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專題02必要性探路(端點(diǎn)效應(yīng))含有參數(shù)的不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題,是熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型,方法靈活多樣,常見的方法有:①分離參數(shù)+函數(shù)最值;②直接化為最值+分類討論.但當(dāng)問題具有區(qū)間端點(diǎn)(定義域內(nèi)一點(diǎn))的函數(shù)值恰好是不等式恒成立時(shí)的臨界值是這一顯著特征時(shí),應(yīng)運(yùn)用“零點(diǎn)、端點(diǎn)效應(yīng)”.其具體方法是:先在定義域內(nèi)取這個(gè)特殊值,然后由不等式成立求出參數(shù)的取值范圍,顯然這個(gè)取值范圍是不等式恒成立的一個(gè)必要條件,這樣相當(dāng)于對(duì)參數(shù)增加了一個(gè)條件,對(duì)問題解決有很好的導(dǎo)向性.接下來(lái)在這個(gè)條件下繼續(xù)求解,然而有趣的是在后面的解答中我們發(fā)現(xiàn)求出的這個(gè)范圍恰好是不等式恒成立的充分條件,也就是說賦值法求出的參數(shù)取值范圍有時(shí)恰好是題目所求的取值范圍.必要探路法,就是利用端點(diǎn)效應(yīng)的原理;其基本步驟如下:1.探究必要條件,縮小參數(shù)范圍:首先利用端點(diǎn)效應(yīng)初步獲得參數(shù)的取值范圍,這個(gè)范圍是必要的;常見的幾種縮小參數(shù)范圍的思路:(1)若在上恒成立,則在區(qū)間端點(diǎn)處也成立,即此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)值包含參數(shù)的情況.(2)若在上恒成立,且則此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值為零的情況.(3)若在上恒成立,且,則此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值為零且導(dǎo)數(shù)值也為零的情況.(4)若在上恒成立,則,此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)值包含參數(shù)的情況.(5)若在上恒成立,則,此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)值包含參數(shù)的情況.2.證明充分性,求結(jié)果:利用第一步中的參數(shù)的范圍去判定函數(shù)是否單調(diào);(1)如果函數(shù)單調(diào),則由端點(diǎn)得到的范圍就是最終答案;(2)如果函數(shù)不單調(diào),則利用端點(diǎn)確定的范圍進(jìn)一步確定函數(shù)的最值.若使用必要探路法,則尤其要注意第一步,即尋找必要條件,因?yàn)槠渚哂休^強(qiáng)的技巧性.常見的選取技巧包括選擇端點(diǎn)值、極值點(diǎn)、不等式公共取等條件、常見特殊數(shù)(如等).1.是否存在正整數(shù),使得對(duì)一切恒成立?試求出的最大值.2.求k的最大整數(shù)值.3.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn),(1)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;(2)若,求的取值范圍.4.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí),若,且在時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.5.已知函數(shù)(1)若函數(shù)與有公共點(diǎn),求的取值范圍;(2)若不等式恒成立,求整數(shù)的最小值.6.已知,,.(1)若,證明:;(2)對(duì)任意都有,求整數(shù)的最大值.7.設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并且說明理由;(2)若對(duì)所有,都有,求正數(shù)的取值范圍.8.已知函數(shù)f(x)=aex-1-x,對(duì)于,證明:當(dāng)時(shí),不等式恒成立.9.已知函數(shù),.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)若在區(qū)間,上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.10.已知函數(shù),其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程;(2)當(dāng)時(shí),恒成立,求的最大值.11.已知函數(shù),其中.(Ⅰ)函數(shù)的圖象能否與軸相切?若能,求出實(shí)數(shù),若不能,請(qǐng)說明理由;(Ⅱ)求最大的整數(shù),使得對(duì)任意,,不等式恒成立.12.已知函數(shù).(1)證明:存在唯一零點(diǎn);(2)若時(shí),,求的取值范圍.13.設(shè)函數(shù),其中.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的零點(diǎn);(Ⅱ)若對(duì)任意,,恒有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.14.已知函數(shù),為的導(dǎo)函數(shù).(1)討論在區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)若,時(shí),恒成立,求整數(shù)的最小值.15.(Ⅰ)證明:,,;(Ⅱ)若在,上恒成立,求的取值范圍;(Ⅲ)已知函數(shù),若正實(shí)數(shù),滿足,證明:當(dāng)時(shí),恒有.16.已知,
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