專(zhuān)題04相似三角形(重難點(diǎn)突破)(原卷版+解析)

專(zhuān)題04相似三角形重點(diǎn)探索兩個(gè)三角形相似的條件，會(huì)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗR(shí)別兩個(gè)三角形相似難點(diǎn)探索相似三角形的性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；綜合運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題易錯(cuò)相似三角形的對(duì)應(yīng)元素出錯(cuò)；用相似三角形相似比求面積關(guān)系時(shí)出錯(cuò)一、相似三角形的判定1．相似三角形的判定定理①判定定理1：平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．②判定定理2：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似．③判定定理3：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似．④判定定理4：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．2．直角三角形相似的判定方法如果兩個(gè)直角三角形滿(mǎn)足一個(gè)銳角相等，或兩組直角邊成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．3．判定三角形相似的幾條思路：（1）條件中若有平行線(xiàn)，可采用相似三角形的判定（1）；（2）條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角[用判定（1）]或再找?jiàn)A邊成比例[用判定（2）]；（3）條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找?jiàn)A角相等；（4）條件中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例；（5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個(gè)底角相等，也可找底和腰對(duì)應(yīng)成比例．【例1】如圖，在中，高、相交于點(diǎn)F．圖中與一定相似的三角形有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【例2】在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，下列比例式中不能得到DEBC的是（）A． B． C． D．二、相似三角形的性質(zhì)運(yùn)用相似三角形性質(zhì)的前提是先判定兩三角形相似.特別注意“相似三角形面積的比等于相似比的平方”而不是等于相似比，即相似比應(yīng)等于面積比的算術(shù)平方根．【例3】如圖，，若，，則與的相似比是（

）A．1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．3∶2【例4】如圖，已知和的相似比是，且的面積為2，則四邊形的面積為（）A．6 B．8 C．4 D．2三、相似三角形應(yīng)用舉例解相似三角形應(yīng)用題的兩個(gè)原則：（1）核心是構(gòu)造相似三角形，在構(gòu)造的三角形中，被測(cè)物體的高度或?qū)挾纫话闶瞧渲械囊贿叄?）構(gòu)造三角形的方法多種多樣，只需把握住所構(gòu)造的三角形除被測(cè)量的邊以外，其余的對(duì)應(yīng)邊易測(cè)這一原則．【例5】如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹(shù)的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，已知紙板的兩條直角邊，，測(cè)得邊DF離地面的高度，，則樹(shù)高AB為（

）m．A．5 B． C．7 D．【例6】地質(zhì)勘探人員為了估算某條河的寬度，在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)O，再在他們所在的這一側(cè)選取點(diǎn)A，B，D，使得，然后找到和的交點(diǎn)C，如圖所示，測(cè)得，則可計(jì)算出河寬為（）A．16m B．15m C．14m D．13m一、單選題1．如圖，，相交于點(diǎn)，且，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．若，其相似比為，則與的面積比為（

）A． B． C． D．3．如圖，已知，相似比為，則為（）A．2 B．5 C．5 D．14．如圖，，，交于，圖中相似三角形共有（

）A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì)5．如圖，E是的邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接，交邊于點(diǎn)P．若，則與的周長(zhǎng)之比為（）A． B． C． D．6．如圖，在等邊中，點(diǎn)，分別在邊，上，且，則有（

）A． B．C． D．二、填空題7．如圖，已知，，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，且，，那么______．8．如圖，已知中，D為邊AC上一點(diǎn)，P為邊AB上一點(diǎn)，，，，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為_(kāi)_____時(shí)，和相似．三、解答題9．如圖，在和中，，．(1)求證：；(2)判斷與是否相似？并證明．10．如圖，點(diǎn)是菱形的對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)，交于，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．一、單選題1．如圖，在和中，，且，，則（

）A． B． C． D．2．如圖，將沿邊上的中線(xiàn)平移到的位置，已知的面積為，陰影部分三角形的面積為若，則等于（

）A． B． C． D．3．如圖，在中，D、E分別是邊、上的點(diǎn)，且∥，若，則的值為（）A． B． C． D．4．如圖，已知在中，，，，為的角平分線(xiàn)，過(guò)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5．如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)O，連接．下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn)、，連接、，與相交于點(diǎn)，給出下列結(jié)論：其中正確的是（

