專題43根式的應(yīng)用和幾何圖形結(jié)合

專題43根式的應(yīng)用和幾何圖形結(jié)合1．如圖，在等腰中，，平分，平分分別為射線上的動點，若，則的最小值為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】如圖，作關(guān)于的對稱點，則，當(dāng)三點共線時最短即，當(dāng)時最短，過點作，交的延長線于點，即與點重合時最短，過點作于點，根據(jù)等面積法求得，即可求解．【詳解】解：如圖，作關(guān)于的對稱點，過點作，交的延長線于點，過點作于點，∴，當(dāng)三點共線時最小即，當(dāng)時最短，即為所求，∵，是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，∴∵平分，∴∵，設(shè)，則在中，∵∴解得∴∵∴故選A．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，軸對稱的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．在一個正方形的內(nèi)部按照如圖方式放置大小不同的兩個小正方形，其中較大的正方形面積為12，重疊部分的面積為3，空白部分的面積為2﹣6，則較小的正方形面積為（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】根據(jù)面積可求得大正方形和陰影部分的邊長，從而求得空白部分的長；觀察可知兩塊空白部分全等，則可得到一塊空白的面積；通過長方形面積公式渴求空白部分的寬，最后求出小正方形的邊長即可求出面積．【詳解】∵觀察可知，兩個空白部分的長相等，寬也相等，∴重疊部分也為正方形，∵空白部分的面積為2﹣6，∴一個空白長方形面積=，∵大正方形面積為12，重疊部分面積為3，∴大正方形邊長=，重疊部分邊長=，∴空白部分的長=，設(shè)空白部分寬為x，可得：，解得：x=，∴小正方形的邊長=空白部分的寬+陰影部分邊長=，∴小正方形面積==10，故選：B．【點睛】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，觀察圖形得到各個正方形邊長之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．如圖，點A在反比例函數(shù)的圖像上，以為一邊作等腰直角三角形，其中∠=90°，，則線段長的最小值是（

）A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】如圖，過作軸，交y軸于M，過作軸，垂足為D，交MA于H，則證明可得設(shè)則可得再利用勾股定理建立函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合完全平方公式的變形可得答案．【詳解】解：如圖，過作軸，交y軸于M，過作軸，垂足為D，交MA于H，則設(shè)則而當(dāng)時，則∴的最小值是8，∴的最小值是故選：C．【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，完全平方公式的變形應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，掌握“的變形公式”是解本題的關(guān)鍵．4．如圖，一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，把直線繞點B順時針旋轉(zhuǎn)交x軸于點C，則線段長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式求出點A和點B坐標(biāo)，得到△OAB為等腰直角三角形和AB的長，過點C作CD⊥AB，垂足為D，證明△ACD為等腰直角三角形，設(shè)CD=AD=x，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，用兩種方法表示出BD，得到關(guān)于x的方程，解之即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，令x=0，則y=，令y=0，則x=，則A（，0），B（0，），則△OAB為等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB==2，過點C作CD⊥AB，垂足為D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD為等腰直角三角形，設(shè)CD=AD=x，∴AC==x，∵旋轉(zhuǎn)，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD==x，又BD=AB+AD=2+x，∴2+x=x，解得：x=+1，∴AC=x=（+1）=，故選A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運算，知識點較多，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造特殊三角形．5．如圖，在四邊形中，，，，，，則的長為______．【答案】【分析】連接，過點B作交的延長線于點H，根據(jù)勾股定理的逆定理得到，再根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接，過點B作交的延長線于點H，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：【點睛】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含的直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點M在邊AB上，點N在對角線AC上，連接DM，DN．若AM＝CN，則(DM＋DN)2的最小值為____．【答案】【分析】過點C作CH⊥AC，使得CH=AD，連接NH，由題意易得∠NCH=∠MAD=90°，進(jìn)而可得△NCH≌△MAD，然后可得DM=NH，要使的值為最小，只需DM+DN的值為最小，即NH+DN的值為最小，所以可得D、N、H三點共線時最小，則過點H作HE⊥DC于點E，然后根據(jù)勾股定理可求解．