接交于點(diǎn)，直接寫(xiě)出的值為．7．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)一模）小明學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，積極思考，利用兩個(gè)大小不同的直角三角形與同學(xué)做起了數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．如圖1，在與中，，，，，．【探索發(fā)現(xiàn)】將兩個(gè)三角形頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，如圖2，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系一直不變，則線段與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；【深入思考】將兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，如圖3所示將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，連接、，線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為；②如圖4所示，連接、，若線段、交于點(diǎn)，試探究四邊形能否為平行四邊形？如果能，求出、之間的數(shù)量關(guān)系，如果不能，試說(shuō)明理由．【拓展延伸】如圖5，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，則的取值范圍為（用含、的不等式表示）．8．（2022?鹽城二模）以下為一個(gè)合作學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)研討中的過(guò)程記錄，請(qǐng)閱讀后完成下方的問(wèn)題．試題分析（Ⅰ）如圖1，在中，，，是外一點(diǎn)，且．求的度數(shù)．小明：我發(fā)現(xiàn)試題中有三個(gè)等腰三角形，設(shè)，易知，又因?yàn)椋?，即可算出的度?shù)．小麗：我發(fā)現(xiàn)．則點(diǎn)、、到點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)、、在以點(diǎn)為圓心、線段長(zhǎng)為半徑的圓上猜想證明（Ⅱ）如圖1，在中，，，點(diǎn)、在同側(cè)．猜想：若，則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心、線段長(zhǎng)為半徑的圓上．對(duì)于這個(gè)猜想的證明，小華有自己的想法：以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓．根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，知道點(diǎn)可能在內(nèi)，或點(diǎn)在上，或點(diǎn)在外．故只要證明點(diǎn)不在內(nèi)，也不在外，就可以確定點(diǎn)一定在上．（Ⅲ）進(jìn)一步猜想：如圖2，在中，，，點(diǎn)、在同側(cè)．若，則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心、線段長(zhǎng)為半徑的圓上．（Ⅳ）對(duì)（Ⅲ）中的猜想進(jìn)行證明．問(wèn)題1．完成（Ⅰ）中的求解過(guò)程；問(wèn)題2．補(bǔ)全猜想證明中的兩個(gè)猜想：（Ⅱ）；（Ⅲ）；問(wèn)題3．證明上面（Ⅲ）中的猜想；問(wèn)題4．如圖3為某大型舞臺(tái)實(shí)景投影側(cè)面示意圖，，點(diǎn)處為投影機(jī)，投影角，折線為影像接收區(qū)．若影像接收區(qū)最大時(shí)（即最大），投射效果最好，請(qǐng)直接寫(xiě)出影像接收區(qū)最大時(shí)的長(zhǎng)．9．（2022?濱?？h一模）在四邊形中，，對(duì)角線平分．（1）推理證明：如圖1，若，且，求證：；（2）問(wèn)題探究：如圖2，若，試探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，（3）遷移應(yīng)用：如圖3，若，，，求線段的長(zhǎng)度．10．（2022?鹽城一模）如圖，已知矩形中，是邊上一點(diǎn)，將沿折疊得到，連接．（1）初步探究如圖1，當(dāng)，落在直線上時(shí)．①求證：；②填空：；（2）深入思考如圖2，當(dāng)，與邊相交時(shí)，在上取一點(diǎn)，使，與交于點(diǎn)．求的值（用含的式子表示），并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸在（2）的條件下，當(dāng)，是的中點(diǎn)時(shí)，若，求的長(zhǎng)．11．（2022?建湖縣二模）問(wèn)題情境小春在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上借助幾何畫(huà)板按照下面的畫(huà)法畫(huà)出了一個(gè)圖形：如圖1，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，分別以、為底邊在線段的同側(cè)作等腰三角形、等腰三角形，、相交于點(diǎn)．當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，他發(fā)現(xiàn)：．請(qǐng)幫他解釋其中的道理；問(wèn)題探究如圖2，在上述情境下中的條件下，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．類比應(yīng)用如圖3，是某村的一個(gè)三角形魚(yú)塘，點(diǎn)、分別在邊、上，、的交點(diǎn)為魚(yú)塘的釣魚(yú)臺(tái)，測(cè)量知道，，，且．直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為．12．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)二模）【問(wèn)題背景】為了保持室內(nèi)空氣的清新，某倉(cāng)庫(kù)的門(mén)動(dòng)換氣窗采用了以下設(shè)計(jì)：如圖1，窗子的形狀是一個(gè)五邊形，它可看作是由一個(gè)矩形和一個(gè)組成，該窗子關(guān)閉時(shí)可以完全密封，根據(jù)室內(nèi)的溫度和濕度也可以自動(dòng)打開(kāi)窗子上的通風(fēng)口換氣．通風(fēng)口為（陰影部分均不通風(fēng)），點(diǎn)為的中點(diǎn)，是可以沿窗戶邊框上下滑動(dòng)且始終保持和平行的伸縮橫桿．設(shè)窗子的邊框、分別為，，窗子的高度（窗子的最高點(diǎn)到邊框的距離）為．【初步探究】（1）若，，（即點(diǎn)到的距離為．①與之間的距離為，求此時(shí)的面積；②與之間的距離為，試將通風(fēng)口的面積表示成關(guān)于的函數(shù)；③伸縮桿移動(dòng)到什么位置時(shí)，通風(fēng)口面積最大，最大面積是多少？【拓展提升】（2）若金屬桿移動(dòng)到高于所在位置的某一處時(shí)通風(fēng)口面積達(dá)到最大值．①需要滿足的條件是，通風(fēng)口的最大面積是（用含、、的代數(shù)式表示）②用直尺和圓規(guī)在圖3中作出通風(fēng)口面積最大金屬桿所在的位置，（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）13．（2022?射陽(yáng)縣一模）如圖1，已知為等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊、上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)．（1）觀察猜想在圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是，的度數(shù)是；（2）探究證明若為直角三角形，，，點(diǎn)分別在邊，上，，把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖2，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)．