數(shù)學(xué)例題與探究：正弦函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講1.周期函數(shù)一定都有最小正周期嗎？剖析:并不是所有周期函數(shù)都存在最小正周期.很多同學(xué)對此產(chǎn)生質(zhì)疑，其突破的方法是：通過經(jīng)驗的積累，考慮特殊的周期函數(shù)。例如：常數(shù)函數(shù)f（x）=C（C為常數(shù)）,x∈R.當x取定義域內(nèi)的任意值時，函數(shù)值都是C，即對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的每一個值x都有f（x+T)＝C,因此f（x)是周期函數(shù)，由于T可以是任意不為零的常數(shù)，而正數(shù)集合中沒有最小者，所以f（x)沒有最小正周期。2。正弦函數(shù)線有何作用？剖析：有的同學(xué)學(xué)習(xí)了正弦線后，感到正弦線沒有什么用處。其突破的路徑是準確理解正弦線的定義和平時經(jīng)驗的積累。正弦線是當點P為終邊與單位圓交點時，正弦函數(shù)值的直觀表現(xiàn)形式。正弦線的方向和長度直觀反映了正弦值的符號和絕對值。由正弦線的方向判斷正弦值的正負，由正弦線的長度確定正弦值的絕對值大小.由此可見,用正弦線表示正弦函數(shù)值,反映了變換與轉(zhuǎn)化、數(shù)形的結(jié)合與分離的思想方法.正弦函數(shù)在各象限的符號除從各象限點的坐標的符號結(jié)合正弦函數(shù)的定義來記憶之外，也可以根據(jù)畫出的正弦線的方向記憶。正弦線的主要作用是解三角不等式、證明三角不等式、求函數(shù)定義域及比較三角函數(shù)式的大小,同時它也是以后學(xué)習(xí)正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ).例如：求函數(shù)y=log2(sinx)的定義域。思路分析：轉(zhuǎn)化為解三角不等式sinx＞0。圖1-4-5解:要使函數(shù)有意義，x的取值需滿足sinx＞0.如圖1-4—5所示，是角x的正弦線，則有sinx=＞0,∴的方向向上.∴角x的終邊在x軸的上方?！?kπ＜x＜2kπ+π(k∈Z)?！嗪瘮?shù)y=log2(sinx)的定義域是（2kπ,2kπ+π）k∈Z。由以上可看出,利用三角函數(shù)線,數(shù)形結(jié)合，能使問題得以簡化。三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)三角函數(shù)問題的重要工具，通過平時經(jīng)驗的積累,掌握三角函數(shù)線的應(yīng)用。3.在推廣了的三角函數(shù)定義中，為什么三角函數(shù)值與點P在角α終邊上的位置無關(guān)，只依賴于角α的大小?剖析：聯(lián)系相似三角形的知識來分析。設(shè)P0（x0，y0）是角α終邊上的另一點，|OP0｜=r0，由相似三角形的知識可知，只要點P0在α終邊上，總有=.因此所得的比值都對應(yīng)相等.所以角α的正弦函數(shù)值只依賴于終邊的位置即α的大小，與點P在角α終邊上的位置無關(guān)。典題精講例1（經(jīng)典回放）sin600°的值是(）A.B.-C。D。-思路解析:sin600°＝sin（360°+240°）=sin240°=sin（180°+60°)=-sin60°=—。答案:D綠色通道:誘導(dǎo)公式選擇的一般步驟：先將-α化為正角；再用2kπ+α（k∈Z)化為[0，2π）內(nèi)的角；再用π+α,π—α，2π-α化為銳角的三角函數(shù).由此看利用誘導(dǎo)公式能將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù),也就是說:誘導(dǎo)公式真是好，負化正后大化小。變式訓(xùn)練sin（—2010°)的值是（)A.-B。C。D。-思路解析:sin(—2010°）=sin[(—6×360°）+150°］＝sin150°=sin(180°—30°）=sin30°=.答案:C例2（2005福建高考卷,理12）f(Z）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f(2)=0，則方程f（x)=0在區(qū)間(0，6)內(nèi)解的個數(shù)的最小值是()A.2B.3C。