專題09勾股定理（知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)串編）-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期核心考點(diǎn)(滬科版)

專題09勾股定理和性質(zhì)應(yīng)用【思維導(dǎo)圖】??知識(shí)點(diǎn)一：勾股定理◎考點(diǎn)1：用勾股定理解三角形例．（2022·浙江嘉興·八年級(jí)期末）如圖，在中，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，若，，則CD的長(zhǎng)度是（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．5【答案】C【解析】【分析】先利用勾股定理可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得．【詳解】解：在中，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題關(guān)鍵．練習(xí)1．（2022·山西太原·九年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC＝12，BD＝16，則菱形的高AE為（）A．9.6 B．4.8 C．10 D．5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理，可求出BC的長(zhǎng)，利用菱形的面積公式即可求出AE的長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，，，∴，AC、BD互相平分，∴，，在中，，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、面積、勾股定理等，熟練掌握并靈活應(yīng)用菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．練習(xí)2．（2021·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，小娜將一張長(zhǎng)為16cm，寬為12cm的長(zhǎng)方形紙（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3，CD=4，則剪去的直角三角形的斜邊長(zhǎng)為（）A．5cm B．12cm C．13cm D．15cm【答案】D【解析】【分析】先將不規(guī)則圖形補(bǔ)成長(zhǎng)方形，再利用勾股定理計(jì)算BC的長(zhǎng)度．【詳解】解：延長(zhǎng)AB、DC交于H點(diǎn)，由題意知：BH=12﹣3=9，CH=16﹣4=12，在Rt△BCH中，由勾股定理得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查再不規(guī)則圖形中應(yīng)用勾股定理，能夠在不規(guī)則圖形中構(gòu)造直角三角形并運(yùn)用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．練習(xí)3．（2022·貴州畢節(jié)·九年級(jí)期末）如圖，O是矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，E是邊的中點(diǎn)．若，則線段的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，利用三角形中位線定理可以得到，然后根據(jù)勾股定理可以得到BD的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到OC的長(zhǎng)．【詳解】解：∵在矩形ABCD中，，，O是矩形ABCD的對(duì)角線BD的中點(diǎn)，E是AB邊的中點(diǎn)，∴OE為的中位線，∴AD=2OE=6，，∴，∵點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線定理，矩形的性質(zhì)，利用勾股定理解三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．◎◎考點(diǎn)2：求兩點(diǎn)間的距離例．（2022·甘肅玉門·八年級(jí)期末）點(diǎn)P（－3，4）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是（

）A．3 B．4 C．－4 D．5【答案】D【解析】【分析】利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得．【詳解】解：點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間的距離公式，熟練掌握兩點(diǎn)之間的距離公式是解題關(guān)鍵．練習(xí)1．（2022·河北·寬城滿族自治縣教研室八年級(jí)期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是0，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是1，，垂足為B，且，以A為圓心，為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D表示的數(shù)為（

）A．2.2 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)同圓的半徑相等可知＝，再根據(jù)條件：點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是原點(diǎn)，可求出點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵，∴＝，∴，∵以為圓心，為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)表示的數(shù)是：．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，解題關(guān)鍵是利用勾股定理求出．練習(xí)2．（2021·湖南永興·八年級(jí)期末）關(guān)于點(diǎn)P（﹣3，4），下列說法正確的個(gè)數(shù)有（

）（1）點(diǎn)P到x軸的距離為4；（2）點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為﹣3；（3）點(diǎn)P在第四象限；（4）點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為5；（5）點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，﹣4）．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知點(diǎn)所在象限，畫出圖形，進(jìn)而分析得出答案．【詳解】解：如圖所示：（1）點(diǎn)P到x軸的距離為4，故（1）正確；（2）點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為3，故（2）錯(cuò)誤；（3）點(diǎn)P在第二象限，故（3）錯(cuò)誤；（4）點(diǎn)P到x軸的距離為4，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為3，根據(jù)勾股定理可得，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為5，故（4）正確；（5）點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，﹣4），故（5）正確．所以正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，正確確定P點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．練習(xí)3．（2021·廣西鳳山·八年級(jí)期末）點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是（

）A．5 B．7 C． D．【答案】A【解析】【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，由勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．，，，在中，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．◎◎考點(diǎn)3：勾股樹（數(shù)）問題例．（2022·福建省福州第十六中學(xué)八年級(jí)期末）在下列四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的一組是（

）A．15，8，7 B．4，5，6 C．24，25，7 D．5，12，13【答案】B【解析】【分析】利用勾股數(shù)的定義（勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)），最大數(shù)的平方=最小數(shù)的平方和，直接判斷即可．【詳解】解：A、，故A不符合題意．B、，故B符合題意．C、，故C不符合題意．D、，故D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了勾股數(shù)的判別，熟練掌握勾股數(shù)的定義，是求解該題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2022·甘肅會(huì)寧·八年級(jí)期末）下列各組數(shù)，是勾股數(shù)的是（

）A．，， B．0.3，0.4，0.5 C．6，7，8 D．5，12，13【答案】D【解析】【分析】根據(jù)能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，即可求解【詳解】解：A、不是正整數(shù)，則不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、不是正整數(shù)，則不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，則不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股數(shù)的定義，熟練掌握能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2021·江蘇灌云·八年級(jí)期中）下列各組數(shù)中，哪一組是勾股數(shù)（