判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸若中，，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3．①是三角形．②若面積為，直接利用①中的結(jié)論，求的取值范圍．14．（2022?東臺(tái)市模擬）小明在學(xué)習(xí)矩形知識(shí)后，進(jìn)一步開(kāi)展探究活動(dòng)：將一個(gè)矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，連結(jié)．【探究1】如圖1，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)恰好在延長(zhǎng)線上．若，求的長(zhǎng)．【探究2】如圖2，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．線段與相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【探究3】在探究2的條件下，射線分別交，于點(diǎn)，（如圖，發(fā)現(xiàn)線段，，存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系式，并加以證明．15．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)模擬）問(wèn)題：紙給我們矩形的印象，這個(gè)矩形是特殊矩形嗎？思考：通過(guò)度量、上網(wǎng)查閱資料，小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)紙的長(zhǎng)與寬的比是一個(gè)特殊值“”定義：如圖1，點(diǎn)把線段分成兩部分，如果，那么點(diǎn)為線段的“白銀分割點(diǎn)”如圖2，矩形中，，那么矩形叫做白銀矩形．應(yīng)用：（1）如圖3，矩形是白銀矩形，，將矩形沿著對(duì)折，求證：矩形也是白銀矩形．（2）如圖4，矩形中，，，為上一點(diǎn)，將矩形沿折疊，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，說(shuō)明點(diǎn)為線段的”白銀分制點(diǎn)”．（3）已知線段（如圖，作線段的一個(gè)“白銀分割點(diǎn)”．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）16．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)模擬）（1）如圖1，在矩形中，，，若要在該矩形中作出一個(gè)面積最大的，且使，求滿足條件的點(diǎn)到點(diǎn)的距離．（2）如圖2，有一座古井，按規(guī)定，要以井為對(duì)稱中心，建一個(gè)面積盡可能大的形狀為平行四邊形的景區(qū)．根據(jù)實(shí)際情況，要求頂點(diǎn)是定點(diǎn)，點(diǎn)到井的距離為米，，那么，是否可以建一個(gè)滿足要求的面積最大的平行四邊形景區(qū)？若可以，求出滿足要求的平行四邊形的最大面積；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．（井的占地面積忽略不計(jì)）（3）為了保護(hù)古井（井的占地面積忽略不計(jì)），擬以古井為中心劃定邊長(zhǎng)為30米的正方形景區(qū)，在該正方形區(qū)域內(nèi)選擇若干個(gè)安裝點(diǎn)，安裝一種電訊信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)裝置，其發(fā)射直徑為31米．現(xiàn)要求：在該正方形區(qū)域每個(gè)點(diǎn)安裝一個(gè)這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號(hào)能完全覆蓋這個(gè)景區(qū)．問(wèn)：①能否找到這樣的4個(gè)安裝點(diǎn)，使得這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？②至少需要選擇多少個(gè)安裝點(diǎn)，才能使這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？答題要求：請(qǐng)你在解答時(shí)，畫(huà)出必要的示意圖，并用必要的計(jì)算、推理和文字來(lái)說(shuō)明你的理由．（下面給出了幾個(gè)邊長(zhǎng)為30米的正方形區(qū)域示意圖，供解題時(shí)選用）17．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)三模）定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個(gè)角的夾邊稱為鄰余線．（1）如圖1，在中，，是的角平分線，，分別是，上的點(diǎn)．求證：四邊形是鄰余四邊形．（2）如圖2，在的方格紙中，，在格點(diǎn)上，請(qǐng)畫(huà)出一個(gè)符合條件的鄰余四邊形，使是鄰余線，，在格點(diǎn)上．（3）如圖3，在（1）的條件下，取中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，，，求鄰余線的長(zhǎng)．18．（2022?濱?？h模擬）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好落在上，則折痕的長(zhǎng)為；（2）如圖2，若點(diǎn)恰好落在上．①求證：；②求的值；（3）如圖3，若將圖1中的四邊形剪下，在上取中點(diǎn)，將沿折疊得到，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），將△沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在上，當(dāng)△的一個(gè)內(nèi)角與相等時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．19．（2022?射陽(yáng)縣校級(jí)一模）當(dāng)光線經(jīng)過(guò)鏡面反射時(shí)，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對(duì)應(yīng)相等．請(qǐng)用這一結(jié)論解答下列問(wèn)題．（1）如圖1，入射光線經(jīng)過(guò)平面鏡與反射后的反射光線是，若，則的度數(shù)為．（2）如圖2是一種利用平面鏡反射，放大微小變化的裝置．手柄上的點(diǎn)處安裝一平面鏡，與屏幕的交點(diǎn)為，從點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡反射后，在上形成一個(gè)光點(diǎn)．已知當(dāng)，時(shí)，，，．①求的長(zhǎng)．②將手柄在原有位置繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度得到（如圖，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，從點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡反射后，在上的光點(diǎn)為．若，則的長(zhǎng)為多少？20．（2022?射陽(yáng)縣校級(jí)三模）【閱讀感悟】數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則是對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西．知識(shí)與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門(mén)發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、新結(jié)論的重要方法．【知識(shí)方法】（1）如圖1，，，交于點(diǎn)，則與的關(guān)系是；【類比遷移】（2）四邊形是矩形，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①如圖2，過(guò)點(diǎn)作，，連接、．