4思路解析：∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0)=—f(—0)，f(-2）=—f(2）=0.∴f(0)=0，f(2)=0.∵f(x)是以3為周期的周期函數(shù),∴f(-2）=f(3-2）=f（1）=0,f(3)=f（0）=0，f(4）=f（1+3)=f（1）=0?！鄁(5）=f(3+2）=f（2）=0.∴在區(qū)間（0，6）內(nèi)f(1)=f（2)=f(3)=f（4)=f(5）=0。答案：D綠色通道:高考試題中，通常不會單獨考查周期函數(shù)，往往是周期函數(shù)和三角函數(shù)，和函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等綜合考查。一般是利用周期函數(shù)的性質(zhì)f（x+T）=f(x)，解決求函數(shù)值、解析式及解方程等問題.變式訓(xùn)練定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(3+x)=f(3—x），若當x∈（0，3）時,f（x)=2x，則當x∈(—6，-3）時，f（x）的解析式為（）A.2x+6B?！?x+6C.2x-6思路解析：∵f（x)是偶函數(shù)，∴f(—x）=f(x）。又∵f（3+x）=f（3-x）,∴f(x）的圖像關(guān)于直線x=3對稱.∴f(x+6）=f(x+3+3）=f［3-(x+3）］=f(-x）=f（x).∴f(x）是周期函數(shù)，6是一個周期.當x∈(—6,—3）時,有0＜x+6＜3，∴f（x)＝f（x＋6)＝2x+6.答案:A例3已知角α的終邊經(jīng)過點P（3，4)，求sinα.思路分析：分別寫出x、y、r的值,應(yīng)用定義求解.解:由x=3，y=4，得r==5.∴sinα==。綠色通道：如果已知角的終邊經(jīng)過的一個點求三角函數(shù)值，通常應(yīng)用三角函數(shù)的定義求解.變式訓(xùn)練已知角α的終邊經(jīng)過點P（3t，4t），t≠0，求sinα。思路分析：應(yīng)用三角函數(shù)的定義直接求解，注意t的取值符號。解：由x=3t，y=4t，得r==5｜t|。當t＞0時，r=5t，∴sinα=；當t＜0時，r=-5t，∴sinα=—。例4(2006安徽高考卷,文8）設(shè)a＞0，對于函數(shù)f(x）=(0＜x＜π),下列結(jié)論正確的是(）A。有最大值而無最小值B.有最小值而無最大值C。有最大值且有最小值D。既無最大值又無最小值思路解析：令t=sinx,0＜x＜π，則t∈(0，1］，那么函數(shù)f(x)=（0＜x＜π）的值域為函數(shù)y=1+，t∈(0，1]的值域,又a＞0，可以證明y=1+，t∈（0,1］是一個減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)有最小值而無最大值。答案:B綠色通道：（1）求三角函數(shù)最值的常用方法:換元法。設(shè)sinx=t,將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)等其他常見的初等函數(shù)，再求最值；（2）形如“y=的函數(shù)的最值問題,常用換元法，也可用分離變量法.變式訓(xùn)練1求函數(shù)y=的值域.思路分析：此類題型可轉(zhuǎn)化為分式函數(shù)的值域的求法,即分離常數(shù)法，或通過反解sinx法,利用sinx的值域確定函數(shù)的值域。解法一：設(shè)t=sinx,x∈R，則t∈［-1，1]，∴函數(shù)f（x）=的值域為函數(shù)y=，t∈[—1,1］的值域，可以證明y=，t∈［—1，1］是增函數(shù)?！唷躽≤?！?2≤y≤?！嗪瘮?shù)的值域為［-2，］。解法二：由y=，得sinx=?！遼sinx｜≤1,∴｜｜≤1，解得-2≤y≤.∴函數(shù)的值域為［-2,].變式訓(xùn)練2求函數(shù)y=(5-sinx)（2+sinx)的最大值及此時x的集合。思路分析：利用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最大值.解:設(shè)sinx=t,則-1≤t≤1,y=(5—sinx)（2+sinx）=(5—t)（2+t）=—t2+3t+10=-(t—)2+,則當t=1時，y取最大值12,此時sinx=1，x=2kπ+(k∈Z），所以函數(shù)y=（5—sinx）（2+sinx)最大值為1，此時x的集合是｛x|x=2kπ+，k∈Z}.