專題07用一元二次方程解決實際問題(增長率傳播數(shù)字營銷動態(tài)幾何與圖形有關(guān)的問題)（重點突圍）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊重難點專題提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）

專題07用一元二次方程解決實際問題(增長率、傳播、數(shù)字、營銷、動態(tài)幾何、與圖形有關(guān)的問題)考點一用一元二次方程解決增長率問題考點二用一元二次方程解決傳播問題考點三用一元二次方程解決數(shù)字問題考點四用一元二次方程解決營銷問題考點五用一元二次方程解決動態(tài)幾何問題考點六用一元二次方程解決與圖形有關(guān)的問題考點一用一元二次方程解決增長率問題例題：（2022·重慶·中考真題）小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設(shè)該快遞店攬件日平均增長率為，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】平均增長率為x，關(guān)系式為：第三天攬件量＝第一天攬件量×（1＋平均增長率）2，把相關(guān)數(shù)值代入即可．【詳解】解：由題意得：第一天攬件200件，第三天攬件242件，∴可列方程為：，故選：A．【點睛】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，得到三天的攬件量關(guān)系式是解決本題的突破點，難度一般．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南省實驗中學(xué)模擬預(yù)測）某市2020年底森林覆蓋率為45%．為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力開展植樹造林活動，2022年底森林覆蓋率將達(dá)到48%．如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為，那么，符合題意的方程是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用2022年底森林覆蓋率＝2020年底森林覆蓋率×（1+這兩年的森林覆蓋率年平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】依題意得：，即．故選：B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2022·河南·模擬預(yù)測）冰墩墩是2022年北京冬季奧運(yùn)會的吉祥物，其以國寶熊貓為原型設(shè)計創(chuàng)作，將熊貓憨態(tài)可掬的形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，體現(xiàn)了冬季冰雪運(yùn)動和現(xiàn)代科技的特點，一經(jīng)開售供不應(yīng)求．已知該款吉祥物在某電商平臺上2月4日的銷售量為5000個，2月5日和2月6日的總銷售量是22500個．若2月5日和6日較前一天的增長率均為x，則x滿足的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分別表示出2月5日和2月6日的銷量，進(jìn)而相加得出等式即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：2月5日的銷量為：5000（1+x），2月6日的銷量為：5000（1+x）（1+x）=5000（1+x）2，故5000（1+x）+5000（1+x）2=22500．故選：D．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，正確表示出2月5日和2月6日的銷量是解題關(guān)鍵．考點二用一元二次方程解決傳播問題例題：（2022·浙江杭州·八年級期中）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻持續(xù)蔓延，此肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有256人患新冠肺炎，設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x人，則根據(jù)題意可列出方程（

）A．x（1＋x）＝256 B．x＋（1＋x）2＝256C．x＋x（1＋x）＝256 D．1＋x＋x（1＋x）＝256【答案】D【解析】【分析】分別計算出每輪的人數(shù)，然后求和即可得出方程．【詳解】解：第一輪傳染x個人，一輪后的人數(shù)為（1+x）人；第二輪的人數(shù)為x(1+x)，兩輪的總?cè)藬?shù)為：1+x+x(1+x)=256，故選：D．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，列出相應(yīng)方程是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東棗莊·二模）有一個人患了流行性感冒，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流行性感冒，則每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)是______人．【答案】11【解析】【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，由題意可得，然后求解即可．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，由題意可得：，解得：（舍去），故答案為：11．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．2．（2022·安徽·合肥市第四十二中學(xué)八年級期中）某種流感病毒，若有一人患了這種流感，則在每輪傳染中一人將平均傳染x人．(1)現(xiàn)有一人患上這種流感，求第一輪傳染后患病的人數(shù)（用含x的代數(shù)式表示）；(2)在進(jìn)入第二輪傳染前，有兩位患者被及時隔高并治愈，問第二輪傳染后患病的人數(shù)會有21人嗎？【答案】(1)；(2)不會，理由見解析．【解析】【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了人，開始有一人患了流感，第一輪的傳染源就是這個人，他傳染了人，則第一輪后共有人患了流感；（2）第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染了人，因進(jìn)入第二輪傳染之前，有兩位患者被及時隔離并治愈，則第二輪后共有人患了流感，而此時患流感人數(shù)為21，根據(jù)這個等量關(guān)系列出方程若能求得正整數(shù)解即可會有21人患?。?1)解：由題意可知：第一輪傳染后患病的人數(shù)人，(2)解：設(shè)在每輪傳染中一人將平均傳給人，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，，∵，都不是正整數(shù)，∴第二輪傳染后共會有21人患病的情況不會發(fā)生．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)進(jìn)入第二輪傳染之前，有兩位患者被及時隔離并治愈列出方程并求解．考點三用一元二次方程解決數(shù)字問題例題：（2022·重慶南開中學(xué)三模）小北同學(xué)在學(xué)習(xí)了“一元二次方程”后，改編了蘇軾的詩詞《念奴嬌·赤壁懷古》：“大江東去浪海盡，千古風(fēng)流人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽同．哪位學(xué)子算得快，多少年華數(shù)周瑜？”大意為：“周瑜去世時年齡為兩位數(shù)，該數(shù)的十位數(shù)字比個位小3，個位的平方恰好等于該數(shù)．”若設(shè)周瑜去世時年齡的個位數(shù)字為x，則可列方程（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)周瑜去世時年齡的個位數(shù)字為x，則設(shè)周瑜去世時年齡的十位數(shù)字為x3，然后根據(jù)個位的平方恰好等于該數(shù)列出方程即可．【詳解】解：設(shè)周瑜去世時年齡的個位數(shù)字為x，則設(shè)周瑜去世時年齡的十位數(shù)字為x3，由題意得，故選：C．【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元二次方程，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·江西南昌·九年級階段練習(xí)）在2021年10月的日歷表上可以用一個方框圈出4個數(shù)（如圖所示），若圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為180，則這個最小數(shù)為______．【答案】10【解析】【分析】根據(jù)日歷表的特點，設(shè)最小的數(shù)為x，則最大的數(shù)為x+8，根據(jù)題意列出一元二次方程，然后解方程即可．【詳解】解：設(shè)最小的數(shù)為x，則最大的數(shù)為x+8，根據(jù)題意，得：x(x+8)=180，即x2+8x=180，配方，得：（x+4）2=196，直接開平方，得：x+4=±14，解得：x1=10，x2=﹣18（不符題意，舍去），∴這個最小數(shù)為10，故答案為：10．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，熟悉日歷表的特點，正確列出一元二次方程式解答的關(guān)鍵．2．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級階段練習(xí)）兩個連續(xù)整數(shù)的平方和為113，則這兩個連續(xù)整數(shù)為__________．【答案】7，8或8，7【解析】【分析】設(shè)較小的一個數(shù)為x，則另外一個數(shù)為（x+1），根據(jù)兩個數(shù)的平方和是313，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)較小的一個數(shù)為x，則另外一個數(shù)為（x+1），依題意，得：x2+（x+1）2=113，整理，得：x2+x56=0，解得：x1=7，x2=8，∴x+1=8或x+1=7．故答案為：7，8或8，7．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．考點四用一元二次方程解決營銷問題例題：（2022·浙江·長興縣教育研究中心八年級期末）2022年北京冬奧會吉祥物冰墩墩開售時，就深受大家的喜歡．某供應(yīng)商今年2月第一周購進(jìn)冰墩墩200個，因銷售量火爆，第三周購進(jìn)冰墩墩288個，若購進(jìn)冰墩墩數(shù)量的周平均增長率相同.(1)求今年2月第二周購進(jìn)冰墩墩多少個？(2)今年2月第一周，一個冰墩墩的售價定為100元，本周有m個冰墩墩沒有售完；從第二周開始，供應(yīng)商決定調(diào)整冰墩墩的售價，每個冰墩墩的售價在第一周的基礎(chǔ)上，下降m元；由于冬奧賽事的火熱進(jìn)行，到第二周結(jié)束購進(jìn)的冰墩墩全部售完，若這兩周的總銷售額為41500元，求m的值．【答案】(1)240個(2)10【解析】【分析】（1）設(shè)周平均增長率x，根據(jù)題意列出方程求解；（2）根據(jù)題意列出一元二次方程求解．(1)解：設(shè)周平均增長率x，根據(jù)題意得，解得，（舍去），所以（個）．答：今年2月第二周購進(jìn)冰墩墩240個；(2)解：根據(jù)題意得，解得，（舍去）．故．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，找出數(shù)量關(guān)系，列出方程是解答關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·安徽安慶·八年級期末）一款服裝每件進(jìn)價為80元，銷售價為120元時，每天可售出20件，為了擴(kuò)大銷售量，增加利潤，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件服裝降價1元，那么平均每天可多售出2件．(1)每件服裝降價多少元時，能讓利于顧客并且商家平均每天能贏利1200元．