專題11圖形的變換篇(原卷版+解析)

專題11圖形的變換知識回顧知識回顧平移的條件：平移的方向叫做平移方向，平移的距離叫做平移距離。平移方向與平移距離即為平移的條件。平移的性質(zhì)：①平移前后的兩個圖形全等。即有對應邊相等，對應角相等。②對應點連線平行且相等，且長度都等于平移距離。平移作圖：具體步驟：①確定平移方向與平移距離。②將關鍵點按照平移方向與平移距離進行平移，得到平移后的點。③將平移后的關鍵點按照原圖形連接即得到平移后的圖形。坐標表示平移：①向右平移個單位，坐標?②向左平移個單位，坐標?③向上平移個單位，坐標?④向下平移個單位，坐標?軸對稱的性質(zhì)：①成軸對稱的兩個圖形全等。即有對應邊相等，對應角相等。②對稱軸是任意一組對應點連線的垂直平分線。關于坐標軸對稱的點的坐標：①關于軸對稱的點的坐標：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)。即關于軸對稱的點的坐標為。②關于軸對稱的點的坐標：縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)。即關于軸對稱的點的坐標為。③關于原點對稱的點的坐標：橫縱坐標均互為相反數(shù)。即關于原點對稱的點的坐標為。關于直線對稱的點的坐標：①關于直線對稱，?②關于直線對稱，?旋轉的要素：①旋轉中心；②旋轉方向；③旋轉角。旋轉的性質(zhì)：①旋轉前后的兩個圖形全等。即有對應邊相等，對應角相等。②對應點到旋轉中心的連線距離相等。③對應點與旋轉中心的連線構成的夾角等于旋轉角。旋轉對稱圖形：若一個圖形旋轉一定角度（小于360°）之后與原圖形重合，則這個圖形叫做旋轉對稱圖形。如正多邊形或圓。中心對稱：①定義：把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點。②性質(zhì)：=1\*ROMANI：關于中心對稱的兩個圖形能夠完全重合；=2\*ROMANII：關于中心對稱的兩個圖形，對應點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。坐標的旋轉變換：①若點順時針或逆時針旋轉90°，則橫縱坐標的絕對值互換，符號看象限。②若點順時針或逆時針旋轉180°，即關于原點成中心對稱，則橫縱坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)。即旋轉作圖：基本步驟：①確定旋轉方向與旋轉角；②把圖形的關鍵點按照旋轉方向與旋轉角進行旋轉，得到關鍵點的對應點；③將對應點按照原圖形連接。專題練習專題練習1．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．（1）將△ABC先向左平移6個單位，再向上平移4個單位，得到△A1B1C1，畫出兩次平移后的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標；（2）畫出△A1B1C1繞點C1順時針旋轉90°后得到△A2B2C1，并寫出點A2的坐標；（3）在（2）的條件下，求點A1旋轉到點A2的過程中所經(jīng)過的路徑長（結果保留π）．2．如圖，△ABC的頂點坐標分別為A（﹣2，3），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣1）．將△ABC平移后得到△A'B'C'，且點A的對應點是A'（2，3），點B、C的對應點分別是B'、C'．（1）點A、A'之間的距離是；（2）請在圖中畫出△A'B'C'．3．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點P從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點C運動，設運動的時間為t秒．（1）如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；（2）如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當t為何值時，四邊形QPCP′為菱形？4．如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點和線段EF的端點均在小正方形的頂點上．（1）在方格紙中畫出△ADC，使△ADC與△ABC關于直線AC對稱（點D在小正方形的頂點上）；（2）在方格紙中畫出以線段EF為一邊的平行四邊形EFGH（點G，點H均在小正方形的頂點上），且平行四邊形EFGH的面積為4，連接DH，請直接寫出線段DH的長．