蘇教版九年級上冊數(shù)學教學案

1.1等腰三角形的性質(zhì)和判定

班級姓名學號

學習目標：

1、進一步掌握證明的基本步驟和書寫格式.

2、能用“基本事實”和“已經(jīng)證明的定理”為依據(jù)，證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理.

學習重點：等腰三角形的性質(zhì)及其證明.

學習難點：等腰三角形的性質(zhì)及其證明.

學習過程

一、知識回顧：

1、什么叫做等腰三角形？______________________________________________

2、等腰三角形有哪些性質(zhì)？；

3、上述性質(zhì)你是怎么得到的？你能否用從基本事實出發(fā)，對它們進行證明？（不妨動手操作做一

做）

二、新知教學：

（一）探索活動：

1、合作與討論：證明：等腰三角形的兩個底角相等.

2、思考：由上面的證明過程，你能否得出”等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的

高互相重合”的結(jié)論？請用符號語言表示.

3、通過上面兩個問題的證明，我們得到了等腰三角形的性質(zhì)定理.

定理,（簡稱：）

定理：,（簡稱：）

4、思考與探索

如何證明”等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是正確的?

（二）例題分析

1、已知：如圖NEAC是△回（：的外角，AD平分NEAC,且AD〃BC.求證：AB=AC

拓展：在上圖中，如果AB=AC,AD〃BC,那么AD平分NEAC嗎？為什么?

2、證明：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

（三）鞏固練習：

1、證明：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等.

2、如圖，BO平分NCBA,CO平分NABC,且MN//BC,設AB=12,BC=24,AC=18,求△AMN的周

三、總結(jié)反思

1、證明文字命題應注意什么？

2、等腰三角形的判定和性質(zhì)分別是什么？如何證明?

3、一個常見的基本圖形.

1.1等腰三角形的性質(zhì)和判定作業(yè)設計

班級姓名學號等第

1.等腰三角形中，如果底邊長為6,一腰長為8,那么周長是；如果等腰三角形有

一邊長是6,另一邊長是8,那么它的周長是；如果等腰三角形的兩邊長分別是4、8,

那么它的周長是.

2.等腰三角形的一個內(nèi)角為70。，它一腰上的高與底邊所夾的度數(shù)為.

3.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30度，腰長為2cm,則其腰上的高

為cm.

4.如圖，等腰ABC的周長為21,底邊BC=5,AB的

垂直平分線DE交AB于點D,交AC于點E,則△BEC的

周長為（）

A.13B.14

C.15D.16

5.△ABC中，AB=AC,中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則這個等腰三角形的

底邊長為（）

A.7B.11C.7或11D.7或10

6.已知：如圖，AD平分NBAC,AB=AC.

求證益既是等腰三角形.

A

D

BC

7.如圖，在"BC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD、CE交于點0,給出下列四個條件

?ZEBO=ZDCO,?ZBEO=ZCDO,?BE=CD,?OB=OC.

（1）上述四個條件中哪兩個條件可以判定△械是等腰三角形（用序號寫出所有情況）

（2）選擇其中一種情況證明△械是等腰三角形.

選做習題

8.兩個全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E、A、C三點在一條直線

上，連結(jié)BD,取BD的中點M,連結(jié)ME、MC.試判斷Z\￡MC的形狀，并說明理由.

EA

12直角三角形全等的判定（一）

班級姓名學號

學習目標

1、用“斜邊、直角邊”法判定兩個直角三角形全等.

2、證明直角三角形全等的HL判定定理.

學習重點

直角三角形HL全等判定定理.

學習難點

通過HL全等判定定理來解決實際問題，體會數(shù)學的應用.

學習過程

一、預習與準備■:

操作與思考：如圖RtaABC,畫RtAA'B'C,使斜邊AB=AB，，直角邊AC=AC,這兩個三角形全

等嗎？

二、新課講解:

HL定理：

已知:

求證：

證明：

三、例題講解：

例1、證明:在直角三角形中，300所對的直角邊等于斜邊的一半。

例2、如圖，CD，AB,BE，AC,垂足分別是D、E,BE、CD相交于點0,如果AB=AC,哪么圖中有幾對

全等的直角三角形？取其中的一對予以證明。

例3、已知：如圖，ABCD,AE±BD,CF_LBD,垂足分別為E、F,且BF=DE.

