21.3二次根式的加減（難點(diǎn)練）

21.3二次根式的加減（難點(diǎn)練）一、單選題1．（2020·全國(guó)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平方差公式計(jì)算a，利用完全平方公式和二次根式的化簡(jiǎn)求出b，利用二次根式大小的比較辦法，比較b、c得結(jié)論．【詳解】解：a=2019×20212019×2020

=（20201）（2020+1）（20201）×2020

=20202120202+2020

=2019；

∵202224×2021

=（2021+1）24×2021

=20212+2×2021+14×2021

=202122×2021+1

=（20211）2

=20202，

∴b=2020；∵，∴c＞b＞a．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化簡(jiǎn)、二次根式大小的比較等知識(shí)點(diǎn)．變形2019×20212019×2020、，利用完全平方公式計(jì)算出其值，是解決本題的關(guān)鍵．2．（2021·山東九年級(jí)一模）如圖，，，，…是分別以，，，…為直角頂點(diǎn)，一條直角邊在x軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點(diǎn)，，，…均在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（）A． B．900 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)C1的坐標(biāo)，確定y1，可求反比例函數(shù)關(guān)系式，由點(diǎn)C1是等腰直角三角形的斜邊中點(diǎn)，可以得到OA1的長(zhǎng)，然后再設(shè)未知數(shù)，表示點(diǎn)C2的坐標(biāo)，確定y2，代入反比例函數(shù)的關(guān)系式，建立方程解出未知數(shù)，表示點(diǎn)C3的坐標(biāo)，確定y3，……，然后再求和．【詳解】解：過(guò)C1、C2、C3…分別作x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為D1、D2、D3…則∠OD1C1=∠OD2C2=∠OD3C3=90°，∵三角形OA1B1是等腰直角三角形，∴∠A1OB1=45°，∴∠OC1D1=45°，∴OD1=C1D1，其斜邊的中點(diǎn)C1在反比例函數(shù)上，∴C（2，2），即y1=2，∴OD1=D1A1=2，∴OA1=2OD1=4，設(shè)A1D2=a，則C2D2=a此時(shí)C2（4+a，a），代入得：a（4+a）=4，解得：a=，即：y2=，同理：y3=，y4=，......，y2021=，∴y1+y2+…+y2021=2+++...+=，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)一元二次方程的解法等知識(shí)，通過(guò)計(jì)算有一定的規(guī)律，推斷出一般性的結(jié)論，得出答案．3．（2021·全國(guó)九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)的方法，如：，除此之外，我們也可以用平方之后再開(kāi)方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)，如：對(duì)于，設(shè)，易知，故，由，解得，即．根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)后的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題中給的方法分別對(duì)和進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再進(jìn)行合并即可.【詳解】設(shè)，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴原式，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，涉及了分母有理化等方法，弄清題意，理解和掌握題中介紹的方法是解題的關(guān)鍵.4．（2021·上海九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于代數(shù)式，有以下幾種說(shuō)法，①當(dāng)時(shí)，則的值為4.②若值為2，則.③若，則存在最小值且最小值為0.在上述說(shuō)法中正確的是（）A．① B．①② C．①③ D．①②③【答案】C【分析】①將代入計(jì)算驗(yàn)證即可；②根據(jù)題意=2，解得a的值即可作出判斷；③若a＞2，則a+2＞0，則對(duì)配方，利用偶次方的非負(fù)性可得答案．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，