5．圖①，圖②均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．其中點A，B，C均在格點上，請在給定的網(wǎng)格中按要求畫四邊形．（1）在圖①中，找一格點D，使以點A，B，C，D為頂點的四邊形是軸對稱圖形；（2）在圖②中，找一格點E，使以點A，B，C，E為頂點的四邊形是中心對稱圖形．6．如圖，已知四邊形ABCD為矩形，AB＝2，BC＝4，點E在BC上，CE＝AE，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF．（1）求EF的長；（2）求sin∠CEF的值．7．為提高耕地灌溉效率，小明的爸媽準備在耕地A、B、C、D四個位置安裝四個自動噴灑裝置（如圖1所示），A、B、C、D四點恰好在邊長為50米的正方形的四個頂點上，為了用水管將四個自動噴灑裝置相互連通，爸媽設計了如下兩個水管鋪設方案（各圖中實線為鋪設的水管）．方案一：如圖2所示，沿正方形ABCD的三邊鋪設水管；方案二：如圖3所示，沿正方形ABCD的兩條對角線鋪設水管．（1）請通過計算說明上述兩方案中哪個方案鋪設水管的總長度更短；（2）小明看了爸媽的方案后，根據(jù)“蜂巢原理”重新設計了一個方案（如圖4所示）．滿足∠AEB＝∠CFD＝120°，AE＝BE＝CF＝DF，EF∥AD．請將小明的方案與爸媽的方案比較，判斷誰的方案中鋪設水管的總長度更短，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）8．如圖，在平面直角坐標系中，形如英文字母“V”的圖形三個端點的坐標分別是A（2，3），B（1，0），C（0，3）．（1）畫出“V”字圖形向左平移2個單位后的圖形；（2）畫出原“V”字圖形關于x軸對稱的圖形；（3）所得圖形與原圖形結合起來，你能從中看出什么英文字母？（任意答一個即可）9．如圖，是邊長為1的小正方形組成的8×8方格，線段AB的端點在格點上．建立平面直角坐標系，使點A、B的坐標分別為（2，1）和（﹣1，3）．（1）畫出該平面直角坐標系xOy；（2）畫出線段AB關于原點O成中心對稱的線段A1B1；（3）畫出以點A、B、O為其中三個頂點的平行四邊形．（畫出一個即可）10．如圖，在△ABC中，，，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，BC的中點，連接DE，DF．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，將∠EDF繞點D順時針旋轉一定角度，得到∠PDQ，當射線DP交AB于點G，射線DQ交BC于點N時，連接FE并延長交射線DP于點M，判斷FN與EM的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，當DP⊥AB時，求DN的長．11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D在直線AC上，連接BD，將DB繞點D逆時針旋轉120°，得到線段DE，連接BE，CE．（1）求證：BC＝AB；（2）當點D在線段AC上（點D不與點A，C重合）時，求的值；（3）過點A作AN∥DE交BD于點N，若AD＝2CD，請直接寫出的值．12．如圖1，△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．（1）判斷線段BD與CE的數(shù)量關系并給出證明；（2）延長ED交直線BC于點F．①如圖2，當點F與點B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關系為；②如圖3，當點F為線段BC中點，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數(shù)并說明理由．13．如圖所示的方格紙（1格長為一個單位長度）中，△AOB的頂點坐標分別為A（3，0），O（0，0），B（3，4）．（1）將△AOB沿x軸向左平移5個單位，畫出平移后的△A1O1B1（不寫作法，但要標出頂點字母）；（2）將△AOB繞點O順時針旋轉90°，畫出旋轉后的△A2O2B2（不寫作法，但要標出頂點字母）；（3）在（2）的條件下，求點B繞點O旋轉到點B2所經(jīng)過的路徑長（結果保留π）．14．