2021年河南省九師聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)（晉城二模）聯(lián)考試卷（理科）

2021年河南省九師聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（理科）（4月份）（晉

城二模）

一、選擇題（共12小題）.

一一(

1.若i是虛數(shù)單位，則2)

3i

，

A-4+41B.--4iC?-^-+4iD4i

O3-4"

2.已知全集U=R集合A={x|2W4},B=[x\x(3-x)W0},則Cu(AUB)=()

A.(3,+8)B.(2,3)C.(2+8)D.(-OO,2)

3.在等比數(shù)列{?！▆中，若。3=1,01=25,則47)

A.5B.-5C.±5D.±25

4.如圖所示的是小王與小張二人參加某射擊比賽的預(yù)賽的五次測(cè)試成績(jī)的折線圖，設(shè)小王

與小張成績(jī)的樣本平均數(shù)分別為XA和XB，方差分別為62A和$2B,則（）

小王

小張

A.x^<Xp,S2A>S2BB.X^<Xp,S2A<S2B

S2AS2BXS2AS2B

c.XA>XB>>D.XA>B，<

5.已知直線/過(guò)拋物線C：y2=?的焦點(diǎn)且與c交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)關(guān)于)，軸

的對(duì)稱點(diǎn)在直線x=-2上，則|4同=()

A.3B.4C.5D.6

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）

結(jié)束

A.27B.48C.75D.76

7.（2-三）（1-2r）4的展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)是-70,則a的值為（）

a

A.-2B.2C.-4D.4

8.若A,B,C為AABC的內(nèi)角，則“tan4tanB>l是“A4BC是銳角三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.已知正方體ABC。-AiBCQi的體積為16a,點(diǎn)P在正方形481cl。上，且Ai,C到

P的距離分別為2,2?，則直線CP與平面BOA所所成角的正切值為（）

A.返B.返C.—D.—

2323

22

10.已知雙曲線C：-^--^-=1（?>0）的離心率為2,Q,同分別為C的左、右焦點(diǎn)，

o29

點(diǎn)A在C的右支上，若△AF1F2的周長(zhǎng)為10a,則△AF2F1的面積是（）

A.6715B.3715C.90D.45

11.設(shè)函數(shù)/（x）=|siar4-cosx|+|siiu:-cosx|,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.函數(shù)fG）為偶函數(shù)

B.函數(shù)/G）的圖象關(guān)于直線工=今JT對(duì)稱

C.函數(shù)f（x）的最小值為我

D.函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為kn]（&CZ）

12.已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足。且〃+/?+c=0,acP+2bd-b=0,則d的取值范圍是

A.(-<?,-1]U[O,+8)B.(-1,1)

C.(-亞，?)D.(-1-M，-1+V2)

二、填空題(共4小題).

13.設(shè)向量Z=(2,1),E=(加，-4),若(京1)〃(/])>則實(shí)數(shù)"?=.

14.已知長(zhǎng)方體ABC。-A出CQ外接球的體積為36mAAi=2娓，則矩形ABCZ)面積的

最大值為.

15.已知y=/(x)為R上的奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，若八1)=1,則/(2021)

+，

16.在數(shù)列｛〃“｝中，0=1,當(dāng)"22時(shí)，a,,=aj+ya2+va3"+―則數(shù)列｛““｝

的通項(xiàng)公式為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟。第17?21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共

60分。

17.在△A8C中，角4,B,C的對(duì)邊分別為小b,c,a^c2-b2=(4c2-26c)cosA.

(D求角A的大??；

(2)若AOLBC,垂足為D,且BC=8,求4。的最大值.

18.如圖，已知矩形ABCZ)所在的平面垂直于直角梯形ABPE所在的平面，且￡P(guān)=?,

BP=2,AD=AE=1,AE±EP,AE//BP,F,G分別是BC,8P的中點(diǎn).

(1)求證：平面AFG〃平面PEC；

(2)求二面角。-BE-4的余弦值.