．

故①正確；

②若值為2，

則，

∴a2+2a+1=2a+4，

∴a2=3，

∴．

故②錯(cuò)誤；

③若a＞2，則a+2＞0，

∴===≥0．

∴若a＞2，則存在最小值且最小值為0．

故③正確．

綜上，正確的有①③．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法、分式的值的計(jì)算及最值問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用相關(guān)公式及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特市·九年級(jí)二模）下列計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別運(yùn)用二次根式、整式的運(yùn)算、分式的運(yùn)算法則逐項(xiàng)排除即可．【詳解】解：A.，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.，故D選項(xiàng)正確．故答案為D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式、整式的運(yùn)算、分式的運(yùn)算，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．6．（2021·上海九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)a為的小數(shù)部分，b為的小數(shù)部分，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先分別化簡(jiǎn)所給的兩個(gè)二次根式，分別求出a、b對(duì)應(yīng)的小數(shù)部分，然后化簡(jiǎn)、運(yùn)算、求值，即可解決問(wèn)題．【詳解】∴a的小數(shù)部分為，∴b的小數(shù)部分為，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】該題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則來(lái)分析、判斷、解答．7．（2021·上海九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，從一個(gè)大正方形中裁去面積為30cm2和48cm2的兩個(gè)小正方形，則余下部分的面積為（）．A．78cm2 B．cm2C．cm2 D．cm2【答案】D【分析】結(jié)合題意，根據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)算，即可求出陰影部分的面積，進(jìn)而得出答案．【詳解】從一個(gè)大正方形中裁去面積為30cm2和48cm2的兩個(gè)小正方形，∴兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)分別為：cm、cm∴大正方形的邊長(zhǎng)是：cm∴大正方形的面積是：cm2∴留下部分（即陰影部分）的面積是3048＝cm2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式、完全平方公式的性質(zhì)，從而完成求解二、填空題8．（2020·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)九年級(jí)一模）已知，則________．【答案】【分析】用換元法代替兩個(gè)帶根號(hào)的式子，得出m、n的關(guān)系式，解方程組求m、n的值即可．【詳解】設(shè)m＝，n＝，那么m?n＝2①，m2＋n2＝()2＋()2＝34②．由①得，m＝2＋n③，將③代入②得：n2＋2n?15＝0，解得：n＝?5（舍去）或n＝3，因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．所以＝n＋2m＝13．【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的減法，本題通過(guò)觀察，根號(hào)里面未知數(shù)的系數(shù)為相反數(shù)，可通過(guò)換元法求解．9．（2021·上海九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，那么_____．【答案】【分析】根據(jù)題意可知，代入原函數(shù)即可解答.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值問(wèn)題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)以及二次根式的運(yùn)算是解題關(guān)鍵.10．（2020·威遠(yuǎn)縣鳳翔中學(xué)九年級(jí)期中）觀察下列各式：=1+，=1+，=1+，……請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算+++…+，其結(jié)果為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)已知等式將各式分別化簡(jiǎn)，得到1++1++1++…+1+，再將等式寫(xiě)成+（+++…+）進(jìn)行計(jì)算得到答案.【詳解】∵=1+，=1+，=1+，……，∴+++…+=1++1++1++…+1+=+（+++…+）=2020+（1++++）=2020+1=，故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查運(yùn)算類(lèi)規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)已知等式得到計(jì)算的規(guī)律，由此將各代數(shù)式化簡(jiǎn)，再根據(jù)特殊公式法進(jìn)行計(jì)算得到答案，正確分析得到等式的計(jì)算規(guī)律是解題的關(guān)鍵.11．（2021·四川樂(lè)山市·九年級(jí)期末）形如的根式叫做復(fù)合二次根式，對(duì)可進(jìn)行如下化簡(jiǎn)：＝＝+1，利用上述方法化簡(jiǎn)：＝_____．【答案】【分析】根據(jù)題目中復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)方法及二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將化簡(jiǎn)結(jié)果運(yùn)用二次根式的加減法法則計(jì)算即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的化簡(jiǎn)及運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)及正確理解題目中復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)方法是解題的關(guān)鍵．12．（2021·安徽合肥市·九年級(jí)二模）閱讀下面內(nèi)容，并將問(wèn)題解決過(guò)程補(bǔ)充完整．；；……由此，我們可以解決下面這個(gè)問(wèn)題：，求出S的整數(shù)部分．解：……∴S的整數(shù)部分是________．【答案】見(jiàn)解析；18【分析】把各分母中第二個(gè)被開(kāi)方數(shù)都加上1，增大分母，減小分?jǐn)?shù)的值，構(gòu)造大于的不等式，變形確定s的整數(shù)界點(diǎn)值，根據(jù)夾逼法確定整數(shù)值【詳解】∵；；；∴18＜S＜19，∴S整數(shù)部分為18，故答案為：；；；18；【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的分母有理化，不等式的性質(zhì)，估算的思想，熟練確定S位于哪兩個(gè)整數(shù)之間是解題的關(guān)鍵．13．（2021·黑龍江綏化市·九年級(jí)一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為AB，AC邊上一點(diǎn)，且BE＝CD，CD⊥BE．若∠A＝30°，BD＝1，CE＝2，則四邊形CEDB的面積為_(kāi)____．