2019-2021年上海各區(qū)數(shù)學(xué)中考一模壓軸題分類匯編25題-動(dòng)點(diǎn)背景下的直角、等腰三角形及四邊形含詳解

專題動(dòng)點(diǎn)函數(shù)下的等腰、直角三角形及四邊形

【知識(shí)梳理】

作垂線，構(gòu)造直角三角形

動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的輔助線連接線

作平行線，構(gòu)造A型X型

勾股定理

動(dòng)點(diǎn)邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式相似三角形

解三角形

求本身三角形的面積

動(dòng)點(diