專題35旋轉(zhuǎn)綜合題中的角度問題(原卷版+解析)

專題35旋轉(zhuǎn)綜合題中的角度問題【題型演練】一、單選題1．（2022·新疆·烏魯木齊市第四十四中學(xué)九年級期末）如圖將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B恰好落在上，若，則旋轉(zhuǎn)角為（）A．30° B．35° C．40° D．45°2．（2023·江西·九年級專題練習(xí)）如圖，將邊長為的正方形繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，那么圖中陰影部分的面積為()A．3 B． C． D．3．（2022·福建·閩清天儒中學(xué)九年級期中）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得到，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，且，，三點(diǎn)在同一條直線上，若，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，P是平分線上一點(diǎn)，OP＝10，，在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中始終保持不變，其兩邊和OA，OB分別相交于M，N，下列結(jié)論：①是等邊三角形；②MN的值不變；③OM＋ON＝10；④四邊形PMON面積不變．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．15．（2021·江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）將等邊與等邊的頂點(diǎn)B重合，如圖1放置，使D、E分別在、上，將等邊從圖1位置開始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，如圖2，直線、相交于點(diǎn)P．若：，．給出如下結(jié)論：在等邊旋轉(zhuǎn)的過程中，①始終有；②當(dāng)點(diǎn)D落在內(nèi)部時(shí)，四邊形的面積為定值；③當(dāng)點(diǎn)B到直線的距離最大時(shí)，；④當(dāng)A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，．上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題6．（2022·福建·廈門市華僑中學(xué)九年級期中）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)110°，得到，若點(diǎn)落在線段的延長線上，則大小為______．7．（2022·江蘇·泰興市實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)一模）如圖，在△ABC中，∠CAB＝40°，將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為_____．8．（2022·江蘇無錫·九年級階段練習(xí)）將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如圖①擺放，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P，DF經(jīng)過點(diǎn)C．將△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°），DE′交AC于點(diǎn)M，DF′交BC于點(diǎn)N，則＝________．9．（2022·河北·衡水市第六中學(xué)九年級期中）如圖，中，，，O為中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，（1）當(dāng)時(shí)，__________；（2）當(dāng)恰為軸對稱圖形時(shí)，的值為_____________．10．（2022·四川·成都市棕北中學(xué)二模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，以BG為邊在BC右側(cè)作正方形BEFG，直線AG，CE交于點(diǎn)P．現(xiàn)將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，CE＝_____；（2）當(dāng)正方形BEFG繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長為_____．11．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市教育教學(xué)研究中心一模）如圖所示，在中，，，，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使D、E旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)、與點(diǎn)A三點(diǎn)共線，則以下判斷，其中正確結(jié)論的序號為______．①線段，②，③．三、解答題12．（2022·天津?yàn)I海新·九年級期中）如圖，將矩形繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，使點(diǎn)恰好落到線段上的點(diǎn)處，連接，連接交于點(diǎn)．(1)求證：平分；(2)取的中點(diǎn)，連接，求證：；(3)若，求的長．13．（2022·湖南長沙·九年級期中）已知：正方形，以A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)至，連接．(1)若將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，如圖1所示，求的度數(shù)？(2)若將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度至，求的度數(shù)？(3)若將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度至，請分別求出、、三種情況下的的度數(shù)（圖2、圖3、圖4）．14．（2021·新疆·烏魯木齊市第二十九中學(xué)九年級期中）在△ABC與△EDC中，∠ACB=∠ECD=60°，∠ABC=∠EDC，△EDC可以繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連接AE，BD(1)如圖1①若BC=3DC，直接寫出線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系；②求直線BD與直線AE所夾銳角的度數(shù)；(2)如圖2，BC=AC=3，當(dāng)四邊形ADCE是平行四邊形時(shí)，直接寫出線段DE的長15．（2022·黑龍江齊齊哈爾·九年級階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐如圖1所示，將一個(gè)長為6寬為4的長方形ABEF，裁成一個(gè)邊長為4的正方形ABCD和一個(gè)長為4、寬為2的長方形CEFD如圖2．現(xiàn)將小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，旋轉(zhuǎn)角為α．