6.1-6.2 計數(shù)原理與排列組合 -(選擇性必修第二、三冊) (學(xué)生版)

計數(shù)原理與排列組合1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理①分類加法計數(shù)原理做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn②分步乘法計數(shù)原理做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn③分類計數(shù)原、理分步計數(shù)原理區(qū)別分類計數(shù)原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事.分步計數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件．Eg小芳要去party，衣柜里有3件連衣裙、4件上衣和5件裙子，那她有多少種搭配的方式去party呢？顯然是3+4×5=23種方式.2排列①排列概念從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n不同元素中取出m個元素的一個排列.②排列數(shù)從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)叫做從n個元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號AnA或A③階乘n!表示正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘規(guī)定0!=1．3組合①組合概念一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.②組合數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)．用符號CnC③排列與組合的區(qū)別(1)排列是講“順序”，而組合不講“順序”，比如(Ⅰ(Ⅱ顯然問題Ⅰ，Ⅱ的答案是C50(2)從n個元素中取出m個元素的排列(排列數(shù)An可以理解為分為兩步：第一步從n個元素中取出m個元素組合，得到組合數(shù)Cn第二步再對m個元素進行排列，得到排列數(shù)AmA③組合數(shù)的性質(zhì)①規(guī)定:C②C(比如C10③C(從n+1個中抽出m個Cn+1m=抽不到元素A的組合數(shù)Cnm④r(rCnrPS若能理解每個公式是怎么推導(dǎo)的，有助于你靈活運用它們！【題型一】計數(shù)原理【典題1】18本不同的書，任選3本分給3個學(xué)生，每人一本有多少種不同的分法？(2)將4封信投入3個郵筒，有多少種不同的投法？35名運動員爭奪345名運動員報名參加3【典題2】某廣場中心建造一個花圃，花圃分成5個部分(如圖)，現(xiàn)有4種不同顏色的花可以栽種，若要求每部分必須栽種一種顏色的花且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有________種．(用數(shù)字作答)鞏固練習(xí)1(★)有4名學(xué)生報名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，每人限報一科，有多少種不同的報名方法？2(★)有4名學(xué)生參加爭奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽冠軍，有多少種不同的結(jié)果？3(★)將5種不同的花卉種植在如圖所示的四個區(qū)域中，每個區(qū)域種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法種數(shù)是4(★★)如圖，用4種不同的顏色給三棱柱ABC?A1B1C5(★★)如圖，用四種不同的顏色給圖中的A,B,C,D,E,F,G七個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法有【題型二】排列組合數(shù)的性質(zhì)【典題1】解方程(1)C9x【典題2】化簡Am鞏固練習(xí)1(★)[多選題]下列等式正確的是()A．(n+1)AnmC．Cnm=A2(★★)求證：kn?k3(★★★)設(shè)m,n∈N(m+1)C【題型三】排列組合解題策略方法1特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略遇到有特殊要求的元素或位置，可以先優(yōu)先考慮處理他們.【典題1】由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).【典題2】有七名學(xué)生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少種？【練習(xí)】6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法.方法2相鄰元素捆綁策略若某幾個元素要求相鄰，可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并一起視為一個復(fù)合元素，再與其它元素一起作排列，同時要注意復(fù)合元素內(nèi)部也必須排列.【典題1】7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法？【練習(xí)】小明跟父母、爺爺和奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制，5人坐一排．若小明的父母都與他相鄰，則不同坐法的種數(shù)為.方法3不相鄰問題插空策略若某些元素要求不能相鄰，則采取插空法.即先把沒有要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端.【典題1】一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈，2個相聲，3個獨唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場，則節(jié)目的出場順序有多少種？【練習(xí)】七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是方法4元素相同問題隔板策略將n個相同的元素分成m份(n,m為正整數(shù))，每份至少一個元素，可以用m?1塊隔板，插入n個元素排成一排的n?1個空隙中，所有分法數(shù)為C【典題1】有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？【練習(xí)】將12個相同的小球分給甲、乙、丙三個人，其中甲至少1個，乙至少2個，丙至少3個，則共有多少種不同的分法？方法5定序問題倍縮或空位插入策略對某些元素的順序要求是固定的，可用倍縮法或者空位法.【典題1】7人排隊，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法？【練習(xí)】停車場劃出一排12個停車位置，今有8輛車需要停放.要求空車位置連在一起，不同的停車方法有多少種？方法6排列組合混合問題先選后排策略【典題1】有5個不同的小球，裝入4個不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個球，共有多少不同的裝法.【練習(xí)】一個班有6名戰(zhàn)士，其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù)，每人完成一種任務(wù)，且正副班長有且只有1人參加，則不同的選法有種方法7平均分組問題除法策略【典題1】將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不同場館服務(wù)，則有多少種不同的分配方案？【練習(xí)1】將4名大學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則有多少種不同的分配方案？【練習(xí)2】6本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？方法8環(huán)排問題線排策略一般地，n個不同元素作圓形排列，共有(n?1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有Cm【典題1】7【練習(xí)】6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？方法9分類討論策略【典題1】6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種不同的分法？【典題2】已知a1,a2,…,a5為1,2,3,4,5的任意一個排列．則滿足：對于任意n∈{1,2,3,4,5}，都有【練習(xí)】某學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這六門學(xué)科中選三門參加等級考，要求是物理、化學(xué)、生物這三門至少要選一門，政治、歷史、地理這三門也至少要選一門，則該生的可能選法總數(shù)是．方法10正難則反總體淘汰策略若題目從其正面入手比較麻煩，可能分類太多或不確定，或不清楚是否出現(xiàn)“重復(fù)計數(shù)”，則可考慮從反面入手用“淘汰法”.【典題1】從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的取法有多少種？【典題2】6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法鞏固練習(xí)以下每題盡量用多種方法求解.1(★★)【多選題】為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周．則()A．某學(xué)生從中選3門，共有30種選法 B．課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有240種排法 C．課程“禮”“書”“數(shù)”排在相鄰三周，共有144種排法 D．課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有504種排法2(★★)將6個數(shù)2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一個8位數(shù)(首位不為0)，則產(chǎn)生的不同的8位數(shù)的個數(shù)是()A．546 B．498 C．516 D．5343(★★)A,B,C,D,E,F六名同學(xué)參加一項比賽，決出第一到第六的名次．A,B,C三人去詢問比賽結(jié)果，裁判對A說：“你和B都不是第一名”；對B說：“你不是最差的”；對C說：“你比A,B的成績都好”，據(jù)此回答分析：六人的名次有種不同情況．4(★★★)設(shè)集合A={(x1,x2,x5(★★★)一個含有6項的數(shù)列{an}滿足a且a6∈{4,6,8,10}，則符合這樣條件的數(shù)列{a6(★★★)在班級活動中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：(寫出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答)(1)三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？(2)四名男生相鄰有多少種不同的排法？(3)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？(4)甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？(甲乙丙三位同學(xué)身高互不相等)(5)從中選出2名男生和2名女生表演分四個不同角色朗誦，有多少種選派方法？(6)現(xiàn)在有7個座位連成一排，僅安排4個男生就坐，恰好有兩個空座位相鄰的不同坐法共有多少種？7(★★★)由0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字．(1)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？(2)能組