專(zhuān)題02三角函數(shù)值的相關(guān)計(jì)算與應(yīng)用（11大題型）（原卷版）2

專(zhuān)題02三角函數(shù)值的相關(guān)計(jì)算與應(yīng)用（11大題型）【題型目錄】題型一求特殊角的三角函數(shù)值題型二特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算題型三由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀題型四由計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值題型五根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)題型六已知角度比較三角函數(shù)值的大小題型七根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍題型八利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值題型九求證同角三角函數(shù)關(guān)系式題型十互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系題型十一三角函數(shù)綜合【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：特殊銳角三角比的值1.特殊銳角的三角比的值30°45°1160°3.通過(guò)觀察上面的表格，可以總結(jié)出：當(dāng)090，的正弦值隨著角度的增大而增大，的余弦值隨著角度的增大而減?。坏恼兄惦S著角度的增大而增大，的余切值隨著角度的增大而減?。窘?jīng)典例題一求特殊角的三角函數(shù)值】1．（22·23·杭州·中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)．若，則（

）

A． B． C． D．2．（22·23下·婁底·一模）定義一種運(yùn)算：，例如：當(dāng)，時(shí)，，則的值為()A． B． C． D．3．（22·23·榆林·三模）如圖，在菱形中，．點(diǎn)分別為四邊的中點(diǎn)，連接，則．

4．（22·23下·二模）小明在計(jì)算時(shí)，先對(duì)題目進(jìn)行了分析，請(qǐng)你根據(jù)他的思路填空：（1）原式中“”可以轉(zhuǎn)化為，的值為.（2）原式中“”的結(jié)果為；（3）原式中“”的結(jié)構(gòu)特征滿(mǎn)足某個(gè)乘法公式，該公式為；（4）原式的最終結(jié)果為1.5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式的值，其中；．【經(jīng)典例題二特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算】1．（22·23上·洛陽(yáng)·期末）下列計(jì)算錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）①；；③；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（22·23上·泰州·階段練習(xí)）下列各式中不成立的是（

）A． B．C． D．3．（2020上·萬(wàn)州·期中）計(jì)算：=．4（2022上·永州·期末）某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組在一次課外學(xué)習(xí)與探究中遇到一些新的數(shù)學(xué)符號(hào)，他們將其中某些材料摘錄如下：對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，用表示這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，例如，．請(qǐng)結(jié)合上述材料，求．5．（上海市閔行區(qū)20232024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）計(jì)算：【經(jīng)典例題三由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀】1．（22·23上·盤(pán)錦·期末）在中，、均為銳角，且，則是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形2．（2017下·蕪湖·一模）在ABC中，，則ABC一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形3．（22·23上·嘉峪關(guān)·期末）在中，，則的形狀是．4．（2021下·孝感·二模）如圖，在四邊形中，連接，，，．若，，則．5．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)，．點(diǎn)為軸上動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【經(jīng)典例題四由計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值】1．（2022·山東東營(yíng)·模擬預(yù)測(cè)）若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，其按鍵順序及結(jié)果如下：2yx3－16＝，按鍵的結(jié)果為m；2ndF64－2x2＝，按鍵的結(jié)果為n；9ab/c

2

－

cos

60＝，按鍵的結(jié)果為k．下列判斷正確的是（

）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k2．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）請(qǐng)從以下兩個(gè)小題中任選一個(gè)作答，若多選，則按第一題計(jì)分．A．若正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于140°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是．B．用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算：13××sin14°≈（結(jié)果精確到0.1）3．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）用計(jì)算器求下列各式的值（精確到0.0001）：(1)；(2)；(3)；(4)．【經(jīng)典例題五根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)】1．（22·23上·西安·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A為反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，B、C分別在x、y軸上，連接AB與y軸相交于點(diǎn)D，已知，且的面積為2，則k的值為（

）

A．2 B． C． D．42．（22·23下·九江·三模）如圖，已知在拋物線上有一點(diǎn)，軸于B點(diǎn)，連接，將繞O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的角度后，該三角形的A．B兩點(diǎn)中必有一個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上，這個(gè)角度是（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和軸正半軸上的點(diǎn)，．