判斷線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；②如圖3，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接、，則面積的最小值為；【拓展應(yīng)用】（3）四邊形是矩形，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)、不重合），連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接、．求四邊形面積的最小值．21．（2022?射陽(yáng)縣校級(jí)二模）（1）①如圖1，中，點(diǎn)在上，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在上作一點(diǎn)，使得點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離相等（保留作圖痕跡）；②在所作的圖中，若，平分，，、所對(duì)的邊記為、，試說(shuō)明；（如需畫(huà)草圖，請(qǐng)使用備用圖）（2）如圖2，中，，平分，點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離相等，若，，求的周長(zhǎng)．22．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)三模）如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線相等，我們稱這個(gè)四邊形為美好四邊形．【問(wèn)題提出】（1）如圖①，點(diǎn)是四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，，，請(qǐng)說(shuō)明四邊形是美好四邊形；【問(wèn)題探究】（2）如圖②，，請(qǐng)利用尺規(guī)作圖，在平面內(nèi)作出點(diǎn)使得四邊形是美好四邊形，且滿足．保留作圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法；（3）在（2）的條件下，若圖②中滿足：，，，求四邊形的面積；【問(wèn)題解決】（4）如圖③，某公園內(nèi)需要將4個(gè)信號(hào)塔分別建在、、、四處，現(xiàn)要求信號(hào)塔建在公園內(nèi)一個(gè)湖泊的邊上，該湖泊可近似看成一個(gè)半徑為的圓，記為．已知點(diǎn)到該湖泊的最近距離為，是否存在這樣的點(diǎn)，滿足，且使得四邊形的面積最大？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．23．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知和均為等腰三角形，，，將這兩個(gè)三角形放置在一起．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、、在同一直線上，連接，則線段、之間的數(shù)量關(guān)系是，；（2）拓展探究：如圖②，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、、不在同一直線上，連接，求出線段、之間的數(shù)量關(guān)系及、所在直線相交所成的銳角的大?。ǘ加煤氖阶颖硎荆?，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖③，，，，連接、，在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)所在的直線垂直于時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．24．（2022?射陽(yáng)縣校級(jí)二模）【了解概念】在凸四邊形中，若一邊與它的兩條鄰邊組成的兩個(gè)內(nèi)角相等，則稱該四邊形為鄰等四邊形，這條邊叫做這個(gè)四邊形的鄰等邊．【理解運(yùn)用】（1）鄰等四邊形中，，，則的度數(shù)為．（2）如圖，凸四邊形中，為邊的中點(diǎn)，，判斷四邊形是否為鄰等四邊形；并證明你的結(jié)論；【拓展提升】（3）在平面直角坐標(biāo)系中，為鄰等四邊形的鄰等邊，且邊與軸重合，已知，，，，，若在邊上使的點(diǎn)有且僅有1個(gè)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．25．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)三模）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同一個(gè)圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問(wèn)題，可以使解題思路清晰，解題過(guò)程簡(jiǎn)便快捷．（1）在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)為，其內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)為；（2）①如圖1，是邊長(zhǎng)為的正內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中心，設(shè)點(diǎn)到各邊距離分別為，，，連接，，，由等面積法，易知，可得；（結(jié)果用含的式子表示）②如圖2，是邊長(zhǎng)為的正五邊形內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到五邊形各邊距離分別為，，，，，參照①的探索過(guò)程，試用含的式子表示的值．（參考數(shù)據(jù)：，（3）①如圖3，已知的半徑為2，點(diǎn)為外一點(diǎn)，，切于點(diǎn)，弦，連接，則圖中陰影部分的面積為；（結(jié)果保留②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇，由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造，若要將花壇形狀改造成五邊形，其中點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由.26．（2022?射陽(yáng)縣校級(jí)三模）如圖，在矩形中，，、分別為、邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，沿將四邊形翻折至四邊形，點(diǎn)落在上，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．（1）寫(xiě)出與之間的位置關(guān)系是：；（2）求證：；（3）連接，若，，求的長(zhǎng)．專題05幾何壓軸題1．（2022?鹽城）【經(jīng)典回顧】梅文鼎是我國(guó)清初著名的數(shù)學(xué)家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法．圖1是其中一種方法的示意圖及部分輔助線．在中，，四邊形、和分別是以的三邊為一邊的正方形．延長(zhǎng)和，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．（1）證明：；（2）證明：正方形的面積等于四邊形的面積；（3）請(qǐng)利用（2）中的結(jié)論證明勾股定理．【遷移拓展】（4）如圖2，四邊形和分別是以的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在下方是否存在平行四邊形，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形、的面積之和．若存在，作出滿足條件的平行四邊形（保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：如圖1，連接，四邊形，和是正方形，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，；（2）證明一：，，，，，由（1）知：，，四邊形是矩形，，，正方形的面積等于四邊形的面積；證明二：四邊形是矩形，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，正方形的面積，的面積，正方形的面積等于四邊形的面積；（3）證明：由正方形可得，又，四邊形是平行四邊形，由（2）知，四邊形是平行四邊形，由（1）知：，的面積的面積正方形，延長(zhǎng)交于，同理有的面積的面積正方形，正方形的面積正方形的面積的面積的面積正方形，；（4）解：作圖不唯一，如圖2即為所求作的．