求證：ZABD=ZCDB.

總結(jié)^

12直角三角形全等的判定(一)作業(yè)設計

班級姓名

1.用兩個全等的直角三角形拼下列圖形：(1)平行四邊形(不包含菱形、矩形、正方形)；(2)矩

形；(3)正方形；(4)等腰三角形，一定可以拼成的圖形是()

A、(1)(2)(5)B、(2)(3)(5)C、(1)(4)(5)D、(1)(2)(3)

2.兩個直角三角形全等的條件，

A、一銳角對應相等B、兩銳角對應相等B/

C、一條邊對應相等D、兩條邊對應相等

3.如圖，有一個直角△ABC,ZC=90°,AC=10,BC=5,一條線段PQ=AB,P.Q兩J---處

點分別在AC和過點A且垂直于AC的射線AX上運動，當AP=時,才,

能使AABCgAPQA.

4.如圖，/ABC中，AC=BC,/ACB=120°,D是AB的中點，DE_LAC于點E,貝U

CE:AE=____________

5.如圖，在AABC和AABD中，ZC=ZD=90°,若利用“AAS”證明

△ABC^AABD,則需要加條件__________________或；若c

利用“HL”證明△ABC四△ABD,則需要加條件

?A—------------------------TB

6.在/ABC中，D是BC的中點，DE±AB,DF±AC,垂足分

別為E、F,且DE=DF.

求證：/ABC是等腰三角形.

7.如圖，A,F和B三點在一條直線上，CFLAB于

A

AF=FH,CF=FB.求證：BE±AC.

8.如圖，在等腰直角三角形ABC中，NACB=90°,直線/經(jīng)過點C,/\D±7,BELJ,垂足分別為D、E.

求證：AD=CE

1.2.2直角三角形全等的判定（二）

班級姓名學號

學習目標

1、運用直角三角形的全等判定定理和其它相關(guān)知識證明角平分線的性質(zhì)和判定

2、從簡單的數(shù)學例子中了解反證法的含義

3.、逐步學會分析的思考方法，發(fā)展演繹推理的能力

學習重點

角平分線的性質(zhì)和判定

學習難點

角平分線的性質(zhì)和判定的證明和運用

學習過程

一、知識回顧

回憶并寫出直角三角形全等的判定方法：

二、典例分析

1、證明：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。

已知：

求證：

證明：

2、證明：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。

已知

A

求證

證明

0

EB

三、思考與交流

1、''如果一個點到角的兩邊的距離不相等，那么這個點不在這個角的平分線上。”

你認為這個結(jié)論正確嗎？如果正確，你能證明嗎？

2、如圖，AABC的角平分線AD、BE相交于點。，點0到4ABC各邊的距離相等嗎？點。在

ZC的平分線上嗎？為什么?

四、隨堂練習

2、如圖，在aABC中，NC=90度，點D在BC上，DE垂直平分AB,且A

DE=DCo求NB的度數(shù)。

E

C

B

總結(jié)反思:

1.2.2直角三角形全等的判定（二）作業(yè)

班級姓名學號等第

1、三角形中到三邊距離相等的點是（）

A、三條邊的垂直平分線的交點B、三條高的交點

C、三條中線的交點D、三條角平分線的交點

2、如圖，直。、/2、A表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條

公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）

A、1處B、2處C、3處D、4處

3、如圖，已知點C是NAOB平分線上一點，點P、P分別在邊OA、0B上。如果要得到PO=OP1,

需要添加以下條件中的某一個即可，請你寫出所有可能結(jié)果的序

號o

①Z0弟ZOCP'；②ZOPC=ZOP'C；

③PC=PC'；④PP10C

OP'B

4、如圖，在△ABC中，已知AC=BC,ZC=90°,AD是AABC的角平分線JDELAB,垂足為E。

求證：AB=AC+CDo

5、已知，如圖，P是NAOB平分線上的一點，PC±OA,PD±OB,垂足分別C、D,

求證：OP是CD的垂直平分線。

A

習題

6、已知：如圖，D是BC上一點，AD平分/BAC,AB=3cm,AC=2cm

求：①S/ABD：SzADC

②BD：CD

1.3.1平行四邊形的性質(zhì)

班級姓名學號_______等第_________

學習目標1、能證明平行四邊形的三個性質(zhì)①對邊相等②對角相等③對角線互相平分

2、進一步培養(yǎng)的分析、綜合的思考方法，及表達書寫能力.發(fā)展學生演繹推理能力.