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，線段AB繞點A逆時針旋轉至AD（AD不與AC重合），旋轉角記為α，∠DAC的平分線AE與射線BD相交于點E，連接EC．（1）如圖①，當α＝20°時，∠AEB的度數(shù)是；（2）如圖②，當0°＜α＜90°時，求證：BD+2CE＝AE；（3）當0°＜α＜180°，AE＝2CE時，請直接寫出的值．15．【特例感知】（1）如圖1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，點C在OA上，點D在BO的延長線上，連接AD，BC，線段AD與BC的數(shù)量關系是；【類比遷移】（2）如圖2，將圖1中的△COD繞著點O順時針旋轉α（0°＜α＜90°），那么第（1）問的結論是否仍然成立？如果成立，證明你的結論；如果不成立，說明理由．【方法運用】（3）如圖3，若AB＝8，點C是線段AB外一動點，AC＝3，連接BC．①若將CB繞點C逆時針旋轉90°得到CD，連接AD，則AD的最大值是；②若以BC為斜邊作Rt△BCD（B，C，D三點按順時針排列），∠CDB＝90°，連接AD，當∠CBD＝∠DAB＝30°時，直接寫出AD的值．專題11圖形的變換知識回顧知識回顧平移的條件：平移的方向叫做平移方向，平移的距離叫做平移距離。平移方向與平移距離即為平移的條件。平移的性質(zhì)：①平移前后的兩個圖形全等。即有對應邊相等，對應角相等。②對應點連線平行且相等，且長度都等于平移距離。平移作圖：具體步驟：①確定平移方向與平移距離。②將關鍵點按照平移方向與平移距離進行平移，得到平移后的點。③將平移后的關鍵點按照原圖形連接即得到平移后的圖形。坐標表示平移：①向右平移個單位，坐標?②向左平移個單位，坐標?③向上平移個單位，坐標?④向下平移個單位，坐標?軸對稱的性質(zhì)：①成軸對稱的兩個圖形全等。即有對應邊相等，對應角相等。②對稱軸是任意一組對應點連線的垂直平分線。關于坐標軸對稱的點的坐標：①關于軸對稱的點的坐標：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)。即關于軸對稱的點的坐標為。②關于軸對稱的點的坐標：縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)。即關于軸對稱的點的坐標為。③關于原點對稱的點的坐標：橫縱坐標均互為相反數(shù)。即關于原點對稱的點的坐標為。關于直線對稱的點的坐標：①關于直線對稱，?②關于直線對稱，?旋轉的要素：①旋轉中心；②旋轉方向；③旋轉角。旋轉的性質(zhì)：①旋轉前后的兩個圖形全等。即有對應邊相等，對應角相等。②對應點到旋轉中心的連線距離相等。③對應點與旋轉中心的連線構成的夾角等于旋轉角。旋轉對稱圖形：若一個圖形旋轉一定角度（小于360°）之后與原圖形重合，則這個圖形叫做旋轉對稱圖形。如正多邊形或圓。中心對稱：①定義：把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點。②性質(zhì)：=1\*ROMANI：關于中心對稱的兩個圖形能夠完全重合；=2\*ROMANII：關于中心對稱的兩個圖形，對應點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。坐標的旋轉變換：①若點順時針或逆時針旋轉90°，則橫縱坐標的絕對值互換，符號看象限。②若點順時針或逆時針旋轉180°，即關于原點成中心對稱，則橫縱坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)。即旋轉作圖：基本步驟：①確定旋轉方向與旋轉角；②把圖形的關鍵點按照旋轉方向與旋轉角進行旋轉，得到關鍵點的對應點；③將對應點按照原圖形連接。專題練習專題練習1．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．（1）將△ABC先向左平移6個單位，再向上平移4個單位，得到△A1B1C1，畫出兩次平移后的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標；（2）畫出△A1B1C1繞點C1順時針旋轉90°后得到△A2B2C1，并寫出點A2的坐標；（3）在（2）的條件下，求點A1旋轉到點A2的過程中所經(jīng)過的路徑長（結果保留π）．【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可；（2）利用旋轉變換的性質(zhì)分別作出A1，B1的對應點A2，B2即可；（3）利用勾股定理求出A1C1，再利用弧長公式求解．