(1)求這條拋物線的表達(dá)式；(2)聯(lián)結(jié)，求的度數(shù)；(3)聯(lián)結(jié)、、，若在坐標(biāo)軸上存在一點(diǎn)，使，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【經(jīng)典例題六已知角度比較三角函數(shù)值的大小】1．（2019上·淮北·階段練習(xí)）已知，那么銳角的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022上·邵陽(yáng)·期末）下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．若為銳角，則C．對(duì)于銳角，必有 D．若為銳角，則3．（2021春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）我們知道，銳角的三角函數(shù)值都是隨著銳角的確定而確定、變化而變化的，如圖所示.（1）試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的三角函數(shù)值的變化規(guī)律；（2）根據(jù)你探索到的規(guī)律，試分別比較，，，角的正弦，余弦，正切值的大小.【經(jīng)典例題七根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍】1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知，則銳角的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，E為AD上一點(diǎn)，若，則AB的最大值為．3．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）（1）如圖，銳角的正弦和余弦都隨著銳角的確定而確定，也隨著其變化而變化，試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的正弦值和余弦值的變化規(guī)律；（2）根據(jù)你探索到的規(guī)律，試比較，，，，，這些角的正弦值的大小和余弦值的大??；（3）比較大?。海ㄔ诳崭裉幪顚?xiě)“＜”或“>”或“=”）若，則___________；若，則__________；若，則__________；（4）利用互余的兩個(gè)角的正弦和余弦的關(guān)系，比較下列正弦值和余弦值的大?。海?，，．【經(jīng)典例題八利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值】1．（22·23·婁底·中考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書(shū)中，給出了這樣的一個(gè)結(jié)論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對(duì)的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022下·專(zhuān)題練習(xí)）已知，關(guān)于角的三角函數(shù)的命題有：①，②，③，④，其中是真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2022·湖南湘潭·?？家荒＃┩瑢W(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：，；，．例：．(1)試仿照例題，求出的值；(2)若已知銳角α滿(mǎn)足條件，求的值．【經(jīng)典例題九求證同角三角函數(shù)關(guān)系式】1．（2021春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，記作cotA＝.則下列關(guān)系式中不成立的是()A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosAC．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝12．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列結(jié)論中（其中，均為銳角），正確的是．（填序號(hào)）①；②；③當(dāng)時(shí)，；④．3．（2022春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，、、三邊的長(zhǎng)分別為、、，則，，．我們不難發(fā)現(xiàn)：，試探求、、之間存在的一般關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【經(jīng)典例題十互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系】1．（2022秋·廣西百色·九年級(jí)?？计谀┫铝惺阶又?，不成立的是（）A． B．C． D．2．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：，，，．例：．若已知銳角滿(mǎn)足條件，則．3．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)完成填空，再按要求答題．(1)；；．(2)觀察上述等式，猜想：在中，，都有；(3)如圖④，在中，，，，的對(duì)邊分別是，，，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理，證明你的猜想；(4)若，且，求的值．【經(jīng)典例題十一三角函數(shù)綜合】1．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形紙片中，E為的中點(diǎn)，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長(zhǎng)為（

）

A．3 B． C． D．2．（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)在正方形的邊上，的平分線交邊于點(diǎn)，連接，如果正方形的面積為12，且，那么的值為．3．（2022秋·江蘇徐州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖（1），中，于點(diǎn)D．由直角三角形邊角關(guān)系，可將三角形的面積公式變形為，即三角形的面積等于兩邊之長(zhǎng)與夾角正弦值之積的一半

如圖（2），在中，于點(diǎn)D，，，∵，由公式①，得，即：．(1)請(qǐng)證明等式：；(2)請(qǐng)利用結(jié)論求出的值．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（23·24上·廣元·階段練習(xí)）在中，，若，則的值為（）A． B． C． D．2．（23·24上·聊城·階段練習(xí)）在中，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．3．（22·23下·階段練習(xí)）如圖，中，，，，，則（）

A． B． C． D．4．（22·23下·恩施·一模）如圖，在矩形紙片中，E為的中點(diǎn)，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長(zhǎng)為（

）

A．3 B． C． D．5．（22·23下·西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，D為邊上一點(diǎn)，且，，，，于點(diǎn)E，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6．（23·24上·威海·階段練習(xí)）在中，，，，則邊的長(zhǎng)為．7．（22·23上·青島·階段練習(xí)）如圖（1）中，是一張正方形紙片，，分別為，的中點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)的折痕將翻折，使得點(diǎn)落在（）中上，折痕交于點(diǎn)，那么．

8．（22·23下·六安·二模）如圖，過(guò)原點(diǎn)，與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，已知，則弧的長(zhǎng)為．

9．（22·23下·咸陽(yáng)·二模）如圖，在中，，，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，在邊上截取，連接，則的最小值為．

10．（22·23下·張家口·一模）如圖，矩形紙片中，，，P為邊上一點(diǎn)，將沿折疊，得到．（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E落在上；（2）點(diǎn)E，F(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，若，則=．11．（22·23上·哈爾濱·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，于點(diǎn)D，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)G，點(diǎn)F在邊上．

(1)如圖l，，，求證：；(2)如圖2，，，求的值．四、計(jì)算題12．（23·24上·泰安·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．13．（23·24上·泰安·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)五、證明題14．（22·23上·徐州·階段練習(xí)）如圖（1），中，于點(diǎn)D．由直角三角形邊角關(guān)系，可將三角形的面積公式變形為，即三角形的面積等于兩邊之長(zhǎng)與夾角正弦值之積的一半

如圖