3、掌握命題的題設、結(jié)論

重點：平行四邊形的性質(zhì)證明

難點：分析、綜合思考的方法

過程：

一、知識回顧：

我們曾經(jīng)探索得到的平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)，在下表相應的空格內(nèi)打“（課

本13頁）

二、探究新知：

1、證明：平行四邊形對邊相等、對角相等.

2、證明：平行四邊形對角線互相平分

三、例題講解：

1、在。ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點.

求證：BE=DF

拓展思考：在上述條件下，當點E、F分別在AD、BC上滿足什么條件時使BE=DF?

2、如圖，在UABCD中，點E,F在對角線AC上，且AE=CF.請你以點F為一個端點，和圖中已標

明字母的某一點連成一條線段，猜想并證明它和圖中已有的某一線段相等(只需證明一組線段

DC

相等即可).A

(1)連結(jié).

AB

(2)猜想：=.

(3)證明：

四、課堂演練：

1.判斷題(對的在括號內(nèi)填“V"，錯的填“X”)

(1)平行四邊形兩組對邊分別平行；()

(2)平行四邊形的四個內(nèi)角都相等；()

(3)平行四邊形的相鄰兩個內(nèi)角的和等于180°；()

(4)如果平行四邊形相鄰兩邊長分別是2cm和3cm,那么周長是10cm；()

(5)在平行四邊形ABCD中，如果NA=35°,那么NB=55°；()

2.平行四邊形的周長為30,兩鄰邊的差為5,則其較長邊是.

X3.在UABCD中，AC=10,BD=6,則邊長AB,AD的可能取值為().

(A)AB=4,AD=4(B)AB=4,AD=7(C)AB=9,AD=2(D)AB=6,AD=2

※c平行四邊形一邊長為12cm,那么它的兩條對角線的長度可能是().

(A)8cm和14cm(B)10cm和14cm(C)18cm和20cm(D)10cm和34cm

3、證明：夾在兩條平行線之間的平行線段相等.

13.1平行四邊形的性質(zhì)課后作業(yè)

班級姓名學號_______等第_________

1.已知。是UABCD的對角線交點，AC=10cm,BD=18cm,AD=12cm,則△BOC的周長是.

2.已知RBCD的對角線AC,BD交于點0,AAOB的面積為2,那么UABCD的面積為___.

3.如圖，在bBCD中，對角線AC,BD交于點0,EF/

是過點0的一條直線，交AB于點E,交DC于點F.則0E與

AEB

OF有什么數(shù)量關(guān)系，答

4.已知平行四邊形的兩鄰邊之比為2：3,周長為20cm,則這個平行四邊形的兩條鄰邊長分別為

5.如圖，在二ABCD中，AE平分NBAD交DC于點E,AD=5cm,AB=8cm,求EC的長.

6.如圖，在bBCD中，AC±AB,AB=6,BC=10,求：（1）AB與CD的距離；（2）AD與BC的距離.

7.用三種不同的方法把二ABCD的面積四等分，并簡要說明分法.

8.已知：如圖，在4BCD中，AC,BD交于點0,EF過點0,分別交CB,AD的延長線于點E,F,

求證：AE=CF.

9.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，NBCD的平分線CF交AB于點F,

ZADC的平分線DG交邊AB于點G.

(1)求證：AF=GB；

(2)請你在已知條件的基礎上再添加一個條件，使得4EFG為等腰直角三角形，并說明理由.

13.2矩形的性質(zhì)

班級姓名學號

學習目標：

1、能用“基本事實"和''已經(jīng)證明的定理”為依據(jù)，證明矩形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中

線等于斜邊的一半.

2、進一步培養(yǎng)學生的分析、綜合的思考方法，及表達書寫能力.發(fā)展學生演繹推理能力.

學習重點：矩形的性質(zhì)及其證明.

學習難點：分析、綜合思考的方法.

學習過程

一、知識回顧：

1、叫矩形，由此可見矩形是特殊的

，因而它且有平行四邊形的所有性質(zhì).