(2)商家能達(dá)到平均每天贏利1800元嗎？請說明你的理由．【答案】(1)20元(2)不可能每天盈利1800元，理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)每件童裝降價x元，則銷售量為（20+2x）件，根據(jù)總利潤＝每件利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)每件童裝降價y元，則銷售量為（20+2y）件，根據(jù)總利潤＝每件利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，由根的判別式Δ＜0可得出原方程無解，進(jìn)而即可得出不可能每天盈利1800元．(1)解：設(shè)每件服裝降價元，則銷售量為件，根據(jù)題意可得：，化簡得：，解得：，，又因為需要讓利于顧客，所以，答：每件服裝降價20元時，能讓利于顧客并且商家平均每天能贏利1200元．(2)解：設(shè)每件服裝降價元，根據(jù)題意可得：，化簡得：，∵，∴此方程無解．因此不可能每天盈利1800元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東·惠州一中八年級期末）某快餐店試銷某種套餐，每份套餐的成本為5元，該店每天固定支出費用為600元（不含套餐成本）．試銷一段時間后發(fā)現(xiàn)，若每份套餐售價不超過10元，每天可銷售400份；若每份套餐售價超過10元，每提高1元，每天的銷售量就減少40份．為了便于結(jié)算，每份套餐的售價x（元）取整數(shù)，用y（元）表示該店每天的利潤．(1)若每份套餐售價不超過10元．①試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；②若要使該店每天的利潤不少于800元，則每份套餐的售價應(yīng)為多少元？(2)該店把每份套餐的售價提高到10元以上，每天的利潤能否達(dá)到1560元？若不能，請說明理由；若能，求出每份套餐的售價應(yīng)定為多少元時，既能保證利潤又能吸引顧客？【答案】(1)①y＝400x﹣2600．（5＜x≤10），②9元或10元(2)能，套餐售價應(yīng)定為11元【解析】【分析】（1）①本題考查的是分段函數(shù)的知識點．當(dāng)5＜x≤10時，y＝400（x﹣5）﹣600；②根據(jù)利潤不少于800列不等式，解不等式，再根據(jù)x為整數(shù)即可得答案；（2）當(dāng)x＞10時，y＝（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，把y＝1560代入，并解答．(1)解：①y＝400（x﹣5）﹣600=400x﹣2600．（5＜x≤10）．②依題意得：400x﹣2600≥800，解得：x≥8.5，又∵5＜x≤10，∴8.5≤x≤10．∵且每份套餐的售價x（元）取整數(shù)，∴每份套餐的售價應(yīng)為9元或10元．(2)能，理由如下：依題意可知：每份套餐售價提高到10元以上時，y＝（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，當(dāng)y＝1560時，（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600＝1560，解得：x1＝11，x2＝14，為了保證凈收入又能吸引顧客，應(yīng)取x1＝11，即x2＝14不符合題意．故該套餐售價應(yīng)定為11元．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)的實際應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系．考點五用一元二次方程解決動態(tài)幾何問題例題：（2021·山西臨汾·九年級階段練習(xí)）已知：如圖所示，在中，，，，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．當(dāng)P、Q兩點中有一點到達(dá)終點，則同時停止運(yùn)動．（1）如果P、Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，的面積等于？（2）如果P、Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于？【答案】（1）1秒后△PBQ的面積等于4cm2；（2）3秒后，PQ的長度為；【解析】【分析】（1）設(shè)經(jīng)過x秒以后，△PBQ面積為4cm2，根據(jù)點P從A點開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，表示出BP和BQ的長可列方程求解；（2）利用勾股定理列出方程求解即可；【詳解】解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒以后，△PBQ面積為4cm2（0＜x≤3.5），此時AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，△PBQ面積為：，得，整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或x＝4（舍去）；答：1秒后△PBQ的面積等于4cm2；（2）設(shè)經(jīng)過t秒后，PQ的長度等于，由PQ2＝BP2+BQ2，即40＝（5﹣t）2+（2t）2，解得：t＝﹣1（舍去）或3．則3秒后，PQ的長度為；【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語“△PBQ的面積等于4cm2”“PQ的長度等于2cm”，得到等量關(guān)系，列出方程是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，點P以2cm/s的速度從頂點A出發(fā)沿折線A→B→C向點C運(yùn)動，同時點Q以1cm/s的速度從頂點C出發(fā)沿邊CD向點D運(yùn)動．當(dāng)其中一個動點到達(dá)末端停止運(yùn)動時，另一點也停止運(yùn)動．（1）兩動點運(yùn)動幾秒，使四邊形PBCQ的面積是矩形ABCD面積的？（2）是否存在某一時刻，點P與點Q之間的距離為cm？若存在，直接寫出運(yùn)動所需的時間為；若不存在，請說明理由．（3）直接寫出PQ長度的最小值．【答案】（1）；（2）或