）A．，， B．6，7，8 C．3，4，6 D．9，40，41【答案】D【解析】【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．【詳解】解：A、三個(gè)數(shù)都不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；B、62+72≠82，不是勾股數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；C、32+42≠62，不是勾股數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；D、92+402=412，三邊是整數(shù)，同時(shí)能構(gòu)成直角三角形，是勾股數(shù)，故該選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形．練習(xí)3．（2019·陜西·碑林區(qū)教育局八年級(jí)期中）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5C．7，24，25 D．，，【答案】C【解析】【分析】三個(gè)正整數(shù)，其中兩個(gè)較小的數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方，則這三個(gè)數(shù)就是勾股數(shù)，據(jù)此判斷即可．【詳解】解:A、22+32≠42，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、0.3，0.4，0.5不是正整數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、72+242＝252，故此選項(xiàng)正確；D、（）2+（）2≠（）2，同時(shí)它們也不是正整數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)的概念，一般是指能夠構(gòu)成直角三角形三條邊的三個(gè)正整數(shù)．驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，從而作出判斷．◎◎考點(diǎn)4：勾股定理與網(wǎng)格問題例．（2022·福建·福州華倫中學(xué)八年級(jí)期末）如圖所示，的頂點(diǎn)、、在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B．3 C．3.5 D．4【答案】B【解析】【分析】利用面積法求三角形的高即可．【詳解】解：∵BC＝5，AC＝＝5，∴S△ABC＝×BC×3＝×AC×BD，∴BD＝3，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．練習(xí)1．（2021·浙江龍灣·八年級(jí)期中）如圖所示的2×4的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，這樣的三角形稱為格點(diǎn)三角形，則點(diǎn)A到BC的距離等于（）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，由網(wǎng)格特征和勾股定理可得，的長(zhǎng)，再利即可求解．【詳解】解：如圖：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，由網(wǎng)格特征和勾股定理可得，，S△ABC＝BC?AD，，∴AD＝，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積的求法，結(jié)合網(wǎng)格的特點(diǎn)求出三角形的面積是解題關(guān)鍵．練習(xí)2．（2021·江蘇高郵·八年級(jí)期中）在如圖的方格中，ABC的頂點(diǎn)A、B、C都是方格線的交點(diǎn)，則三角形ABC的外角ACD的度數(shù)等于（

）A．130 B．140 C．135 D．145【答案】C【解析】【分析】由勾股定理的逆定理可得為等腰直角三角形，即可求解．【詳解】解，設(shè)每個(gè)小方格的長(zhǎng)為1由勾股定理可得，，∵，即，∴為等腰直角三角形∴，∴故選C【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理，得到為等腰直角三角形．練習(xí)3．（2021·福建省福州第十九中學(xué)八年級(jí)期中）在3×3的正方形方格中，∠1和∠2的位置和大小分別如圖所示，則∠1+∠2＝（）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【解析】【分析】通過構(gòu)建全等三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)果．【詳解】解：如圖所示：由作圖可知，∠1＝∠4，∠2＝∠3，AC＝BC，設(shè)正方形方格的邊長(zhǎng)為1，則；；∴∴△ABC為等腰直角三角形∴∠ACB＝90°，∴∠1+∠2＝∠CAB＝45°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等圖形，正確構(gòu)建等腰直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．◎◎考點(diǎn)5：勾股定理與折疊問題例．（2021·山東曹縣·三模）如圖，三角形紙片，，，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，沿過點(diǎn)E的直線折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕EF交BC于點(diǎn)F，，則BC的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由折疊的性質(zhì)可知，所以可求出，由直角三角形的性質(zhì)可知，所以的長(zhǎng)可求，再利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)E為中點(diǎn)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線與斜邊的關(guān)系以及勾股定理的運(yùn)用，求出是解題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2021·山東萊州·七年級(jí)期中）如圖，折疊長(zhǎng)方形ABCD紙片，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處（AE為折痕）．已知AB=8，BC=10，則EC等于（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出BF的長(zhǎng)；進(jìn)而求出FC的長(zhǎng)度；由題意得EF=DE；利用勾股定理列出關(guān)于EC的方程，解方程即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴DC=AB=8；∠B=∠C=90°；由題意得：AF=AD=BC=10，由勾股定理得：BF2=AF2AB2=10282，∴BF=6，∴CF=BCBF=106=4；設(shè)EF=DE=x，EC=8x；在Rt△EFC中，由勾股定理得：x2=42+（8x）2，解得：x=5，∴EF=DE=5，∴EC=CDDE=85=3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理；運(yùn)用勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2022·四川省成都市七中育才學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，長(zhǎng)方形中，，，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則的長(zhǎng)為（

）A．12 B．8 C．10 D．13【答案】D【解析】【分析】設(shè)BE為x，則AE為25x，在由勾股定理有，即可求得BE=13．【詳解】設(shè)BE為x，則DE為x，AE為25x∵四邊形為長(zhǎng)方形∴∠EAB=90°∴在中由勾股定理有即化簡(jiǎn)得解得故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題求折痕或其他邊長(zhǎng)，主要可根據(jù)折疊前后兩圖形的全等條件，把某個(gè)直角三角形的三邊都用同一未知量表示出來，并根據(jù)勾股定理建立方程，進(jìn)而可以求解．練習(xí)3．（2021·四川·達(dá)州中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，，，點(diǎn)E在BC邊上，將長(zhǎng)方形ABCD沿著AE折疊，使得點(diǎn)B恰好落在CD邊上，線段AE的長(zhǎng)度為（

）A．15 B．5 C．5 D．16【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，中可得，進(jìn)而可得，設(shè)，則，在中，勾股定理求得，即的值，進(jìn)而求得，在中，勾股定理即可求得的長(zhǎng)【詳解】四邊形是長(zhǎng)方形折疊中可得，設(shè)，則，在中，解得，在中，故選B【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與折疊問題，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．◎◎考點(diǎn)6：利用勾股定理證明線段平方關(guān)系例．（2021·江蘇興化·八年級(jí)期中）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，連接AE、CE．若AB=5，BC=3，則AE2CE2等于(

)A．7 B．9 C．16 D．25【答案】C【解析】【分析】連接AC，與BD交于點(diǎn)O，根據(jù)題意可得，在在與中，利用勾股定理可得，在在與中，繼續(xù)利用勾股定理可得，求解即可得．【詳解】解：如圖所示：連接AC，與BD交于點(diǎn)O，∵對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，∴，在中，，在中，，∴，在中，，在中，，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意，熟練運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．練習(xí)1．（2021·浙江·八年級(jí)期末）如圖，中，，點(diǎn)A向上平移后到，得到．下面說法錯(cuò)誤的是（