2、矩形有哪些平行四邊形不具有的特殊性質(zhì)？

3、證明：矩形的四個角都是直角

已知：如圖_____________________________________________圖形：畫在下面

求證：_____________________________________

證明：

4、證明：矩形對角線相等

已知：如圖_____________________________________________圖形：畫在下面

求證：__________________________________________

證明：

二、新知教學：

(-)：觀察能力訓練

如圖矩形458,對角線相交于。，圖中全等三角形有哪些？

將目光鎖定在RtAA5C中，你能看到并想到它有什么特殊的性質(zhì)嗎?

證明：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.”

已知:

求證:

證明:

（二）例題分析

如圖：矩形ABCD的兩條對角線相交于點。，月.AC=2AB,求證：AA08為正三角形.（注意

表達格式完整性與邏輯性）

證明：

（三）鞏固練習:

1、如圖BD,CE是AABC的兩條高，M是8c的中點，求證:

BMC

1.3.2矩形的性質(zhì)作業(yè)

班^姓名學^等^_______

1.如圖，歷過矩形對角線的交點。，且分別交ABCD于ER

那么陰影部分的面積是矩形ABCD面積的（）

A.-B.-C.-D.—

54310

2.在矩形ABCD中,44。8=120。4￡）=3,則AC為（）

4.15B.3C.6D.9

3.直角三角形斜邊上的高與中線分別是5和6,則它的面積是______________.

4.已知，如圖，矩形ABCD中,AC與BD相交于點O￡EJ_AC于E,CFLBD于F.

求證:5E=CE

5.已知，如圖.△ABC中60L4C于。,。石，48于瓦點知、N分別是BC、OE的中點.

求證:MNLDE

B

6.如圖在矩形ABC。中，BE平分NA8C,交CD于點E,點尸在邊比上

①如果求證：FE=AE.

②如果FE=AE，你能證明FE1.AE嗎？請證明.

選做題:

派7.如圖，在矩形ABC。中，AB=3,4）=4,點P在AO上PEUC于￡P(guān)FLBD于F,則PE+PE

等于（)

7121314

A.B."C.—D—

5555

X8.（2009年牡丹江市）矩形ABC。中，對角線AC、BD交于點、O,4后，5。于￡,若

OE：ED,=13AE=6則80=

134平行四邊形的判定

班級姓名學號等第

學習目標

1、理解平行四邊形的判定法則，學會用于判斷一個四邊形是平行四邊形；

2、理解、體會反證法的思想，能利用反證法用于生活及數(shù)學的一些推理，養(yǎng)成從反面思考的習慣。

學習重點難點：平行四邊形的判定方法；反證法思想。

學習過程

問題1、何準確地畫出一個平行四邊形？什么樣的四邊形才是平行四邊形？回憶我們曾探索得到的

一個四邊形是平行四邊形的條件，填寫下表：

條件結(jié)論

四邊形

ABCD,對角

線AC、BD

相交于點O

定理1、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

定理2、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

問題2、你認為“一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形”這個結(jié)論正確嗎？為什

么？

問題3、在四邊形ABCD中，如果OA=OC,OB#）D,那么四邊形ABCD不是平行四邊形”這個

結(jié)論正確嗎？為什么？

例1、證明：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

例2、已知：在DABCD中，對角線AC、BD相交于點O,AE±BD,CF1BD,垂足分別為E、

Fo求證：四邊形AECF是平行四邊形。

A組練習：

1.四邊形A3。中，AD〃BC,要使它平行四邊形，需要增加條件（只需

填一個條件即可）.

2.已知：DXBCD的周長是30cm,對角線AC,BD相交于點O,/AOB的周長比/BOC的

周長為5cm,則這個平行四邊形的各邊長為.

G

3.如圖，在OKBCD中，EF〃BC,GH〃AB,EF、GH的交點P在BD上，~I~~

則圖中打?qū)λ倪呅蚊娣e相等；它們是。

4、證明：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。Eyx

BH

B組練習：

1.如圖，平行四邊形ABCD中，EF為邊AD、BC上的點，且AE=CF,

連結(jié)AF、EC、BE、DF交于M、N,試說明：MFNE是平行四邊形.

2.如圖：已知在Z^ABC中，AB=AC,D為BC上任意一點，DE〃AC交AB于

E,DF〃AB交AC于E求證：DE+DF=AC.