(1)當(dāng)點(diǎn)恰好落在EF邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90）的值；(2)如圖3，G為BC中點(diǎn)，且0°＜α＜90°，求證：；(3)小軍是一個(gè)愛動(dòng)手研究數(shù)學(xué)問題的孩子，他發(fā)現(xiàn)在小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，與存在兩次全等，請你幫助小軍直接寫出當(dāng)與全等時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α的值．16．（2022·天津市第五十五中學(xué)九年級期中）如圖1，在正方形中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，以為邊作正方形，連接．將正方形繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．(1)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，判斷與是否全等，并說明理由；(2)如圖3，延長交直線于點(diǎn)P．①求證：；②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．17．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1，正方形ABCD與正方形AEFG的邊長分別為5和2，點(diǎn)E、G分別在邊AB和邊AD上，連接BG、DE，P為BG的中點(diǎn)，將正方形AEFG繞著點(diǎn)A從圖1位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（）．(1)當(dāng)A、G、B三點(diǎn)不共線時(shí)，；（填“＞”、“＝”或“＜”）(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的值；(3)在正方形AEFG轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，①求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長；②當(dāng)時(shí)，請直接寫出滿足條件的的值．18．（2022·河南商丘·九年級期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，，，，求的度數(shù)．針對此問題，數(shù)學(xué)王老師給出了下面的思路：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連結(jié)，得到等邊三角形，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系以及勾股定理……請根據(jù)王老師的思路提示，完成本題的解答；（2）類比延伸如圖3，在正方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P，若，試判斷線段PA、PB、PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．19．（2022·廣東·豐順縣大同中學(xué)九年級階段練習(xí)）有兩張完全重合的矩形紙片，小亮將其中一張繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到矩形（如圖1），連接，此時(shí)他測得，．(1)在圖1中，請你判斷直線和是否垂直？并證明你的結(jié)論；(2)小紅同學(xué)用剪刀將與剪去，與小亮同學(xué)繼續(xù)探究．他們將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，交于點(diǎn)（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；(3)若將沿方向平移得到（如圖3），與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求平移的距離是多少．20．（2022·廣東·廣州市第一一三中學(xué)九年級期中）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊分別交直線于M、N兩點(diǎn)，以點(diǎn)D為中心旋轉(zhuǎn)（的度數(shù)不變）(1)如圖①，若，求證：；(2)如圖②，若與不垂直，且點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在邊上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；(3)如圖③，若與不垂直，且點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在邊的延長線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．21．（2022·湖北省水果湖第一中學(xué)九年級期中）如圖1，中，，，點(diǎn)D、E分別在上，．將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，使得B、D、E三點(diǎn)共線．(1)直接寫出：_________________（用表示）；(2)若，當(dāng)時(shí)，作于F，在圖2中畫出符合要求的圖形，并探究之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，若，，當(dāng)時(shí)，直接寫出的最大值_________．22．（2022·黑龍江黑河·九年級期末）如圖1所示，將一個(gè)長為6寬為4的長方形ABEF，裁成一個(gè)邊長為4的正方形ABCD和一個(gè)長為4、寬為2的長方形CEFD如圖2．現(xiàn)將小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，旋轉(zhuǎn)角為a．(1)當(dāng)點(diǎn)恰好落在EF邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角a的值；(2)如圖3，G為BC中點(diǎn)，且0°＜a＜90°，求證：；(3)小軍是一個(gè)愛動(dòng)手研究數(shù)學(xué)問題的孩子，他發(fā)現(xiàn)在小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，與存在兩次全等，請你幫助小軍直接寫出當(dāng)與全等時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a的值．23．（2022·江蘇宿遷·九年級期末）如圖①，和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，點(diǎn)P為射線的交點(diǎn)．(1)如圖②，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)C、D、E在同一條直線上時(shí)，連接、，求證：且．(2)若，把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，①當(dāng)時(shí)，求的長；②旋轉(zhuǎn)過程中線段長的最小值是_______．24．（2022·山東棗莊·三模）【問題背景】如圖1，點(diǎn)、分別在正方形的邊、上，，連接，我們可以通過把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到，容易證得：．