集成光電子器件及設(shè)計(jì) - 平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論

第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論

《集成光電子器件及設(shè)計(jì)》第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合

模理論條形光波導(dǎo)中的

Emn

模和Emn模；浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論3

第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論?

平面介質(zhì)光波導(dǎo)（光波導(dǎo)理論）

?

耦合模理論

模式耦合，平行耦合，反向耦合的概念；平面介質(zhì)光波導(dǎo)的耦合模微擾理論；導(dǎo)模之間的耦合，導(dǎo)模與輻射模之間的耦合；

定向耦合器和分支Y波導(dǎo)；

光波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)；平板光波導(dǎo)，條形光波導(dǎo)，

階躍折射率光波導(dǎo)，漸變折射率光波導(dǎo)；

模式，導(dǎo)模，基底模，輻射模，傳播常數(shù)；

平板光波導(dǎo)中的TE模和TM模；

y

x浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論42.1

平面介質(zhì)光波導(dǎo)?

2.1.1

平面介質(zhì)光波導(dǎo)概述

什么是集成光學(xué)？

平面光波導(dǎo)概述?

2.1.2

平板光波導(dǎo)的分析方法

射線(xiàn)光學(xué)法

波動(dòng)方程法?

2.1.3

條形光波導(dǎo)的分析方法

馬卡梯里法

等效折射率法

數(shù)值方法目前，“集成光學(xué)”的概念涵蓋廣泛的內(nèi)容。?

1969年美國(guó)貝爾實(shí)驗(yàn)室的Miller博士（1）光束能限制在光波導(dǎo)中傳播；（2）利用光波導(dǎo)可以制成各種光波導(dǎo)器件；（3）將光波導(dǎo)和光波導(dǎo)器件集成起來(lái)可構(gòu)成有特定功能的集成光路美國(guó)華裔科學(xué)家田柄耕假借集成電路的概念，對(duì)集成光學(xué)歸納了三條定義：概念的提出什么是集成光學(xué)？從四個(gè)方面理解集成光學(xué)的概念：

理論基礎(chǔ)?光學(xué)?光電子學(xué)

工藝基礎(chǔ)?薄膜技術(shù)?微電子工藝主要目的

?實(shí)現(xiàn)光學(xué)

系統(tǒng)的薄

膜化、微

型化和集

成化

主要應(yīng)用?光通信?光互連?光傳感?光學(xué)信息處理等集成光學(xué)的分類(lèi)按集成的方式劃分按集成的類(lèi)型劃分按集成的技術(shù)途徑劃分按研究?jī)?nèi)容劃分個(gè)數(shù)集成功能集成光子集成回路（PIC）光電子集成回路（OEIC）單片集成混合集成導(dǎo)波光學(xué)集成光路浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論8個(gè)數(shù)集成功能集成

電子學(xué)的發(fā)展過(guò)程：從真空管器件的真空電子學(xué)

以晶體管為基礎(chǔ)的固體電子學(xué)

以集成電路為標(biāo)志的集成電子學(xué)。

光子學(xué)也將有類(lèi)似的發(fā)展過(guò)程：多元化的各種類(lèi)型的激光器、光電探測(cè)器，并將向以微納光子器件及光子集成器件為標(biāo)志的集成光學(xué)的方向發(fā)展。集成電子學(xué)和集成光學(xué)9的發(fā)展軌跡：

–

更小的單個(gè)器件。

–

更緊密的集成。

–

更低成本的加工工

藝。

–

……IBM

CELL

2005transistor

radio

1954

intel

4004

1971集成光學(xué)芯片納米集成光學(xué)芯片集成電子學(xué)和集成光學(xué)

?

集成光學(xué)正經(jīng)歷著

分立元件

于集成電子學(xué)同樣10但是……

集成電路（Electronic

Integrated

Circuits）。

1958年發(fā)明

↓

60年代：導(dǎo)彈制導(dǎo)芯片，小規(guī)模集成電路

70年代：計(jì)算器，中大規(guī)模集成電路

集成光路（Photonic

Integrated

Circuits）。

1969年發(fā)明↓1995左右：商用AWG波分復(fù)用器為什么？11?

集成電子學(xué)

–

單一材料：硅

（并且他的氧化物SiO2是

絕好的絕緣體）

–

單一平臺(tái)：CMOS

–

單一基本元器件：三極管

–

統(tǒng)一的ITRS路線(xiàn)圖

（由幾家大的國(guó)際企業(yè)定

制）

–

尺寸：10nm

幾個(gè)μm?

集成光學(xué)

–

許多不同種類(lèi)且不兼容的材料：

GaAs,

InP,

聚合物,

LiNbO3

,...

–

許多不同的制作工藝配方。

–

許多基本元器件：激光器，探測(cè)

器、調(diào)制器、濾波器

...

–

不同公司單獨(dú)推行自己的解決方

案。

–

尺寸：幾個(gè)μm

幾個(gè)

cmIBM

Cell

Processor集成電子學(xué)

vs

集成光學(xué)12摩爾定律

1965年，intel公司的G.

