2025屆江蘇省蘇州市立達(dá)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2025屆江蘇省蘇州市立達(dá)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．有關(guān)橢圓敘述錯(cuò)誤的是（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4 B.短軸長(zhǎng)等于4C.離心率為 D.的取值范圍是2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，，則（）A. B.C.,,成等差數(shù)列 D.,,成等比數(shù)列3．若直線的傾斜角為120°，則直線的斜率為（）A. B.C. D.4．如圖，在三棱錐S—ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱EF上，且滿足，若，，，則（）A. B.C. D.5．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.6．已知A（3，2），點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng)，為使取得最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A.（0，0） B.（2，2）C. D.7．若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于A.2 B.3C.6 D.98．下列直線中，與直線垂直的是（）A. B.C. D.9．已知雙曲線，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.10．在三棱錐中，平面，，，，Q是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.11．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（）A.1 B.3C.9 D.8112．已知平面，的法向量分別為，，則（）A. B.C.，相交但不垂直 D.，的位置關(guān)系不確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定點(diǎn)，，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的的最小值為_(kāi)_____.14．已知橢圓的右頂點(diǎn)為P，右焦點(diǎn)F與拋物線的焦點(diǎn)重合，的頂點(diǎn)與的中心O重合.若與相交于點(diǎn)A，B，且四邊形為菱形，則的離心率為_(kāi)__________.15．已知等比數(shù)列滿足，，公比，則的前2021項(xiàng)和______16．直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖，已知三棱錐的側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，是的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求點(diǎn)到面的距離.（3）求二面角的平面角的正切值.19．（12分）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知，且.（1）求的面積；（2）若a、b、c成等差數(shù)列，求b的值.20．（12分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓：（）上，，為橢圓左、右焦點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足，且點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)的圓（1）求橢圓方程；（2）過(guò)點(diǎn)，分別作平行直線和，設(shè)交橢圓于點(diǎn)，，交橢圓于點(diǎn)，，求四邊形的面積的最大值21．（12分）某公司從2020年初起生產(chǎn)某種高科技產(chǎn)品，初始投入資金為1000萬(wàn)元，到年底資金增長(zhǎng)50%.預(yù)計(jì)以后每年資金增長(zhǎng)率與第一年相同，但每年年底公司要扣除消費(fèi)資金x萬(wàn)元，余下資金再投入下一年的生產(chǎn).設(shè)第n年年底扣除消費(fèi)資金后的剩余資金為萬(wàn)元.（1）用x表示，，并寫(xiě)出與的關(guān)系式；.（2）若企業(yè)希望經(jīng)過(guò)5年后，使企業(yè)剩余資金達(dá)3000萬(wàn)元，試確定每年年底扣除的消費(fèi)資金x的值（精確到萬(wàn)元）.22．（10分）已知函數(shù)（a為常數(shù)）（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題意求出，進(jìn)而根據(jù)橢圓的性質(zhì)求得答案.【詳解】橢圓方程化為：，則，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，短軸長(zhǎng)為4，離心率，x的取值范圍是.即A錯(cuò)誤，B,C,D正確.故選：A.2、C【解析】寫(xiě)出數(shù)列前幾項(xiàng)，觀察規(guī)律，找到數(shù)列變化的周期，再依次去判斷各項(xiàng)的說(shuō)法即可解決.【詳解】數(shù)列中，，，，則此數(shù)列為1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，…即數(shù)列的各項(xiàng)是周期為6數(shù)值循環(huán)重復(fù)的一列數(shù)，選項(xiàng)A：，，則.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由，可知當(dāng)時(shí)，.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：，則，即,,成等差數(shù)列.判斷正確；選項(xiàng)D：,,則，,即,,不能構(gòu)成等比數(shù)列.判斷錯(cuò)誤.故選：C3、B【解析】求得傾斜角的正切值即得【詳解】k=tan120°=.故選：B4、D【解析】利用空間向量的加、減運(yùn)算即可求解.詳解】由題意可得故選：D5、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是等差數(shù)列，公差為1，所以.故選：B6、B【解析】設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為，根據(jù)拋物線的定義可知，即可根據(jù)點(diǎn)到直線的距離最短求出【詳解】如圖所示：設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為，準(zhǔn)線方程為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為故選：B7、D【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0得到a，b滿足的條件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因?yàn)樵趚=1處有極值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào)所以ab的最大值等于9故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等8、C【解析】，，若，則，項(xiàng)，符合條件，故選9、A【解析】求出、的值，可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：A.10、C【解析】由平面，直線與平面所成角的最大時(shí)，最小，也即最小，，由此可求得，從而得，得長(zhǎng)，然后取外心，作，取H為的中點(diǎn)，使得，則易得，求出的長(zhǎng)即為外接球半徑，從而可得面積【詳解】三棱錐中，平面，直線與平面所成角為，如圖所示；則，且的最大值是，，的最小值是，即A到的距離為，，，在中可得，又，，可得；取的外接圓圓心為，作，取H為的中點(diǎn)，使得，則易得，由，解得，，，，由勾股定理得，所以三棱錐的外接球的表面積是.