(1)【遷移應(yīng)用】如圖2，四邊形中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，，若、都不是直角，且，試探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)【聯(lián)系拓展】如圖3，在中，，，點(diǎn)、均在邊BC上，且．猜想、、滿足的等量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不需要證明）．專題35旋轉(zhuǎn)綜合題中的角度問題【題型演練】一、單選題1．（2022·新疆·烏魯木齊市第四十四中學(xué)九年級期末）如圖將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B恰好落在上，若，則旋轉(zhuǎn)角為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】C【分析】先求出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性有，即可證明，即問題得解．【詳解】解：∵，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性有，∵，，∴，∵，∴，即旋轉(zhuǎn)角度為40°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形的外角的定義的知識，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·江西·九年級專題練習(xí)）如圖，將邊長為的正方形繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，那么圖中陰影部分的面積為()A．3 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件可證Rt△ABM≌Rt△C＇BM，只需算出三角形ABM的面積，用正方形面積減去2倍的△ABM的面積，即可算出陰影部分面積．【詳解】解：如圖所示，連接BM，由旋轉(zhuǎn)可知，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=CB′，∠BAM=∠BC′M=90°，又∵BM=BM，所以在Rt△ABM與Rt△C′BM中，所以Rt△ABM≌Rt△C＇BM（HL），∵∠ABA＇=∠C＇BC=30°，∴∠ABM＝∠C＇BM=30°，∵AM=AB·tan30°=1，∴，∴四邊形ABC＇M的面積為：，且正方形ABCD面積為：，∴陰影部分面積為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查割補(bǔ)法求面積，全等三角形，以及三角函數(shù)的應(yīng)用，能夠熟練利用割補(bǔ)法求面積是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022·福建·閩清天儒中學(xué)九年級期中）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得到，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，且，，三點(diǎn)在同一條直線上，若，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得到，可得，在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得，從而算出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【詳解】∵繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是，∴，，∴，，，∴，∴．∵，，三點(diǎn)在同一條直線上，∴在中，，即，∴，解得．∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．4．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，P是平分線上一點(diǎn)，OP＝10，，在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中始終保持不變，其兩邊和OA，OB分別相交于M，N，下列結(jié)論：①是等邊三角形；②MN的值不變；③OM＋ON＝10；④四邊形PMON面積不變．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要證明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判斷．【詳解】如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF+∠AOB=180°，∵∠MPN+∠AOB=180°，∴∠EPF=∠MPN，∴∠EPM=∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE=PF，在Rt△POE和Rt△POF中，，∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），∴OE=OF，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴EM=NF，PM=PN，S△PEM=S△PNF，∵∴是等邊三角形，故①正確；∵S△PEM=S△PNF，∴S四邊形PMON=S四邊形PEOF=定值，故④正確；∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=10，故③正確；∵M(jìn)，N的位置變化，∴MN的長度是變化的，故②錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．5．（2021·江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）將等邊與等邊的頂點(diǎn)B重合，如圖1放置，使D、E分別在、上，將等邊從圖1位置開始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，如圖2，直線、相交于點(diǎn)P．若：，．給出如下結(jié)論：在等邊旋轉(zhuǎn)的過程中，①始終有；②當(dāng)點(diǎn)D落在內(nèi)部時(shí)，四邊形的面積為定值；③當(dāng)點(diǎn)B到直線的距離最大時(shí)，；④當(dāng)A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，．上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】①利用等邊三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明△ADB≌△CEB即可判斷；②由①結(jié)論可得：四邊形BECD的面積=△ABC的面積-△ADC的面積，根據(jù)點(diǎn)D的軌跡判斷即可；③當(dāng)BD⊥AD時(shí)，B點(diǎn)到直線AD的距離最大；D點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，結(jié)合①結(jié)論利用勾股定理和三角函數(shù)解直角三角形即可；同理可求D點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)；④點(diǎn)D在點(diǎn)A、E之間時(shí)，結(jié)合①結(jié)論利用等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形即可；同理可求點(diǎn)E在點(diǎn)A、D之間時(shí)．