Moore提出：CMOS芯片單位面積的

三極管數(shù)量每24個(gè)月翻一倍。13光子學(xué)摩爾定律14Laser

Photonics

Rev.

6,

No.

1,

1–13

(2012)摩爾定律15浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論16集成光學(xué)的基本單元：平面光波導(dǎo)（1）光束能限制在光波導(dǎo)中傳播；（2）利用光波導(dǎo)可以制成各種光波導(dǎo)器件；（3）將光波導(dǎo)和光波導(dǎo)器件集成起來(lái)可構(gòu)成有特定功能的集成光路

核心：平面光波導(dǎo)浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論17平面介質(zhì)光波導(dǎo)的發(fā)展歷史：光纖的雛形1953年，英國(guó)倫敦學(xué)院卡帕尼博士將此用于實(shí)際，發(fā)明了玻

璃光導(dǎo)纖維：芯層+包層

(n芯層>n包層)

–光纖

1870年，英國(guó)物理學(xué)家丁達(dá)爾

太陽(yáng)光隨著水流發(fā)生彎曲n水

>

n空氣，光發(fā)生全反射光纖的發(fā)展2015/5/1918“Father

of

FiberOptic

Communications“Charles

Kuen

Kao

2009

Nobel

Prize

winner

“for

groundbreaking

achievements

concerning

the

transmission

of

light

in

fibers

for

optical

communication”

K.

C.

Kao,

G.

A.

Hockham

(1966),

"Dielectric-fibre

surface

waveguides

for

optical

frequencies”,

Proc.

IEEE

113

(7):

1151–1158.浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論19光纖的發(fā)展

1966年，高錕和霍克哈姆發(fā)表的《用于光頻的光纖表面波導(dǎo)》奠定了

現(xiàn)代光通信的基礎(chǔ)。高錕被尊為光纖之父。

1970年，美國(guó)康寧公司制出對(duì)0.6328

m波長(zhǎng)的損耗為20dB/km的石

英光纖，從此介質(zhì)波導(dǎo)在光纖通信、傳感等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

之后爆炸性發(fā)展，從光纖損耗看

1970年，20dB/km1972年，4dB/km1974年，1.1dB/km1976年，0.5dB/km1979年，0.2dB/km1990年，0.14dB/km

短短幾十年之內(nèi)，全世界鋪設(shè)的

光纖總長(zhǎng)度已超過(guò)10億公里，足

以繞地球赤道2.5萬(wàn)次接近石英光纖的理論損耗<

0.1

dB/km浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論20浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論21

平面光波導(dǎo)型器件

優(yōu)點(diǎn):

低成本,

小尺寸,

高穩(wěn)定性,

適合于大批量生

產(chǎn),抗電磁干擾，同時(shí)光制作工藝與集成電路工藝

相兼容，可以方便與其它光電子集成器件集成于

一個(gè)襯底上，實(shí)現(xiàn)單片集成等等浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論22平面光波導(dǎo)型器件浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論23在波導(dǎo)的包層中仍然存在光波的傳輸（倏逝波），但由于波導(dǎo)的限制作用，光束不會(huì)像在自由空間中那樣發(fā)散光波的傳輸nhighnlow

nlow脊形波導(dǎo)

24nlownhigh

claddingnlow

平板波導(dǎo)浙江大學(xué)光電系claddingnlowcore

nhigh漸變折射率

(GRIN)

光纖

2-d

光限制core

cladding條形（矩形）波導(dǎo)第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論平面光波導(dǎo)的分類(lèi)

cladding

core

階躍折射率光纖

1-d

光限制浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論25光纖的折射率分布單模光纖(Single-mode

Fiber)：一般光纖跳纖用黃色表示，接頭和保護(hù)套為藍(lán)色；傳輸距離較長(zhǎng)。多模光纖(Multi-mode

Fiber)：一般光纖跳纖用橙色表示，也有的用灰色表示，接頭和保護(hù)套用米色或者黑色；傳輸距離較短。50/125μm

62.5/125μm浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論26SiO2:GeSi

substrate光波導(dǎo)折射率分布?

折射率突變型（階躍型）

SiO2，SOI，

InP，

Polymer

n=1.47SiO2

n=1.462015/5/1927LiNbO3漸變折射率波導(dǎo)?

漸變折射率光波導(dǎo)

Ti擴(kuò)散LiNbO3波導(dǎo)，K+離子交換玻璃波導(dǎo)

LiNbO3:Ti

erf

浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論281

w/2

x

w/2

x

erf

2

hx

hx

g(x)

y

f

(y)

exp(

y2

/h2)?