19.某市為了增強(qiáng)市民的安全意識(shí)，由市安監(jiān)局組織舉辦了一次安全知識(shí)網(wǎng)絡(luò)競(jìng)賽，競(jìng)賽滿

分為100分，得分不低于85分的為優(yōu)秀.競(jìng)賽結(jié)束后，從參與者中隨機(jī)抽取100個(gè)樣本,

統(tǒng)計(jì)得樣本平均數(shù)為76,標(biāo)準(zhǔn)差為9.假設(shè)該市共有10萬(wàn)人參加了此次競(jìng)賽活動(dòng)，且得

分X服從正態(tài)分布N(H，。2),若以所得樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為山。的近似

值.

(1)試估計(jì)該市參加這次競(jìng)賽活動(dòng)得分優(yōu)秀者的人數(shù)是多少萬(wàn)人？

(2)為調(diào)動(dòng)市民參加競(jìng)賽的積極性，制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：所有參加競(jìng)賽活動(dòng)者，均可

參加“抽獎(jiǎng)贏電話費(fèi)”活動(dòng)，競(jìng)賽得分優(yōu)秀者可抽獎(jiǎng)兩次，其余參加者抽獎(jiǎng)一次.抽獎(jiǎng)

者點(diǎn)擊抽獎(jiǎng)按鈕，即隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)兩位數(shù)(10,11,…，99),若產(chǎn)生的兩位數(shù)的數(shù)字

相同，則可獎(jiǎng)勵(lì)60元電話費(fèi)，否則獎(jiǎng)勵(lì)15元電話費(fèi).假設(shè)參加競(jìng)賽活動(dòng)的所有人均參

加了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，估計(jì)這次活動(dòng)獎(jiǎng)勵(lì)的電話費(fèi)總額為多少萬(wàn)元？

參考數(shù)據(jù)：若X?N(p,。2),則o<X<n+o)~0.68.

22

20.已知橢圓C：A_+X_=i(^>/>>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,Fi,過(guò)后的直線交橢

圓C于A,8兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8,尸也|=2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)凡且不與x軸重合的直線/與橢圓C相交于E,。兩點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否

存在點(diǎn)M,使得直線ME,MD的斜率之積恒為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)M的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.已知函數(shù)/(x)—ex(x2+nvc+m2),g(x)—ax2+x+axlnx.

(1)若函數(shù)/(x)在x=-1處取極小值，求實(shí)數(shù)m的值；

(2)設(shè)機(jī)=0,若對(duì)任意在(0,+8),不等式/J)(x)恒成立，求實(shí)數(shù)。的值.

(二)選考題：共10分請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答。如果多做，則按所做的

第一題計(jì)分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程|

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程是I"=''(f為參數(shù))，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x

ly=2t

軸的正半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為p2+2psin0

-3=0.

(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程及直線/的普通方程;

1房的值?

(2)直線/與圓C交于A,B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)M,求

IMAT

［選修4-5：不等式選講］

23.設(shè)/(x)=|x-2|+|x+3|.

(1)解不等式/(x)>7；

(2)若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式/(x)<a-l無(wú)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題（共12小題）.

1.若i是虛數(shù)單位，則蔡?=（）

31

1

A.亭4iB.j-4iC?—+4iD.-4i

o3

i-12(i-12)i-l-12i_l

解:

萬(wàn)一一3i2--3-3

故選：c.

2.已知全集U=R,集合A={x|2'W4},B={x\x(3-x)WO},則Cu(AUB)=()

A.(3,+8)B.(2,3)C.(2,+8)D.(-8,2)

解：全集U=R,集合A={x|2*W4}={xlxW2},

B=\x\x(3-x)W0}={小(x-3)N0}={x|xW0或x23},

所以AUB={x|xW2或x23},

所以Cu(AUB)={x[2<x<3}=(2,3).

故選：B.

3.在等比數(shù)列{a.}中，若“3=1,an=25,則/=()

A.5B.-5C.±5D.±25

解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列｛a“｝的公比為q,

a11

若〃3=1,aii=25,則爐=---=25,變形可得/=5,

a3

則07=43d=1X5=5,

故選：A.