【詳解】解：①如圖，∠ABC=∠DBE=60°，則∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，∴∠ABD=∠CBE，AB=CB，DB=EB，∴△ADB≌△CEB，∴AD=CE，即①正確；②如圖，連接CD，弧D1D2為D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)軌跡，∵△ADB≌△CEB，∴四邊形BECD的面積=△ABC的面積-△ADC的面積，由D點(diǎn)軌跡可知：D點(diǎn)到線段AC的距離不是定值，∴△ADC的面積不是定值，∴四邊形BECD的面積不是定值，即②錯(cuò)誤；③∵BD的長度是定值，∴當(dāng)BD⊥AD時(shí)，B點(diǎn)到直線AD的距離最大，D點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖，過P作PF⊥DE于F，∵BD⊥AD，∴，∵△ADB≌△CEB，∴AD=CE，∠ADB=∠CEB=90°，∴∠PEF=∠CEB-∠DEB=30°，∠PDE=∠PDB-∠EDB=30°，∴PE=PD，∵PF⊥DE，∴EF=DE=，∴PE==，PC=CE-PE=；D點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖，過P作PF⊥DE于F，同理可得CE=AD=，PE=，PC=CE+PE=，∴PC=，即③錯(cuò)誤；④點(diǎn)D在點(diǎn)A、E之間時(shí)，如圖，過B點(diǎn)作BF⊥AE于點(diǎn)F，△BDE是等邊三角形，BF⊥AE，則DF=DE=，BF=，△ABF中，由勾股定理可得AF=，∴AD=AF-DF=，∵△ADB≌△CEB，∴AD=CE=；點(diǎn)E在點(diǎn)A、D之間時(shí)，如圖，過B點(diǎn)作BF⊥AE于點(diǎn)F，同理可得△ADB≌△CEB，CE=AD=AF+DF=；∴CE=；即④正確；綜上所述①④正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)；根據(jù)題意作出相應(yīng)的圖形是解題關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·福建·廈門市華僑中學(xué)九年級期中）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)110°，得到，若點(diǎn)落在線段的延長線上，則大小為______．【答案】##35度【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出的度數(shù)，此題得解．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇·泰興市實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)一模）如圖，在△ABC中，∠CAB＝40°，將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為_____．【答案】100°##100度【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠C′CA＝∠CAB＝40°，AC′＝AC，求出∠AC′C＝∠C′CA＝40°，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠C′AC即可．【詳解】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝40°，∴∠C′CA＝∠CAB＝40°，∵將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，∴AC′＝AC，∴∠AC′C＝∠C′CA＝40°，∴∠C′AC＝180°?40°?40°＝100°，即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是100°，故答案為：100°．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇無錫·九年級階段練習(xí)）將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如圖①擺放，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P，DF經(jīng)過點(diǎn)C．將△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°），DE′交AC于點(diǎn)M，DF′交BC于點(diǎn)N，則＝________．【答案】##【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD＝AD＝BD＝AB，根據(jù)等邊對等角求出∠ACD＝∠A，再求出∠ADC＝120°，再根據(jù)∠ADE＝∠ADC﹣∠EDF計(jì)算得30°，根據(jù)同角的余角相等求出∠PDM＝∠CDN，再根據(jù)然后求出△BCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BCD＝60°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠CPD＝60°，從而得到∠CPD＝∠BCD，再根據(jù)兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似判斷出△DPM和△DCN相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴CD＝AD＝BD＝AB，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠ADC＝180°﹣30°×2＝120°，∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDF＝120°﹣90°＝30°；∵∠EDF＝90°，∴∠PDM+∠E′DF＝∠CDN+∠E′DF＝90°，∴∠PDM＝∠CDN，∵∠B＝60°，BD＝CD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠BCD＝60°，∵∠CPD＝∠A+∠ADE＝30°+30°＝60°，∴∠CPD＝∠BCD，∴△DPM∽△DCN，∴＝，∵∠ACD＝30°，∠CDP＝90°，∴＝tan∠ACD＝tan30°＝，∴＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是判斷出△MPD∽△NCD．9．（2022·河北·衡水市第六中學(xué)九年級期中）如圖，中，，，O為中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，（1）當(dāng)時(shí)，__________；（2）當(dāng)恰為軸對稱圖形時(shí)，的值為_____________．【答案】

40°