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，點A1的坐標（﹣5，3）；（2）如圖，△A2B2C1即為所求，點A2的坐標（2，4）；（3）∵A1C1＝＝5，∴點A1旋轉到點A2的過程中所經(jīng)過的路徑長＝＝．2．如圖，△ABC的頂點坐標分別為A（﹣2，3），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣1）．將△ABC平移后得到△A'B'C'，且點A的對應點是A'（2，3），點B、C的對應點分別是B'、C'．（1）點A、A'之間的距離是；（2）請在圖中畫出△A'B'C'．【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離公式即可得到結論；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)作出圖形即可．【解答】解：（1）∵A（﹣2，3），A'（2，3），∴點A、A'之間的距離是2﹣（﹣2）＝4，故答案為：4；（2）如圖所示，△A'B'C'即為所求．3．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點P從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點C運動，設運動的時間為t秒．（1）如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；（2）如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當t為何值時，四邊形QPCP′為菱形？【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．（2）作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，AP＝tcm，BQ＝tcm（0≤t＜4），由△ABC為等腰直角三角形，可得∠A＝∠B＝45°，則可判斷△APE和△PBD為等腰直角三角形，得出PE＝AE＝AP＝tcm，BD＝PD，則CE＝AC﹣AE＝（4﹣t）cm，由矩形和菱形性質(zhì)及勾股定理，即可求得答案．【解答】解：（1）如圖①，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，∴AB＝＝＝4（cm），由題意得，AP＝tcm，BQ＝tcm，則BP＝（4﹣t）cm，∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝90°，∴∠PQB＝∠ACB，∴PQ∥AC，∴＝，∴＝，解得：t＝2，∴當t＝2時，PQ⊥BC．（2）作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，如圖②，AP＝tcm，BQ＝tcm（0≤t＜4），∵∠C＝90°，AC＝BC＝4cm，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴△APE和△PBD為等腰直角三角形，∴PE＝AE＝AP＝tcm，BD＝PD，∴CE＝AC﹣AE＝（4﹣t）cm，∵四邊形PECD為矩形，∴PD＝EC＝（4﹣t）cm，∴BD＝（4﹣t）cm，∴QD＝BD﹣BQ＝（4﹣2t）cm，在Rt△PCE中，PC2＝PE2+CE2＝t2+（4﹣t）2，在Rt△PDQ中，PQ2＝PD2+DQ2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2，∵四邊形QPCP′為菱形，∴PQ＝PC，∴t2+（4﹣t）2＝（4﹣t）2+（4﹣2t）2，∴t1＝，t2＝4（舍去）．∴當t的值為時，四邊形QPCP′為菱形．4．如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點和線段EF的端點均在小正方形的頂點上．（1）在方格紙中畫出△ADC，使△ADC與△ABC關于直線AC對稱（點D在小正方形的頂點上）；（2）在方格紙中畫出以線段EF為一邊的平行四邊形EFGH（點G，點H均在小正方形的頂點上），且平行四邊形EFGH的面積為4，連接DH，請直接寫出線段DH的長．