說(shuō)明：如圖2，延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，以為圓心為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上取，作，作射線交于，交于，由圖可知：射線把分成和，根據(jù)同底等高可得：，，的面積相等，同理，，的面積相等是直線與的交點(diǎn)），所以平行四邊形的面積等于平行四邊形、的面積之和．2．（2020?鹽城）木門(mén)常常需要雕刻美麗的圖案．（1）圖①為某矩形木門(mén)示意圖，其中長(zhǎng)為200厘米，長(zhǎng)為100厘米，陰影部分是邊長(zhǎng)為30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心點(diǎn)處，在雕刻時(shí)始終保持模具的一邊緊貼木門(mén)的一邊，所刻圖案如虛線所示，求圖案的周長(zhǎng)；（2）如圖②，對(duì)于（1）中的木門(mén)，當(dāng)模具換成邊長(zhǎng)為厘米的等邊三角形時(shí)，刻刀的位置仍在模具的中心點(diǎn)處，雕刻時(shí)也始終保持模具的一邊緊貼木門(mén)的一邊，使模具進(jìn)行滑動(dòng)雕刻．但當(dāng)模具的一個(gè)頂點(diǎn)與木門(mén)的一個(gè)頂點(diǎn)重合時(shí)，需將模具繞著重合點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)雕刻，直到模具的另一邊與木門(mén)的另一邊重合．再滑動(dòng)模具進(jìn)行雕刻，如此雕刻一周，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出雕刻所得圖案的草圖，并求其周長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)是邊長(zhǎng)為30厘米的正方形雕刻模具的中心，，同理：與之間的距離為，與之間的距離為，與之間的距離為，，，，答：圖案的周長(zhǎng)為；（2）連接、、，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖②點(diǎn)是邊長(zhǎng)為的等邊三角形模具的中心，，，，，，，當(dāng)向上平移至點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，由題意可得，△繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得與邊重合，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，，同理可得其余三個(gè)角均為弧長(zhǎng)為的圓弧，，答：雕刻所得圖案的周長(zhǎng)為．3．（2019?鹽城）如圖①是一張矩形紙片，按以下步驟進(jìn)行操作：（Ⅰ）將矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上點(diǎn)處，如圖②；（Ⅱ）在第一次折疊的基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)再次折疊，使得點(diǎn)落在邊上點(diǎn)處，如圖③，兩次折痕交于點(diǎn)；（Ⅲ）展開(kāi)紙片，分別連接、、、，如圖④．【探究】（1）證明：；（2）若，設(shè)為，為，求關(guān)于的關(guān)系式．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：由折疊可知，，，，，在中，，；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．由（1），，，則，，，，，在中，由勾股定理得，即，關(guān)于的關(guān)系式：．4．（2018?鹽城）【發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知等邊，將直角三角板的角頂點(diǎn)任意放在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），使兩邊分別交線段、于點(diǎn)、．（1）若，，，則4；（2）求證：．【思考】若將圖①中的三角板的頂點(diǎn)在邊上移動(dòng)，保持三角板與邊、的兩個(gè)交點(diǎn)、都存在，連接，如圖②所示，問(wèn)：點(diǎn)是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【探索】如圖③，在等腰中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，將三角形透明紙板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)處（其中，使兩條邊分別交邊、于點(diǎn)、（點(diǎn)、均不與的頂點(diǎn)重合），連接．設(shè)，則與的周長(zhǎng)之比為（用含的表達(dá)式表示）．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）解：是等邊三角形，，．，，則，是等邊三角形，，又，．，則，是等邊三角形，．故答案是：4；（2）證明：如圖①，，，，，．又，；【思考】存在，如圖②，過(guò)作，，，垂足分別是、、，平分且平分．．又，，，，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，；【探索】如圖③，連接，作，，，垂足分別是、、．則，，是的中點(diǎn)，，，，，，，則，由（2）題可猜想應(yīng)用（可通過(guò)半角旋轉(zhuǎn)證明），則，設(shè)，則，．．故答案是：．5．（2022?鹽城一模）【問(wèn)題背景】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小軍對(duì)蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)教材第42頁(yè)的第4題很感興趣．教材原題：如圖1，、是的高，是的中點(diǎn)．點(diǎn)、、、是否在以點(diǎn)為圓心的同一個(gè)圓上？為什么？小軍在完成此題解答后提出：如圖2，若、的交點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)、、、四點(diǎn)也在同一個(gè)圓上．（1）請(qǐng)對(duì)教材原題或小軍提出的問(wèn)題進(jìn)行解答．（選擇一個(gè)解答即可）【直接應(yīng)用】當(dāng)大家將上述兩題都解決后，組員小明想起了在七年級(jí)通過(guò)畫(huà)圖歸納出的一個(gè)結(jié)論：三角形的三條高所在直線交于同一點(diǎn)，可通過(guò)上面的結(jié)論加以解決．（2）如圖3，的兩條高、相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．求證：為的邊上的高．【拓展延伸】在大家完成討論后，曾老師根據(jù)大家的研究提出一個(gè)問(wèn)題：（3）在（2）的條件下連接、、（如圖，設(shè)，則的度數(shù)為．（用含的式子表示）【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）選擇教材原題，點(diǎn)、、、是否在以點(diǎn)為圓心的同一個(gè)圓上．如圖，連接、，、是的高，是的中點(diǎn)，，點(diǎn)、、、是否在以點(diǎn)為圓心的同一個(gè)圓上．（2）如圖，連接，由點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓得，由點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓得，，，，，，為的邊上的高．（3）如圖，，點(diǎn)、、、在以點(diǎn)為圓心的同一個(gè)圓上，，由（1）證得點(diǎn)、、、在同一個(gè)圓上，，，同理可證：，，點(diǎn)是的內(nèi)心．．6．（2022?建湖縣一模）【問(wèn)題再現(xiàn)】蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第94頁(yè)有這樣一題：如圖1，在正方形中，，，分別是，，上的點(diǎn)，，垂足為，那么．（填“”、“”或“”【遷移嘗試】如圖2，在的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)，，，為格點(diǎn)，交于點(diǎn)．