）A．的內(nèi)角和仍為B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理以及平移的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、△A′BC的內(nèi)角和仍為180°正確，故本選項(xiàng)正確，不合題意；B、∵∠BA′C＜90°，∠BAC=90°，∴∠BA′C＜∠BAC正確，故本選項(xiàng)正確，不合題意；C、由勾股定理，AB2+AC2=BC2，故本選項(xiàng)正確，不合題意；D、應(yīng)為A′B2+A′C2＞BC2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理，以及平移，熟記定理并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2020·陜西·榆林市第一中學(xué)分校八年級(jí)階段練習(xí)）下列敘述中，正確的是

A．直角三角形中，兩條邊的平方和等于第三邊的平方B．如果一個(gè)三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形C．中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則∠A=90oD．中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，若∠B=90o，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理及三角形對(duì)邊與對(duì)角的知識(shí)求解．【詳解】解：∵由勾股定理知，直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，而直角邊應(yīng)該都小于斜邊，所以直角三角形中，應(yīng)該是較小兩條邊的平方和等于第三邊的平方，∴A錯(cuò)誤；∵由勾股定理的逆定理可得：如果一個(gè)三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形，∴B正確；∵，∴c為斜邊，c的對(duì)角∠C=90o，∴C錯(cuò)誤；∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，∠B=90o，∴b為斜邊，∴，D錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及其逆定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，注意勾股定理是“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”，所以注意分清直角邊和斜邊及其所對(duì)角是解題關(guān)鍵．練習(xí)3．（2020·山西定襄·八年級(jí)期末）中，斜邊，為邊上的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、勾股定理解題即可．【詳解】中，斜邊，為邊上的中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、直角三角形勾股定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．◎◎考點(diǎn)7：勾股定理的證明方法例．（2022·廣東順德·八年級(jí)期末）下面圖形能夠驗(yàn)證勾股定理的有（）個(gè)A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【解析】【分析】分別計(jì)算圖形的面積進(jìn)行證明即可．【詳解】解：A、由可得，故該項(xiàng)的圖形能夠驗(yàn)證勾股定理；B、由可得，故該項(xiàng)的圖形能夠驗(yàn)證勾股定理；C、由可得，故該項(xiàng)的圖形能夠驗(yàn)證勾股定理；D、由可得，故該項(xiàng)的圖形能夠驗(yàn)證勾股定理；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了圖形與勾股定理的推導(dǎo)，熟記勾股定理的計(jì)算公式及各種圖形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）勾股定理與黃金分割并稱為幾何學(xué)中的兩大瑰寶勾股定理的發(fā)現(xiàn)可以稱為是數(shù)學(xué)史上的里程碑，2000多年來，人們對(duì)它進(jìn)行了大量的研究，至今已有幾百種證法．利用圖形中有關(guān)面積的等量關(guān)系可以證明勾股定理，利用如圖①的直角三角形紙片拼成的②③④⑤四個(gè)圖形中，可以證明勾股定理的圖形有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】【分析】利用面積與恒等式，②中矩形面積等于兩個(gè)直角三角形面積之和，都為ab，無法證明勾股定理；③中梯形面積等于兩個(gè)直角邊分別為a，b的直角三角形與一個(gè)直角邊為c的等腰直角三角形面積之和；④中大正方形的面積等于4個(gè)小直角三角形面積與一個(gè)小正方形面積之和；⑤中大正方形的面積等于4個(gè)小直角三角形面積與一個(gè)小正方形面積之和，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：②中矩形面積等于兩個(gè)直角三角形面積之和，都為ab，無法證明勾股定理；③中梯形面積等于兩個(gè)直角邊分別為a，b的直角三角形與一個(gè)直角邊為c的等腰直角三角形面積之和，即，整理得：，可以證得勾股定理；④中大正方形的面積等于4個(gè)小直角三角形面積與一個(gè)小正方形面積之和，即，整理得：，可以證得勾股定理；⑤中大正方形的面積等于4個(gè)小直角三角形面積與一個(gè)小正方形面積之和，即，整理得：，可以證得勾股定理；所以可以證明勾股定理的圖形有③④⑤，共3個(gè)．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的證明，熟練掌握梯形，正方形的面積的不同求法是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2021·河北·臨漳縣教育體育局教研室八年級(jí)期中）勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中不能證明勾股定理的是（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用兩個(gè)以a和b為直角邊三角形面積與一個(gè)直角邊為c的等腰直角三角形面積和等于上底為a,下第為b,高為(a+b)的梯形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷A，利用以a與b為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積與邊長(zhǎng)為c的小正方形面積和等于以a+b的和為邊正方形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷B，利用以a與（a+b）為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積與邊長(zhǎng)為b的小正方形面積和等于以c為邊正方形面積推導(dǎo)勾股定理可判斷C，利用四個(gè)小圖形面積和等于大正方形面積推導(dǎo)完全平方公式可判斷D．【詳解】解:A、兩個(gè)以a和b為直角邊三角形面積與一個(gè)直角邊為c的等腰直角三角形面積和等于上底為a,下第為b,高為(a+b)的梯形面積，故，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；B、以a與b為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積與邊長(zhǎng)為c的小正方形面積和等于以a+b的和為邊正方形面積，故，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；C、以a與（a+b）為兩直角邊四個(gè)全等三角形面積與邊長(zhǎng)為b的小正方形面積和等于以c為邊正方形面積，，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；D、四個(gè)小圖形面積和等于大正方形面積，，根據(jù)圖形證明完全平方公式，不能證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查利用面積推導(dǎo)勾股定理與完全平方公式，掌握利用面積推導(dǎo)勾股定理與完全平方公公式是關(guān)鍵．練習(xí)3．（2020·遼寧鐵嶺·八年級(jí)期中）如圖，兩個(gè)大正方形的面積分別為132和108；則小正方形M的面積為（

