數(shù)學(xué)例題與探究：從位移的合成到向量的加法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精典題精講例1下面給出了四個(gè)式子：①++；②+++；③-+—;④.其中值為0的是（）A。①②B.①③C.①③④D.①②③思路解析:++=+=0;+++=（+)+（+）=+=;—+-=+=0；==0。答案:C綠色通道：（1）解決向量的加減法的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要結(jié)合幾何圖形的特征,善于應(yīng)用+=和—=解決.(2)化簡(jiǎn)含有向量的關(guān)系式一般有兩種方法：①利用幾何方法通過(guò)作圖實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)；②利用代數(shù)方法通過(guò)向量加法的交換律,使各向量“首尾相連”，通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序，有時(shí)也需將一個(gè)向量拆分成兩個(gè)或多個(gè)向量.變式訓(xùn)練如圖2-2-4，已知四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，E、F、G、H分別是AD、BC、AB與CD的中點(diǎn),則等于(）圖2-2—4A.+B.+C。D.思路解析：連結(jié)交于點(diǎn)M，則有==+=。答案：C例2用向量方法證明對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.思路分析:要證四邊形是平行四邊形,只需證一組對(duì)邊平行且相等。根據(jù)向量相等的意義，只需證其一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)向量相等即可.此問(wèn)題是純文字?jǐn)⑹龅膯?wèn)題，首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言描述.答案:已知：如圖2-2-5所示，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于O，且AO=OC,DO=OB.圖2—2-5求證：四邊形ABCD是平行四邊形。證明：根據(jù)向量加法的三角形法則，有=+,=+.又∵=，=,∴+=+?！?.∴∥，=,即AB與DC平行且相等.∴四邊形ABCD是平行四邊形.綠色通道：用向量法解決應(yīng)用問(wèn)題的步驟為：(1）將應(yīng)用問(wèn)題中的量抽象成向量；（2）化歸為向量問(wèn)題，進(jìn)行向量運(yùn)算；（3)將向量問(wèn)題還原為應(yīng)用問(wèn)題.變式訓(xùn)練一艘船以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，航船實(shí)際航行方向與水流方向成30°角，求水流速度和船的實(shí)際速度.思路分析：可以用向量表示速度,然后用向量加法合成速度即可.解:如圖2—2-6，設(shè)表示水流速度，表示船垂直于對(duì)岸方向行駛的速度，表示船的實(shí)際速度，圖2—2—6則∠AOC=30°,｜｜=5km/h.∵四邊形OACB為矩形，∴||=，｜|=，即水流速度是km/h，船的實(shí)際速度為10km/h.問(wèn)題探究問(wèn)題1已知向量a、b，試探索|a+b｜與｜a|+|b｜的大小.導(dǎo)思:利用向量加法的幾何意義來(lái)分析.因?yàn)橄蛄堪L(zhǎng)度和方向，所以在比較向量長(zhǎng)度的大小時(shí)，要考慮其方向.探究：（1)當(dāng)a、b至少有一個(gè)為零向量時(shí)，有a+b=0+a或a+b=0+b，∴｜a+b｜=|0+a｜=|a|+|b|或｜a+b|=｜0+b|=|a|+|b|?！啵黙+b|=｜a|+|b|.（2）當(dāng)a、b均為非零向量時(shí)，作=a，=b，則a+b=.圖2-2—7若a、b不共線，如圖2—2-7所示，則點(diǎn)O、A、B不共線，則點(diǎn)O、A、B構(gòu)成△OAB。由三角形任意兩邊之和大于第三邊得｜｜+||＞|｜。即｜a+b|＜｜a|+｜b|.若a、b同向共線時(shí)，如圖2-2-8所示,圖2-2-8則點(diǎn)O、A、B共線.此時(shí)｜|+｜|=｜|,即|a+b｜=｜a|+|b｜.當(dāng)a、b異向共線時(shí),如圖2-2-9所示,圖2—2-9則點(diǎn)O、A、B共線。此時(shí)如圖2—2-9（甲）所示，有｜｜=|｜+|｜，則｜a|=|a+b｜+|b｜。如圖2—2—9（乙）所示，有｜|+｜｜=||,則|a｜+｜a+b|=|b｜。∴｜a+b｜＜｜a|+|b|。綜上所得，｜a+b|≤|a｜＋|b|。由本題還可得結(jié)論：｜a+b｜≥｜|a｜－｜b||.∴對(duì)于向量a、b，有如下結(jié)論：||a|－｜b｜｜≤|a+b｜≤|a｜＋|b|。下面看此結(jié)論的應(yīng)用.例如：已知|a|=8，｜b｜=12,