求的度數(shù)；【拓展應(yīng)用】如圖3，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，分別以，為邊在的同側(cè)作正方形與正方形，連接分別交線段，于點(diǎn)，．①求的度數(shù)；②連接交于點(diǎn)，直接寫(xiě)出的值為．【答案】見(jiàn)解析【詳解】【問(wèn)題再現(xiàn)】，，將線段向左平移至處，交于，，，，四邊形為正方形，，，，，，，，故答案為：；【遷移嘗試】將線段向右平移至處，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接，如圖2所示：，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為單位1，則由勾股定理可得：，，，，是直角三角形，，且，；【拓展應(yīng)用】①平移線段至處，連接，如圖3所示：則，四邊形是平行四邊形，，四邊形與四邊形都是正方形，，，，，在和中，，，，，，，，；②如備用圖所示：為正方形的對(duì)角線，，，，，，，故答案為．7．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)一模）小明學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，積極思考，利用兩個(gè)大小不同的直角三角形與同學(xué)做起了數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．如圖1，在與中，，，，，．【探索發(fā)現(xiàn)】將兩個(gè)三角形頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，如圖2，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系一直不變，則線段與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；【深入思考】將兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，如圖3所示將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，連接、，線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為；②如圖4所示，連接、，若線段、交于點(diǎn)，試探究四邊形能否為平行四邊形？如果能，求出、之間的數(shù)量關(guān)系，如果不能，試說(shuō)明理由．【拓展延伸】如圖5，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，則的取值范圍為（用含、的不等式表示）．【答案】見(jiàn)解析【詳解】【探究發(fā)現(xiàn)】，，理由如下：如圖1，，，，在和中，，，；【深入思考】①，理由如下：如圖2，在上截取，可得是等腰直角三角形，，由【探究發(fā)現(xiàn)】得：，；故答案為：；②四邊形可以為平行四邊形，此時(shí)，，，，，；【拓展延伸】如圖3，延長(zhǎng)至，是，連接，，在中，，，，點(diǎn)在以為圓心，的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，最大值為：，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，最小，最小值為，，，故答案為：．8．（2022?鹽城二模）以下為一個(gè)合作學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)研討中的過(guò)程記錄，請(qǐng)閱讀后完成下方的問(wèn)題．試題分析（Ⅰ）如圖1，在中，，，是外一點(diǎn)，且．求的度數(shù)．小明：我發(fā)現(xiàn)試題中有三個(gè)等腰三角形，設(shè)，易知，又因?yàn)?，得，即可算出的度?shù)．小麗：我發(fā)現(xiàn)．則點(diǎn)、、到點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn)、、在以點(diǎn)為圓心、線段長(zhǎng)為半徑的圓上猜想證明（Ⅱ）如圖1，在中，，，點(diǎn)、在同側(cè)．猜想：若45，則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心、線段長(zhǎng)為半徑的圓上．對(duì)于這個(gè)猜想的證明，小華有自己的想法：以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓．根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，知道點(diǎn)可能在內(nèi)，或點(diǎn)在上，或點(diǎn)在外．故只要證明點(diǎn)不在內(nèi)，也不在外，就可以確定點(diǎn)一定在上．（Ⅲ）進(jìn)一步猜想：如圖2，在中，，，點(diǎn)、在同側(cè)．若，則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心、線段長(zhǎng)為半徑的圓上．（Ⅳ）對(duì)（Ⅲ）中的猜想進(jìn)行證明．問(wèn)題1．完成（Ⅰ）中的求解過(guò)程；問(wèn)題2．補(bǔ)全猜想證明中的兩個(gè)猜想：（Ⅱ）；（Ⅲ）；問(wèn)題3．證明上面（Ⅲ）中的猜想；問(wèn)題4．如圖3為某大型舞臺(tái)實(shí)景投影側(cè)面示意圖，，點(diǎn)處為投影機(jī)，投影角，折線為影像接收區(qū)．若影像接收區(qū)最大時(shí)（即最大），投射效果最好，請(qǐng)直接寫(xiě)出影像接收區(qū)最大時(shí)的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】問(wèn)題1：解：小明：如圖1，設(shè)，，，，，，，，小麗：如圖2，，點(diǎn)、、在以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上，，，；問(wèn)題2：由問(wèn)題1可知：在中，，，點(diǎn)、在同側(cè)，若，則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心、線段長(zhǎng)為半徑的圓上，同理，由問(wèn)題1可知：在中，，，點(diǎn)、在同側(cè)，若，則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心、線段長(zhǎng)為半徑的圓上，故答案為：（Ⅱ），（Ⅲ）；問(wèn)題證明：若點(diǎn)在外，如圖3，點(diǎn)在上，，，，點(diǎn)在外不成立，若點(diǎn)在內(nèi)，如圖4，點(diǎn)在上又，點(diǎn)在內(nèi)不成立綜上所述：點(diǎn)在上；問(wèn)題，當(dāng)時(shí)成立，設(shè)，如圖5，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，以為圓心，以為半徑作，，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，由問(wèn)題3可知，點(diǎn)在上，，，，，，在中，，，解得：或58（不符合題意，舍去），影像接收區(qū)最大時(shí)的長(zhǎng)為10，故答案為：10．9．（2022?濱?？h一模）在四邊形中，，對(duì)角線平分．（1）推理證明：如圖1，若，且，求證：；（2）問(wèn)題探究：如圖2，若，試探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，（3）遷移應(yīng)用：如圖3，若，，，求線段的長(zhǎng)度．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：平分，．，，又，，，，，，．（2）解：，理由如下：在圖2中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．平分，，．，，．在與中，，，，．由（1）可知：，．（3）解：在圖3中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)由（2）知：，，．，平分，，，均為等腰直角三角形，，．又，，．10．（2022?鹽城一模）如圖，已知矩形中，是邊上一點(diǎn)，將沿折疊得到，連接．