）A．240 B． C． D．24【答案】D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的驗(yàn)證可得即可得解；【詳解】根據(jù)勾股定理的驗(yàn)證可得：；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的驗(yàn)證，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．◎◎考點(diǎn)8：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題例．（2020·廣東·深圳市福田區(qū)第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在底面半徑為2，（π取3）高為8的圓柱體上有只小蟲子在A點(diǎn)，它想爬到B點(diǎn)，則爬行的最短路程是（）A．10 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】【分析】若螞蟻從側(cè)表面從A爬行到B，首先將此圓柱展成平面圖，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，可得AB最短，由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程．【詳解】若螞蟻從側(cè)表面從A爬行到B，將此圓柱展成平面圖得：∵圓柱的高等于8，底面半徑為2（π=3），∴AC=8，BC==4π=6，∴AB=10．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，螞蟻從側(cè)表面從A爬行到B最短路徑為10．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開圖求最短路徑問題，將圓柱體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解答是解題關(guān)鍵．練習(xí)1．（2022·福建泉港·八年級(jí)期末）如圖，在長(zhǎng)為3，寬為2，高為1的長(zhǎng)方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著長(zhǎng)方體的表面爬行到頂點(diǎn)B，那么它爬行的最短路程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】螞蟻有三種爬法，就是把正視和俯視（或正視和側(cè)視）二個(gè)面展平成一個(gè)長(zhǎng)方形，然后求其對(duì)角線，比較大小即可求得最短路程．【詳解】如圖所示，路徑一：AB；路徑二：AB．路徑三：AB=∵18＜20＜26∴，∴螞蟻爬行的最短路程為．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了立體圖形中的最短路線問題；通常應(yīng)把立體幾何中的最短路線問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的求兩點(diǎn)間距離的問題；注意長(zhǎng)方體展開圖形應(yīng)分情況進(jìn)行探討．練習(xí)2．（2021·山東濟(jì)陽·八年級(jí)期中）如圖，已知釣魚竿的長(zhǎng)為，露在水面上的魚線長(zhǎng)為，某釣魚者想看看魚鉤上的情況，把魚竿轉(zhuǎn)動(dòng)到的位置，此時(shí)露在水面上的魚線為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理分別求出AB和AB′，再根據(jù)BB′=ABAB′即可得出答案．【詳解】解：∵AC=10m，BC=6m，∠ABC=90°，∴AB=m，∵AC′=10m，B′C′=8m，∠AB′C′=90°，∴AB′=m，∴BB′=ABAB′=2m；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知條件求出AB和AB′是解題的關(guān)鍵．練習(xí)3．（2021·吉林朝陽·八年級(jí)期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是，內(nèi)壁高．若這支鉛筆長(zhǎng)為，則這只鉛筆在筆筒外面部分長(zhǎng)度不可能的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】當(dāng)鉛筆不垂直于底面放置時(shí)，利用勾股定理可求得鉛筆露出筆筒部分的最小長(zhǎng)度；考慮當(dāng)鉛筆垂直于筆筒底面放置時(shí)，鉛筆在筆筒外面部分的長(zhǎng)度是露出的最大長(zhǎng)度；從而可確定答案．【詳解】當(dāng)鉛筆不垂直于底面放置時(shí)，由勾股定理得：，則鉛筆在筆筒外部分的最小長(zhǎng)度為：18?15=3(cm)；當(dāng)鉛筆垂直于筆筒底面放置時(shí)，鉛筆在筆筒外面部分的長(zhǎng)度為18?12=6（cm），即鉛筆在筆筒外面最長(zhǎng)不超過6cm，從而鉛筆露出筆筒部分的長(zhǎng)度不短于3cm，不超過6cm．所以前三項(xiàng)均符合題意，只有D選項(xiàng)不符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，分別考慮兩種極端情況，問題即解決．◎◎考點(diǎn)9：勾股定理與無理數(shù)例．（2022·江蘇海州·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣2，3），以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)P的長(zhǎng)為半徑畫弧，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)介于（

）A．﹣4和﹣3之間 B．﹣5和﹣4之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣2，3），可得，從而得到點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，再由，可得，即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣2，3），∴，∴，∵點(diǎn)A為x軸的負(fù)半軸，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，∵，∴，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)介于﹣4和﹣3之間．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，無理數(shù)的估算，勾股定理，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2022·貴州畢節(jié)·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫弧，交x軸正半軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C表示的實(shí)數(shù)介于（

）A．1到2之間 B．2到3之間 C．3到4之間 D．4到5之間【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)求出OA，OB的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，即可得出OC的長(zhǎng)，再比較無理數(shù)的大小確定點(diǎn)C表示的實(shí)數(shù)介于哪個(gè)區(qū)間即可．【詳解】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，∴，，在中，由勾股定理得：，∴，∴OC=1+2∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∵即，∴，即點(diǎn)C的表示的實(shí)數(shù)介于2和3之間，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)軸上表示無理數(shù)的方法及勾股定理，無理數(shù)大小比較的方法，熟練掌握無理數(shù)的表示及比較大小的方法是解題關(guān)鍵．練習(xí)2．（2021·重慶市實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)C所表示的數(shù)是（）A． B．﹣ C．1﹣ D．﹣【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)為，根據(jù)弧的半徑相等得AC＝AB＝，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離求得點(diǎn)C表示的數(shù)．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得：，∴AC＝AB＝，∴點(diǎn)C表示的數(shù)是1﹣．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)．練習(xí)3．（2021·浙江諸暨·八年級(jí)期中）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別為0，2，BC⊥AB于點(diǎn)B，且BC＝1．連接AC，在AC上截取CD＝BC，以點(diǎn)A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段AB于點(diǎn)E，則點(diǎn)E表示的實(shí)數(shù)是（）A．2 B．+1 C．2 D．﹣1【答案】D【解析】【分析】由題意可知，CD=CB=1，AD=AE，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，即可得到AE的長(zhǎng).【詳解】由題意可得CD=CB=1，AD=AE，∵點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別為0，2，∴AB=2，∵BC⊥AB，∴∠ABC=90°，∴，∴，∴E表示的數(shù)為：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和數(shù)軸，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.??知識(shí)點(diǎn)二：勾股定理的應(yīng)用◎考點(diǎn)10：梯子滑落高度例．（2021·湖北荊門外語學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，一個(gè)梯子斜靠在一豎直的墻AO上，測(cè)得AO＝4m，若梯子的頂端沿墻下滑1m，這時(shí)梯子的底端也下滑1m，則梯子AB的長(zhǎng)度為（）A．5m B．6m C．3m D．7m【答案】A【解析】【分析】設(shè)BO＝xm，利用勾股定理用x表示出AB和CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出x的值，然后由勾股定理求出AB的長(zhǎng)度．【詳解】解：設(shè)BO＝xm，由題意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2，在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2，∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2，解得：x＝3，，即梯子AB的長(zhǎng)為5m，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2021·浙江·九年級(jí)期末）如圖，，一架云梯長(zhǎng)為25米，頂端A靠在墻上，此時(shí)云梯底端B與墻角C距離為7米，云梯滑動(dòng)后停在的位置上，測(cè)得長(zhǎng)為4米，則云梯底端B在水平方向滑動(dòng)的距離為（