總結(jié)反思：

哪些條件可以得到平行四邊形?

作業(yè)設計

班級姓名.學號.等第

1.下面幾組條件中，不一定能判定一個四邊形是平行四邊形的是（）.

A.兩組對邊相等；B.兩條對角線互相平分C.兩組組對邊平行；D.兩組對角相等

E.一組對邊平行，一組對角相等F.一組對邊平行，一組對邊相等

2.BD是平行四邊形ABCD的對角線，點E、F在BD上，要使四邊形AECF是平行四邊形，可以添加

的一個條件是一

3.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，Pi、P2是對角線BD的三等分點，求證：四邊形APQP2是

平行四邊形.

4.如圖，平行四邊形ABCD中，EF為邊AD、BC上的點，且AE=CF,連結(jié)AF、EC、BE、DF交于M、N,

求證：線段MN、EF互相平分.

5、如圖，點E、F、G、H分別在UABCD的各邊上，且AE=CG,BF=DH,求證：EF〃GF.

6.已知：如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點0,EF經(jīng)過點。并且分別和AB、

CD相交于點E、F,又知G、H分別為0A、0C的中點.求證：四邊形EHFG是平行四邊形.

Ap

選砥習

7、在CABCD中，ZDAB=60°,點E、F分別在CD、AB的延長線上，且AE=AD,CF=CB.

(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形.D

⑵若去掉已知條件的NDAB=60。，上述的結(jié)論還成立嗎?若成立，

請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.

1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定⑴

教學目標

1、會證明平行四邊形的性質(zhì)定理及其相關(guān)結(jié)論

2、能運用平行四邊形的性質(zhì)定理進行計算與證明

3、在進行探索、猜想、證明的過程中，進一步發(fā)展推理論證的能力

教學重、難點

重點：平行四邊形的性質(zhì)證明表達格式的邏輯性完整性精煉性

難點：分析綜合思考的方法

教學過程：

一、情境創(chuàng)設

根據(jù)我們曾經(jīng)探索得到的平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)，填寫下表：

平行四邊形矩形菱形正方形

對邊平行

對邊相等

四邊相等

對角相等

4個角是直角

對角線互相平分

對角線相等

對角線互相垂直

兩條對角線平分兩組對角

從上面的幾種特殊四邊形的性質(zhì)中，你能說說它們之間有什么聯(lián)系與區(qū)別嗎？

如圖A8〃A8,8C〃8'C',C4〃C'A，圖中有_____個平行四邊形。

二、合作交流

活動1、上表中平行四邊形的性質(zhì)中，你能證明哪些性質(zhì)？

活動2、你認為平行四邊形性質(zhì)中，可以先證明哪一個？為什么？

活動3、證明定理“平行四邊形對角線互相平分”。

由此證明過程，同時也證明了定理“平行四邊形對邊相等”、“平行四邊形對角相等“，這樣我

們可得平行四邊形的三條性質(zhì)定理：

平行四邊形對邊相等。

平行四邊形對角相等。

平行四邊形對角線互相平分。

例1:已知：如圖，DABCD中，E、F分別是AD、BC的中點。

求證：BE=DF

分析：可根據(jù)證明△ABEgZkCDF得到結(jié)論。

若將例1中的“E、F分別是AD、BC的中點”改為"AE=』AD,CF.BC"，是否還能得到同樣

33

的結(jié)論?

練習：P151、2

例2、證明“夾在兩條平行線之間的平行線段相等”

分析：根據(jù)命題先畫出相應圖形，再由命題與所畫圖形寫出已知、求證，最后根據(jù)已知條件

寫出證明過程。

例3（廣東?。┤鐖D，四邊形ABCD是平行四邊形，點F在BA的延長線上，連結(jié)CF交于AD

點E.

求證：（1）Z\CDES^FAE

⑵當E是AD的中點，且BC=2CD時，求證：ZF=ZBCF

證明：（1）?四邊形ABCD為平行四邊形D___________C

，AB〃CD,

.*.ZD=ZEAF

ZDEC=ZAEF,

/.△CDE^AFAE

(2)?.,△CDESAFAE

???D__C___D__E

AF-AE

???E是AD的中點

.*.AF=DC

,.?AD=BC,BC=2CD

.*.AD=2AF

.*.AE=AF

二ZF=ZAEF

VAD^CB,

，ZAEF=ZBCF

，NF=/BCF

說明平行四邊形能帶來平行線、等角，從而為得到比例線段、相彳以三角形創(chuàng)造了條件，也

就為利用相似解決問題帶來了方便.