（1）初步探究如圖1，當(dāng)，落在直線上時(shí)．①求證：；②填空：1；（2）深入思考如圖2，當(dāng)，與邊相交時(shí)，在上取一點(diǎn)，使，與交于點(diǎn)．求的值（用含的式子表示），并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸在（2）的條件下，當(dāng)，是的中點(diǎn)時(shí)，若，求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）①證明：如圖1，，，四邊形是矩形，四邊形是正方形，，，由折疊可知，，，折疊時(shí)落在直線上，，，，在和中，，，；②解：由①知：，，故答案為：1；（2）解：，理由如下：如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由折疊可知垂直平分，，，，四邊形是矩形，，，，，又，，，；（3）解：如圖3，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，是的中點(diǎn)，，由折疊可知，，，，，又，，，即，由（2）知，，，，，，，，在和中，，，，設(shè)，則，由折疊得：垂直平分，，，，，在中，，，，四邊形是矩形，，，，，即，又，，，又，四邊形是平行四邊形，，又，，即，，，即．11．（2022?建湖縣二模）問(wèn)題情境小春在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上借助幾何畫(huà)板按照下面的畫(huà)法畫(huà)出了一個(gè)圖形：如圖1，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，分別以、為底邊在線段的同側(cè)作等腰三角形、等腰三角形，、相交于點(diǎn)．當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，他發(fā)現(xiàn)：．請(qǐng)幫他解釋其中的道理；問(wèn)題探究如圖2，在上述情境下中的條件下，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．類比應(yīng)用如圖3，是某村的一個(gè)三角形魚(yú)塘，點(diǎn)、分別在邊、上，、的交點(diǎn)為魚(yú)塘的釣魚(yú)臺(tái)，測(cè)量知道，，，且．直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1），，，，，，；（2）由（1）可知，，，，，，，，，在和中，，，；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，在中，，，設(shè)，則，，，在中，，，解得，，，過(guò)點(diǎn)作交于，，，，，由問(wèn)題探究可知，，故答案為：．12．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)二模）【問(wèn)題背景】為了保持室內(nèi)空氣的清新，某倉(cāng)庫(kù)的門(mén)動(dòng)換氣窗采用了以下設(shè)計(jì)：如圖1，窗子的形狀是一個(gè)五邊形，它可看作是由一個(gè)矩形和一個(gè)組成，該窗子關(guān)閉時(shí)可以完全密封，根據(jù)室內(nèi)的溫度和濕度也可以自動(dòng)打開(kāi)窗子上的通風(fēng)口換氣．通風(fēng)口為（陰影部分均不通風(fēng)），點(diǎn)為的中點(diǎn)，是可以沿窗戶邊框上下滑動(dòng)且始終保持和平行的伸縮橫桿．設(shè)窗子的邊框、分別為，，窗子的高度（窗子的最高點(diǎn)到邊框的距離）為．【初步探究】（1）若，，（即點(diǎn)到的距離為．①與之間的距離為，求此時(shí)的面積；②與之間的距離為，試將通風(fēng)口的面積表示成關(guān)于的函數(shù)；③伸縮桿移動(dòng)到什么位置時(shí)，通風(fēng)口面積最大，最大面積是多少？【拓展提升】（2）若金屬桿移動(dòng)到高于所在位置的某一處時(shí)通風(fēng)口面積達(dá)到最大值．①需要滿足的條件是，通風(fēng)口的最大面積是（用含、、的代數(shù)式表示）②用直尺和圓規(guī)在圖3中作出通風(fēng)口面積最大金屬桿所在的位置，（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；與之間的距離為時(shí)的面積為；②如圖1，過(guò)作，垂足為，分別與、相交于點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，，，，，四邊形是矩形，，，四邊形是矩形，，，由題意可知，，，，，，，又、分別是、的對(duì)應(yīng)高，，即，化簡(jiǎn)，得：．；綜上可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，最大，最大值是3．當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，最大，最大值是3．綜上所述，當(dāng)時(shí)，最大，最大值是3．因此，金屬桿移動(dòng)到所在的位置時(shí)，通風(fēng)口面積最大，最大面積是．（2）①如圖2，已知在中有內(nèi)接矩形，其中、在、邊上，、在邊上，易證當(dāng)為中位線時(shí)，矩形的面積最大，且最大面積為面積的一半，即：底高，在圖3中，延長(zhǎng)、交直線于、，則為的中位線時(shí)，矩形的面積最大，所以要想金屬桿移動(dòng)到高于所在位置的某一處時(shí)通風(fēng)口面積達(dá)到最大值，只需與邊平行的中位線在上方即可，即，此時(shí)的最大，面積為的面積的一半．作于交于，，，，即，，通風(fēng)口的面積矩形面積的最大值面積的一半．故答案為：；．②如圖4，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，作的垂直平分線交、于點(diǎn)、，線段即為所求．13．（2022?射陽(yáng)縣一模）如圖1，已知為等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊、上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)．（1）觀察猜想在圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是，的度數(shù)是；（2）探究證明若為直角三角形，，，點(diǎn)分別在邊，上，，把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖2，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)．判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸若中，，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3．①是三角形．②若面積為，直接利用①中的結(jié)論，求的取值范圍．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1），，理由如下：是等邊三角形，，，，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，，，，，，，，故答案為：；；（2）是等腰直角三角形，理由如下：連接，，，，，，，，是的中位線，，，同理，，，，，，是等腰直角三角形；（3）①連接，，由（2）同理可得，是等邊三角形，故答案為：等邊三角形；②，當(dāng)最大時(shí)，最大；當(dāng)最小時(shí)，最小，，，最大為18，最小為8，最大值為9，最小值為4，最大值為，的最小值為，．14．（2022?東臺(tái)市模擬）小明在學(xué)習(xí)矩形知識(shí)后，進(jìn)一步開(kāi)展探究活動(dòng)：將一個(gè)矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，連結(jié)．【探究1】如圖1，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)恰好在延長(zhǎng)線上．若，求的長(zhǎng)．【探究2】如圖2，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．