【詳解】解：過點C作CH⊥AC，使得CH=AD，連接NH，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，AB=2，∴∠MAD=∠DCB=90°，∠DCA=45°，AD=CH=AB=CD=2，∴∠NCH=∠MAD=90°，∵AM=CN，∴△NCH≌△MAD（SAS），∴DM=NH，若使的值為最小，只需DM+DN的值為最小，即NH+DN的值為最小，所以可得D、N、H三點共線時最小，則過點H作HE⊥DC于點E，如圖所示：∴∠DCA=∠ECH=45°，∴△CEH為等腰直角三角形，∴，∴，∴在Rt△DEH中，；∴的最小值為；故答案為．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及二次根式的運算，熟練掌握正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及二次根式的運算是解題的關(guān)鍵．7．如圖，和都是等邊三角形，若點，，點在第二象限內(nèi)．將沿翻折得，當(dāng)點在軸上運動時，設(shè)點的坐標(biāo)為，則與的函數(shù)關(guān)系式為________．【答案】【分析】過D作DF⊥x軸于F，連接AD，BE，由（1）中的△ABD≌△OBC結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可得出點D的坐標(biāo)，由△AOB為等邊三角形結(jié)合點A、O的坐標(biāo)即可得出點B的坐標(biāo)，由翻折的性質(zhì)可得出四邊形BCED是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合點B、C、D的坐標(biāo)即可得出點E的坐標(biāo)，根據(jù)點E坐標(biāo)的橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；【詳解】解：如圖，連接BE，過D作DF⊥x軸于F，∵△AOB和△BCD是等邊三角形，∴∠ABO=∠CBD=60°，AB=OB，BD=BC，∠AOB=60°，∴∠ABO+∠OBD=∠CBD+∠OBD，即：∠ABD=∠OBC，∴△ABD≌△OBC（SAS），∴AD=OC=m，∠BAD=∠BOC=30°，∴∠DAF=∠BAO∠BAD=∠BAO∠BOC=30°，∴DF=AD=m，AF=DF=m，∵A（2，0），∴D（m2，m），∵將△BCD沿CD翻折得△ECD且△BCD是等邊三角形，∴四邊形BCED是菱形，∴BE、CD互相平分，∵△AOB是等邊三角形，點A（2，0），過點B作BG⊥x軸，垂足為G，∴AG=1，BG=，∴B（1，），∴E（m2+1，m+m），即（m1，m），設(shè)m1=x，m=y，∴m=，m=，∴=，化簡得：，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，本題屬于中檔題，難度不大，但較繁瑣，解決該題型題目時，熟練的掌握等邊三角形和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，直線l：y＝2x+b交y軸于點C，點A在y軸的正半軸上，以O(shè)A為斜邊作等腰直角△AOB，點B（2，2）．將△AOB向右平移得到△DEF，連結(jié)BE交直線l于點G．當(dāng)A，B，E三點共線時，點D恰好落在直線l上，則的值為_____．【答案】【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和點B的坐標(biāo)，求出點A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出AB及直線AB的關(guān)系式，再令y=0，求出點E的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點D的坐標(biāo)，即可求出直線CD的關(guān)系式，然后將兩個直線關(guān)系式聯(lián)立求出點G的坐標(biāo)，最后根據(jù)兩點之間距離公式求出EG，即可得出答案．【詳解】∵△ABO是等腰直角三角形，且點B（2，2），∴AO=4，∴點A（0，4），則，解得．設(shè)直線AB的關(guān)系式為y=kx+b，得，解得，∴直線AB的關(guān)系式為y=x+4．當(dāng)y=0時，x=4，∴點E（4，0），∴點D（4，4），將點D坐標(biāo)代入y=2x+b，得4=8+b，解得b=4，∴所以直線CD的關(guān)系式為y=2x4.將兩個直線關(guān)系式聯(lián)立，得，解得，則點G，∴，∴．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，兩點之間的距離公式，等腰直角三角形的性質(zhì)等，求出點G的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．9．在矩形ABCD中，，，M是BC中點，，垂足為E，請用含a，b的代數(shù)式表示DE的長．【答案】【分析】分點E在線段AM上和點E在線段AM的延長線上兩種情況，分別運用矩形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積進(jìn)行解答即可．【詳解】解：如圖（1），當(dāng)點E在線段AM上時，連接DM，過點M作MH⊥AD，垂足為H矩形ABCD，四邊形ABMH為矩形M是BC的中點，在中，,則∴∴∴如圖（2），當(dāng)點E在線段AM的延長線上時，同（1）可證．∴．【點睛】本題主要考查了矩形的判定、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，靈活運用矩形的判定和性質(zhì)定理成為解答本題的關(guān)鍵．10．如圖1，在正方形ABCD中，，P是AD邊上一點，連接BP，將△ABP繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)，得到．(1)已知旋轉(zhuǎn)角為60°，點P與D點重合（如圖2）．①證明：；②證明：是等腰三角形；(2)已知旋轉(zhuǎn)角為45°．①請用無刻度的直尺和圓規(guī)，在圖3上的AD邊上作出一點P，使P、、三點在一直線上（不寫作法，保留作圖痕跡）；②當(dāng)是直角三角形時，求AP的長．【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析(2)①圖見解析；②1或【分析】（1）①先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，，然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；②連接，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證出是等邊三角形，再根據(jù)三角形全等的判定證出，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得，由此即可得證；（2）①連接，以點為圓心、為半徑畫弧，交于點，再過點作的垂線，分別交于點；②過點作于點，先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角的和差求出，然后分和兩種情況，利用勾股定理求解即可得．