練習：1、已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=8cm,

BC-lOcm,ZC=120°,

求BC邊上的高AH的長；

求平行四邊形ABCD的面積

2、如圖，平行四邊形ABCD中,AB=3,BC=5,AC的垂直平分線交AD于E,則ACDE的周長是（B）

A.6B.8C.9D.10

三、分層訓練",

1.ZZABCD的周長為50cm,且AB:BC=3:2,則AB=cm,BC=cm.；

2.已知UABCD中，AB=8,BC=10,ZB=45°,UMCD的面積為.

3.在AABC中,AB=AG=5,〃是比上的點龍〃四交"'于點￡DFHAC交AB于點、F,那么四邊形

必宏的周長是()

A.5B.10C.15D.20

4.延長平形四邊形ABCD的一邊AB到E,使BE=BD,連結(jié)DE交BC于F,

若NDAB=120°,ZCFE=135°,AB=1,貝l」AC的長為()

(A)1(B)1.2(C)(D)1.5

5如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交

于點0,邊AB可以看成由平移得來的，AABC可以看成由.繞點0旋

轉(zhuǎn)_______________得來；/

6、平行四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD相交于O,已知AB=8,BC=6,

△AOB的周長為18,求△AOD的周長。

7、已知：如圖，DABCD中，BD是對角線，AELBD于E,CFLBD于F.

求證：BE=DF.

四、小結(jié)

引導學生自我歸納總結(jié)

1、平行四邊形對邊相等，對角相等，鄰角互補，對角線互相平分。

2、是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心。

3、平行線之間的距離處處相等。

五、課堂檢測

六、教后感

1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定（2）

教學目標

1、認識幾種特殊的四邊形的性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別

2、會證明矩形的性質(zhì)定理及直角三角形斜邊上中線的有關(guān)性質(zhì)定理

3、能運用矩形的性質(zhì)定理或有關(guān)定理進行簡單的計算與證明

4、在進行探索、猜想、證明的過程中，能將命題由文字語言轉(zhuǎn)化為圖形與符號語言，進一步

發(fā)展推理論證的能力

教學重、難點

重點：矩形的本質(zhì)屬性

難點：矩形性質(zhì)定理的綜合應用

教學過程：

一、情境創(chuàng)設

矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)。結(jié)合下圖說說矩形有哪些平行四

邊形不具有的特殊性質(zhì)？

你能證明這些性質(zhì)嗎？

二、合作交流

問題一觀察平行四邊形和矩形的對角線把它們所分成的三角形，你有何發(fā)現(xiàn)？（引導學

生不斷地學會從多個角度觀察、認識圖形，主動地發(fā)現(xiàn)和獲得新的數(shù)學結(jié)論，不斷地積累數(shù)學活

動的經(jīng)驗）

問題二證明：矩形的4個角都是直角。

矩形的對角線相等。

問題三你能證明“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”嗎？說說你的證明思路。

已知：如圖，在△回（：中，ZACB=90°.

1

求證：邊AB上的中線等于5AB.

證明：在NACB內(nèi)作NBCD=NB,CD交AB于點D

VZACB=90°

，ACD與BCD互余，NA與NB互余

,?ZBCD=ZB

/.ZACD=ZA

；.DA=DC=DB,即CD是邊AB上的中線，且CD=5AB

問題四你對上面的結(jié)論還有更多的思考和猜想嗎？（引導學生不斷學會思考和猜想：由

結(jié)論進一步能得到什么結(jié)論？這個結(jié)論的逆命題是否正確。不斷發(fā)展學生數(shù)學思考的能力）

例1、已知：如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O,

且AC=2AB.

求證：AAOB是等邊三角形

分析：利用矩形的性質(zhì)：矩形的對角線相等且互相平分，結(jié)合“AC=2AB”即可證得。

本題若將"AC=2AB”改為“NBOC=120°”，你能獲得有關(guān)這個矩形的哪些結(jié)論?