50°或65°或80°【分析】（1）連接，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，然后根據(jù)外角的性質(zhì)得到，進(jìn)而求解即可；（2）如圖1，連接，根據(jù)直角三角形的判定和性質(zhì)得到，當(dāng)時(shí)，得到，推出垂直平分，求得，于是得到，當(dāng)時(shí)，如圖2，連接并延長交于H，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到垂直平分，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，當(dāng)時(shí)，如圖3，連接并延長交于G，連接，推出垂直平分，得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到．【詳解】（1）連接，∵中，O為中點(diǎn)∴∵將繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至∴∴∵∴∴；（2）∵恰為軸對稱圖形，∴是等腰三角形，如圖1，連接，∵O為斜邊中點(diǎn)，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，∴，∴，∴，∴，∴垂直平分，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖2，連接并延長交于H，∵，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖3，連接并延長交于G，連接，∵，O為斜邊中點(diǎn)，∴，∴垂直平分，∴，∵，∴，綜上所述：當(dāng)恰為軸對稱圖形時(shí)，θ的值為50°或65°或80°，故答案為：50°或65°或80°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識的綜合運(yùn)用，熟練的運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．10．（2022·四川·成都市棕北中學(xué)二模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，以BG為邊在BC右側(cè)作正方形BEFG，直線AG，CE交于點(diǎn)P．現(xiàn)將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，CE＝_____；（2）當(dāng)正方形BEFG繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長為_____．【答案】

【分析】延長CB,過點(diǎn)作,根據(jù)正方形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出，得到，,運(yùn)用勾股定理求得CE的長；當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)、、在一條直線上時(shí)，點(diǎn)到達(dá)最高點(diǎn)，連接、，求出；當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)、、在一條直線上時(shí)，點(diǎn)到達(dá)最低點(diǎn)；連接、，求出，求得點(diǎn)運(yùn)動(dòng)弧所對圓心角，利用弧長公式求解；【詳解】（1）解：如圖，延長CB過點(diǎn)作,，，，∵AB＝4，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，在中，∴，故答案為：；（2）正方形，正方形，，，，，，，同理可證，正方形繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過程中，存在，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，，，，如圖：當(dāng)點(diǎn)、、在同一直線上時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，，，，同理可得，當(dāng)點(diǎn)、、在同一直線上時(shí)，，所以點(diǎn)路徑對應(yīng)的圓心角是，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是畫出圖形，作輔助線構(gòu)造直角三角形，結(jié)合勾股定理進(jìn)行計(jì)算求解．解題時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用．11．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市教育教學(xué)研究中心一模）如圖所示，在中，，，，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使D、E旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)、與點(diǎn)A三點(diǎn)共線，則以下判斷，其中正確結(jié)論的序號為______．①線段，②，③．【答案】①②③【分析】根據(jù)題意，是的中點(diǎn)，則在以為圓心的半徑的圓上，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：依題意，是的中點(diǎn)，則在以為圓心的半徑的圓上，如圖，，，設(shè)，則，，，，故①成立，，，，故②成立又故③正確故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，直角所對的弦是直徑，相似三角形的性質(zhì)與判定，求一個(gè)角的正切，證明在以為圓心的半徑的圓上是解題的關(guān)鍵．三、解答題12．（2022·天津?yàn)I海新·九年級期中）如圖，將矩形繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，使點(diǎn)恰好落到線段上的點(diǎn)處，連接，連接交于點(diǎn)．(1)求證：平分；(2)取的中點(diǎn)，連接，求證：；(3)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)的長為【分析】（1）通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，再利用矩形的性質(zhì)證明即可．（2）過點(diǎn)作于，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得到，再利用旋轉(zhuǎn)及矩形的性質(zhì)得到≌，得到點(diǎn)是中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)解題即可．（3）過點(diǎn)作于，過作于，利用含的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：將矩形繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，使點(diǎn)恰好落到線段上的點(diǎn)處，，，，，，平分；（2）證明：過點(diǎn)作于，如圖：平分，，，，，，，，≌，，即點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，是的中位線，∴；（3）解：過點(diǎn)作于，過作于，如圖：，，，，，，，，在中，，的長為．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，涉及到三角形全等的判定及性質(zhì)，矩形的的性質(zhì)，勾股定理，能夠熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)并結(jié)合其他幾何性質(zhì)添加輔助線和證明是解題關(guān)鍵．13．（2022·湖南長沙·九年級期中）已知：正方形，以A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)至，連接．(1)若將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，如圖1所示，求的度數(shù)？