）A．4米 B．6米 C．8米 D．10米【答案】C【解析】【分析】由題意知，AB=DE=25米，CB=7米，則在直角△ABC中，根據(jù)AB，BC可以求AC，在直角△CDE中，可以求CE，則BD=DCBD即為題目要求的距離．【詳解】解：在直角中，已知米，米，米，在直角中，已知米，米，米，米，米，米故云梯底端在水平方向滑動(dòng)了8米，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，本題中在直角△ABC中和直角△CDE中分別運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2021·廣東·汕頭市龍湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為5m，梯子的頂端B到地面的距離為12m，現(xiàn)將梯子的底端A向外移動(dòng)到A'，使梯子的底端A'到墻根O的距離等于6m，同時(shí)梯子的頂端B下降至B'，那么BB'（）A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m【答案】A【解析】【分析】在Rt△AOB中依據(jù)勾股定理可知AB2＝169，在Rt△A′OB′中依據(jù)勾股定理可求得OB′的長(zhǎng)，從而可求得BB′的長(zhǎng)．【詳解】解：在Rt△AOB中，由勾股定理可知AB2＝AO2＋OB2＝169，在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2＝A′O2＋OB′2．∵AB＝A′B′，∴A′O2＋OB′2＝169，∴OB′＝=，∴BB′＝OB?OB′＝12?＜1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．練習(xí)3．（2020·浙江·八年級(jí)期末）如圖，斜靠在墻上的一根竹竿，，．若端沿地面方向外，則端沿垂直于地面方向下移（

）A．等于 B．小于 C．大于 D．不確定【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理求出OA，然后根據(jù)平移的性質(zhì)求出OD和CD，再利用勾股定理求出OC，即可求出AC，最后比較大小即可得出結(jié)論．【詳解】解：由勾股定理可得OA=∵端沿地面方向外，∴OD=OB＋BD=，CD=AB=5由勾股定理可得OC=∴AC=OA－OC=（4－）m即端沿垂直于地面方向下移（4－）m∵（4－）m＜故選B．【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理和實(shí)數(shù)的比較大小是解決此題的關(guān)鍵．◎◎考點(diǎn)11：求旗桿高度例．（2021·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，要從電線桿離地面處向地面拉一條長(zhǎng)為的鋼纜．則地面鋼纜固定點(diǎn)A到電線桿底部點(diǎn)B的距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】標(biāo)注點(diǎn)，根據(jù)電線桿與地面垂直得，由題意得、，利用勾股定理求得的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖：地面鋼纜固定點(diǎn)到電桿底部的距離為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題．練習(xí)1．（2021·河南鄢陵·八年級(jí)期末）如圖，數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1），同學(xué)們首先測(cè)量了多出的這段繩子長(zhǎng)度為1米，再將繩子拉直（如圖2），測(cè)出繩子末端C到旗桿底部B的距離為5米，則旗杅的高度為（）米．A．5 B．12 C．13 D．17【答案】B【解析】【分析】因?yàn)槠鞐U、繩子、地面正好構(gòu)成直角三角形，設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子的長(zhǎng)度為（x+1）米，根據(jù)勾股定理即可求得旗桿的高度．【詳解】解：設(shè)旗桿的高度AB為x米，則繩子AC的長(zhǎng)度為（x+1）米，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗桿的高度為12米．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，理解題意設(shè)未知數(shù)列方程是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2021·北京海淀·八年級(jí)期末）如圖，在實(shí)踐活動(dòng)課上，小華打算測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，她發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面后還多出1，當(dāng)她把繩子斜拉直，且使繩子的底端剛好接觸地面時(shí)，測(cè)得繩子底端距離旗桿底部5，由此可計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度是（

）A．8m B．10m C．12m D．15m【答案】C【解析】【分析】由題可知，旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，用勾股定理即可解答．【詳解】解：設(shè)旗桿的長(zhǎng)度為xm，則繩子的長(zhǎng)度為：（x+1）m，如圖，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2，解得：x=12，∴旗桿的高度為12m．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意得出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．練習(xí)3．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為了測(cè)算出學(xué)校旗桿的高度，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在與旗桿等長(zhǎng)的地方打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子底端拉到離旗桿底端5米的地面某處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約1米，則旗桿的高度是（

）

A．12 B．13 C．15 D．24【答案】A【解析】【分析】設(shè)旗桿的高度為m，則ACm，AB=m，BC=5，利用勾股定理即可解答．【詳解】設(shè)旗桿的高度為m，則ACm，AB=m，BC=5m，在中，解得：故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖，利用勾股定理與方程的結(jié)合解決實(shí)際問題．◎◎考點(diǎn)12：求大樹折斷前的高度例．（2021·廣東·深圳市新華中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，一棵大樹（樹干與地面垂直）在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面6米B處折斷倒下，倒下后的樹頂C與樹根A的距離為8米，則這棵大樹在折斷前的高度為（