練習：P16頁1、2

例2、如圖在矩形ABCD中，BE平分NABC,交CD于點E,點F在邊BC上,

②如果FELAE,求證FE=AE。

②如果FE=AE你能證明FE1AE嗎?

練習：

思考△.如圖①所示，Rtz^ABC中，ZC=90°,AC=12,BC=5,點M在邊AB上，且AM=6.

（1）動點D在邊AC上運動，且與點A、C均不重合，設CD=x.

①設ZW：與aADM的面積之比為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量x的取值范圍）；

②當x取何值時，△ADM是等腰三角形？寫出你的理由.

（2）如圖②，以圖①中的BC、CA為一組鄰邊的矩形ACBE中，動點D在矩形邊上運動一周,

能使4DM是以NAMD為頂角的等腰三角形共有多少個？（直接寫出結(jié)果，不要求說明理由）

例3、（吉林?。┤鐖D，在矩形紙片ABCD中，AB=3V3,BC=6,沿EF折疊后，點C落在

AB邊上的點P處，點D落在點Q處，AD與PQ相交于點H,ZBPE=30°.

（1）求BE、QF的長.（2）求四邊形PEFH的面積.

【分析】折疊型試題是近年中考試題的熱點，要想解好此類題，考生必須有想像力，抓住折

疊的角與邊不發(fā)生變化，必要時需要考生剪一個四邊形實際折疊一下幫助理解.

四、分層訓練

1、已知，在矩形ABCD中，AE±BD,E是垂足,

ZDAE：ZEAB=2：1,求NCAE的度數(shù)。

2、在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點0,若對角線AC=10cm,邊BC=8cm,則△ABO的周

長為.

3、如圖1,周長為68的矩形ABCD被分成7個全等的矩形，則矩形ABCD的面積為（）.

(A)98(B)196(C)280(D)284

4、如圖2,根據(jù)實際需要，要在矩形實驗田里修一條公路(小路任何地方水平寬度都相等)，則

剩余實驗田的面積為_

5、如圖3,在矩形ABCD中，M是BC的中點，且MA_LMD.若矩形ABCD的周長為48cm,則矩形

ABCD的面積為cm2.

6、已知，如圖，矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,E,F分別是0A,0B的中點.

(1)求證：AADE^ABCF；(2)若AD=4cm,AB=8cm,求OF的長.

7、如圖，在矩形ABCD中，已知AB=8cm,BC=10cm,折疊矩形的一邊AD,使點D落在BC邊的中點

F處，折痕為AE,求CE的長.

8、閱讀下列過程：

如圖①，小肖過AB，CD的中點畫直線EF,把矩形ABCD分割成甲、乙兩部分.

如圖②，小徐過A,C兩點畫直線AC,把矩形ABCD分割成丙、丁兩部分.

回答下列問題：

(1)填空：S甲_____S乙，S丙Sr(填“〉”或或“=”)；

(2)根據(jù)小肖、小徐的分割原理，你還能探索出其他的分割方法嗎？請在圖③中任意給出

一種；

(3)由本題的操作過程，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

A-]DA--------------------D

甲—〃\丙

BBC

①

9、（2006年煙臺市）如圖4,先將一矩形ABCD置于直角坐標系中，使點A與坐標系的原點重合,

邊AB、AD分別落在x軸、y軸上（如圖①所示），再將此矩形在坐標平面內(nèi)按逆時針方向繞原

點旋轉(zhuǎn)30°（如圖②所示），若AB=4,BC=3,則圖①和圖②中，點B的坐標為，點C

的坐標為

五、小結(jié)

從位置、形狀、大小等不同的角度，觀察和比較平行四邊形、矩形的對角線把它們分成的三

角形的異同，發(fā)現(xiàn)并應用直角三角形的判定證明矩形的特殊性質(zhì)；反過來，我們又利用矩形的性

質(zhì)證明“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”。

六、課堂檢測

七、教后感

1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定（3）

教學目標

1、會歸納菱形的特性并進行證明

2、能運用菱形的性質(zhì)定理進行簡單的計算與證明

3、在進行探索、猜想、證明的過程中，進一步發(fā)展推理論證的能力，進一步體會證明的必要

性

教學重、難點

重點：菱形的性質(zhì)定理證明

難點：性質(zhì)定理的運用生活數(shù)學與理論數(shù)學的相互轉(zhuǎn)化

教學過程：

一、情境創(chuàng)設

1.將一張矩形的紙對折再對折，然后沿著圖中的虛線剪下，打開，你發(fā)