其中n0為基片折射率，Δn為擴(kuò)散引起的最大折射率變化，w為擴(kuò)散源

的橫向?qū)挾龋琱x、hy分別為橫向、高度方向的擴(kuò)散深度漸變折射率波導(dǎo)

首先在鈮酸鋰基體上用蒸發(fā)沉積或?yàn)R射沉積的方法鍍上鈦膜，然后進(jìn)行光刻，

形成所需要的光波導(dǎo)圖形，再進(jìn)行擴(kuò)散?？梢圆捎猛鈹U(kuò)散、內(nèi)擴(kuò)散、質(zhì)子交換

和離子注入等方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。

n(x,

y)

n0

n

g(x)

f

(y)其中浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論29光波導(dǎo)材料材料典型波導(dǎo)結(jié)構(gòu)主要特點(diǎn)鈮酸鋰二氧化硅

硅磷化銦聚合物采用質(zhì)子交換，金屬擴(kuò)散等工藝，電光系數(shù)，非線(xiàn)性效應(yīng)高，但損耗較大Ti+…LiNbO3Ge:SiO2采用

PECVD,干法刻蝕等

SiO2Si

基底

Si

波導(dǎo)

SiO2

Si

基底InGaAsPInPInP直接帶隙，適合于發(fā)光器件，高速調(diào)制器，光開(kāi)光，

的制作，但損耗較大

聚合物基底工藝制作，損耗小，但只

能制作無(wú)源器件高折射率對(duì)比，高集成度與集成電路兼容，但不適

合制作發(fā)光器件

采用旋涂,刻蝕等工藝，成

本較低，電光，熱光效應(yīng)較高，穩(wěn)定性較差，易老化Si

substrateCore--SiO2:Ge浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論302.1

平面介質(zhì)光波導(dǎo)?

2.1.1

平面介質(zhì)光波導(dǎo)概述?

2.1.2

平板光波導(dǎo)的分析方法

射線(xiàn)光學(xué)法

波動(dòng)方程法?

2.1.3

條形光波導(dǎo)的分析方法

馬卡梯里法

等效折射率法

數(shù)值方法浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論31n3n1n2z平板光波導(dǎo)?

平板波導(dǎo)通常由三層介質(zhì)組成

導(dǎo)波層：中間層，介質(zhì)折射率n1最大

覆蓋層：上包層，折射率n3<

n1

襯底層:

下包層，折射率n2<

n1?

n2=n3，稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)型平板波導(dǎo)。反之，稱(chēng)為非對(duì)稱(chēng)

型平板波導(dǎo)

x

y

覆蓋層導(dǎo)波層

襯底層浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論32平板光波導(dǎo)分析方法?

射線(xiàn)光學(xué)方法（幾何光學(xué)）

射線(xiàn)理論分析法簡(jiǎn)單、直觀、物理概念清

晰，并能得到一些光在光波導(dǎo)中的基本傳

輸特性。?

波動(dòng)方程方法（麥?zhǔn)戏匠?邊界條件）

要描述波導(dǎo)中的模場(chǎng)分布，則需用嚴(yán)格的

電磁場(chǎng)理論來(lái)分析基本概念回憶：內(nèi)反射光在玻璃里入射到與空氣交接的界面上將發(fā)生什么?airglass一個(gè)小的模擬程序（Snell定律）浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論35全內(nèi)反射

i

c

i>

cCritical

AngleTIREvanescent

Wave

oIncidentLightReflectedLight全內(nèi)反射(Total

Internal

Reflection,

TIR)-光波導(dǎo)的物理基礎(chǔ)全反射臨界角(critical

angle)

c

arcsin

n2

n1

RefractedLightn1n2

i

cR<1

i

c|R|=1平面波導(dǎo)射線(xiàn)分析

n2

n1

波導(dǎo)內(nèi)入射角

>

c

全反射形式穩(wěn)定傳輸?

光線(xiàn)只有全反射才能在波導(dǎo)里穩(wěn)定傳輸波導(dǎo)的數(shù)值孔徑如果將光耦合進(jìn)入波導(dǎo)穩(wěn)定傳輸，那么在空氣中的入射角應(yīng)滿(mǎn)足什么條件nsin

0max

n1sin

c

n1

n2n2n1sin

min

;

全反射臨界角22最大入射角,可以從Snell’s定律求得

0max數(shù)值孔徑:2

2波導(dǎo)的數(shù)值孔徑

n1光要想耦合進(jìn)入波導(dǎo)穩(wěn)定傳輸，入射角必須小于某個(gè)值θ0，

但是否只要小于該角度就能穩(wěn)定傳輸呢？t=2a39平板波導(dǎo)的色散方程要維持光波在導(dǎo)波層內(nèi)傳播，必須使光波在導(dǎo)波層上、下界面之間往返一次的總相移為2π的整數(shù)倍。上、下截面全發(fā)射相移分別為

13、

12

，則可得到平板波導(dǎo)的模方程：zxCBλ入射波陣面二次反射波陣面一次反射波陣面Aθn3n2n1

2n1k0tcos

12

13

2m

式中m

是整數(shù)，代表不同的模式,k0

只有滿(mǎn)足這個(gè)條件（本征方程）的光才可能穩(wěn)定傳輸。

每個(gè)m取值代表本征方程的一個(gè)解。浙江大學(xué)光電系

第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論AB

AC

cos(

2

)AC

tcos

是相位的單位1、2界面反射時(shí)產(chǎn)生的相位1、3界面反射時(shí)產(chǎn)生的相位光波前進(jìn)過(guò)程中的相位變化思考：該方程中各字母的物理意義