）①；②；③；④A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①③④二、填空題7．如圖，在中，，，，則______cm．8．如圖，、、、分別為矩形的邊、、、的中點(diǎn)，連接、、、、，已知，，則下列結(jié)論：①；②∽；③；④正確的是______（填寫(xiě)序號(hào)）三、解答題9．如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，如果、分別從、同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)為多少時(shí)，的面積是？(2)當(dāng)為多少時(shí)，與是相似三角形？10．如圖，中，是直角，過(guò)斜邊中點(diǎn)而垂直于斜邊的直線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，交于，連接.求證：(1)；(2).專(zhuān)題04相似三角形重點(diǎn)探索兩個(gè)三角形相似的條件，會(huì)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗR(shí)別兩個(gè)三角形相似難點(diǎn)探索相似三角形的性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；綜合運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題易錯(cuò)相似三角形的對(duì)應(yīng)元素出錯(cuò)；用相似三角形相似比求面積關(guān)系時(shí)出錯(cuò)一、相似三角形的判定1．相似三角形的判定定理①判定定理1：平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．②判定定理2：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似．③判定定理3：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似．④判定定理4：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．2．直角三角形相似的判定方法如果兩個(gè)直角三角形滿(mǎn)足一個(gè)銳角相等，或兩組直角邊成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．3．判定三角形相似的幾條思路：（1）條件中若有平行線(xiàn)，可采用相似三角形的判定（1）；（2）條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角[用判定（1）]或再找?jiàn)A邊成比例[用判定（2）]；（3）條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找?jiàn)A角相等；（4）條件中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例；（5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個(gè)底角相等，也可找底和腰對(duì)應(yīng)成比例．【例1】如圖，在中，高、相交于點(diǎn)F．圖中與一定相似的三角形有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【詳解】解：∵，，∴，∴，又∵，∴，∵，，∴，即與一定相似的三角形有3個(gè)，故選：C．【例2】在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，下列比例式中不能得到DEBC的是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，解：A．∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DEBC；故選項(xiàng)不符合題意；B．當(dāng)時(shí)，△ADE與△ABC不一定相似，∴∠ADE不一定等于∠B，∴不能得到DEBC，故選項(xiàng)符合題意；C．∵，∴，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DEBC；故選項(xiàng)不符合題意；D．∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DEBC；故選項(xiàng)不符合題意；故選：B．二、相似三角形的性質(zhì)運(yùn)用相似三角形性質(zhì)的前提是先判定兩三角形相似.特別注意“相似三角形面積的比等于相似比的平方”而不是等于相似比，即相似比應(yīng)等于面積比的算術(shù)平方根．【例3】如圖，，若，，則與的相似比是（

）A．1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．3∶2【答案】B【詳解】解：∵，，∴，∵，∴相似比為：，故選B．【例4】如圖，已知和的相似比是，且的面積為2，則四邊形的面積為（）A．6 B．8 C．4 D．2【答案】A【詳解】解：∵和的相似比是，且的面積為2，∴，∴，∴．故選：A．三、相似三角形應(yīng)用舉例解相似三角形應(yīng)用題的兩個(gè)原則：（1）核心是構(gòu)造相似三角形，在構(gòu)造的三角形中，被測(cè)物體的高度或?qū)挾纫话闶瞧渲械囊贿叄?）構(gòu)造三角形的方法多種多樣，只需把握住所構(gòu)造的三角形除被測(cè)量的邊以外，其余的對(duì)應(yīng)邊易測(cè)這一原則．【例5】如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹(shù)的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，已知紙板的兩條直角邊，，測(cè)得邊DF離地面的高度，，則樹(shù)高AB為（