現(xiàn)這是一個什么樣的圖形?（同桌互相幫助。）l，x|

2.探索。

請你作該菱形的對角線，探索菱形有哪些特征，并填空?！?/p>

（從邊、對角線入手。）

（1）邊：都相等；（2）對角線：互相垂直。

（學生通過自己的操作、觀察、猜想，完全可以得出菱形的特征，這對學生來說是富有意義的

活動，學生對此也很感興趣。）

問題：你怎樣發(fā)現(xiàn)的?又是怎樣驗證的？

（可以指名學生到講臺上講解一下他的結(jié)果。）

3.概括。

菱形特征1：菱形的四條邊都相等。

菱形特征2：菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角。

引導學生剖析矩形與菱形的區(qū)別。

矩形的對邊平行且相等，四個角都是直角，對角線相等且互相平分；菱形的四條邊都相等，

對邊平行，對角相等，對角線互相垂直平分，每條對角線平分它的一組對角。

4.請你折一折，觀察并填空。（引導學生歸納。）

（1）菱形是不是中心對稱圖形?對稱中心是_______。

（2）是不是軸對稱圖形?對稱軸有幾條?_______。

二、合作交流

問題一觀察平行四邊形和菱形的對角線把它們所分成的三角形，你有何發(fā)現(xiàn)？（引導學

生不斷地學會從多個角度觀察、認識圖形，主動地發(fā)現(xiàn)和獲得新的數(shù)學結(jié)論，不斷地積累數(shù)學活

動的經(jīng)驗）

問題二證明：菱形的4條邊都相等。

菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一M對角。

分析：第一條定理可先用“兩組對邊分別相等”證明平行四邊形，再利用一組鄰邊相等得證;

第二條定理可利用“三線合一”證得。

問題三已知菱形的兩條對角線長分別為6和8,由此你能獲得有關(guān)這個菱形的哪些結(jié)論？

（可得到邊長為5；面積為24）你認為菱形的面積與菱形的兩條對角線的長有關(guān)嗎？如果有關(guān)，

怎樣根據(jù)菱形的對角線的計算它的面積？

由此可得：菱形的面積等于它的兩條對角線長的積的面積。

例1、如圖3個全等的菱形構(gòu)成的活動衣帽架，頂點A、E、F、C、G、H是上、下兩排掛

鉤，根據(jù)需要可以改變掛鉤之間的距離（比如AC兩點可以自由上下活動），若菱形的邊長為13厘

米，要使兩排掛鉤之間的距離為24厘米，并在點B、M處固定，則B、M之間的距離是多少？

直平分利用勾股定理求出BDo

練習P181、2

例2已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，G是AB上任一點,

DF交AC于點E。

求證：ZAGD=ZCBE

分析：結(jié)合“全等三角形對應角相等”和“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”即可得證。

練習：

1、如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點,

如果EF=2,那么ABCD的周長是（D）

A.4B.8

C

C.12D.16

2、如圖，已知菱形的兩條對角線長為a,

b,你能將菱形沿對角線分割后拼接成矩形嗎？畫圖說明

（拼出一種圖形即可）；在此過程中，你能發(fā)現(xiàn)菱形的面

積與a,6的關(guān)系嗎？

1

-

2

拼法（1）拼法（2）

cc（11^1,1,

S菱形=S矩形⑴=不a+”\x-b=-ab,

或S菱形二S矩形⑵=15人+不/?卜不。=、ab.

結(jié)論：菱形的面積等于兩對角線乘積的一半.

3、己知：如圖，菱形ABCD中，ZB=60°,AB=4,則以AC為邊長的正方形ACEF的周

長為.

四、分層訓練

1.已知菱形的周長為16cm,則菱形的邊長為___cm.

2.已知四邊形ABCD是菱形,0是兩條對角線的交點，AC=8cm,DB=6cm,菱形的邊長是cm.

3.已知菱形的邊長是5cm,一條對角線長為8cm,則另一條對角線長為____cm.

4.菱形ABCD的周長為40cm,兩條對角線AC：BD=4：3,那么對角線AC=cm,BD=cm.

D