線段與相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【探究3】在探究2的條件下，射線分別交，于點(diǎn)，（如圖，發(fā)現(xiàn)線段，，存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系式，并加以證明．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）如圖1，設(shè)，矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)，，在一條線上，，，，，，又點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，△，，，解得，（不合題意，舍去），；（2），理由如下：如圖2，連接，，，，，，△，，，，，，；（3）關(guān)系式為，理由如下：如圖3，連接，，，，△，，，，，，，在和中，，，，，，．15．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)模擬）問(wèn)題：紙給我們矩形的印象，這個(gè)矩形是特殊矩形嗎？思考：通過(guò)度量、上網(wǎng)查閱資料，小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)紙的長(zhǎng)與寬的比是一個(gè)特殊值“”定義：如圖1，點(diǎn)把線段分成兩部分，如果，那么點(diǎn)為線段的“白銀分割點(diǎn)”如圖2，矩形中，，那么矩形叫做白銀矩形．應(yīng)用：（1）如圖3，矩形是白銀矩形，，將矩形沿著對(duì)折，求證：矩形也是白銀矩形．（2）如圖4，矩形中，，，為上一點(diǎn)，將矩形沿折疊，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，說(shuō)明點(diǎn)為線段的”白銀分制點(diǎn)”．（3）已知線段（如圖，作線段的一個(gè)“白銀分割點(diǎn)”．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：矩形是白銀矩形，，設(shè)，則，將矩形沿著對(duì)折，，，，四邊形是矩形，，矩形也是白銀矩形；（2）證明：如圖：四邊形是矩形，，矩形沿折疊，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，的等腰直角三角形，，，是線段的”白銀分制點(diǎn)”；（3）如圖：過(guò)作，在上取，連接，作的角平分線交于，點(diǎn)即為線段的“白銀分割點(diǎn)”．16．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)模擬）（1）如圖1，在矩形中，，，若要在該矩形中作出一個(gè)面積最大的，且使，求滿足條件的點(diǎn)到點(diǎn)的距離．（2）如圖2，有一座古井，按規(guī)定，要以井為對(duì)稱中心，建一個(gè)面積盡可能大的形狀為平行四邊形的景區(qū)．根據(jù)實(shí)際情況，要求頂點(diǎn)是定點(diǎn)，點(diǎn)到井的距離為米，，那么，是否可以建一個(gè)滿足要求的面積最大的平行四邊形景區(qū)？若可以，求出滿足要求的平行四邊形的最大面積；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．（井的占地面積忽略不計(jì)）（3）為了保護(hù)古井（井的占地面積忽略不計(jì)），擬以古井為中心劃定邊長(zhǎng)為30米的正方形景區(qū)，在該正方形區(qū)域內(nèi)選擇若干個(gè)安裝點(diǎn)，安裝一種電訊信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)裝置，其發(fā)射直徑為31米．現(xiàn)要求：在該正方形區(qū)域每個(gè)點(diǎn)安裝一個(gè)這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號(hào)能完全覆蓋這個(gè)景區(qū)．問(wèn)：①能否找到這樣的4個(gè)安裝點(diǎn)，使得這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？②至少需要選擇多少個(gè)安裝點(diǎn)，才能使這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？答題要求：請(qǐng)你在解答時(shí)，畫(huà)出必要的示意圖，并用必要的計(jì)算、推理和文字來(lái)說(shuō)明你的理由．（下面給出了幾個(gè)邊長(zhǎng)為30米的正方形區(qū)域示意圖，供解題時(shí)選用）【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）如圖，，，取的中點(diǎn)，則．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，一定于相交于，兩點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)不能在矩形外；的頂點(diǎn)或位置時(shí)，的面積最大，作，垂足為，則四邊形是矩形，在中，，，，由對(duì)稱性得．（2）為平行四邊形的對(duì)稱中心，，，，如圖，連接，作的外接圓，則點(diǎn)在上，取的中點(diǎn)，，，，是等邊三角形，連接并延長(zhǎng)，使得，連接，，則四邊形是平行四邊形，，，，，，，四邊形是菱形，，，，的面積最大，即平行四邊形的面積最大，最大值為平方米；（3）①如圖，正方形的邊長(zhǎng)為30米，信號(hào)裝置發(fā)射直徑為31米．個(gè)圓心在正方形邊的中點(diǎn)直徑為31米的圓符合題意，②如圖，以中點(diǎn)為圓心，15.5米為半徑作，則點(diǎn)，在內(nèi)部，設(shè)交，于點(diǎn)，，取的中點(diǎn)，連接，，取，的中點(diǎn)，，以，為圓心，15.5米為半徑，作，，則三個(gè)圓完全覆蓋景區(qū)，即能使這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達(dá)到預(yù)設(shè)的要求（答案不唯一）理由如下：，，在內(nèi)，，，，，，同理，點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)在內(nèi)部，三個(gè)圓完全覆蓋景區(qū)，能使這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達(dá)到預(yù)設(shè)的要求（答案不唯一）．17．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)三模）定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個(gè)角的夾邊稱為鄰余線．（1）如圖1，在中，，是的角平分線，，分別是，上的點(diǎn)．求證：四邊形是鄰余四邊形．（2）如圖2，在的方格紙中，，在格點(diǎn)上，請(qǐng)畫(huà)出一個(gè)符合條件的鄰余四邊形，使是鄰余線，，在格點(diǎn)上．（3）如圖3，在（1）的條件下，取中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，，，求鄰余線的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1），是的角平分線，，，，與互余，四邊形是鄰余四邊形；（2）如圖所示（答案不唯一），四邊形為所求；（3），是的角平分線，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，．18．（2022?濱?？h模擬）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好落在上，則折痕的長(zhǎng)為；（2）如圖2，若點(diǎn)恰好落在上．