；（3）2．【解析】【分析】（1）要使四邊形PBCQ的面積是矩形ABCD面積的，此時點P應(yīng)在AB上，才能構(gòu)成四邊形．根據(jù)路程=速度×?xí)r間，分別用t的代數(shù)式表示BP、CQ的長，再根據(jù)梯形的面積公式列方程求解；（2）根據(jù)勾股定理列方程即可，注意分情況考慮；（3）由（2）得到線段PQ2的關(guān)系式，然后利用二次根式的性質(zhì)，即可得到答案．【詳解】解：（1）設(shè)兩動點運(yùn)動t秒，使四邊形PBCQ的面積是矩形ABCD面積的

．根據(jù)題意，得BP=62t，CQ=t，矩形的面積是12．則有（t+62t）×2=2×6×，解得t=；（2）設(shè)兩動點經(jīng)過t秒使得點P與點Q之間的距離為

．①當(dāng)0＜t≤3時，如圖1，則有（62tt）2+4=5，解得t=或

；②當(dāng)3＜t≤4時，如圖2，則有（82t）2+t2=5，得方程5t232t+59=0，此時Δ＜0，此方程無解．綜上所述，當(dāng)t=或

時，點P與點Q之間的距離．故答案為：或

；（3）由（2）可知，①當(dāng)0＜t≤3時，；則時，PQ有最小值2；②當(dāng)3＜t≤4時，則時，PQ有最小值；∵；∴PQ長度的最小值為2．故答案為：2．【點睛】此題是一道動態(tài)題，有一定的難度，涉及到一元二次方程和勾股定理有關(guān)知識，注意分類討論思想的運(yùn)用．2．（2021·江蘇南京·九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm.點M從A點出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向B點運(yùn)動；同時點N從B點出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向C點運(yùn)動.當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點也停止運(yùn)動.設(shè)點M、N的運(yùn)動時間為t秒.（1）當(dāng)t為何值時，MN＝cm？（2）當(dāng)t為何值時，MN的長度最短，最短長度是多少？（3）當(dāng)t為何值時，△DMN為等腰三角形．【答案】（1）t＝1s或s；（2）t＝s；（3）t＝(8－)s或t＝(－18)s【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件得到AM＝tcm，BM＝（6－t）cm，N＝2tcm，NC＝(12－2t)cm，在Rt△MBN中，根據(jù)勾股定理計算即可；（2）根據(jù)勾股定理和要使MN的長度最短，只需要MN2的值最小值計算即可；（3）若△DMN為等腰三角形，有3種情況，當(dāng)DM＝MN，當(dāng)DM＝DN，當(dāng)MN＝DN，分別求解即可；【詳解】解：∵點M、N的運(yùn)動時間為t．點M從A點出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向B點運(yùn)動，同時點N從B點出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向C點運(yùn)動，AB＝6cm，BC＝12cm∴AM＝tcm，BM＝（6－t）cm，BN＝2tcm，NC＝(12－2t)cm．∵四邊形ABCD是矩形，∴△MBN、△DAM，△DNC都是直角三角形．（1）在Rt△MBN中，根據(jù)勾股定理得，BM2＋BN2＝MN2，即(6－t)2＋(2t)2＝()2,解得t1＝1，t2＝,∴當(dāng)t＝1s或s時，MN＝cm；（2）在Rt△MNB中，根據(jù)勾股定理，得，MN2＝BM2＋BN2，即MN2＝(6－t)2＋(2t)2，＝5(t－)2＋，要使MN的長度最短，只需要MN2的值最小值即可，即求5(t－)2＋的最小值．當(dāng)t＝s時，MN2的值最小，最小為．∴當(dāng)t＝s時，MN的長度最短，此時最短長度為cm．（3）在Rt△DAM，Rt△BMN和Rt△DNC中，根據(jù)勾股定理得，DM2＝DA2＋AM2，MN2＝BM2＋BN2，DN2＝NC2＋DC2．即DM2＝122＋t2，MN2＝(6－t)2＋(2t)2，DN2＝(12－2t)2＋62．若△DMN為等腰三角形，有3種情況：①當(dāng)DM＝MN，即DM2＝MN2時，t2＋122＝(6－t)2＋(2t)2，解得t1＝，t2＝；∵0≤t≤6，∴t1＝，t2＝均不合題意，舍去．②當(dāng)DM＝DN，即DM2＝DN2時，t2＋122＝(12－2t)2＋62，解得t1＝8－，t2＝8＋．∵0≤t≤6，t2＝8＋不合題意，舍去．③當(dāng)MN＝DN，即MN2＝DN2時，(6－t)2＋(2t)2＝(12－2t)2＋62，解得t1＝－18，t2＝－－18．∵0≤t≤6，t2＝－－18不合題意，舍去，綜上所述，當(dāng)t＝(8－)s時，△DMN為等腰三角形，當(dāng)t＝(－18)s時，△DMN為等腰三角形．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的求解，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．考點六用一元二次方程解決與圖形有關(guān)的問題例題：（2022·浙江·寧波市第七中學(xué)八年級期中）如圖，一塊長，寬的長方形空地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分栽種花草，且栽種花草的面積為，則道路的寬應(yīng)為_________m．【答案】2【解析】【分析】設(shè)道路的寬為xm，當(dāng)?shù)缆芬浦吝吘墪r花草面積為長方形，再由面積列方程求解即可；【詳解】解：設(shè)道路的寬為xm，由平移的性質(zhì)可得：花草的面積=（12x）（8x）=60，x220x+96=60，x220x+36=0，（x18）（x2）=0，x=18或x=2，∵x＜8，∴x=2，∴道路的寬應(yīng)為2m，故答案為：2；【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，利用平移的性質(zhì)求得花草面積是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·安徽省安慶市外國語學(xué)校八年級期中）如圖，利用一面墻（墻EF最長可利用28m），圍成一個矩形花園ABCD，與墻平行的一邊BC上要預(yù)留2m寬的入口（如圖中MN所示，不用砌墻），現(xiàn)有砌60m長的墻的材料．