(2)若將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度至，求的度數(shù)？(3)若將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度至，請分別求出、、三種情況下的的度數(shù)（圖2、圖3、圖4）．【答案】(1)(2)(3)，，【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可知，再根據(jù)等邊對等角，即可求出的度數(shù)；（2）用和（1）一樣的方法即可進(jìn)行證明；（3）分為三種情況，分別將的度數(shù)表示出來，再根據(jù)角度之間的和差關(guān)系即可進(jìn)行解答．【詳解】（1）解：∵順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴，∴．（2）∵順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴，∴．（3）①當(dāng)時(shí)，∵逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴，∴．②當(dāng)時(shí)，∵逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，，∵四邊形為正方形，∴，，∴，即點(diǎn)P、A、B三點(diǎn)共線，∴．③當(dāng)時(shí)，∵逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)變化，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形四邊都相等，四個(gè)角都是直角；旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等；等腰三角形等邊對等角．14．（2021·新疆·烏魯木齊市第二十九中學(xué)九年級期中）在△ABC與△EDC中，∠ACB=∠ECD=60°，∠ABC=∠EDC，△EDC可以繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連接AE，BD(1)如圖1①若BC=3DC，直接寫出線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系；②求直線BD與直線AE所夾銳角的度數(shù)；(2)如圖2，BC=AC=3，當(dāng)四邊形ADCE是平行四邊形時(shí)，直接寫出線段DE的長【答案】(1)①BD=3AE，②直線BD與AE所夾銳角為60°(2)【分析】（1）①通過△ABC∽△EDC證明△AEC∽△BDC即可，②延長AE與BD交于點(diǎn)F，通過（1）中的相似即可得出結(jié)果．（2）連接AD，AE，通過（1）中的相似可以證明四邊形ADCE為菱形，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①BD=3AE∵在△ABC和△EDC中∴△ABC∽△EDC∴∠DCE=∠BCA，∴∠DCE-∠BCE=∠ACB-∠BCE∠BCD=∠ACE.在△AEC和△BDC中∴△AEC∽△BDC∴BD=3AE②夾角為60°如圖，延長AE與BD交于點(diǎn)F∵∠ACB=60°∴∠CBA+∠CAB=120°由（1）中△AEC∽△BDC可得∠EAC=∠DBC∴∠DBC+∠CBA+∠BAE=120°∴在△AFB中∠AFB=60°∴直線BD與AE所夾銳角為60°（2）解：如圖，連接AD，AE，∵∠ACB=60°，BC=AC，∴△ABC是等邊三角形由（1）可得△ABC∽△EDC∴△DEC為等邊三角形，∴DC=EC∵四邊形ADCE是平行四邊形∴平行四邊形ADCE是菱形∵AC為菱形ADCE對角線∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，涉及三角形相似的證明，菱形的證明，能夠熟練證明相似是解題關(guān)鍵．15．（2022·黑龍江齊齊哈爾·九年級階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐如圖1所示，將一個(gè)長為6寬為4的長方形ABEF，裁成一個(gè)邊長為4的正方形ABCD和一個(gè)長為4、寬為2的長方形CEFD如圖2．現(xiàn)將小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，旋轉(zhuǎn)角為α．(1)當(dāng)點(diǎn)恰好落在EF邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90）的值；(2)如圖3，G為BC中點(diǎn)，且0°＜α＜90°，求證：；(3)小軍是一個(gè)愛動(dòng)手研究數(shù)學(xué)問題的孩子，他發(fā)現(xiàn)在小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，與存在兩次全等，請你幫助小軍直接寫出當(dāng)與全等時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α的值．【答案】(1)30°(2)見解析(3)135°；315°【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，在Rt△中，，，則，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到旋轉(zhuǎn)角α的值；（2）由為中點(diǎn)可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，則，然后根據(jù)“SAS”，可判斷，則；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，而，則為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)兩頂角相等時(shí)它們?nèi)龋?dāng)與為鈍角三角形時(shí)，可計(jì)算出，當(dāng)與為銳角三角形時(shí)，可計(jì)算出．（1）解：∵長方形CEFD繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，在Rt△中，，，∴，∵，∴；（2）證明：∵為中點(diǎn)，∴，∴，∵長方形CEFD繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，，∴，在中，，∴（SAS），∴；（3）解：∵四邊形為正方形，∴，∵，∴為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)與為鈍角三角形時(shí)，則，當(dāng)與為銳角三角形時(shí)，，則，綜上旋轉(zhuǎn)角α的值為135°或315°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形和矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)關(guān)系．16．（2022·天津市第五十五中學(xué)九年級期中）如圖1，在正方形中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，以為邊作正方形，連接．將正方形繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．(1)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，判斷與是否全等，并說明理由；(2)如圖3，延長交直線于點(diǎn)P．①求證：；②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)．