（1）證明：①四邊形是正方形，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，，即，在和中，，；②如圖，連接，四邊形是正方形，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，是等邊三角形，，，，在和中，，，，由（1）①已證：，，，是等腰三角形．（2）解：①如圖，點即為所求．②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，如圖，過點作于點，則是等腰直角三角形，，，解得或（舍去），，，，，，則分以下兩種情況：（Ⅰ）如圖，當(dāng)時，是直角三角形，過點作，交于點，則，是等腰直角三角形，，設(shè)，則，，在中，，即，整理得：，解得或（舍去），，；（Ⅱ）如圖，當(dāng)時，是直角三角形，過點作，交于點，同理可得：，設(shè)，則，，，整理得：，，解得或（舍去），；綜上，當(dāng)是直角三角形時，的長為1或．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、二次根式的運算、利用平方根解方程、作垂線、勾股定理等知識點，較難的是題（2）②，正確分兩種情況討論，并通過作輔助線，構(gòu)造等腰三角形是解題關(guān)鍵．11．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊、分別在軸、軸上，已知，上有一點，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到．（1）點的坐標(biāo)為______；連接，若軸，則的值為______；（2）如果．①當(dāng)點落在上時，求的長；②請直接寫出最小值．【答案】（1），；（2）①的長為；②最小值為2．【分析】（1）如圖，連接過作于證明是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)與勾股定理可得的坐標(biāo)，如圖，當(dāng)軸于時，而再利用等邊三角形的性質(zhì)與勾股定理求解從而可得答案；（2）①如圖，當(dāng)點落在上時，同理可得：為等邊三角形，過作于則結(jié)合利用含的直角三角形的性質(zhì)與勾股定理求解再求解從而可得答案；②如圖，作直線交于過作于過作于先證明在直線上運動，再求解直線的解析式，可得為則當(dāng)旋轉(zhuǎn)到與重合時，最短，畫出圖形，再由旋轉(zhuǎn)可得：再利用直角三角形的性質(zhì)可得從而建立方程求解從而可得答案.【詳解】解：（1）如圖，連接過作于是等邊三角形，如圖，當(dāng)軸于時，而同理可得：為等邊三角形，故答案為：（2）①如圖，當(dāng)點落在上時，同理可得：為等邊三角形，過作于則解得：（負(fù)根舍去）②如圖，作直線交于過作于過作于由旋轉(zhuǎn)與矩形的性質(zhì)可得：點旋轉(zhuǎn)后落在直線上，由矩形四邊形是矩形，設(shè)則設(shè)為則解得：為結(jié)合①問可得點在直線上，為則當(dāng)旋轉(zhuǎn)到與重合時，最短，如圖，由旋轉(zhuǎn)可得：所以的最小值為：【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，坐標(biāo)與圖形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，含的直角三角形的性質(zhì)，利用平方根的含義解方程，二次根式的運算，本題綜合性強(qiáng)，難度大，要求基礎(chǔ)知識扎實，對學(xué)生的思維發(fā)散要求較高.12．四邊形具有不穩(wěn)定性，現(xiàn)將8個木棍和一些釘子組成了一個正方形和平行四邊形（如圖），且，在一條直線上，點落在邊上．經(jīng)測量，發(fā)現(xiàn)此時、、三個點在一條直線上，，．(1)求的長度．(2)設(shè)的長度為，________（用含的代數(shù)式表示）．(3)在保證，位置不變的前提條件下，從點向右推動的正方形，直到四邊形剛好變?yōu)榫匦螘r停止推動（如圖）．若此時，求的長度．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）易得，得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；（3）設(shè)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理，求出a的值，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∵的長度為a，∴，∴；故答案為：；（3）∵在推進(jìn)過程中的長度保持不變，設(shè)，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∵，位置不變，∴，∴在中，由勾股定理得，，而∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的乘除混合運算，熟練掌握矩形，正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（1）方法回顧證明：三角形中位線定理．已知：如圖1，DE是△ABC的中位線．求證：______．證明：（請在答題紙上完成證明過程）（2）問題解決如圖2，在正方形ABCD中，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的長．（3）拓展研究如圖3，在四邊形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG＝2，，∠GEF＝90°，求GF的長．【答案】（1）DE∥BC，DE=BC，證明見解析；（2）GF=7；（3）GF=．【分析】（1）利用“邊角邊”證明△ADE和△CEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=CF，然后判斷出四邊形BCFD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得；（2）先判斷出△AEG≌△DEH（ASA）進(jìn)而判斷出EF垂直平分GH，即可得出結(jié)論；（3）先求出AG=HD的長，進(jìn)而判斷出△PDH為等腰直角三角形，再用勾股定理求出HF即可得出結(jié)論．