4.如圖所示的是小王與小張二人參加某射擊比賽的預(yù)賽的五次測(cè)試成績(jī)的折線圖，設(shè)小王

與小張成績(jī)的樣本平均數(shù)分別為7A和7B，方差分別為心和（小則（）

2222

A.XA<Xp.sA>sBB.XA<XB，SA<SB

2222

c.XA>Xp,sA>sBD.XA>XB，SA<SB

解：由小王與小張二人參加某射擊比賽的預(yù)賽的五次測(cè)試成績(jī)的折線圖，

得到小王參加某射擊比賽的預(yù)賽的五次中，

每次均不低于小張的預(yù)賽成績(jī)，

但是小王各次成績(jī)的波動(dòng)大于小張的波動(dòng)，

設(shè)小王與小張成績(jī)的樣本平均數(shù)分別為iA和7B，方差分別為和

則XB，

故選：c.

5.已知直線/過(guò)拋物線C：丫2=曲的焦點(diǎn)且與C交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)關(guān)于)，軸

的對(duì)稱點(diǎn)在直線x=-2上，則|AB|=()

A.3B.4C.5D.6

解：因?yàn)閽佄锞€為y2=4x,

所以p=2

設(shè)A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為X2,

因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,

則3_絲=2,即XI+X2=4,

2

故|AB|=xi+x2+p=4+2=6.

故選：D.

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是()

(W)

［結(jié)束］

A.27B.48C.75D.76

解：第一次運(yùn)行時(shí)，S=O+3X1=3,k=3,

第二次運(yùn)行時(shí)，5=3+3X3=12,k=5,

第三次運(yùn)行時(shí)，S=12+3X5=27,k=7,

第四次運(yùn)行時(shí)，5=27+3X7=48,k=9,

第五次運(yùn)行時(shí)，5=48+3X9=75,&=11,

此時(shí)剛好滿足上>10,故輸出S=75,

故選：C.

7.(2-—)(1-2x)4的展開(kāi)式中x3項(xiàng)的系數(shù)是-70,則a的值為()

a

A.-2B.2C.-4D.4

解：(1-2x)4=1-(2x)+［(2x)2-C：(2x)，⑵)支

(2--)(1-2x)4的展開(kāi)式中R項(xiàng)的系數(shù)=-C?X23X2-—XC：X22=-70,

a4a4

9424

A64+—=70,A—=6.

aa

解得。=4.

故選：D.

8.若A,B,C為AABC的內(nèi)角，則“tan/ltanB>1是“AABC是銳角三角形”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解：因?yàn)?,B,CG(0,TT),且tanAtanB>I,

tanA>0

所以《、，所以A、3為銳角；

tanB>0

B.萬(wàn)+z,tanA+tanBtanA+tanB、八

又tanC=-tan(Ax+8D)X=--------------=------------>0,

1-tanAtanBtanAtanB-1

所以C為銳角，△ABC是銳角三角形，充分性成立；

tanA>0

若△4BC為銳角三角形，貝。tanB>0,

tanC>0

士.、、八

由tan「c=-+tan“(A+t8D)=---t-a-n-A--+-t-a-n-B--=-t--a-n-A--+-t--a-n-B>0,

1-tanAtanBtanAtanB-1

所以taiVltanB-l>0,即tan4tanB>l,必要性成立；

所以"tanAtanB>l是“△ABC是銳角三角形”的充要條件.

故選：C.

9.已知正方體A8C￡)-4BiGA的體積為16五，點(diǎn)P在正方形48?。上，且4,C到

P的距離分別為2,2?，則直線CP與平面8。。山1所成角的正切值為()

A.返B.遮C.—D.—

2323

解：設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為。，則。3=16&,故。=2&,

A1Ci=4,

22

VCP=^CC1+C1P=2V3--,?CIP=2,

又4P=2,

為線段4cl的中點(diǎn)，

設(shè)ACn8￡>=。，則。CL平面山i,故NCP。為直線CP與平面所成角,

oc一2一返

/.tanZCPO

OP-2V2--2~

故選：A.