理由見解析(2)①見解析；②存在，的最大值為【詳解】（1）如圖2中，結(jié)論：．證明：∵四邊形是正方形，∴，，∵，，∴，∴，∴（SAS）．（2）①證明：如圖3中，設(shè)交于O．∵，∴，∵，∴在與中，∴．②存在∵，是定值，∴當(dāng)最小時(shí)，的值最大，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)的值最大，此時(shí)點(diǎn)F與P重合，∵，∴，∵，∴，∴的最大值為．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會尋找特殊位置解決最值問題，屬于中考壓軸題．17．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1，正方形ABCD與正方形AEFG的邊長分別為5和2，點(diǎn)E、G分別在邊AB和邊AD上，連接BG、DE，P為BG的中點(diǎn)，將正方形AEFG繞著點(diǎn)A從圖1位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（）．(1)當(dāng)A、G、B三點(diǎn)不共線時(shí)，；（填“＞”、“＝”或“＜”）(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的值；(3)在正方形AEFG轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，①求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長；②當(dāng)時(shí)，請直接寫出滿足條件的的值．【答案】(1)＝(2)(3)①；②45°、135°、225°、315°．【分析】（1）根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形，可得結(jié)論．（2）如圖2中，過點(diǎn)E作EH⊥AD交DA的延長線于點(diǎn)H，過G作GI⊥AB于點(diǎn)I．證明△AHE≌△AIG（AAS），推出EH=GI，可得結(jié)論；（3）①如圖3中，取AB的中點(diǎn)O，連接OP．利用三角形中位線定理，證明OP=1，可得結(jié)論；②分兩種情形：如圖4中，當(dāng)點(diǎn)G在AB的右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H．如圖5中，當(dāng)點(diǎn)G在AB的左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H．分別證明△AGH是等腰直角三角形，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：在△ABG中，PB=PG，∴S△AGP=S△ABP，故答案為：=；（2）如圖2中，過點(diǎn)E作EH⊥AD交DA的延長線于點(diǎn)H，過G作GI⊥AB于點(diǎn)I．∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴AB=AD，AG=AE，∠EAG=∠BAH=90°，∴∠EAH=∠GAI，在△AHE和△AIG中，，∴△AHE≌△AIG（AAS），∴EH=GI，∵S△ABG=?AB?GI，S△ADE=?AD?EH，∴S△ABG=S△ADE，∵PB=PG，∴S△ABP=S△AGB=S△ADE，∴；（3）①如圖3中，取AB的中點(diǎn)O，連接OP．∵PB=PG，AO=OB，∴OP=AG=1，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，OP為半徑的圓，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑的長為2π×1=2π；②如圖4中，當(dāng)點(diǎn)G在AB的右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H．∵S△ABG=2S△ABP，∴，∴，∴∴AH=GH，∠GAH=45°，∴α=45°；如圖5中，當(dāng)點(diǎn)G在AB的左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H．同法可得∠GAH=45°，∴α=135°，當(dāng)AG在AD的上方時(shí)，同法可得α=225°或315°．綜上所述，滿足條件的α的值為45°或135°或225°或315°．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．18．（2022·河南商丘·九年級期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，，，，求的度數(shù)．針對此問題，數(shù)學(xué)王老師給出了下面的思路：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連結(jié)，得到等邊三角形，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系以及勾股定理……請根據(jù)王老師的思路提示，完成本題的解答；（2）類比延伸如圖3，在正方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P，若，試判斷線段PA、PB、PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2），理由見解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理可得到為直角三角形，且，即可得到∠APB的度數(shù)；（2）把△ADP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得，然后求出是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出再求出，然后利用勾股定理得出等量代換得出．【詳解】解：（1）如圖2，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到，連結(jié)，則為等邊三角形．∴∴∴為直角三角形．∴∠APB的度數(shù)為90°+60°=150°．故答案為：直角；150°；（2）2PA2+PD2=PB2．理由如下：如圖3，把△ADP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABP′，連結(jié)．則∴是等腰直角三角形，∴∵∠APD=135°，∴，∴，在Rt中，由勾股定理得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理的應(yīng)用．19．（2022·廣東·豐順縣大同中學(xué)九年級階段練習(xí)）有兩張完全重合的矩形紙片，小亮將其中一張繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到矩形（如圖1），連接，此時(shí)他測得，．(1)在圖1中，請你判斷直線和是否垂直？并證明你的結(jié)論；(2)小紅同學(xué)用剪刀將與剪去，與小亮同學(xué)繼續(xù)探究．他們將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，交于點(diǎn)（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；(3)若將沿方向平移得到（如圖3），與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求平移的距離是多少．