【詳解】（1）DE∥BC，DE=BC，證明：如圖，延長DE到點F，使得EF=DE，連接CF，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠A=∠ECF，AD=CF，∴CF∥AB，又∵AD=BD，∴CF=BD，∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴DE∥BC，DE=BC．故答案為：DE∥BC，DE=BC；（2）如圖2，延長GE、FD交于點H，∵E為AD中點，∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，在△AEG和△DEH中，，∴△AEG≌△DEH（ASA），∴AG=HD=3，EG=EH，∵∠GEF=90°，∴EF垂直平分GH，∴GF=HF=DH+DF=3+4=7；（3）如圖3，過點D作AB的平行線交GE的延長線于點H，過H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，同（1）可證△AEG≌△DEH，GF=HF，∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=2，∵∠ADC=120°，∴∠HDF=360°105°120°=135°，∴∠HDP=45°，∴△PDH為等腰直角三角形，∴PD=PH=，∴PF=PD+DF=+=2，在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=，PF=2，∴HF=，∴GF=．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解（1）的關(guān)鍵是判斷出△ADE≌△CFE，解（2）的關(guān)鍵是判斷出EF垂直平分GH，解（3）的關(guān)鍵是作出輔助線．14．閱讀理解：二次根式的除法，要化去分母中的根號，需將分子、分母同乘以一個恰當(dāng)?shù)亩胃剑纾夯啠猓簩⒎肿?、分母同乘以得：?/p>

類比應(yīng)用：（1）化簡：；（2）化簡：．

拓展延伸：

寬與長的比是的矩形叫黃金矩形．如圖①，已知黃金矩形ABCD的寬AB=1．（1）黃金矩形ABCD的長BC=；（2）如圖②，將圖①中的黃金矩形裁剪掉一個以AB為邊的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否為黃金矩形，并證明你的結(jié)論；（3）在圖②中，連結(jié)AE，則點D到線段AE的距離為．【答案】類比應(yīng)用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）；（2）矩形DCEF為黃金矩形，理由見解析；（3）【分析】類比應(yīng)用：（1）仿照題干中的過程進(jìn)行計算；（2）仿照題干中的過程進(jìn)行計算；拓展延伸：（1）根據(jù)黃金矩形的定義結(jié)合AB=1進(jìn)行計算；（2）根據(jù)題意算出AD的長，從而得出DF，證明DF和EF的比值為即可；（3）連接AE，DE，過D作DG⊥AE于點G，根據(jù)△AED的面積不同算法列出方程，解出DG的長即可.【詳解】解：類比應(yīng)用：（1）根據(jù)題意可得：=；（2）根據(jù)題意可得：====2；拓展延伸：（1）∵寬與長的比是的矩形叫黃金矩形，若黃金矩形ABCD的寬AB=1，則黃金矩形ABCD的長BC===；（2）矩形DCEF為黃金矩形，理由是：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，根據(jù)黃金矩形的性質(zhì)可得：AD=BC=，∴FD=EC=ADAF==，∴=，故矩形DCEF為黃金矩形；（3）連接AE，DE，過D作DG⊥AE于點G，∵AB=EF=1，AD=，∴AE=，在△AED中，S△AED=，即，則，解得DG=，∴點D到線段AE的距離為.【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，平方差公式，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的面積，此類問題要認(rèn)真閱讀材料，理解材料中的知識．15．定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”．性質(zhì)：如果兩個三角形是“友好三角形”，那么這兩個三角形的面積相等．理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．應(yīng)用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E在AD上，點F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點O．（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，點D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，請直接寫出△ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）12；探究：2或2．【分析】（1）利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形ABFE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得OE=OB，即可證得△AOE和△AOB是友好三角形；（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中點，則可以求得△ABE、△ABF的面積，根據(jù)S四邊形CDOF=S矩形ABCD2S△ABF即可求解．探究：畫出符合條件的兩種情況：①求出四邊形A′DCB是平行四邊形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根據(jù)三角形面積公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面積．即可求出△ABC的面積．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，∵△AOB與△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四邊形CDOF=S矩形ABCD2S△ABF=4×62××4×3=12．