）A．10米 B．12米 C．14米 D．16米【答案】D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求解即可，，進(jìn)而可得即這棵大樹在折斷前的高度．【詳解】根據(jù)題意，米米故選D【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2021·河南通許·九年級(jí)期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題目∶“今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索盡．問索長(zhǎng)幾何?”譯文為“今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順著木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽著繩索沿地面退行，在離木柱根部8尺處時(shí)，繩索用盡．問繩索長(zhǎng)是多少?”示意圖如圖所示，設(shè)繩索AC的長(zhǎng)為x尺，根據(jù)題意，可列方程為（

）A．x2（x+3）2=82 B．x2（x3）2=82 C．（x+3）x2=82 D．（x3）2x2=82【答案】B【解析】【分析】設(shè)繩索的長(zhǎng)為尺，則木柱的長(zhǎng)為尺，在中，根據(jù)勾股定理即可列出方程即可．【詳解】解：設(shè)繩索的長(zhǎng)為尺，則木柱的長(zhǎng)為尺，在中，由勾股定理得，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟記直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2021·福建·古田縣新城初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，“今有竹高兩丈五尺，末折抵地，去本五尺，問折者高幾何？”意思是：一根竹子，原來高兩丈五尺（一丈為十尺），蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子根部五尺遠(yuǎn)，則折斷處離地面的高度為（

）A．5尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺【答案】B【解析】【分析】由題意可作一個(gè)直角三角形ABC，設(shè)AC長(zhǎng)為x尺，則BC長(zhǎng)為（25?x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理列出方程即可解決問題．【詳解】解：如圖：由題意可知AB＝5尺，設(shè)AC長(zhǎng)為x尺，則BC長(zhǎng)為（25?x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＋AB2＝BC2，則x2＋52＝（25?x）2，解得：x＝12，即AC＝12尺，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際運(yùn)用，讀懂題意，畫出圖形運(yùn)用方程思想是解題的關(guān)鍵．練習(xí)3．（2021·陜西長(zhǎng)安·八年級(jí)期中）一根竹子高一丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端6尺處，折斷處離地面的高度是多少？（這是我國(guó)古代《九章算術(shù)》中的“折竹抵地問題．其中的丈、尺是長(zhǎng)度單位，一丈＝10尺）設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（

）A．x2＋62＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2C．x2＋6＝（10﹣x）2 D．x2﹣6＝（10﹣x）2【答案】A【解析】【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面的高度是x尺，則斜邊為（10x）尺．利用勾股定理解題即可．【詳解】解：1丈=10尺，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則斜邊為（10x）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+62=（10x）2，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理解題．◎◎考點(diǎn)13：水杯中的筷子問題例．（2021·陜西涇陽·八年級(jí)期中）如圖，將一根長(zhǎng)30cm的筷子，置于底面直徑為10cm，高24cm的裝滿水的無蓋圓柱形水杯中，設(shè)筷子浸沒在杯子里面的長(zhǎng)度為hcm，則h的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】當(dāng)筷子的底端在A點(diǎn)時(shí)，筷子浸沒在杯子里面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)；當(dāng)筷子的底端在D點(diǎn)時(shí)，筷子浸沒在杯子里面的長(zhǎng)度最短．然后分別利用已知條件根據(jù)勾股定理即可求出h的取值范圍．【詳解】解：如圖，當(dāng)筷子的底端在D點(diǎn)時(shí)，筷子浸沒在杯子里面的長(zhǎng)度最短，∴h＝BD＝24（cm）；當(dāng)筷子的底端在A點(diǎn)時(shí)，筷子浸沒在杯子里面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，在Rt△ABD中，AD＝10cm，BD＝24cm，∴AB＝（cm），所以h的取值范圍是：24cm≤h≤26cm．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，能夠讀懂題意和求出h的值最大值與最小值是解題關(guān)鍵．練習(xí)1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，玻璃杯的底面半徑為3cm，高為8cm，有一只長(zhǎng)12cm的吸管任意斜放于杯中，則吸管露出杯口外的長(zhǎng)度至少為（

）cmA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】吸管露出杯口外的長(zhǎng)度最少，即在杯內(nèi)最長(zhǎng)，可用勾股定理解答．【詳解】解：如圖：玻璃杯的底面半徑為3cm，高為8cm，∵CD＝6，AD＝8，∴BD＝cm，露出杯口外的長(zhǎng)度為＝12?10＝2cm，故選：B．【點(diǎn)睛】本題所述問題是一個(gè)生活中常見的問題，與勾股定理巧妙結(jié)合，可培養(yǎng)同學(xué)們解決實(shí)際問題的能力．練習(xí)2．（2021·山東鄒城·八年級(jí)期末）如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，求水的深度是（）尺A．8 B．10 C．13 D．12【答案】D【解析】【分析】如圖所示，設(shè)蘆葦?shù)拈L(zhǎng)為x尺，即BC=x尺，則AB=（x1）尺，AC=5尺，然后利用勾股定理求解即可得到答案.【詳解】解：設(shè)蘆葦?shù)拈L(zhǎng)為x尺，即BC=x尺，則AB=（x1）尺，AC=5尺由題意可得：∴解得∴尺故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.練習(xí)3．（2021·江蘇廣陵·八年級(jí)期末）如圖在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面的部分為1米，一陣風(fēng)吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面（即），已知紅蓮移動(dòng)的水平距離為3米，則湖水深為（