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得△ADC；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)即可畫出圖形，利用勾股定理可得DH的長．【解答】解：（1）如圖，△ADC即為所求；（2）如圖，?EFGH即為所求；由勾股定理得，DH＝＝5．5．圖①，圖②均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．其中點A，B，C均在格點上，請在給定的網(wǎng)格中按要求畫四邊形．（1）在圖①中，找一格點D，使以點A，B，C，D為頂點的四邊形是軸對稱圖形；（2）在圖②中，找一格點E，使以點A，B，C，E為頂點的四邊形是中心對稱圖形．【分析】（1）作點B關于直線AC的對稱點D，四邊形ABCD為箏形．（2）將點A向右平移1個單位，再向上平移1個單位可得點E，四邊形ABCE為平行四邊形．【解答】解：（1）作點B關于直線AC的對稱點D，連接ABCD，四邊形ABCD為箏形，符合題意．（2）將點A向右平移1個單位，再向上平移1個單位可得點E，連接ABCE，AE∥BC且AE＝BC，∴四邊形ABCE為平行四邊形，符合題意．6．如圖，已知四邊形ABCD為矩形，AB＝2，BC＝4，點E在BC上，CE＝AE，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF．（1）求EF的長；（2）求sin∠CEF的值．【分析】（1）根據(jù)翻折變換的特點和勾股定理結合方程思想解答即可；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，利用勾股定理解答即可．【解答】解：（1）∵CE＝AE，∴∠ECA＝∠EAC，根據(jù)翻折可得：∠ECA＝∠FCA，∠BAC＝∠CAF，∵四邊形ABCD是矩形，∴DA∥CB，∴∠ECA＝∠CAD，∴∠EAC＝∠CAD，∴∠DAF＝∠BAE，∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝90°，設CE＝AE＝x，則BE＝4﹣x，在△BAE中，根據(jù)勾股定理可得：BA2+BE2＝AE2，即：，解得：x＝3，在Rt△EAF中，EF＝＝．（2）過點F作FG⊥BC交BC于點G，設CG＝y(tǒng)，則GE＝3﹣y，∵FC＝4，F(xiàn)E＝，∴FG2＝FC2﹣CG2＝FE2﹣EG2，即：16﹣y2＝17﹣（3﹣y）2，解得：y＝，∴FG＝＝，∴sin∠CEF＝＝．7．為提高耕地灌溉效率，小明的爸媽準備在耕地A、B、C、D四個位置安裝四個自動噴灑裝置（如圖1所示），A、B、C、D四點恰好在邊長為50米的正方形的四個頂點上，為了用水管將四個自動噴灑裝置相互連通，爸媽設計了如下兩個水管鋪設方案（各圖中實線為鋪設的水管）．方案一：如圖2所示，沿正方形ABCD的三邊鋪設水管；方案二：如圖3所示，沿正方形ABCD的兩條對角線鋪設水管．（1）請通過計算說明上述兩方案中哪個方案鋪設水管的總長度更短；（2）小明看了爸媽的方案后，根據(jù)“蜂巢原理”重新設計了一個方案（如圖4所示）．滿足∠AEB＝∠CFD＝120°，AE＝BE＝CF＝DF，EF∥AD．請將小明的方案與爸媽的方案比較，判斷誰的方案中鋪設水管的總長度更短，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）【分析】（1）分別算出兩種方案中鋪設水管的總長度，再比較即可得答案；（2）過E作EG⊥AB于G，過F作FH⊥CD于H，由AE＝BE，GE⊥AB，可得AG＝BG＝AB＝25米＝DH＝CH，∠AEG＝∠BEG＝∠AEB＝60°＝∠DFH＝∠CFH＝60°，在Rt△AEG中，GE＝＝（米），AE＝＝（米），故EF＝GH﹣GE﹣FH＝（50﹣）米，從而可得方案中鋪設水管的總長度為50+50≈135（米），即知小明的方案中鋪設水管的總長度最短．【解答】解：（1）方案一：鋪設水管的總長度為50×3＝150（米），方案二：鋪設水管的總長度為2＝100≈140（米），∵140＜150，∴方案二鋪設水管的總長度更短；（2）小明的方案中鋪設水管的總長度最短，理由如下：如圖：∵AE＝BE，GE⊥AB，∴AG＝BG＝AB＝25米，∠AEG＝∠BEG＝∠AEB＝60°，同理DH＝CH＝25米，∠DFH＝∠CFH＝60°，在Rt△AEG中，GE＝＝（米），AE＝＝（米），同理FH＝米，BE＝CF＝DF＝AE＝米∴EF＝GH﹣GE﹣FH＝（50﹣）米，∴方案中鋪設水管的總長度為×4+50﹣＝50+50≈135（米），∵135＜140＜150，∴小明的方案中鋪設水管的總長度最短．