【答案】(1)垂直，理由見解析(2)或(3)平移的距離是【分析】（1）有兩張完全重合的矩形紙片，將其中一張繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到矩形，得，，推出，，進(jìn)而可得的大?。?）分兩種情形討論①當(dāng)，時(shí)，②當(dāng)時(shí)，時(shí)，均可根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出結(jié)論（3）求平移的距離是的長度．在矩形中，，只要求出的長度就行．用得出對應(yīng)線段成比例，即可得到的大?。驹斀狻浚?）垂直．下面證明：延長交于點(diǎn)．由題意得．．，．．．（2）當(dāng)時(shí)，，則，即；當(dāng)時(shí)，，∴∴，即；∴的度數(shù)為或（3）由題意知四邊形為矩形．設(shè)，則．在中，，．，．．在中，，．，，，解得即平移的距離是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用運(yùn)用．在利用相似三角形的性質(zhì)時(shí)注意使用相等線段的代換以及注意分類思想的運(yùn)用．20．（2022·廣東·廣州市第一一三中學(xué)九年級期中）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊分別交直線于M、N兩點(diǎn)，以點(diǎn)D為中心旋轉(zhuǎn)（的度數(shù)不變）(1)如圖①，若，求證：；(2)如圖②，若與不垂直，且點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在邊上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；(3)如圖③，若與不垂直，且點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在邊的延長線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，寫出之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)成立，理由見解析(3)不成立，，理由見解析【分析】（1）證明得出，，然后根據(jù)含30度的直角三角形性質(zhì)得出，，最后代入化簡即可得證；（2）過D作于E，于F，通過證明，得出，然后利用（1）的結(jié)論解答即可；（3）過D作于E，于F，利用（1）（2）的結(jié)論解答即可．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∵點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴，，∵，，，∴，，∴；即；（2）解：．理由：如圖②，過D作于E，于F，由（1）知：，，∴，，，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，即；（3）解：．理由：如圖③，過D作于E，于F，，由（2）知：，∴，由（1）知：，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形判斷與性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)等知識，添加合適輔助線，構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．21．（2022·湖北省水果湖第一中學(xué)九年級期中）如圖1，中，，，點(diǎn)D、E分別在上，．將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，使得B、D、E三點(diǎn)共線．(1)直接寫出：_________________（用表示）；(2)若，當(dāng)時(shí)，作于F，在圖2中畫出符合要求的圖形，并探究之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，若，，當(dāng)時(shí)，直接寫出的最大值_________．【答案】(1)(2)，圖見解析(3)【分析】（1）畫出對應(yīng)圖形后，證明，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解答；（2）畫出對應(yīng)圖形后，根據(jù)可得，再根據(jù)，即可得出結(jié)論；（3）求證，可確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)垂徑定理可求出的長度，最后根據(jù)三角形的面積公式，將分為兩個(gè)三角形的面積和即可．【詳解】（1）解：連接，∵，∴，即，在和中，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．（2）解：如圖：∵，，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，則，由（1）可知，，∴，∵，∴．（3）如圖，連接點(diǎn)E和中點(diǎn)，交于點(diǎn)F．∵，∴，∵，∴，則，∵，∴A、B、C、E四點(diǎn)共圓，為直徑，故點(diǎn)E在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵，∴點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，最大，∵，，，∴，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，∴且平分，∴，∵點(diǎn)O為，點(diǎn)F為中點(diǎn)，

∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及圓的相關(guān)內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，以及垂徑定理和直徑所對的圓周角等于90°．22．（2022·黑龍江黑河·九年級期末）如圖1所示，將一個(gè)長為6寬為4的長方形ABEF，裁成一個(gè)邊長為4的正方形ABCD和一個(gè)長為4、寬為2的長方形CEFD如圖2．現(xiàn)將小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，旋轉(zhuǎn)角為a．(1)當(dāng)點(diǎn)恰好落在EF邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角a的值；(2)如圖3，G為BC中點(diǎn)，且0°＜a＜90°，求證：；(3)小軍是一個(gè)愛動(dòng)手研究數(shù)學(xué)問題的孩子，他發(fā)現(xiàn)在小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，與存在兩次全等，請你幫助小軍直接寫出當(dāng)與全等時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a的值．【答案】(1)30°(2)見解析(3)135°，315°【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性質(zhì)可知∠CD′E=30°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即得出∠α=30°；（2）由題意可得出CE=CE′=CG=2，由矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出∠GCD′=∠DCE′=90°+α，進(jìn)而可利用“SAS”證明△GCD′≌