）A．米 B．3米 C．4米 D．12米【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得出水深、紅蓮移動(dòng)的水平距離及紅蓮的高度構(gòu)成一直角三角形，然后設(shè)出BC的長(zhǎng)度為h，分別表示出BD和CD的長(zhǎng)度，根據(jù)由勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：在Rt△BCD中，設(shè)BC=h，BD=AB=h+1，DC=3，∴由勾股定理得：，即，∴解得：h=4．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，能夠從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型是解決此題的關(guān)鍵．◎◎考點(diǎn)14：航海問題例．（2021·河南·南陽市第十三中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，甲漁船以8海里/時(shí)的速度離開港口O向東北方向航行，乙漁船以6海里/時(shí)的速度離開港口O向西北方向航行，他們同時(shí)出發(fā)，一個(gè)半小時(shí)后，甲、乙兩漁船相距（

）A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知∠AOB=90°，然后求出出發(fā)一個(gè)半小時(shí)后，OA=8×1.5=12海里，OB=6×1.5=9海里，最后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵甲漁船以8海里/時(shí)的速度離開港口O向東北方向航行，乙漁船以6海里/時(shí)的速度離開港口O向西北方向航行，∴∠AOB=90°，∴出發(fā)一個(gè)半小時(shí)后，OA=8×1.5=12海里，OB=6×1.5=9海里，∴海里，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能熟練掌握勾股定理．練習(xí)1．（2021·遼寧建昌·八年級(jí)期末）如圖，在一次測(cè)繪活動(dòng)中，某同學(xué)站在點(diǎn)A的位置觀測(cè)停放于B，C兩處的小船，測(cè)得船B在點(diǎn)A北偏東75°方向900米處，船C在點(diǎn)A南偏東15°方向1200米處，則船B與船C之間的距離為（

）A．1500m B．1200m C．1000m D．800m【答案】A【解析】【分析】由題意可知∠NAB=75°，∠SAC=15°，從而得到∠BAC=90°，然后利用勾股定理即可求出BC．【詳解】解：由題意可知∠NAB=75°，∠SAC=15°，∴∠BAC=90°，∵AB=900米，AC=1200米，∴BC==1500米．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，方位角，得到∠BAC=90°是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2021·廣西象州·八年級(jí)期中）如圖，一艘輪船以的速度從港口出發(fā)，向東北方向航行，另一艘輪船以的速度同時(shí)從港口出發(fā)，向東南方向航行，出發(fā)后，兩船的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】因?yàn)閮纱謩e沿東北及東南方向行駛，故∠BAC＝90°，設(shè)2小時(shí)后沿東北方向行駛的輪船到達(dá)B點(diǎn)，沿東南方向行駛的輪船到達(dá)C點(diǎn)，連接BC，利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵兩船分別沿東北及東南方向行駛，∴∠BAC＝90°，設(shè)2小時(shí)后沿東北方向行駛的輪船到達(dá)B點(diǎn)，沿東南方向行駛的輪船到達(dá)C點(diǎn)，連接BC，∵一輪船以8nmile/h的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以6nmile/h的速度同時(shí)從港口出發(fā)向東南方向航行，∴AB＝8×2＝16nmile，AC＝6×2＝12nmile，∵∠BAC＝90°，∴BC＝nmile．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意判斷出△ABC是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．練習(xí)3．（2021·河北灤州·二模）如圖，快艇從地出發(fā)，要到距離地10海里的地去，先沿北偏東70°方向走了8海里，到達(dá)地，然后再從地走了6海里到達(dá)地，此時(shí)快艇位于地的（

）．A．北偏東20°方向上B．北偏西20°方向上C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠ABC=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：∠ABE=110°，根據(jù)角的和差可得∠CBE=110°－90°=20°，繼而即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AC=10海里，AB=8海里，BC=6海里，根據(jù)勾股定理的逆定理可知，∴∠ABC=90°，∵∠DAB=70°，AD∥BE，∴∠ABE=110°，則∠CBE=110°－90°=20°，即點(diǎn)C在點(diǎn)B的北偏西20°方向上．故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、平行線的性質(zhì)、角的和差，解題的關(guān)鍵的利用勾股定理的逆定理求出∠ABC=90°．◎◎考點(diǎn)15：求河寬度例．（2021·山西潞城·八年級(jí)期末）如圖，原來從A村到B村，需要沿路A→C→B（）繞過兩地間的一片湖，在A，B間建好橋后，就可直接從A村到B村．已知，，那么，建好橋后從A村到B村比原來減少的路程為（）A．2km B．4km C．10km D．14km【答案】B【解析】【分析】直接利用勾股定理得出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：由題意可得：則打通隧道后從A村到B村比原來減少的路程為：（km）．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．練習(xí)1．（2020·黑龍江·哈爾濱市征儀路學(xué)校八年級(jí)期中）一條河的寬度處處相等，小強(qiáng)想從河的南岸橫游到北岸去，由于水流影響，小強(qiáng)上岸地點(diǎn)偏離目標(biāo)地點(diǎn)200m，他在水中實(shí)際游了520m，那么該河的寬度為（）A．440m B．460m C．480m D．500m【答案】C【解析】【分析】從實(shí)際問題中找出直角三角形，利用勾股定理解答即可．【詳解】解：根據(jù)已知數(shù)據(jù)，運(yùn)用勾股定理求得AB＝＝＝480m，答：該河流的寬度為480m．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，是實(shí)際問題但比較簡(jiǎn)單．練習(xí)2．（2019·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C偏離欲到達(dá)B點(diǎn)200m，結(jié)果他在水中實(shí)際游了520m，則該河流的寬度為（