8．如圖，在平面直角坐標系中，形如英文字母“V”的圖形三個端點的坐標分別是A（2，3），B（1，0），C（0，3）．（1）畫出“V”字圖形向左平移2個單位后的圖形；（2）畫出原“V”字圖形關于x軸對稱的圖形；（3）所得圖形與原圖形結合起來，你能從中看出什么英文字母？（任意答一個即可）【分析】（1）根據(jù)要求直接平移即可；（2）在第四象限畫出關于x軸對稱的圖形；（3）觀察圖形可得結論．【解答】解：（1）如圖1，（2）如圖2，（3）圖1是W，圖2是X．9．如圖，是邊長為1的小正方形組成的8×8方格，線段AB的端點在格點上．建立平面直角坐標系，使點A、B的坐標分別為（2，1）和（﹣1，3）．（1）畫出該平面直角坐標系xOy；（2）畫出線段AB關于原點O成中心對稱的線段A1B1；（3）畫出以點A、B、O為其中三個頂點的平行四邊形．（畫出一個即可）【分析】（1）根據(jù)其中一個點的坐標，即可確定原點位置；（2）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，即可畫出線段A1B1；（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可畫出圖形．【解答】解：（1）如圖，即為所求；（2）如圖，線段A1B1即為所求；（3）如圖，平行四邊形AOBD即為所求（答案不唯一）．10．如圖，在△ABC中，，，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，BC的中點，連接DE，DF．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，將∠EDF繞點D順時針旋轉一定角度，得到∠PDQ，當射線DP交AB于點G，射線DQ交BC于點N時，連接FE并延長交射線DP于點M，判斷FN與EM的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，當DP⊥AB時，求DN的長．【分析】（1）連接AF，可得AF⊥BC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，根據(jù)中位線定理可得，即可得證；（2）證明△DNF∽△DME，根據(jù)（1）的結論即可得；（3）連接AF，過點C作CH⊥AB于H，證明△AGD∽△AHC，可得，勾股定理求得GE，AG，根據(jù)，∠EMG＝∠ADG，可得，進而求得MG，根據(jù)MD＝MG+GD求得MD，根據(jù)（2）的結論，即可求解．【解答】（1）證明：如圖1，連接AF，∵，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，BC的中點，∴，AF⊥BC，∴，∴；（2）解：，理由如下：連接AF，如圖2，∵，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，BC的中點，∴，∴四邊形CDEF是平行四邊形，∴∠DEF＝∠C，∵，∴∠DFC＝∠C，∴∠DFC＝∠DEF，∴180°﹣∠DFC＝180°﹣∠DEF，∴∠DFN＝∠DEM，∵將∠EDF繞點D順時針旋轉一定角度，得到∠PDQ，∴∠EDF＝∠PDQ，∵∠FDN+∠NDE＝∠EDM+∠NDE，∴∠FDN＝∠EDM，∴△DNF∽△DME，∴，∴；（3）解：如圖，連接AF，過點C作CH⊥AB于H，Rt△AFC中，，∴，∵，∴，∵DP⊥AB，∴△AGD∽△AHC，∴，∴，Rt△GED中，，Rt△AGD中，，∴，∵EF∥AD，∴∠EMG＝∠ADG，∴，∴，∴，∵△DNF∽△DME，∴，∴．11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D在直線AC上，連接BD，將DB繞點D逆時針旋轉120°，得到線段DE，連接BE，CE．（1）求證：BC＝AB；（2）當點D在線段AC上（點D不與點A，C重合）時，求的值；（3）過點A作AN∥DE交BD于點N，若AD＝2CD，請直接寫出的值．【分析】（1）作AH⊥BC于H，可得BH＝AB，BC＝2BH，進而得出結論；（2）證明△ABD∽△CBE，進而得出結果；（3）當點D在線段AC上時，作BF⊥AC，交CA的延長線于F，作AG⊥BD于G，設AB＝AC＝3a，則AD＝2a，解直角三角形BDF，求得BD的長，根據(jù)△DAG∽△DBF求得AQ，進而求得AN，進一步得出結果；當點D在AC的延長線上時，設AB＝AC＝2a，則AD＝4a，同樣方法求得結果．