A

10.已知雙曲線C：^—-^—=1(a>0)的離心率為2,Fl,尸2分別為C的左、右焦點(diǎn),

29

a,

點(diǎn)A在C的右支上，若△AF1F2的周長(zhǎng)為10m則△AF2Q的面積是()

A.6-715B.3-715C.90D.45

解：設(shè)雙曲線的半焦距為c,

由e=￡=2,又c2-a2=9,解得a=c=2?,

因?yàn)椤?Fi尸2的周長(zhǎng)為10a,設(shè)|AFi|=m，忸月|=〃，

可得m+〃+2c="?+〃+4^y^=10A/3?艮P"?+〃=6A/^,

由雙曲線的定義可得m-〃=2a=2?,

解得〃?=4e，〃=2?,

222

cosZF1AF2=用上二維_48+12-48_1

一一2義4＞質(zhì)＞＜2料一了

2mn

_V15

所以sinZFiAF2=--f

4

則△ABFi的面積是占zmsinN人AF2=5X473X2?X近￡=3任.

224

故選：B.

11.設(shè)函數(shù)/(x)=|siar+cosx|+|sinx-cosx|,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.函數(shù);'(X)為偶函數(shù)

JT

B.函數(shù)F(x)的圖象關(guān)于直線工=會(huì)對(duì)稱

C.函數(shù)/(X)的最小值為我

的單調(diào)遞增區(qū)間為［-曰也，(依Z)

D.函數(shù)f(x)

IV2sin(x4)|+IV2cos(x+^-)|-

解:函數(shù)/(x)=|sinx+cosx|+|sinx-cosx|=

對(duì)于A：由于函數(shù)=/(x),故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故A正確;

對(duì)于B：函數(shù)f(x)=/(n-x)故函數(shù)/(x)關(guān)于》=-或?qū)ΨQ，故B正確；

對(duì)于C令x+：=f,則f(力=|V2sint|+IV2cost|.該函數(shù)的最小正周期為?,

42

兀7T

在龍€［0,時(shí)，/⑺=V2sint+V2cost=2V2sin(t+~^~)，

所以函數(shù)f(r)在［0,上的最小值為我，故c正確；

對(duì)于￡）：由于函數(shù)/（x）的圖象向右平移-1個(gè)單位得到g（x）=|、歷sinxl+l&cosx|

的圖象，

TTTTTT

所以函數(shù)在［0,勺］上時(shí)，g（x）=2sin（x4），則函數(shù)在［0,亍］上單調(diào)遞增,

在［；JT，T=T］上單調(diào)遞減，由于函數(shù)g（X）的最小正周期為二TT9，

422

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［"匚，等4】（依Z）,故。錯(cuò)誤；

故選：D.

12.已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足。>b>c,且〃+/?+c=0,acP+2hd-Z?=O,則d的取值范圍是

（）

A.（-8,-1］U［O,+8）B.（-1,1）

C.（-血，&）D.（-1-&，-1+&）

解：由題意可知，。#0,因?yàn)殛P(guān)于d的方程為+2兒/-6=0,

所以2b±“b2+4ab|E|4〃+4出信0,

2a

因?yàn)閷?shí)數(shù)a,b,c,d滿足。且a+8+c=0,

所以。>0,cVO,

若〃20,則

若bVO,Ma=-b-c>\b\,所以a>|例,

所以d=《土亞轉(zhuǎn)，

設(shè)由。>步|,可得-ivyi,

a

則（3=九±3+弋且戶+欄0，可得冷?；蛲?1，

所以0?1,

設(shè)/⑺=-t~Vt2+t，t€［0,1），

21+1

因?yàn)閒'（t）=-l-~廣。-<0在同0,1）上恒成立，

2Vt2+t

所以函數(shù)f（力在［0,1）上單調(diào)遞減，

所以對(duì)任意的生［0,1）,-l-V2<f（t）<0,

所以此時(shí)fG）在生［0,1）的值域?yàn)椋?1-&,0］,即此時(shí)dE（-l-&，0］,

設(shè)g(/)—'[0，1)

=Jt+t至t2+t」)0在rG[0

,1）上恒成立,

Vt2+t

所以函數(shù)g（t）在［0,1）上單調(diào)遞增，

所以對(duì)任意的怎［0,1）,0<g（t）<-l+V2-

所以g⑺在怎［0,1）的值域?yàn)椋?,-1+&）,即dE［0,-1+V2）-

所以d￡（-I-A/2，-l+6）.