）m．A．5 B． C．7 D．【答案】B【詳解】解：，∵，∴，∴，即，解得：，∵，∴，即樹(shù)高．故答案為：．【例6】地質(zhì)勘探人員為了估算某條河的寬度，在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)O，再在他們所在的這一側(cè)選取點(diǎn)A，B，D，使得，然后找到和的交點(diǎn)C，如圖所示，測(cè)得，則可計(jì)算出河寬為（）A．16m B．15m C．14m D．13m【答案】C【詳解】解：∵，∴．∴，即，∴．故選C．一、單選題1．如圖，，相交于點(diǎn)，且，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵，∴，∵，∴，∵，，∴．故選：C．2．若，其相似比為，則與的面積比為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：且相似比為故選：C3．如圖，已知，相似比為，則為（）A．2 B．5 C．5 D．1【答案】A【詳解】解：∵，相似比為，，∴，故選A．4．如圖，，，交于，圖中相似三角形共有（

）A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì)【答案】B【詳解】解：，，，，，，，，，即，，，，，，．圖中相似三角形共有4對(duì)．故選：B．5．如圖，E是的邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接，交邊于點(diǎn)P．若，則與的周長(zhǎng)之比為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴與的周長(zhǎng)之比；故選A．6．如圖，在等邊中，點(diǎn)，分別在邊，上，且，則有（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：∵等邊三角形，∴，且，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，故選：．二、填空題7．如圖，已知，，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，且，，那么______．【答案】【詳解】解：是線(xiàn)段的中點(diǎn)，，，，，，，，即，，∽，，，，故答案為：．8．如圖，已知中，D為邊AC上一點(diǎn)，P為邊AB上一點(diǎn)，，，，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為_(kāi)_____時(shí)，和相似．【答案】10或6.4【詳解】解：當(dāng)時(shí)，∴，∴，解得：，當(dāng)時(shí)，∴，∴，解得：，∴當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為10或6.4時(shí)，和相似．故答案為：10或6.4．三、解答題9．如圖，在和中，，．(1)求證：；(2)判斷與是否相似？并證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)與相似，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：，，，又，，；（2）與相似，證明：由（1）知：∽，，，又，與相似．10．如圖，點(diǎn)是菱形的對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)，交于，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，在和中，，∴．∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴．（2）解：∵，∴，∵∴∵，，∴，∴．一、單選題1．如圖，在和中，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在中，，，,在和中，，，，故選：B．2．如圖，將沿邊上的中線(xiàn)平移到的位置，已知的面積為，陰影部分三角形的面積為若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，、，且為邊的中線(xiàn)，，，將沿邊上的中線(xiàn)平移得到，，，∴，即，解得或（舍去），．故選：B．3．如圖，在中，D、E分別是邊、上的點(diǎn)，且∥，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵，∴，∵∥，∴，，∴，∴的值為，故選：D．4．如圖，已知在中，，，，為的角平分線(xiàn)，過(guò)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵中，，，，∴，∵為的角平分線(xiàn)，設(shè)到的距離為，則，∴∴即解得如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，∴，∵，∴，∵，∴，又∴∴即解得,∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選：D．5．如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)O，連接．下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別是邊的中點(diǎn)∴是三角形的中位線(xiàn)∴，，即②正確；∴，∴,∴，故③錯(cuò)誤；，故①正確；∵，∴，即，∴＝，故④正確；綜上①②④正確，故選：C．6．如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn)、，連接、，與相交于點(diǎn)，給出下列結(jié)論：其中正確的是（

）①；②；③；④A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】C【詳解】∵四邊形是正方形，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，故①正確，∵，∴，∵，又∵，∴，∴，∴，∴，故②正確，∵，∴與不相似，故③錯(cuò)誤，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故④正確，故選：C．二、填空題7．如圖，在中，，，，則______cm．【答案】4【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，，∴，解得：．故答案為：48．如圖，、、、分別為矩形的邊、、、的中點(diǎn)，連接、、、、，已知，，則下列結(jié)論：①；②∽；③；④正確的是______（填寫(xiě)序號(hào)）【答案】②③④【詳解】解：，，不能說(shuō)明，故①錯(cuò)誤，不符合題意；，，又，，故②正確，符合題意；如圖，連接，由題意得：，，分別是與的中點(diǎn)，，，，即，，在中，，，解得：，，故③正確，符合題意；，，即，故④正確，符合題意，正確的是②③④，故答案為：②③④．三、解答題9．如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，如果、分別從、同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)為多少時(shí)，的面積是？(2)當(dāng)為多少時(shí)