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學必求其心得,業(yè)必貴于專精學必求其心得,業(yè)必貴于專精學必求其心得,業(yè)必貴于專精典題精講例1下面給出了四個式子:①++;②+++;③-+—;④.其中值為0的是()A。①②B.①③C.①③④D.①②③思路解析:++=+=0;+++=(+)+(+)=+=;—+-=+=0;==0。答案:C綠色通道:(1)解決向量的加減法的有關問題時,要結合幾何圖形的特征,善于應用+=和—=解決.(2)化簡含有向量的關系式一般有兩種方法:①利用幾何方法通過作圖實現(xiàn)化簡;②利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律,使各向量“首尾相連”,通過向量加法的結合律調整向量相加的順序,有時也需將一個向量拆分成兩個或多個向量.變式訓練如圖2-2-4,已知四邊形ABCD是梯形,AB∥CD,E、F、G、H分別是AD、BC、AB與CD的中點,則等于()圖2-2—4A.+B.+C。D.思路解析:連結交于點M,則有==+=。答案:C例2用向量方法證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.思路分析:要證四邊形是平行四邊形,只需證一組對邊平行且相等。根據向量相等的意義,只需證其一組對邊對應向量相等即可.此問題是純文字敘述的問題,首先應轉化為符號語言描述.答案:已知:如圖2-2-5所示,在四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于O,且AO=OC,DO=OB.圖2—2-5求證:四邊形ABCD是平行四邊形。證明:根據向量加法的三角形法則,有=+,=+.又∵=,=,∴+=+?!?.∴∥,=,即AB與DC平行且相等.∴四邊形ABCD是平行四邊形.綠色通道:用向量法解決應用問題的步驟為:(1)將應用問題中的量抽象成向量;(2)化歸為向量問題,進行向量運算;(3)將向量問題還原為應用問題.變式訓練一艘船以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,航船實際航行方向與水流方向成30°角,求水流速度和船的實際速度.思路分析:可以用向量表示速度,然后用向量加法合成速度即可.解:如圖2—2-6,設表示水流速度,表示船垂直于對岸方向行駛的速度,表示船的實際速度,圖2—2—6則∠AOC=30°,||=5km/h.∵四邊形OACB為矩形,∴||=,||=,即水流速度是km/h,船的實際速度為10km/h.問題探究問題1已知向量a、b,試探索|a+b|與|a|+|b|的大小.導思:利用向量加法的幾何意義來分析.因為向量包含長度和方向,所以在比較向量長度的大小時,要考慮其方向.探究:(1)當a、b至少有一個為零向量時,有a+b=0+a或a+b=0+b,∴|a+b|=|0+a|=|a|+|b|或|a+b|=|0+b|=|a|+|b|?!啵黙+b|=|a|+|b|.(2)當a、b均為非零向量時,作=a,=b,則a+b=.圖2-2—7若a、b不共線,如圖2—2-7所示,則點O、A、B不共線,則點O、A、B構成△OAB。由三角形任意兩邊之和大于第三邊得||+||>||。即|a+b|<|a|+|b|.若a、b同向共線時,如圖2-2-8所示,圖2-2-8則點O、A、B共線.此時||+||=||,即|a+b|=|a|+|b|.當a、b異向共線時,如圖2-2-9所示,圖2—2-9則點O、A、B共線。此時如圖2—2-9(甲)所示,有||=||+||,則|a|=|a+b|+|b|。如圖2—2—9(乙)所示,有||+||=||,則|a|+|a+b|=|b|?!啵黙+b|<|a|+|b|。綜上所得,|a+b|≤|a|+|b|。由本題還可得結論:|a+b|≥||a|-|b||.∴對于向量a、b,有如下結論:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。下面看此結論的應用.例如:已知|a|=8,|b|=12,
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