故選：

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)向量1=（2,1）,（加，-4）,若（之+芯）〃（W.E），則實(shí)數(shù)-8.

解：向量1=（2,1）,1=（旭，-4）,

所以W+E=（2+如-3）,

W~E=（2-機(jī)，5）,

又G+百〃（藪百，

所以（2+根）X5-（2-w）X（-3）=0,

解得m--8.

故答案為：-8.

14.已知長(zhǎng)方體ABCC-A閏CQ外接球的體積為36mAAi=2娓，則矩形ABC。面積的

最大值為8.

解：設(shè)矩形488的邊長(zhǎng)為a,b,該長(zhǎng)方體為外接球的半徑為r,則等「3=36口，解

得r=3,

所以Ja2+b2+（2收）2=2X3,可得。2+按=16,所以似W3.=8,當(dāng)且僅當(dāng)。=

6=2料時(shí)，等號(hào)成立，

所以矩形ABCD面積的最大值為8.

故答案為：8.

15.已知y=/(x)為R上的奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，若/(I)=1,貝iJf(2021)

-1.

解：???/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，

：.f(x+2)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

."(x+2)是奇函數(shù)，

(2-X)--f(x+2),且f(x)是R上的奇函數(shù)，

.,.f(-x)=-于(x+4)--f(x),

.*./(x+4)=f(x),

：.f(x)的周期為4,且/(I)=1,

：.f(2021)=/(1+4X505)=f(1)=1.

故答案為：1.

kka+>+a

16.在數(shù)列｛斯｝中,ai=l,當(dāng)"22時(shí),an—ai-ya2'3'3,-in~r則數(shù)列伍”｝

fl(n=l)

的通項(xiàng)公式為a=n,、、?

n卷(n>2)-

解：由于數(shù)列｛〃〃｝中，〃i=l,當(dāng)〃22時(shí)，。八=a［之十^"々3+”+—①

當(dāng)幾=2時(shí)，。2=的=1,

=

當(dāng)心3時(shí),an_1ai+ya24ya3+--?^2-an_2?，

①-②得：a-Aphig?)，

整理得(〃23),

an-ln-1

w、ianan-la3nn-l3

an-lan-2a?n-ln-22

整理得

a22

所以a=^-(MN3),

n2

當(dāng)〃=2時(shí)，滿足該通項(xiàng)公式,

當(dāng)〃=1時(shí)，不滿足通項(xiàng)，

(1(n=l)

故an

y(n〉2)

L乙

(1(n=l)

故答案為：an

y(n>2)

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟。第17?21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共

60分。

17.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,c^+c1-h2=(4c2-2Z>c)cosA.

(1)求角A的大小;

(2)若垂足為。，且BC=8,求4。的最大值.

解：(1)因?yàn)閍2+c2-b2—(4c2-2/?c)cosA,

所以2accosB=(4c2-2bc)cosA,

由正弦定理得sinAcosB=(2sinC-sinB)cosA,

即sin(A+B)=2sinCcosA=sinC,

因?yàn)閟inC>0,

所以cosA=—,

2

因?yàn)锳為三角形內(nèi)角,

故

(2)因?yàn)镾Mflc=-^-AD*BC=^_bcsinA,3c=8,A=

所以4A。=返區(qū)，即AO=&ibc，

4168

由余弦定理得，CA=b2+c1-bc^bc,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),

故3祭bc《*

X64=4V3>當(dāng)且僅當(dāng)6=c時(shí)取等號(hào),

故AD的最大值為4y.

18.如圖，已知矩形ABCD所在的平面垂直于直角梯形A8PE所在的平面，且EP=J§,

BP=2,AD=AE=\,AE1.EP,AE//BP,F,G分別是BC,BP的中點(diǎn).