【解答】（1）證明：如圖1，作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴∠BAH＝∠CAH＝＝60°，BC＝2BH，∴sin60°＝，∴BH＝，∴BC＝2BH＝；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝＝30°，由（1）得，，同理可得，∠DBE＝30°，，∴∠ABC＝∠DBE，＝，∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴；（3）解：如圖2，當點D在線段AC上時，作BF⊥AC，交CA的延長線于F，作AG⊥BD于G，設AB＝AC＝3a，則AD＝2a，由（1）得，CE＝，在Rt△ABF中，∠BAF＝180°﹣∠BAC＝60°，AB＝3a，∴AF＝3a?cos60°＝，BF＝3a．sin60°＝，在Rt△BDF中，DF＝AD+AF＝2a+a＝，BD＝＝＝a，∵∠AGD＝∠F＝90°，∠ADG＝∠BDF，∴△DAG∽△DBF，∴，∴＝，∴AG＝，∵AN∥DE，∴∠AND＝∠BDE＝120°，∴∠ANG＝60°，∴AN＝＝a＝a，∴＝，如圖3，當點D在AC的延長線上時，設AB＝AC＝2a，則AD＝4a，由（1）得，CE＝＝4，作BR⊥CA，交CA的延長線于R，作AQ⊥BD于Q，同理可得，AR＝a，BR＝，∴BD＝＝2a，∴，∴AQ＝，∴AN＝＝a，∴＝＝，綜上所述：或．12．如圖1，△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．（1）判斷線段BD與CE的數(shù)量關系并給出證明；（2）延長ED交直線BC于點F．①如圖2，當點F與點B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關系為；②如圖3，當點F為線段BC中點，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數(shù)并說明理由．【分析】（1）證明△BAD≌△CAE；（2）①AE＝DE＝BE﹣BD＝BE﹣CE；（3）連接AF，作AG⊥DE于G，先證明△ABF∽△ADG，從而，∠BAF＝∠DAG，進而∠BAD＝∠FAG，再證明△ABD∽△AFG．【解答】解：（1）BD＝CE，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵AE是由AD繞點A逆時針旋轉60°得到的，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即：∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）①由（1）得：∠DAE＝60°，AD＝AE，BD＝CE，∴△ADE是等邊三角形，∴DE＝AE，∴AE＝DE＝BE﹣BD＝BE﹣CE，故答案為：AE＝BE﹣CE；②如圖，∠BAD＝45°，理由如下：連接AF，作AG⊥DE于G，∴∠AGD＝90°，∵F是BC的中點，△ABC是等邊三角形，△ADE是等邊三角形，∴AF⊥BC，∠ABF＝∠ADG＝60°，∴∠AFB＝∠AGD，∴△ABF∽△ADG，∴，∠BAF＝∠DAG，∴∠BAF+∠DAF＝∠DAG+∠DAF，∴∠BAD＝∠FAG，∴△ABD∽△AFG，∴∠ADB＝∠AGF＝90°，由（1）得：BD＝CE，∵CE＝DE＝AD，∴AD＝BD，∴∠BAD＝45°．13．如圖所示的方格紙（1格長為一個單位長度）中，△AOB的頂點坐標分別為A（3，0），O（0，0），B（3，4）．（1）將△AOB沿x軸向左平移5個單位，畫出平移后的△A1O1B1（不寫作法，但要標出頂點字母）；（2）將△AOB繞點O順時針旋轉90°，畫出旋轉后的△A2O2B2（不寫作法，但要標出頂點字母）；（3）在（2）的條件下，求點B繞點O旋轉到點B2所經(jīng)過的路徑長（結果保留π）．【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，O，B的對應點A1，O1，B1即可；（2）利用旋轉變換的性質(zhì)分別作出A，O，B的對應點A2，O2，B2即可；（3）利用弧長公式求解．【解答】解：（1）如圖，△A1O1B1即為所求；（2）如圖，△A2O2B2即為所求；（3）在Rt△AOB中，，∴．14．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，線段AB繞點A逆時針旋轉至AD（AD不與AC重合），旋轉角記為α，∠DAC的平分線AE與射線BD相交于點E，連接EC．