(1)當(dāng)矩形的長BC為多少米時，矩形花園的面積為300m2；(2)能否圍成面積為480m2的矩形花園，為什么？【答案】(1)當(dāng)矩形的長BC為12m時，矩形花園的面積為300m2(2)不能，理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)BC＝xm，則m，根據(jù)矩形花園的面積為300m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合墻EF最長可利用28m，即可得出結(jié)論．（2）不能圍成面積為480m2的矩形花園，設(shè)BC＝y(tǒng)m，則m，根據(jù)矩形花園的面積為480m2，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之即可得出y的值，再結(jié)合墻EF最長可利用28m，即可得出不能圍成面積為480m2的矩形花園．(1)解：設(shè)BC＝xm，則m，依題意得：，整理得：x262x＋600＝0，解得：，，又∵墻EF最長可利用28m，∴x＝12，答：當(dāng)矩形的長BC為12m時，矩形花園的面積為300m2．(2)不能圍成面積為480m2的矩形花園，理由如下：設(shè)BC＝y(tǒng)m，則m，依題意得：，整理得：y262y＋960＝0，解得：，，又∵墻EF最長可利用28m，∴，均不符合題意，舍去，∴不能圍成面積為480m2的矩形花園．【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用問題，審清題意，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)八年級期中）如圖，有長為24米的籬笆，一面利用墻（墻的最大長度a為10米）圍成的中間隔有一道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為x米．(1)若圍成花圃的面積為36平方米，求此時寬AB；(2)能圍成面積52平方米的花圃嗎？若能，請說明圍法；若不能請說明理由．【答案】(1)AB的長為6米(2)不能圍成面積52平方米的花圃，理由見解析【解析】【分析】（1）由籬笆的總長度可得出花圃的長AD為（24?3x）米，根據(jù)花圃面積為36平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合墻的最大可用長度a為10米，即可得出結(jié)論；（2）不能圍成面積為52平方米的花圃，根據(jù)花圃面積為52平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，由根的判別式Δ＝?48＜0，可得出該方程無實數(shù)根，即不能圍成面積為52平方米的花圃．(1)解:花圃的寬AB為x米，則BC＝（24﹣3x）米，∴﹣3x2+24x＝36，解得x1＝2，x2＝6，當(dāng)x＝2時，24﹣3x＝18＞15，不合題意，舍去；當(dāng)x＝6時，24﹣3x＝6＜15，符合題意，故AB的長為6米；(2)不能，理由如下：∴﹣3x2+24x＝52，整理得：3x2﹣24x+52＝0，∵△=242﹣4×3×52＜0，方程無實數(shù)根，∴不能圍成面積52平方米的花圃．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）牢記“當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根”．一、選擇題1．（2022·安徽合肥·八年級期末）電影《我和我的祖國》一上映就受到觀眾熱烈追捧，第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后累計票房收入達(dá)10億元．若設(shè)增長率為x，則根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)平均每天票房的增長率為x，根據(jù)三天后累計票房收入達(dá)10億元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)平均每天票房的增長率為x，根據(jù)題意得：3+3（1+x）+3（1+x）2=10．故選：D．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江寧波·八年級期末）一個同學(xué)經(jīng)過培訓(xùn)后會做某項實驗，回到班級后他先教會了x名同學(xué)，然后這名同學(xué)每人又教會了x名同學(xué)，這時恰好全班36人都會做這項實驗了．根據(jù)以上情景，可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)平均每一人教會x人，根據(jù)題意表示出全班會做實驗的人數(shù)，進(jìn)而得出答案．【詳解】設(shè)平均每一人教會x人，根據(jù)題意可得:1+x+x(1+x)=36，故選：B．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意表示出全班會做實驗的人數(shù)是解題關(guān)鍵．3．（2022·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校八年級期中）要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），計劃安排66場比賽，設(shè)應(yīng)邀請x個球隊參加比賽，根據(jù)題意，列出方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），x個球隊比賽總場數(shù)＝x(x?1)，由此可得出方程．【詳解】解：設(shè)邀請x個隊，每個隊都要賽（x?1）場，但兩隊之間只有一場比賽，由題意得，故選：D．【點睛】本題考查了由實際問題抽象一元二次方程的知識，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，得到總場數(shù)與球隊之間的關(guān)系．4．（2022·安徽合肥·八年級期末）某超市銷售一種商品，其進(jìn)價為每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，為讓利于民，超市采取降價措施，當(dāng)售價每千克降低1元時，每天銷量可增加50千克，若每天的利潤要達(dá)到5500元，則實際售價應(yīng)定為多少元？設(shè)售價每千克降低x元，可列方程為（