(1)求證：平面AFG〃平面PEC；

(2)求二面角。-BE-A的余弦值.

nc

P

【解答】(1)證明：因?yàn)镚是BP的中點(diǎn)，所以PG=4BP=1,

又因?yàn)锳E=1,所以AE=PG,

又因?yàn)锳E〃尸G,AELEP,所以四邊形AEPG是矩形，所以AG〃EP,

又AGC平面PEC,PEu平面PEC,所以4G〃平面PEC,

因?yàn)镕,G分別是BC,BP的中點(diǎn)，所以FG是△BCP的中位線，所以FG〃PC,

又FGU平面PEC,PCu平面PEC,所以FG〃平面PEC,

因?yàn)?GCFG=G,AG,FGu平面AFG,所以平面AFG〃平面PEC；

(2)解：平面4BCD_L平面4BPE,平面ABCDD平面DAVAB,D4u平面

ABCD,

所以AD_L平面ABPE,又AE,AGu平面A8PE,

所以AO_LAE,AD±AG,所以AE,AG,AO兩兩垂直，

以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

因?yàn)镋P=V^,BP=2,AD=AE=1,

則E(l,0,0),D(0,0,1),B(-l,V3,0),

財(cái)而=(-l,0,1).EB=(-2,聰，0)，

設(shè)平面EZM的法向量為1=(x,y,z),

則任手。,

nnf-x+z=0

即4LN

=

n?EB=0-2x+V3Y0

令x=3,則z=3,y=2灰，故［=(3,2%，3)，

又平面ABE的一個(gè)法向量為屈=(0,0,1),

|n*AD|_3V30

cos<?AD>I=

所以InInllADl=V30xl

由圖可知，二面角。-BE-A為銳二面角,

所以二面角D-BE-A的余弦值為幽.

10

19.某市為了增強(qiáng)市民的安全意識(shí)，由市安監(jiān)局組織舉辦了一次安全知識(shí)網(wǎng)絡(luò)競(jìng)賽，競(jìng)賽滿

分為100分，得分不低于85分的為優(yōu)秀.競(jìng)賽結(jié)束后，從參與者中隨機(jī)抽取100個(gè)樣本,

統(tǒng)計(jì)得樣本平均數(shù)為76,標(biāo)準(zhǔn)差為9.假設(shè)該市共有10萬(wàn)人參加了此次競(jìng)賽活動(dòng)，且得

分X服從正態(tài)分布N（“，。2）,若以所得樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為山。的近似

值.

（1）試估計(jì)該市參加這次競(jìng)賽活動(dòng)得分優(yōu)秀者的人數(shù)是多少萬(wàn)人？

（2）為調(diào)動(dòng)市民參加競(jìng)賽的積極性，制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：所有參加競(jìng)賽活動(dòng)者，均可

參加“抽獎(jiǎng)贏電話費(fèi)”活動(dòng)，競(jìng)賽得分優(yōu)秀者可抽獎(jiǎng)兩次，其余參加者抽獎(jiǎng)一次.抽獎(jiǎng)

者點(diǎn)擊抽獎(jiǎng)按鈕，即隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)兩位數(shù)（10,II,99）,若產(chǎn)生的兩位數(shù)的數(shù)字

相同，則可獎(jiǎng)勵(lì)60元電話費(fèi)，否則獎(jiǎng)勵(lì)15元電話費(fèi).假設(shè)參加競(jìng)賽活動(dòng)的所有人均參

加了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，估計(jì)這次活動(dòng)獎(jiǎng)勵(lì)的電話費(fèi)總額為多少萬(wàn)元？

參考數(shù)據(jù)：若X?N（^,。2）,則P（g-o<X<\i+o）心0.68.

解：（1）由題意知X?N（76,81）,所以優(yōu)秀者得分X》76+9=H+。，

由P（H-o<X<n+o）弋0.68,得P（X285）6-^0.16,

所以估計(jì)該市參加這次競(jìng)賽活動(dòng)得分優(yōu)秀者的人數(shù)是10X0.16=1.6（萬(wàn)人）.