例5作出函數(shù)y=—sinx(0≤x≤2π)的圖像.思路分析:利用“五點法”作圖,關(guān)鍵是找出五個關(guān)鍵點，所以，最好利用列表整理數(shù)據(jù)，使問題既清晰又準確。解：列表：x0π2πsinx010-10—sinx0—1010描點作圖(圖1—4-6）：圖1—4-6綠色通道：由于正弦曲線直觀地表現(xiàn)了正弦函數(shù)數(shù)的各種性態(tài)，因此要熟悉圖像,掌握五點法作圖并能應(yīng)用圖像解決有關(guān)問題?！拔妩c"即y=sinx的圖像在一個最小正周期內(nèi)的最高點、最低點及與x軸的交點，一般地，觀察y=sinx的一個周期,常常作區(qū)間［0，2π］或［-，]上的圖像。變式訓(xùn)練1求函數(shù)y=的定義域。思路分析：轉(zhuǎn)化為解不等式-sinx≥0。利用圖像法解不等式.解：在平面直角坐標系中畫出函數(shù)y=—sinx的圖像，如圖1-4—6所示.在［0，2π]內(nèi),當-sinx≥0，記函數(shù)的圖像位于x軸上方時，π≤x≤2π.所以函數(shù)y=的定義域是［2kπ+π,2kπ+2π］k∈Z。變式訓(xùn)練2函數(shù)y=｜sinx｜的周期是__________。思路解析：畫函數(shù)y=｜sinx｜的圖像，觀察圖像得函數(shù)周期為π.答案：π問題探究問題1（1）正弦曲線關(guān)于原點、（π，0)、(—π,0）成中心對稱圖形。結(jié)合正弦函數(shù)的圖像，你發(fā)現(xiàn)正弦曲線還有其他對稱中心嗎？（2)正弦曲線關(guān)于直線x=—、x=-、x=成軸對稱圖形.結(jié)合正弦函數(shù)的圖像,你發(fā)現(xiàn)正弦曲線還有其他對稱軸嗎?導(dǎo)思：探究思路是由特殊到一般，利用歸納推理：先歸納，再猜想出結(jié)論，最后利用對稱的定義作出證明。探究：(1）由于正弦函數(shù)是奇函數(shù)，則其圖像關(guān)于原點對稱.設(shè)點P（x0，y0）是正弦函數(shù)y=sinx圖像上任意一點，則y0=sinx0。那么點P（x0，y0）關(guān)于點（π，0)的對稱點為M(2π—x0，-y0)，∵sin(2π—x0)=—sinx0，∴sin(2π-x0)=—y0，即點M(2π-x0,—y0)也在正弦函數(shù)y=sinx的圖像上。又∵點P（x0，y0）是正弦函數(shù)y=sinx圖像上任意一點,∴正弦曲線關(guān)于（π，0)成中心對稱圖形.同理可證正弦曲線關(guān)于（—π，0)成中心對稱圖形。圖1—4-7如圖1-4—7所示，觀察正弦函數(shù)的圖像,可歸納,得原點、(±π，0)都是正弦曲線與x軸的交點，可猜想正弦曲線與x軸的交點(kπ,0）(k∈Z)都是正弦曲線的對稱中心.證明：設(shè)點P(x0，y0）是正弦函數(shù)y=sinx圖像上任意一點,則y0=sinx0。則點P（x0，y0）關(guān)于點(kπ，0)的對稱點M(2kπ-x0，-y0)，∵sin(2kπ-x0）=—sinx0,∴sin(2kπ—x0)=—y0，即點M（2kπ-x0，-y0）也在正弦函數(shù)y=sinx圖像上.∵點P(x0,y0)是正弦函數(shù)y=sinx圖像上任意一點，∴正弦曲線關(guān)于(kπ,0)成中心對稱圖形。綜上可得,正弦曲線的對稱中心是正弦曲線與x軸的交點，即此時的正弦值為0；并且任意相鄰的兩個對稱中心正好相差半個周期。（2)設(shè)點P(x0，y0)是正弦函數(shù)y=sinx圖像上任意一點，則y0=sinx0。則點P（x0,y0）關(guān)于直線x=的對稱點為M(π-x0,y0）,∵sin(π—x0)=sinx0，∴sin（π-x0)=y0，即點M（π-x0,y0）也在正弦函數(shù)y=sinx圖像上?！唿cP(x0,y0)是正弦函數(shù)y=sinx圖像上任意一點，∴正弦曲線關(guān)于直線x=成軸對稱圖形。同理可證：正弦曲線關(guān)于直線x=—、x=成軸對稱圖形.觀察正弦函數(shù)的圖像，可歸納得：直線x=、x=—、x=都過正弦曲線最高或最低點，可猜想過正弦曲線最高或最低點的直線x=kπ+(k∈Z）都是正弦曲線的對稱軸。證明:設(shè)點P（x0,y0）是正弦函數(shù)y=sinx圖像上任意一點，則y0=sinx