探究：解：分為兩種情況：①如圖1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四邊形A′DCB是平行四邊形，∴BC=A′D=2，過B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC=，∴△ABC的面積是×BC×AC=×2×2=；②如圖2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD=A′D=AB=×4=2，∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四邊形A′BDC是平行四邊形，∴A′C=BD=2，過C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面積是2或2．16．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直線BD上一動點，以AP為邊向右側(cè)作等邊APE（A，P，E按逆時針排列），點E的位置隨點P的位置變化而變化．（1）如圖1，當(dāng)點P在線段BD上，且點E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時，連接CE，則BP與CE的數(shù)量關(guān)系是，BC與CE的位置關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)點P在線段BD上，且點E在菱形ABCD外部時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由；（3）當(dāng)點P在直線BD上時，其他條件不變，連接BE．若AB＝2，BE＝2，請直接寫出APE的面積．【答案】（1）BP＝CE，CE⊥BC；（2）仍然成立，見解析；（3）31【分析】（1）連接AC，根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明△BAP≌△CAE即可證得結(jié)論；（2）（1）中的結(jié)論成立，用（1）中的方法證明△BAP≌△CAE即可；（3）分兩種情形：當(dāng)點P在BD的延長線上時或點P在線段DB的延長線上時，連接AC交BD于點O，由∠BCE＝90°，根據(jù)勾股定理求出CE的長即得到BP的長，再求AO、PO、PD的長及等邊三角形APE的邊長可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1，連接AC，延長CE交AD于點H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°；∵△APE是等邊三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE；∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABP＝∠ABC＝30°，∴∠ABP＝∠ACE＝30°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCE＝60°+30°＝90°，∴CE⊥BC；故答案為：BP＝CE，CE⊥BC；（2）（1）中的結(jié)論：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立，理由如下：如圖2中，連接AC，設(shè)CE與AD交于H，∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD都是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°+∠DAP，∵△APE是等邊三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠CAE＝60°+60°+∠DAP＝120°+∠DAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，∴∠DCE＝30°，∵∠ADC＝60°，∴∠DCE+∠ADC＝90°，∴∠CHD＝90°，∴CE⊥AD；∴（1）中的結(jié)論：BP＝CE，CE⊥AD仍然成立；（3）如圖3中，當(dāng)點P在BD的延長線上時，連接AC交BD于點O，連接CE，BE，作EF⊥AP于F，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD

BD平分∠ABC，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴∠ABO＝30°，∴AO＝AB＝，OB＝AO＝3，∴BD＝6，由（2）知CE⊥AD，∵AD∥BC，∴CE⊥BC，∵BE＝2，BC＝AB＝2，∴CE＝＝8，由（2）知BP＝CE＝8，∴DP＝2，∴OP＝5，∴AP＝＝＝2，∵△APE是等邊三角形，∴S△AEP＝×（2）2＝7，如圖4中，當(dāng)點P在DB的延長線上時，同法可得AP＝＝＝2，∴S△AEP＝×（2）2＝31，【點睛】此題是四邊形的綜合題，重點考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是正確地作出解題所需要的輔助線，將菱形的性質(zhì)與三角形全等的條件聯(lián)系起來，此題難度較大，屬于考試壓軸題．17．定義：對于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點和，我們把它們的橫、縱坐標(biāo)的差的平方和的算術(shù)平方根稱作這兩點的“湘一根”，記作，即（1）若A（2，1）和B（，3），則______；（2）若點M（1，2），，其中a為任意實數(shù)，求的最小值（3）若m為常數(shù)，且，點A的坐標(biāo)為（0，5m），B點的坐標(biāo)為（8m，），C點的坐標(biāo)為（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代數(shù)式表示）【答案】（1）；（2）；（3）10，【分析】（1）把A、B兩點坐標(biāo)代入求解即可；（2）把M、N兩點代入，把根號下函數(shù)轉(zhuǎn)化為頂點式即可求解；（3）連接AB交x軸于點C，此時有最小值，兩點之間線段最短；作B關(guān)于x軸的對稱點，連接并延長交x軸于點C，三角形中兩邊之差小于第三邊即可求解．【詳解】解：（1）由題意得：，故答案為：；（2），∴當(dāng)a=3