）A．（4530x）（300+50x）=5500 B．（x30）（300+50x）=5500C．（x30）[300+50（x45）]=5500 D．（45x）（300+50x）=5500【答案】A【解析】【分析】先求出每千克的售價為元，此時每天銷量為千克，再根據(jù)“利潤（售價進(jìn)價）每天銷量”建立方程即可得．【詳解】解：由題意可知，當(dāng)售價每千克降低元時，每千克的售價為元，此時每天銷量為千克，則可列方程為，故選：A．【點睛】本題考查了列一元二次方程，正確找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．（2022·浙江紹興·八年級期末）空地上有一段長為a米的舊墻MN，利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園（如圖1或圖2），已知木欄總長為40米，所圍成的菜園面積為S．下列說法錯誤的是（

）A．若a＝16，S＝196，則有一種圍法 B．若a＝20，S＝198，則有兩種圍法C．若a＝24，S＝198，則有兩種圍法 D．若a＝24，S＝200，則有一種圍法【答案】A【解析】【分析】分兩種情況討論：采用圖1圍法，圖2圍法，設(shè)矩形菜園的寬為x米，分別表示矩形的長，再利用矩形面積列方程，解方程，注意檢驗x的范圍，從而可得答案．【詳解】解：設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長為米，∴當(dāng)時，采用圖1圍法，則此時當(dāng)時，解得：此時都不符合題意，采用圖2圍法，如圖，此時矩形菜園的寬為x米，即則則所以長為米，結(jié)合可得

∴解得：經(jīng)檢驗不符合題意，綜上：若a＝16，S＝196，則沒有圍法，故A符合題意；設(shè)矩形菜園的寬為x米，則長為米，∴當(dāng)時，采用圖1圍法，則此時當(dāng)時，解得：經(jīng)檢驗符合題意；采用圖2圍法，如圖，此時矩形菜園的寬為x米，即則則所以長為米，結(jié)合可得

∴解得：經(jīng)檢驗符合題意，綜上：若a＝20，S＝198，則有兩種圍法，故B不符合題意；同理可得：C不符合題意，D不符合題意；故選A【點睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，表示圖2中矩形的長是解本題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·山東煙臺·八年級期末）小明在計算某數(shù)的平方時，將這個數(shù)的平方誤看成它的2倍，使答案少了35，則這個數(shù)為_________．【答案】7或5##或【解析】【分析】設(shè)這個數(shù)為x，根據(jù)這個數(shù)的平方2×這個數(shù)=35，列出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)這個數(shù)為x，根據(jù)題意得：，解得：或．故答案為：7或5．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程，是解題的關(guān)鍵．7．（2021·遼寧·盤錦市雙臺子區(qū)第一中學(xué)九年級期中）有一種流感病毒，剛開始有2人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有128人患流感，如果設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x個人，那么可列方程為________．【答案】2（1+x）2=128．【解析】【分析】此題的等量關(guān)系為：經(jīng)過兩輪傳染后的人數(shù)=128，列方程即可．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x個人，根據(jù)題意得：2（1+x）2=128．故答案為：2（1+x）2=128．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是得到兩輪傳染數(shù)量關(guān)系，從而可列方程求解．8．（山東省濟(jì)南市高新區(qū)20212022學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在一塊長11m，寬為7m的矩形空地內(nèi)修建三條寬度相等的小路，其余部分種植花草．若花草的種植面積為60m2，則小路寬為_____m．【答案】1【解析】【分析】設(shè)小路寬為xm，則種植花草部分的面積等于長為（11?x）m，寬為（7?x）m的矩形的面積，根據(jù)花草的種植面積為60m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小路寬為xm，則種植花草部分的面積等于長為（11?x）m，寬為（7?x）m的矩形的面積，依題意得：（11?x）（7?x）＝60，整理得：x2?18x＋17＝0，解得：x1＝1，x2＝17（不合題意，舍去），∴小路寬為1m．故答案為：1．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（2022·山東·煙臺市福山區(qū)教學(xué)研究中心八年級期中）如圖都是由同樣大小的小球按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律排列下去，第________個圖形共有465個小球．【答案】30【解析】【分析】觀察圖形，找出圖形變化的規(guī)律即可．【詳解】解：第1個圖中有1個小球，第2個圖中有3個小球，，第3上圖中有6個小球，，第4個圖中有10個小球，，……照此規(guī)律，第個圖中有個小球，當(dāng)時，解得：，（舍去），∴第30個圖形共有465個小球．故答案為：．【點睛】本題考查了規(guī)律型問題，涉及解一元二次方程．