【點(diǎn)睛】本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是確定球的球心，三棱錐的外接球心在過(guò)各面外心且與此面垂直的直線上11、A【解析】根據(jù)條件，利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a，短半軸長(zhǎng)b，半焦距c關(guān)系列式計(jì)算即得.【詳解】由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則半焦距c=2，于是得，解得，所以值為1.故選：A12、C【解析】利用向量法判斷平面與平面的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)槠矫?，的法向量分別為，，所以，即不垂直，則，不垂直，因?yàn)?，即即不平行，則，不平行，所以，相交但不垂直，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)橢圓的定義可知，化簡(jiǎn)并結(jié)合基本不等式可求的的最小值.【詳解】由題可知：點(diǎn)，是橢圓的焦點(diǎn)，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為，故答案為：.14、【解析】設(shè)拋物線的方程為得到，把代入橢圓的方程化簡(jiǎn)即得解.【詳解】設(shè)拋物線的方程為.由題得，代入橢圓的方程得，所以，所以，所以因?yàn)?，所?故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率常用的方法有：（1）公式法（根據(jù)已知求出代入離心率的公式即得解）；（2）方程法（直接由已知得到關(guān)于離心率的方程解方程即得解）.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.15、【解析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足，，公比，所以，故答案為：16、【解析】如圖，設(shè)，兩點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為，，過(guò)作的垂線，在三角形中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，利用在直角三角形中，求得，從而得出直線的斜率【詳解】解：如圖，當(dāng)在第一象限時(shí)，設(shè)，兩點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為，，過(guò)作的垂線，在三角形中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，由拋物線的定義可知：設(shè)，則，，，在直角三角形中，，所以，則直線的斜率；當(dāng)在第四象限時(shí)，同理可得，直線的斜率，綜上可得直線l的斜率為；故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】(1)求函數(shù)的定義域及導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)結(jié)合已知條件，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，極值結(jié)合零點(diǎn)存在性定理列不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒成立，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，上單調(diào)遞增，所以至多存一個(gè)零點(diǎn)，不符題意，故舍去.當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增；所以有極小值為構(gòu)造函數(shù)，恒成立，所以在單調(diào)遞減，注意到①當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符題意，舍去.②當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，的極小值為，又函數(shù)在單調(diào)遞減，所以在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)；，令，構(gòu)造函數(shù)，恒成立.在單調(diào)遞增，所以，即，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，所以在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)怡有兩個(gè)零點(diǎn)，即在上各有一個(gè)零點(diǎn).綜上，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).18、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）首先以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求；（2）首先求平面的法向量，再利用公式求解；（3）求平面的法向量為，先求，再求二面角的正切值.【詳解】（1）以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則有、、、.，，所以異面直線與所成角的余弦為（2）設(shè)平面的法向量為，則知：；知取，又，點(diǎn)到面的距離所以點(diǎn)到面的距離為.（3）（2）中已求平面的法向量，設(shè)平面的法向量為∵；∴取..設(shè)二面角的平面角為，則.【點(diǎn)睛】本題考查空間直角坐標(biāo)系求解空間角和點(diǎn)到平面的距離，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于中檔題型.19、（1）；（2）.【解析】（1）先利用數(shù)量積和余弦值得到，再利用面積公式計(jì)算即得結(jié)果；（2）根據(jù)等差數(shù)列得到，再結(jié)合余弦定理進(jìn)行運(yùn)算得到關(guān)于b的關(guān)系，求值即可.【詳解】（1）由得，所以，所以，所以，所以；（2）因?yàn)閍、b、c成等差數(shù)列，所以，由余弦定理得，即，解得.20、（1）；（2）【解析】(1)設(shè)點(diǎn)和，由題意可得點(diǎn)的軌跡方程，將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入T的方程計(jì)算出即可；(2)設(shè)的方程，和，聯(lián)立橢圓方程并消元得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，進(jìn)而求出和，根據(jù)平行線間的距離公式可得與的距離，得出所求四邊形面積的表達(dá)式，結(jié)合換元法和基本不等式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】解：（1）設(shè)點(diǎn)，，則點(diǎn)，，，∵，∴，∴，∵點(diǎn)在橢圓上，∴，即為點(diǎn)的軌跡方程又∵點(diǎn)的軌跡是過(guò)的圓，∴，解得，所以橢圓的方程為（2）由題意，可設(shè)的方程為，聯(lián)立方程，得設(shè)，，則，且，所以，同理，又與的距離為，所以，四邊形的面積為，令，則，且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立所以，四邊形的面積最大值為21、（1）；（2）x=348【解析】(1)根據(jù)題意直接得，，進(jìn)而歸納出；(2)由(1)可得，利用等比數(shù)列的求和公式可得，結(jié)合即可計(jì)算出d的值.【小問(wèn)1詳解】由題意知，，，；【小問(wèn)2詳解】由(1)可得，，則，所以，即，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元.故該企業(yè)每年年底扣除消費(fèi)資金為348萬(wàn)元時(shí)，5年后