）A．480mB．380mC．580m D．500m【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)：他的入水點(diǎn)和實(shí)際到達(dá)的點(diǎn)和應(yīng)到的點(diǎn)三個(gè)點(diǎn)組成了一個(gè)直角三角形．根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算．【詳解】在直角三角形ABC中，由已知得BC=200m，AB=520m，根據(jù)勾股定理，得AC=（m）故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，能夠從實(shí)際問題中抽象出幾何圖形，正確理解題意中涉及的數(shù)據(jù)，熟練運(yùn)用勾股定理計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵．練習(xí)3．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，公路互相垂直，公路的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開，若測(cè)得，，則M，C兩點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)度，然后利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1.2km，BC＝1.6km，由勾股定理得到：AB＝＝=2（km）．∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴MC＝AB＝1km．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．◎◎考點(diǎn)16：求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度例．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，在高為，坡面長(zhǎng)為的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)度至少需要（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】當(dāng)?shù)靥轰仢M樓梯時(shí)其長(zhǎng)度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據(jù)勾股定理求得水平寬度，然后求得地毯的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：由勾股定理得：樓梯的水平寬度==12，∵地毯鋪滿樓梯是其長(zhǎng)度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，地毯的長(zhǎng)度至少是12+5=17（米）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的知識(shí)，與實(shí)際生活相聯(lián)系，加深了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性．練習(xí)1．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別為9、3和1，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物．則這只螞蟻沿著臺(tái)階面爬行的最短路程是（

）A．6 B．8 C．9 D．15【答案】D【解析】【分析】此類題目只需要將其展開便可直觀的得出解題思路．將臺(tái)階展開得到的是一個(gè)矩形，螞蟻要從B點(diǎn)到A點(diǎn)的最短距離，便是矩形的對(duì)角線，利用勾股定理即可解出答案．【詳解】解：如圖，將臺(tái)階展開，因?yàn)锳C＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2＋BC2＝225，所以AB＝15，所以螞蟻爬行的最短線路為15．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理的應(yīng)用并能得出平面展開圖是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2021·甘肅·廣河縣回民第二中學(xué)八年級(jí)期中）在高5m，長(zhǎng)13m的一段臺(tái)階上鋪上地毯，臺(tái)階的剖面圖如圖所示，地毯的長(zhǎng)度至少需要（

）A．13m B．5m C．12m D．17m【答案】D【解析】【分析】地毯的長(zhǎng)是樓梯的豎直部分與水平部分的和，即AC與BC的和，在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理可求得BC的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】由勾股定理，，則地毯總長(zhǎng)為12+5=17（m），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解地毯的長(zhǎng)度的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．練習(xí)3．（2020·山東淄博·一模）地面上鋪設(shè)了長(zhǎng)為20cm，寬為10cm的地磚，長(zhǎng)方形地毯的位置如圖所示．那么地毯的長(zhǎng)度最接近多少？（）A．50cm B．100cm C．150cm D．200cm【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：觀察圖像可知，地毯長(zhǎng)可以看做是10個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)度之和，則斜邊=，∴長(zhǎng)方形地毯的長(zhǎng)為：10×10＝100≈141.4cm，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了生活中的平移現(xiàn)象，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．◎◎考點(diǎn)17：求臺(tái)風(fēng)是否受影響例．（2022·重慶·八年級(jí)期末）如圖，一艘船以40km/h的速度沿既定航線由西向東航行，途中接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，某臺(tái)風(fēng)中心正以20km/h的速度由南向北移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200km的圓形區(qū)域(包括邊界)都屬臺(tái)風(fēng)影響區(qū)，當(dāng)這艘輪船接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)時(shí)，它與臺(tái)風(fēng)中心的距離BC=500km，此時(shí)臺(tái)風(fēng)中心與輪船既定航線的最近距離BA=300km，如果這艘輪船會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么從接到警報(bào)開始，經(jīng)過(

)小時(shí)它就會(huì)進(jìn)入臺(tái)風(fēng)影響區(qū)A．10 B．7 C．6 D．12【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)題意結(jié)合題目條件畫出圖形，進(jìn)而利用勾股定理得出等式計(jì)算即可．【詳解】解：由題意，作圖如下：設(shè)x小時(shí)后，就進(jìn)入臺(tái)風(fēng)影響區(qū)，根據(jù)題意得出：CE=40x千米，BB′=20x千米，∵BC=500km，AB=300km，∴AC=400km，∴AE=40040x，AB′=30020x，∴AE2+AB′2=EB′2，即（40040x）2+（30020x）2=2002，解得：x1=，x2=（不符合題意，舍去）．故答案為：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題意得出關(guān)于x的等式是解題關(guān)鍵．練習(xí)1．（2011·湖北武漢·中考真題）如圖，鐵路MN和公路PQ在點(diǎn)O處交匯，∠QON=30°．公路上處距點(diǎn)米．如果火車行駛時(shí)，周圍米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響．那么火車在鐵路上沿方向以千米/時(shí)的速度行駛時(shí)，處受噪音影響的時(shí)間為（

）A．秒 B．秒 C．秒 D．秒【答案】B【解析】【分析】首先過點(diǎn)A作AD⊥MN，求出最短距離AD的長(zhǎng)度，然后在MN上去點(diǎn)E、F，是AE=AF=200，求出DE的長(zhǎng)度，根據(jù)DF=DE得出EF的長(zhǎng)度，然后計(jì)算出時(shí)間.【詳解】解：如圖：過點(diǎn)A作AC⊥ON，AB=AD=200米，∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=120米，當(dāng)火車到B點(diǎn)時(shí)對(duì)A處產(chǎn)生噪音影響，此時(shí)AB=200米，∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵72千米/小時(shí)=20米/秒，∴影響時(shí)間應(yīng)是：320÷20=16秒．故選B．練習(xí)2．（2018·河南洛龍·八年級(jí)期中）如圖，小蓓要趕上去實(shí)踐活動(dòng)基地的校車，她從點(diǎn)A知道校車自點(diǎn)B處沿x軸向原點(diǎn)O方向勻速駛來，她立即從A處搭一輛出租車，去截汽車．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0），汽車行駛速度與出租車相同，則小蓓最快截住汽車的坐標(biāo)為（）A．（3，0） B．（3.5，0） C．（，0） D．（5，0）【答案】C【解析】【分析】在D點(diǎn)小蓓與汽車相遇，則小蓓的行進(jìn)路線為AD，設(shè)OD＝x，在直角△ACD中，AD為斜邊，已知AC，CD，即可求AD，且BC＝OB﹣OC＝8，根據(jù)BD＝AD的