①求證：；②求的值；（3）如圖3，若將圖1中的四邊形剪下，在上取中點(diǎn)，將沿折疊得到，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），將△沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在上，當(dāng)△的一個(gè)內(nèi)角與相等時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）解：如圖1，將矩形沿折疊，點(diǎn)恰好落在上，，，，是等腰直角三角形，，故答案為：；（2）①證明：如圖2，四邊形是矩形，，，，由折疊得：，，，，；②解：矩形中，，，，，由勾股定理得：，矩形沿折疊，點(diǎn)恰好落在上點(diǎn)處，，，，，，設(shè)，則，在△中，由勾股定理列方程得：，解得：，即，，；（3）解：由（1）可知是等腰直角三角形，，，，，當(dāng)時(shí)，如圖3，連接交于點(diǎn)，將△沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，垂直平分，，，，；當(dāng)時(shí)，如圖4，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接、，將△沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，垂直平分，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，、、在同一條直線上，，，，設(shè)，則，，，解得：，，，垂直平分，，設(shè)，則，在中，，，解得：，；綜上所述，的長(zhǎng)度為3或．19．（2022?射陽(yáng)縣校級(jí)一模）當(dāng)光線經(jīng)過(guò)鏡面反射時(shí)，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對(duì)應(yīng)相等．請(qǐng)用這一結(jié)論解答下列問(wèn)題．（1）如圖1，入射光線經(jīng)過(guò)平面鏡與反射后的反射光線是，若，則的度數(shù)為．（2）如圖2是一種利用平面鏡反射，放大微小變化的裝置．手柄上的點(diǎn)處安裝一平面鏡，與屏幕的交點(diǎn)為，從點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡反射后，在上形成一個(gè)光點(diǎn)．已知當(dāng)，時(shí)，，，．①求的長(zhǎng)．②將手柄在原有位置繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度得到（如圖，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，從點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡反射后，在上的光點(diǎn)為．若，則的長(zhǎng)為多少？【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）（2）①如圖，由題意可得，，，，，，，，，，．答：的長(zhǎng)為48．②如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)在中可求，在中可求，，得可設(shè)，，則得由△得即，解得．20．（2022?射陽(yáng)縣校級(jí)三模）【閱讀感悟】數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則是對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西．知識(shí)與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門(mén)發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、新結(jié)論的重要方法．【知識(shí)方法】（1）如圖1，，，交于點(diǎn)，則與的關(guān)系是，；【類比遷移】（2）四邊形是矩形，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①如圖2，過(guò)點(diǎn)作，，連接、．判斷線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；②如圖3，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接、，則面積的最小值為；【拓展應(yīng)用】（3）四邊形是矩形，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)、不重合），連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接、．求四邊形面積的最小值．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）如圖1，延長(zhǎng)交于，，，，，，，，，，故答案為：，；（2）①，，理由如下：如圖2，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，；②設(shè)，，正方形的面積，面積，當(dāng)時(shí)，面積的最小值為，故答案為．（3）如圖，由折疊的性質(zhì)可得：，，，，，，，，，，四邊形面積，，，又，，，，當(dāng)時(shí)，有最大值，即的最小值為，四邊形面積．21．（2022?射陽(yáng)縣校級(jí)二模）（1）①如圖1，中，點(diǎn)在上，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在上作一點(diǎn)，使得點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離相等（保留作圖痕跡）；②在所作的圖中，若，平分，，、所對(duì)的邊記為、，試說(shuō)明；（如需畫(huà)草圖，請(qǐng)使用備用圖）（2）如圖2，中，，平分，點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離相等，若，，求的周長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）①解：如圖1中，點(diǎn)即為所求．②證明：如圖3中，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．，，，平分，，是等邊三角形，，，，，，；（2）解：如圖2中，設(shè)，，平分，，，，，，，，，，，，（負(fù)值已經(jīng)舍去），的周長(zhǎng)為.22．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)三模）如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線相等，我們稱這個(gè)四邊形為美好四邊形．【問(wèn)題提出】（1）如圖①，點(diǎn)是四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，，，請(qǐng)說(shuō)明四邊形是美好四邊形；【問(wèn)題探究】（2）如圖②，，請(qǐng)利用尺規(guī)作圖，在平面內(nèi)作出點(diǎn)使得四邊形是美好四邊形，且滿足．保留作圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法；（3）在（2）的條件下，若圖②中滿足：，，，求四邊形的面積；【問(wèn)題解決】（4）如圖③，某公園內(nèi)需要將4個(gè)信號(hào)塔分別建在、、、四處，現(xiàn)要求信號(hào)塔建在公園內(nèi)一個(gè)湖泊的邊上，該湖泊可近似看成一個(gè)半徑為的圓，記為．已知點(diǎn)到該湖泊的最近距離為，是否存在這樣的點(diǎn)，滿足，且使得四邊形的面積最大？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）連接，，如圖：，，即，在和中，，，，四邊形是美好四邊形；（2）如圖：四邊形即為所求；（3）連接，過(guò)作于，如圖：，，，，四邊形是美好四邊形，，，，，在中，，，，；（4）存在這樣的點(diǎn)，滿足，且使得四邊形的面積最大，理由如下：當(dāng)對(duì)角線相等的四邊形對(duì)角線不垂直時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，則，，，，，當(dāng)對(duì)角線相等的四邊形對(duì)角線垂直時(shí)，如圖：當(dāng)對(duì)角線相等的四邊形對(duì)角線垂直時(shí)，面積最大，如圖，當(dāng)過(guò)圓心，最長(zhǎng)，四邊形中，時(shí)，其面積最大，的半徑為，點(diǎn)到該湖泊的最近距離為，，，，故四邊形的面積最大為．23．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)一模）如圖，