解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并找到小球個數(shù)的規(guī)律．10．（2021·湖北襄陽·一模）如圖，把長為40cm，寬30cm的長方形硬紙板，剪掉2個小正方形和2個小長方形（陰影部分即剪掉的部分），將剩余的部分折成一個有蓋的長方體盒子，且折成的長方體盒子的表面積為888cm2，則剪掉的小正方形邊長為_____cm（紙板的厚度忽略不計）．【答案】6【解析】【分析】設(shè)剪掉的小正方形邊長為xcm，則剪掉的小長方形的長為40＝20（cm），寬為xcm，利用折成的長方體盒子的表面積＝長方形硬紙板的面積﹣2×剪掉的小正方形的面積﹣2×剪掉的小長方形的面積，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)剪掉的小正方形邊長為xcm，則剪掉的小長方形的長為40＝20（cm），寬為xcm，依題意得：40×30﹣2x2﹣2×20x＝888，整理得：x2+20x﹣156＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣26（不合題意，舍去）．∴剪掉的小正方形邊長為6cm．故答案為：6．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2021·西藏·柳梧初級中學(xué)九年級期中）某種電腦病毒傳播速度非?？?，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有144臺電腦被感染．請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過1700臺？【答案】每輪感染中平均一臺電腦會感染11臺電腦.若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會超過1700臺【解析】【分析】設(shè)每輪感染中平均一臺會感染x臺電腦，則第一輪后共有（1+x）臺被感染，第二輪后共有（1+x）+x（1+x）即（1+x）2臺被感染，利用方程即可求出x的值，并且3輪后共有（1+x）3臺被感染，比較該數(shù)同1700的大小，即可作出判斷．【詳解】解：設(shè)每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦，由題可知，整理得，解得，（舍），則（1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3=（1+11）3=1728＞1700．答：每輪感染中平均一臺電腦會感染11臺電腦.若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會超過1700臺；【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．12．（2021·寧夏·吳忠市利通區(qū)扁擔(dān)溝中心學(xué)校九年級期中）新冠肺炎是一種傳染性很強(qiáng)的疾病．如果某鎮(zhèn)有一人不幸成為新冠肺炎病毒的攜帶者，假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人成為新冠病毒的攜帶者．(1)每個人每輪傳染多少人？(2)若不控制傳染渠道，經(jīng)過三輪傳染，共有多少人成為新冠病毒的攜帶者？【答案】(1)每個人每輪傳染12人．(2)共有2197人成為新冠病毒的攜帶者．【解析】【分析】（1）設(shè)每個人每輪傳染x人，由題意可列方程進(jìn)行求解；（2）由（1）可直接進(jìn)行求解．(1)解：設(shè)每個人每輪傳染x人，由題意得：，解得：（不符合題意，舍去），答：每個人每輪傳染12人．(2)解：由（1）可得：169×（1+12）=2197（人）；答：若不控制傳染渠道，經(jīng)過三輪傳染，共有2197人成為新冠病毒的攜帶者．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的傳播問題是解題的關(guān)鍵．13．（2022·浙江杭州·八年級期末）某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進(jìn)價為80元，銷售價為120元時，每天可售出20件．為了迎接“六一”兒童節(jié)，商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，以擴(kuò)大銷售量，增加利潤．據(jù)測算，每件童裝每降價1元，平均每天可多售出2件．設(shè)每件童裝降價元．(1)每天可銷售多少件，每件盈利多少元？（用含的代數(shù)式表示）(2)每件童裝降價多少元時，平均每天盈利1200元．(3)平均每天盈利能否達(dá)到2000元，請說明理由．【答案】(1)每天可銷售（20+2x）件，每件盈利（40x）元(2)每件童裝降價20元時，平均每天盈利1200元(3)平均每天盈利不能達(dá)到2000元，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出所求代數(shù)式即可；（2）根據(jù)每件盈利×每天銷售量=每天盈利列出方程求解即可；（3）根據(jù)單件利潤×銷售量=總利潤列出方程求解即可作出判斷．(1)解：由題意，每天可銷售（20+2x）件，每件盈利（40x）元；(2)解：由題意，（40x）（20+2x）=1200，整理，得：x230x+200=0，解得：x1=10，x2=20，∵適當(dāng)?shù)慕祪r措施，以擴(kuò)大銷售量，增加利潤，∴x=20，答：每件童裝降價20元時，平均每天盈利1200元．(3)解：平均每天盈利不能達(dá)到2000元，理由為：由（40x）（20+2x）=2000，整理，得：x230x+600=0，∵△=（30）24×1×600=1500＜0，∴所列方程無實數(shù)根，故平均每天盈利不能達(dá)到2000元．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵．14．（2022·浙江·溫州市第十二中學(xué)八年級期中）如圖，鋼球（不計大小）在一個光滑的“”型軌道上滾動（表面光滑，摩擦阻力不計），其中左側(cè)軌道長為，右側(cè)軌道長為．鋼球先由點靜止開始沿左側(cè)斜面滾下，速度每秒增加，到達(dá)底端后又沿著右側(cè)斜面向上滾動，速度每秒減少．