2n1k0tcos

12

13

2m

思考：光在1、2和1、3表面全反射時(shí)分別產(chǎn)生了一個(gè)附加相位，為什么？思考：全反射時(shí)發(fā)生的相位變化大小怎么求？只要想到反射折射的大小變化，首先想到菲涅爾公式n1cos

1

n2

cos

2n1cos

1

n2

cos

2r

TE(或rs)=代入折射定律n1sin

1

n2sin

2全反射相移22

當(dāng)全反射發(fā)生時(shí)根號(hào)為虛數(shù)，因此此時(shí)的反射系數(shù)為一復(fù)數(shù)

1/2

1

2

n1

cos2

1/2

1

3

n1

cos2

全反射相移

j

k

r

exp

E

A

思考：全反射時(shí)的相位變化究竟怎么產(chǎn)生的？思考：光在傳輸過(guò)程里如何產(chǎn)生相位變化？相位不存在突變之說(shuō)，相位的產(chǎn)生途徑只有一個(gè)，即傳輸一段距離，即相位變化源自于2n1k0tcos

12

13

2m

古斯?jié)h森(Goos-Hanchen)位移在全反射發(fā)生時(shí)，實(shí)際入射光會(huì)部分進(jìn)入光疏介質(zhì)，形式上相當(dāng)于反射點(diǎn)相對(duì)入射點(diǎn)有個(gè)偏移距離

n1

2

2

sin

n2

2n1k0tcos

tan

1

sin

n

n1

3

2

2

2

tan

1

n

n

sin

n

2222

n1

2

cos2

n

sin

n

n1

3

2

2

22

n1

2

cos2

n

n

n

sin

n

2222

n1

2

cos2

n

n

n

sin

n

2222

n1

2

cos2

n

浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論452平板波導(dǎo)的本征方程

2

2

2

1

2

n1

cos2

1/21/222

m

n1

cos2

n1

cos2

1/21

1

2

22

12

2tan

11/2

1

n1

2

3

13

2tan?

對(duì)于TM波，全反射相移為1/21/21

1

31

1

2

22

23n1k0tcos

tan

1

tan

1

m

浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論46k1

在x方向和z方向的分量分別為：

k1x=

n1k0cos

i

k1z=

n1k0sin

i

式中k0為平面波在真空中的波矢的大小定義傳播常數(shù)

：

=n1k0sin

i=k1z定義有效折射率neff:

neff=

/k0=

n1sin

in1n3z

dO

i

n2xk1k2

k’1

i

’i

t

設(shè)平面波在折射率為n1的介質(zhì)中的波矢量為k1傳播常數(shù)、模式導(dǎo)波存在條件：

k2<

<

k1n2<

neff<

n1每個(gè)m對(duì)應(yīng)一個(gè)

i，對(duì)應(yīng)一個(gè)

光波導(dǎo)的模式光線(xiàn)在上、下兩個(gè)界面的全反射臨界角分別為:θc13=arcsin(n3/n1)θc12=arcsin(n2/n1)47浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論482.1

平面介質(zhì)光波導(dǎo)?

2.1.1

平面介質(zhì)光波導(dǎo)概述?

2.1.2

平板光波導(dǎo)的分析方法

射線(xiàn)光學(xué)法

波動(dòng)方程法?

2.1.3

條形光波導(dǎo)的分析方法

馬卡梯里法

等效折射率法

數(shù)值方法

E

i

0H

H

i

E第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論49麥克斯韋方程?從麥克斯韋方程，建立光波在介質(zhì)波導(dǎo)中的電磁場(chǎng)分布方程（波動(dòng)方程），結(jié)合邊界條件導(dǎo)出傳播模式的特征方程，進(jìn)而討論介質(zhì)波導(dǎo)中光傳播的特性。

時(shí)諧電磁場(chǎng)的麥克斯韋方程組

by

James

Clerk

Maxwell

in

1873經(jīng)典電磁理論的創(chuàng)始人，1831年生于蘇格蘭愛(ài)丁堡。年僅15歲時(shí)，就向愛(ài)丁堡皇家學(xué)院遞交了一份科研論文。他就讀于愛(ài)丁堡大學(xué)，畢業(yè)于劍橋大學(xué)。Maxwell是從牛頓到愛(ài)因斯坦這一整個(gè)階段中最偉大的理論物理學(xué)家。

浙江大學(xué)光電系描述了電磁場(chǎng)領(lǐng)域的所有現(xiàn)象t=2a?