（2）設(shè)抽獎(jiǎng)1次獲得話費(fèi)為Y元，則丫的可能取值為60,15；

在10,11,…，99共90個(gè)數(shù)中，兩位數(shù)數(shù)字相同的概率為與=上，

9010

所以p（y=60）=—,P（r=i5）=—,

1010

所以抽獎(jiǎng)1次獲得電話費(fèi)的期望值為E（丫）=60義卷+15X卷=19.5（元）；

設(shè)抽獎(jiǎng)次數(shù)為Z,則Z的取值為1,2,

計(jì)算P（Z=l）=1-0.16=0.84,

P(Z=2)=0.16,

所以參加活動(dòng)的每個(gè)人抽獎(jiǎng)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為E（Z）=1X0.84+2X0.16=1.16,

所以估計(jì)這次活動(dòng)獎(jiǎng)勵(lì)的電話費(fèi)總額為10X1.16X19.5=226.2（萬(wàn)元）.

20.已知橢圓C：號(hào)三=1<?>*>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Q,Fi,過(guò)乃的直線交橢

圓C于A,8兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8,|F1F2|=2.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)Q且不與x軸重合的直線/與橢圓C相交于E,。兩點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否

存在點(diǎn)M,使得直線ME,的斜率之積恒為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)M的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c,

由題意可得2c=2,44=8,

所以c=1,a—2,

22

所以橢圓C的方程為"+，=1.

43

(2)由(1)知Fi(-1,0),設(shè)點(diǎn)E(xi,yi),D(孫”)，MCm,0),

因?yàn)橹本€/不與x軸重合，

所以設(shè)直線/的方程為1,

x=ny-l

聯(lián)立，22,得(3層+4)y2-6ny-9=0,

143

則△=36層+36(3n2+4)>0,

“6n9

所。1+”=二-'5yiy2=-~2~>

3n'+43n"+4

又用及=(nyi-1)(ny2-1)=〃2yly2-n(yi+)2)+1

3n2+43n2+43n2+4

628

xi+x2=〃(yi+yi)-2=--------2=-5

3n2+431+4

直線ME,M。的斜率分別為，如。=上一,

Xj-mx2-m

?,YiYo丫產(chǎn)2

所以k,MEtliMD---------,--------2

xj-mx2-m(x「m)(x2-m)X[x2-m(x]+x2)+m

-g

________3n2+4__________________2^__________

12n2-4z-8s2-12n2+4+8m+3m2n2+4m2

----5ml,5)+m

3n+43n44

_________9_________

(3m^-12)n^+4(m+l)?

要使得直線ME,的斜率之積恒為定值，只需3/-12=0,解得胴=±2,

99

當(dāng)，〃=2時(shí)，存在點(diǎn)M(2,0),使得kME'kMD=~

(3m2-12)n^+4(m+l)36

1

T

9

當(dāng)m=-2時(shí)，存在點(diǎn)M(-2,0),使得kME?kMD=--~5-----5―；-------7

(3m'-12)n"+4(m+l)4

綜上所述，在x軸上存在點(diǎn)M,使得直線ME,MZ)的斜率之積恒為定值,

當(dāng)點(diǎn)何的坐標(biāo)為(2,0)時(shí)，直線ME,的斜率之積恒為定值-2，

4

當(dāng)點(diǎn)仞的坐標(biāo)為(-2,0)時(shí)，直線ME,例。的斜率之積恒為定值一旦.

4

21.已知函數(shù)/(無(wú))=u'(<+加計(jì)加2),g(x)=ar2+x+or//tr.

(1)若函數(shù)/(X)在x=-1處取極小值，求實(shí)數(shù)m的值；

(2)設(shè)加=0,若對(duì)任意(0,+8),不等式/(x)2g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)。的值.

解：(1)，(x)=題/+(m+2)x+tr^+m],

由題意得f(-1)=0,即m=±1,

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，f(x)(x+1)(1+2),

此時(shí)/(外在(-2,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增，符合題意；

當(dāng)m=-1時(shí)，f(x)=產(chǎn)(x+1)x,

此時(shí)/(x)在(-8,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,+8)上單調(diào)遞減,不符合題意.

綜上可得，tn=\.

(2)由/(x)2g(x)得\-a(x+lnx)20,指數(shù)化得不等式\-a(x+lnx)

NO恒成立，

令/=戶7依，則V/ER,不等式d-W-120恒成立，

令h(/)-at-1,ZGR,則hr(r)=d-a,

當(dāng)〃<