【答案】【分析】作輔助線(xiàn)，，由兩直線(xiàn)垂直得，角角邊證明△CKD≌△BHE，其性質(zhì)得；設(shè)，根據(jù)直角三角的性質(zhì)，線(xiàn)段的和差得，，；建立等量關(guān)系，求得，，最后由勾股定理，面積公式求得四邊形的面積為．【詳解】解：分別過(guò)點(diǎn)C、E兩點(diǎn)作CK⊥AB，EH⊥AB交AB于點(diǎn)K和點(diǎn)H，設(shè)CK＝x，如圖所示：∵CD⊥BE，∴∠BMD＝90°，∴∠EBH+∠CDB＝90°，同理可得：∠EBH+∠BEH＝90°，∴∠CDB＝∠BEH，又∵CK⊥AB，EH⊥AB，∴∠CKD＝∠BHE＝90°，在△CKD和△BHE中，，∴△CKD≌△BHE（AAS），∴DK＝EH，又∵Rt△AKC中，∠A＝30°，，，又，，，，又，，，又，，又，，解得：，，在中，由勾股定理得：，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了垂直的定義，余角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，線(xiàn)段的和差，四邊形面積的求法等相關(guān)知識(shí)，重點(diǎn)掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)是作輔助線(xiàn)構(gòu)建全等三角形．14．（2021·浙江杭州市·九年級(jí)其他模擬）如圖，中，，，點(diǎn)在邊上，將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，使得．則__________，__________．【答案】【分析】先求和，再用是外角即可得結(jié)果；延長(zhǎng)交于，過(guò)作于，首先證明、△、是等腰三角形，再設(shè)，，用列方程，用表示，從而可得答案．【詳解】解：，，沿翻折，，，，，沿翻折，，；延長(zhǎng)交于，過(guò)作于，如圖：，，，沿翻折，，，沿翻折，，，而，，，，設(shè)，，△中，，中，，，由可得：，解得，，．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)及判定及翻折問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造30°、45°的直角三角形，利用它們邊的關(guān)系列方程．三、解答題15．（2020·浙江杭州市·九年級(jí)）（1）已知均不為0，且，求的值；（2）已知：，且，求的值．【答案】（1）；（2）16【分析】（1）仔細(xì)觀察所求分式，只要a、b、c用同一個(gè)數(shù)表示就可以約去分式中的未知數(shù)，所以設(shè)=k，用k來(lái)表示a、b、c，然后將其代入所求的分式即可；（2）把x看成把y看成，直接進(jìn)行因式分解即可；也可以設(shè)，將原式進(jìn)行轉(zhuǎn)化為，再進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：（1）設(shè)=k，則由①+③得2b+2c=14k即b+c=7k④由②+④得4b=12k，即b=3k把b=3k分別代入①、②得，a=k，c=4k∴方程組的解為∴=故答案為：（2）==∴=0∵，，∴，∵=0，∴或∵，，∴不成立，當(dāng)時(shí)，，∴故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值和分解因式，解答本題時(shí)，采用數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想，（1）是將未知數(shù)a、b、c轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的分式；（2）是將x、y看成一個(gè)平方式即、，也可以設(shè)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化．16．（2020·山東煙臺(tái)市·）先觀察下列各等式及其驗(yàn)證過(guò)程，然后解答問(wèn)題：①驗(yàn)證：；②驗(yàn)證：；解答下列問(wèn)題：(1)按上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程的基本思路，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證；(2)針對(duì)上述各式所反映的一般規(guī)律，寫(xiě)出用為自然數(shù)，且表示的等式，并給出證明．【答案】（1）；見(jiàn)解析（2）；證明見(jiàn)解析【分析】（1）依據(jù)題干中的猜想和驗(yàn)證過(guò)程解答即可；（2）由前面幾個(gè)例子可得出根號(hào)內(nèi)的分母是根號(hào)外數(shù)字平方減1，分子等于根號(hào)外的數(shù)字這個(gè)猜想，用字母表達(dá)，再依據(jù)上面的方法驗(yàn)證即可．【詳解】解：(1)驗(yàn)證：；（2）驗(yàn)證：【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)，分式的基本性質(zhì)．觀察時(shí)，既要注意觀察等式左右兩邊的聯(lián)系，還要注意右邊必須是一種特殊形式．17．（2021·全國(guó)九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀下述材料：我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次根式時(shí)，熟悉的分母有理化以及應(yīng)用．其實(shí)，有一個(gè)類(lèi)似的方法叫做“分子有理化”:與分母有理化類(lèi)似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式比如：分子有理化可以用來(lái)比較某些二次根式的大小，也可以用來(lái)處理一些二次根式的最值問(wèn)題．例如：比較和的大?。梢韵葘⑺鼈兎肿佑欣砘缦拢阂?yàn)?，所以再例如：求的最大值．做法如下：解：由可知，而?dāng)時(shí)，分母有最小值2，所以的最大值是2．解決下述問(wèn)題：（1）比較和的大??；（2）求的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）的最大值為2，最小值為．【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比較和的大小即可得到與的大??；（2）利用二次根式有意義的條件得到，而，利用當(dāng)時(shí)，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用當(dāng)時(shí)，有最小值，有最下值0得到的最小值．【詳解】解：（1），，而，，，；（2）由，，得，，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，則有最大值1，此時(shí)有最大值1，所以的最大值為2；當(dāng)時(shí)，有最大值，則有最小值，此時(shí)有最小值0，所以的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了非常重要的一種數(shù)學(xué)思想：類(lèi)比思想．解決本題關(guān)鍵是要讀懂例題，然后根據(jù)例題提供的知識(shí)點(diǎn)和方法解決問(wèn)題．同時(shí)要注意所解決的問(wèn)題在方法上類(lèi)似，但在細(xì)節(jié)上有所區(qū)別．18．（2020·福建漳州市·龍海二中九年級(jí)月考）先閱讀，再解答:由可以看出，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱(chēng)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，有時(shí)可以化去分母中的根號(hào)，例如：，請(qǐng)完成下列問(wèn)題：(1)的有理化因式是_______；(2)化去式子分母中的根號(hào)：_____．（直接寫(xiě)結(jié)果）(3)（填或）(4)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算下列式子的值：【