將矢量各分量展開(kāi)，得

i

0H

x

zz

y

z

y

z

E

x

E

z

H

x

H

z

i

0H

y

z

x

z

x

i

0H

z

E

y

E

x

H

y

H

x

x

y

x

y浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論50波動(dòng)方程

y

y

i

E

x

i

E

y

i

E

z并且考慮到y(tǒng)方向是均勻的，即

0

y

設(shè)波沿著z方向傳播，則沿z方向場(chǎng)的變化可用一個(gè)傳輸因子exp(-iβz)來(lái)表示

Ex

H

z

Ez

zAC

x入射波陣面二次反射波陣面一次反射波陣面θn2n3n1

Ey

H

x

Ey

i

H

x

i

Ey

n3n1

x

x

k0

n2(x)

2

Ey

0

k0

3

2

2

Ey

0n

k0

1

2

Ey

0n

k0

2

2

2

Ey

0n浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論512222

2Ey

2

2Ey

x2

2Ey

2

2Ey

x2波動(dòng)方程（TE模）

0

i

0H

z

x

H

z

x

x

包層

薄膜層

襯底

n2

z

y

k0

1

2

Ey

0nkT

k0

1

2

2，通常稱(chēng)為橫向波矢。a

,

a

,n其中波動(dòng)方程的解2

2Ey

x2

上式為波動(dòng)方程，也叫做Helmholtz方程，

其通解可表示為：

Ey

a1cos

kTx

a2

sin

kTx

a1cos

kTx

a1exp

jkTx

a2

exp

jkTx

a1exp

j

kTx

2

1

2

為待定系數(shù)。52E1cos(kxx

)Ey(x)

kx2

k0

1

2

2n

3

k

n

2

k

n浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論53波動(dòng)方程的解（場(chǎng)分布）cladding

core

substrate

E3exp[

3(x

a)]

E2

exp[

2(x

a)]

x

a

a

x

a

x

a

2

2

2

22

2

2

20

30

22根據(jù)物理意義可以預(yù)見(jiàn)在導(dǎo)波層內(nèi)是駐波解，可用余弦函數(shù)表示，而在覆蓋層、襯底層中是倏逝波，應(yīng)是衰減解，用指數(shù)函數(shù)表示。導(dǎo)模存在條件：kx、a3、a2均應(yīng)為實(shí)數(shù)，故須滿(mǎn)足

k0n1

max(k0n3,k0n2)

與射線(xiàn)法結(jié)果一致TE模

2kxa

m

tan

(

1

2

1

3浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論54邊界條件

E

Ey

y

0

z

(1)

x=

-a處，

2

kxtan(kxa

)

E1cos(kxa

)

E2

kxE1sin(kxx

)|x

a

2E2

exp[

2(x

a)]|x

a

(kxE1sin(kxa

)

2E2)

(2)

x=a處，

3

kx)E1cos(kxa

)

E3

kxE1sin(kxx

)|x

a

3E3exp[

3(x

a)]|x

a

(kxE1sin(kxa

)

3E3)

)

tan

(

kx

kx

tan(kxa

)

關(guān)于

的函數(shù)2kxa

m

tan

()

tan

(TE模的特征方程：)

3

kx

2

kx

1

1與射線(xiàn)法得到結(jié)果的一致：

2n1k0tcos

12

13

2m

2

1

1

2

2

3

x

2

x特征方程（本征值方程）關(guān)于

的函數(shù)

3

kxtan(kxa

)

2

kxtan(kxa

)

2kxa

m

tan

()

tan

(m

2a

kxatan

kxa

(1)kx

k0

1

n(

a)

(kxa)

k0

1

2)a

(n

n

2

k

n特征方程浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論56)

3

kx

2

kx

1

1?

考慮對(duì)稱(chēng)波導(dǎo)的情況

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

2(2)

a

(π)pt

2a

kxatan

kxa

2

(

a)

(kxa)

k

a

(n

n

)02410122041210

8

6

6

8kxa

(π)m=0

m=1

m=2圖解法求解特征方程

模式的階數(shù)：m

m越大，kx越大，

越

小。2

2

2

2

2

20

1

2

m

n1n3xzdO

i

n2

k1

i

’i57

a

(π)pt

2

k

a2(n2

n2)

M

2a

kxatan

kxa

2

(

a)2

(kxa)2

k0a

(n1

n2)02468101201210

8

6

4

2m=0

m=1

m=22

2

2

kxa

(π)

m

圖解法求解特征方程

模式數(shù)量

2

0

1

2

向下取整58

a

(π)ptk

a

(n

n

)

2a

kxatan

kxa

2

k0a

(n1

n2)

...(

a)2

(kxa)2

k0a

(n1

n2)圖解法求解特征方程0

2

4

6

81012201210

8

6

4m=0

m=1

m=2

2

kxa

(π)

m

2

2

20階模總是存在1階模存在條件:

2

2

2

2

0

1

22階模存在條件:2

2

2

59

a

(π)pt(

a)

(kxa)

k

a

(n

n

)

2a

kxatan

kxa

2

(

a)2

(kxa)2

k0a

(n1

n2)圖解法求解特征方程0246810124201210

8

6kxa

(π)m=0

m=1

m=2單模條件

2

2

2

2

2

2

20

1

2

22

2

2m

602

d

n1

n2

n2

n2

m

arctan

2

2

2

c

TM2

d

n1

n2

n

2

n2

n2m

arctan

n3

n1

n2

?