（提示：在同一側(cè)斜面上，鋼球滾動的距離=平均速度時間，，其中表示開始的速度，表示秒時的速度．）(1)當(dāng)鋼球滾動時，它的速度為________，經(jīng)過的路程是________；(2)經(jīng)過幾秒，鋼球到最低點的距離為？【答案】(1)16，32(2)秒或秒【解析】【分析】（1）設(shè)當(dāng)鋼球從點滾動到點時，所滾動時間為，根據(jù)在同一側(cè)斜面上，鋼球滾動的距離的計算公式建立方程，解方程求出的值，由此即可得；（2）先求出鋼球在右側(cè)軌道的滾動速度等于0時，鋼球所滾動的時間為秒，再設(shè)經(jīng)過秒，鋼球到最低點的距離為，分①鋼球在左側(cè)軌道上和②鋼球在右側(cè)軌道上兩種情況，分別建立方程，解方程即可得．(1)解：設(shè)當(dāng)鋼球從點滾動到點時，所滾動時間為，則，解得或（不符題意，舍去），此時，所以當(dāng)鋼球滾動時，它的速度為，經(jīng)過的路程是，故答案為：16，32．(2)解：設(shè)經(jīng)過后，鋼球在右側(cè)軌道的滾動速度等于0，由（1）可知，當(dāng)鋼球從點滾動到點時，所滾動時間為，速度為，則，解得，設(shè)經(jīng)過秒，鋼球到最低點的距離為，由題意，分以下兩種情況：①當(dāng)鋼球在左側(cè)軌道上時，則，解得或（不符題意，舍去）；②當(dāng)鋼球在右側(cè)軌道上時，則，解得或（不符題意，舍去），綜上，經(jīng)過秒或秒，鋼球到最低點的距離為．【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，較難的是題（2），分兩種情況討論，并正確建立方程是解題關(guān)鍵．15．（2022·江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校八年級期末）某地農(nóng)產(chǎn)品專賣店收購了一種非常受歡迎的土特產(chǎn)，該店以80元/千克收購了這種土特產(chǎn)千克，若立即銷往外地，每千克可以獲利20元．根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種土特產(chǎn)的銷售單價每天上漲0.4元/千克，為了獲得更大利潤，該店決定先貯藏一段時間后再出售．根據(jù)以往經(jīng)驗，這批土特產(chǎn)的貯藏時間不宜超過天，在貯藏過程中平均每天損耗5千克．(1)若商家將這批土特產(chǎn)貯藏天后一次性出售，請完成下列表格：每千克土特產(chǎn)售價（單位：元）可供出售的土特產(chǎn)質(zhì)量（單位：千克）現(xiàn)在出售

2000天后出售

(2)將這批土特產(chǎn)貯藏多少天后一次性出售最終可獲得總利潤50000元？【答案】(1)100；（100+0.4x）；（20005x）(2)50【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，若立即出售，則每千克土特產(chǎn)售價=每千克土特產(chǎn)進(jìn)價+每千克土特產(chǎn)利潤，可得立即出售的售價；由該種土特產(chǎn)的銷售單價每天上漲0.4元/千克，可得天后出售，每千克土特產(chǎn)售價為：（100+0.4x）元．同理可得，天后出售，可供出售的土特產(chǎn)的質(zhì)量為（20005x）千克．（2）設(shè)這批土特產(chǎn)貯藏x天后一次性出售最終可獲得總利潤50000元，根據(jù)總利潤=總銷售金額總成本，列出相應(yīng)方程，解方程，最后根據(jù)這批土特產(chǎn)的貯藏時間不宜超過天，得到貯藏天數(shù)．(1)解：∵該店以80元/千克收購了這種土特產(chǎn)，又∵若立即銷往外地，每千克可以獲利20元，∴收購?fù)撂禺a(chǎn)后立即出售，每千克土特產(chǎn)售價為：80+20=100（元）．∵該種土特產(chǎn)的銷售單價每天上漲0.4元/千克，∴若天后出售，每千克土特產(chǎn)售價為：（100+0.4x）元．∵在貯藏過程中平均每天損耗5千克，該店一共收購了2000千克土特產(chǎn)，∴若天后出售，可供出售的土特產(chǎn)質(zhì)量為：（20005x）千克．(2)解：設(shè)這批土特產(chǎn)貯藏x天后一次性出售最終可獲得總利潤50000元，由（1）可得，，化簡得，，解得，，，∵這批土特產(chǎn)的貯藏時間不宜超過天，∴不符合題意，應(yīng)舍去，∴，答：設(shè)這批土特產(chǎn)貯藏50天后一次性出售最終可獲得總利潤50000元．【點睛】本題考查了銷售問題中相關(guān)量的關(guān)系以及運(yùn)用一元二次方程解決相關(guān)銷售問題，正確理解總利潤的表示方法是解題的關(guān)鍵．注意本題第二問在解出方程后，還需要聯(lián)系題設(shè)條件舍去不符合題意的方程的根．16．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，動點P從點A出發(fā)沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動，同時動點Q從點B出發(fā)沿邊BC向點C以4cm/s的速度移動，當(dāng)P運(yùn)動到B點時P、Q兩點同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為ts．(1)BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代數(shù)式表示）(2)D是AC的中點，連接PD、QD，t為何值時△PDQ的面積為40cm2？【答案】(1)（12﹣2t）；4t(2)t＝2或4【解析】【分析】（1）根據(jù)速度×?xí)r間=路程，列出代數(shù)式即可；（2）如圖，過點D作DH⊥BC于H，利用三角形中位線定理求得DH的長度；然后根據(jù)題意和三角形的面積列出方程，求出方程的解即可．(1)根據(jù)題意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm．故答案是：（12﹣2t）；4t．(2)如圖，過點D作DH⊥BC于H，∵∠B＝90°，即AB⊥BC，∴AB∥DH，又∵D是AC的中點，∴BH=BC＝12cm，DH是△ABC的中位線，∴DHAB＝6cm，根據(jù)題意，得（12﹣2t）（24﹣4t）×62t×12＝40