（1）如圖①，當α＝20°時，∠AEB的度數(shù)是；（2）如圖②，當0°＜α＜90°時，求證：BD+2CE＝AE；（3）當0°＜α＜180°，AE＝2CE時，請直接寫出的值．【分析】（1）由旋轉的性質(zhì)得出∠BAD＝20°，AB＝AD，求出∠DAE＝∠DAC＝35°，由三角形外角的性質(zhì)可求出答案；（2）延長DB到F，使BF＝CE，連接AF，證明△ADE≌△ACE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出∠DEA＝∠CEA，∠ADE＝∠ACE，DE＝CE，證明△ABF≌△ACE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出AF＝AE，∠AFB＝∠AEC＝45°，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結論；（3）分兩種情況畫出圖形，由全等三角形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出答案．【解答】（1）解：∵線段AB繞點A逆時針旋轉α至AD，α＝20°，∴∠BAD＝20°，AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝×（180°﹣20°）＝80°，又∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝70°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝35°，∴∠AEB＝∠ADB﹣∠DAE＝80°﹣35°＝45°，故答案為：45°；（2）證明：延長DB到F，使BF＝CE，連接AF，∵AB＝AC，AD＝AB，∴AD＝AC，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE，又∵AE＝AE，∴△ADE≌△ACE（SAS），∴∠DEA＝∠CEA，∠ADE＝∠ACE，DE＝CE，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ADE+∠ADB＝180°，∴∠ACE+∠ABD＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠BEC＝360°﹣（∠ACE+∠ABD）﹣∠BAC＝360°﹣180°﹣90°＝90°，∵∠DEA＝∠CEA，∴∠DEA＝∠CEA＝90°＝45°，∵∠ABF+∠ABD＝180°，∠ACE+∠ABD＝180°，∴∠ABF＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CE，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴AF＝AE，∠AFB＝∠AEC＝45°，∴∠FAE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△AFE中，∠FAE＝90°，∵cos∠AEF＝，∴EF＝，∵EF＝BF+BD+DE＝CE+BD+CE＝BD+2CE，∴BD+2CE＝AE；（3）解：如圖3，當0°＜α＜90°時，由（2）可知BD+2CE＝AE，CE＝DE，∵AE＝2CE，∴BD+2DE＝2DE，∴＝2；如圖4，當90°＜α＜180°時，在BD上截取BF＝DE，連接AF，方法同（2）可證△ADE≌△ACE（SAS），∴DE＝CE，∵AB＝AC＝AD，∴∠ABF＝∠ADE，∴△ABF≌△ADE（SAS），∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，又∵∠DAE＝∠CAE，∴∠BAF＝∠CAE，∴∠EAF＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF＝AE，∴BD＝BF+DE+EF＝2DE+AE，∵AE＝2CE＝2DE，∴BD＝2DE+2DE，∴+2．綜上所述，的值為2+2或2﹣2．15．【特例感知】（1）如圖1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，點C在OA上，點D在BO的延長線上，連接AD，BC，線段AD與BC的數(shù)量關系是；【類比遷移】（2）如圖2，將圖1中的△COD繞著