對(duì)于對(duì)稱(chēng)平板波導(dǎo)，TE0和TM0的截止波長(zhǎng)

均為無(wú)限長(zhǎng)浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論612c截止波長(zhǎng)

輻射模條件

截止波長(zhǎng)

0

n2k0

2

TE

2

3

n1

n2

1

2

3

2

/

k0

n2n

nn1

n2

2

2

21

2b

0

b

12?

波導(dǎo)參數(shù)V：

V

k0a

特征方程與色散曲線(xiàn)

m

2?

特征方程中有4個(gè)參數(shù)（n1,n2,a,

），改變?nèi)魏我粋€(gè)結(jié)

構(gòu)參數(shù)都要對(duì)方程重新求解，不利于應(yīng)用。為此作歸一

化處理。?

傳播常數(shù)范圍：

k0n2

k0n1?

歸一化傳播常數(shù)：1

b

2?

用b和V

表示的特征方程：V

11

b

b

m

arctan

（m

=

0,1,2,---）

色散曲線(xiàn)：

?

波導(dǎo)參數(shù)一旦確定，對(duì)應(yīng)

模的數(shù)量就確定；

?

m=0模的傳播常數(shù)最大，

隨著m的增大，傳播常數(shù)

減??；

?

特征方程表示的是TE波

（

S波），習(xí)慣用模的階

數(shù)作為偏振光的下標(biāo)，如

TE0模，如TE1模等。n1

n2?

當(dāng)給定V值后，波導(dǎo)中可能存在的導(dǎo)

波模數(shù)量就確定了；?

b=0稱(chēng)為截止，從圖中可見(jiàn)，TE1模

的截止V值等于

/2，如果V值小于

/2

，則只有一個(gè)模，稱(chēng)其為單模區(qū)；?

V值大于TE1模的截止V值，稱(chēng)其為多

模區(qū)；?

TM波的導(dǎo)波參數(shù)V與TE波稍有不同

，如果相對(duì)折射率

不到1%，則同階

模的V值可認(rèn)為相同。2V

k0a求傳播常數(shù)的順序波導(dǎo)參數(shù)：a,n1,n2電場(chǎng)分布群速度色散

波長(zhǎng)：

V參數(shù)

色散曲線(xiàn)歸一化傳播常數(shù)b

傳播常數(shù)

65?Ref:

Okamoto’s

“fundamental

of

optical

waveguides”

2a

kxatan

kxa

2

色散曲線(xiàn)m

三層對(duì)稱(chēng)平板波導(dǎo)色散曲線(xiàn)：

均勻空間平面波的色散曲線(xiàn)：

nk0c

（一條直線(xiàn)）66asymmetrical67對(duì)稱(chēng)平板

VS

非對(duì)稱(chēng)平板

b1

b

tan

1b

1

b2v

1

b

m

tan

1E1cos(kxx

)Ey(x)

Ey

H

x

Ey

i

H

x

i

Ey

平板波導(dǎo)模式分布cladding

core

substrate

E3exp[

3(x

a)]

E2

exp[

2(x

a)]

x

a

a

x

a

x

a

將特征方程的解，代入上式，并確定各個(gè)系數(shù)，求得Ey。而后根據(jù)右式，確定其余場(chǎng)分量。

x

H

z

0

i

0H

z

x68平板波導(dǎo)模式分布69場(chǎng)在覆蓋層和襯底中是按指數(shù)函數(shù)衰減的，衰減的快慢分別由衰減系數(shù)

2和

3確定。平板波導(dǎo)模式分布

2和

3的值大，則場(chǎng)衰減快，穿透深度1/

2和1/

3就淺，說(shuō)明場(chǎng)主要束縛在導(dǎo)波層中。反之，

2和

3的值小，則場(chǎng)衰減慢，穿透深度就深，說(shuō)明波導(dǎo)束縛場(chǎng)的能力差。

2和

3的大小與覆蓋層、襯底的折射率有關(guān)，同時(shí)還與模序數(shù)m密切相關(guān)。由模式本征方程可以導(dǎo)出，m越大，則β越小，

2和

3也越小。這表明高階模的電磁場(chǎng)可延伸到導(dǎo)波層外的距離較遠(yuǎn)。70Schr?dinger

equation:

2

x

V

E]

(x)

0[

nncladcore從量子力學(xué)的角度來(lái)看平板波導(dǎo)對(duì)光的束縛x

2Helmholtz

equation:

[

2

k0n2

2]U(x)

0xnncladncorenclad

12m?

V

V0VwellE3E2E1

x1-d

potential

well

?離散能級(jí)

(能態(tài))

?勢(shì)阱越深將支持更多

的能級(jí)?離散的傳播常數(shù)值?波導(dǎo)越寬折射率差越大

，可容納的模數(shù)就越多(m)

特征模的展開(kāi)

?

任意電場(chǎng)分布的光波入射如何轉(zhuǎn)變成特征模？

?

處理方法：將任意電場(chǎng)分布展開(kāi)，分解成不同特征模的

電磁場(chǎng)分布。

–

數(shù)學(xué)上用正交函數(shù)展開(kāi)，如傅立葉級(jí)數(shù)等，稱(chēng)之為特征模展開(kāi)；

–

各導(dǎo)波模以相應(yīng)階數(shù)模的傳播常數(shù)傳播；

–

隨著光的傳播，不同模之間的相位差將發(fā)生變化，導(dǎo)致導(dǎo)波模疊

加以后的電磁場(chǎng)分布也隨著傳播過(guò)程而變化，光束像蛇一樣反復(fù)

蠕動(dòng)前進(jìn)。E(x,t)

(x)exp[

j(

t

mz)]

AmE

m光波導(dǎo)中的各種損失?

耦合損耗:

模式轉(zhuǎn)換器,

透鏡光纖,

等等.?

端面反射損耗:

端面鍍?cè)鐾改?，匹配??

散射損耗：

主要來(lái)源于表面粗糙度（改善加工工藝）?

吸收損耗:

金屬、自由載流子、雙光子,

等等.?

彎曲損耗(純彎曲損耗+

過(guò)渡損耗):

加大彎曲半徑,

采用更高折射率差.74From

Bowers

group

at

UC

Santa

Barbara.The

waveguide

with

a

world

record

low

propagation

loss:<0.1dB/m低損耗光波導(dǎo)

漸變折射率波導(dǎo)在擴(kuò)散性波導(dǎo)中，折射率分布多為漸變式：對(duì)稱(chēng)型漸變折射

率波導(dǎo)

752axtpS

0

xz漸變折射率波導(dǎo)中光的傳播

光線(xiàn)向折射率高的方向偏折

X76

漸變折射率波導(dǎo)的應(yīng)用漸變折射率波導(dǎo)中的光纖傳輸呈周期性聚焦：中間可插入波片、偏振片、濾波片，方便進(jìn)行光信號(hào)處理。

P若長(zhǎng)度取1/4周期，則輸出為平行光：77浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論782.1

平面介質(zhì)光波導(dǎo)?

2.1.1

平面介質(zhì)光波導(dǎo)概述?

2.1.2

平板光波導(dǎo)的分析方法

射線(xiàn)光學(xué)法

波動(dòng)方程法?

2.1.3

條形光波導(dǎo)的分析方法

馬卡梯里法

等效折射率法

數(shù)值方法浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論79條形光波導(dǎo)的分析方法?

光在平板波導(dǎo)中傳播時(shí)，在無(wú)約束的方向

上發(fā)散。為了避免這種情況，在集成光學(xué)

中通常采用條形波導(dǎo)。和平板波導(dǎo)相比，

條形波導(dǎo)的分析要復(fù)雜得多。通常采用近

似的方法對(duì)此進(jìn)行分析。

馬卡梯里法

等效折射率法

數(shù)值方法

（有限差分，有限元）Emn馬卡梯里法(Marcaili)yx2bn4n3n5xyn1由于導(dǎo)波模的大部分能量集中在波導(dǎo)芯層內(nèi)傳輸，而在波層中的能量很少，圖中陰影部分的能量就更少。馬卡梯里(Marcaili)方法的近似處理是忽略圖中的四個(gè)陰影區(qū)域，只考慮圖中五個(gè)區(qū)域。

n2

2a矩形光波導(dǎo)的近似分析嚴(yán)格分析，必須將空間區(qū)域分為9塊，每塊中有6個(gè)場(chǎng)矢量的分量，同時(shí)必須在12個(gè)界面滿(mǎn)足邊界條件。Marcaili近似分析x

y

mn浙江大學(xué)光電系

第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論

80

0

1

H

y

Ex

H

y

1

H

y

E

y

x

yi

H

y

Ez

浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論81

k02n2(x,

y)

2

H

y

0

2Hy

x2

2Hy

y2

i

H

y

yH

x

0H

z

2

x

2

x2

xmn

x

(n2k0

2)

0

ky

0其中：kx

k2

k0n1

2假設(shè)場(chǎng)分布E(x,

y)可以表示成如下分離變量的形式Hy(x,

y)

X(x)Y(y)2

1

2YY

y

2

1

2XX

x22

1

2YY

y2x

k2

0

1

2XX

x2將上式分裂成如下兩個(gè)方程，即：分離變量法

k02n2

2

Hy

0

i

2Hy

x2

2Hy

y2

2

2對(duì)以上兩個(gè)方程分開(kāi)求解，然后再合并。82E

kx

k2

2

k0n1

2

2

2

2

2

kx

3

0

3

k

n

ky

4

0

4

k

n

k2

2

2

k

n2

y浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論83

H1cos(kxx

x)cos(kyy

y)

i

1

H2

cos(kxx

x)e

2(y

WB)

i

2

(y

WA)

4

y

y

H5

cos(kyy

y)e

5(x

XB)

i

5波動(dòng)方程的解

2

2

kx

2

k0n2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

5

0

5其中

xmn

為z方向傳播常數(shù)kx,ky為x,y方向傳播常數(shù)EkyW

n

tan

(

2

2

1

n2

ky

1

n3

ky

n

kxX

n

tan

(

2

2

1

n4

kx

1

n5

kx

n

kx

k2

2

k0n1

2

2

2

2

2

kx

3

0

3

k

n

ky

4

0

4

k

n

k2

2

2

k

n2

y浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論84特征方程根據(jù)

y

b處

H

x和

Ez

連續(xù)的條件

，

可以得到

)

tan

(

)

n1

2

1

3根據(jù)

x

a

處

H

x和

Ez

連續(xù)的條件

，

可以得到

)

tan

(

)

n1

4

1

5

xmn用數(shù)值方法可獲得(kx,

ky),

之后再求出模斑分布

y

mn

2

2

kx

2

k0n2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

5

0

5E浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論85矩形波導(dǎo)的模場(chǎng)分布(a)

m=1,

n=1(b)

m=2,

n=1;(c)

m=1,

n=2;

xmn浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論862.1

平面介質(zhì)光波導(dǎo)?

2.1.1

平面介質(zhì)光波導(dǎo)概述?

2.1.2

平板光波導(dǎo)的分析方法

射線(xiàn)光學(xué)法

波動(dòng)方程法?

2.1.3

條形光波導(dǎo)的分析方法

馬卡梯里法

等效折射率法

數(shù)值方法

[n2(x,

y)k0

2]E

0X

xY

y

(n2k0

2)

0浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論87n2n3n1wrHhrxyneff3neff2neff3wr2

2E

y2

2E

x2假設(shè)場(chǎng)分布E(x,

y)可以表示成如下分離變量的形式

E(x,

y)

X(x)Y(y)2

1

2Y

21

2X

2將上式分裂成如下兩個(gè)方程，即

1

2Y

2

2

2

neff2

neff1

neff1

1

2X

2

2

X

x2其中neff(x)即為等效折射率分布，可由平板波導(dǎo)本征方程解得(同時(shí)可得Y(y))，即可得到一個(gè)等效的平板波導(dǎo)，由此很容易得到本征值β和相應(yīng)的本征向量X(x)等效折射率法?

(1)

將三維波導(dǎo)分解成平板波導(dǎo)的組合(如圖所示)；?

(2)

對(duì)每個(gè)平板波導(dǎo)，沿著y方向根據(jù)平板波導(dǎo)本征方程求解neff(x)(圖示neff2，neff3)；?(3)根據(jù)步驟(2)中得到的neff2，neff3，得到沿著x方向的折射率分布(二維平板波導(dǎo))；?(4)對(duì)x方向的平板波導(dǎo)再解一次平板波導(dǎo)本?征方程，可以得到傳播常數(shù)

。在整個(gè)求解過(guò)程中，需要注意的是，若求解TE模Ex，則在求neff(x)時(shí)，應(yīng)取TE模，而在求

時(shí)，應(yīng)取TM模；求解TM模Ey，則在求neff(x)時(shí)，應(yīng)取TM模，而在求

時(shí)，應(yīng)取TE模；第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論88wneff1neff2neff2Hh等效折射率法

wn1n3n22bn2xyn3

neff浙江大學(xué)光電系

2an4n5n1等效折射率法?

理解幾種波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的工作原理浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論89浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論902.1

平面介質(zhì)光波導(dǎo)?

2.1.1

平面介質(zhì)光波導(dǎo)概述?

2.1.2

平板光波導(dǎo)的分析方法

射線(xiàn)光學(xué)法

波動(dòng)方程法?

2.1.3

條形光波導(dǎo)的分析方法

馬卡梯里法

等效折射率法

數(shù)值方法數(shù)值解法

解析解比較困難，近似會(huì)存在比較大的誤差；數(shù)值

方法被應(yīng)用到光波導(dǎo)模式解中?????線(xiàn)方法(the

Method

of

Lines,

MoL)

矩方法(the

Method

of

Moments,

MoM)有限差分方法(the

Finite

Difference

Method,

FDM邊界元方法(the

Boundary

Element

Method,

BEM有限元方法(the

Finite

Element

Method,

FEM)浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論91P

xy

Ex

2

Ex

zP

yy

Ey

yE

1

(n

Ey

Ey)

1

(n

Ey)

Ey

2

n

k0Ey

y

n

x

1

(n

Ex

Ex

)

x

y

浙江大學(xué)光電系第二章

平面介質(zhì)光波導(dǎo)和耦合模理論922

2

2

2

22

2P

xyEy

PyyEy

PyxEx

2

2(

2

)

2

y

x

2(

2

)

x

n

y

x

y

y

n

x折射率n是位置(x,

y)的函數(shù)，因此不能消去

有限差分方法由麥克斯韋爾方程得到

P

xx全矢量波動(dòng)方程（無(wú)近似）：

P

yx

(

2j

P

xy

Ex

2

Ex

)

P

yy

1

(n

Ex)

Ex

n

k0

Ex

Ex

2

x

x

yn

2Ey

1

(n

Ey)

n

k02Ey

Ey

y

x

yn有限差分方法?

設(shè)光波沿著z方向傳播，則沿z方向場(chǎng)的變

化可用一個(gè)傳輸因子exp(-iβz)來(lái)表示，即浙江大學(xué)光電系932Ey

z

z2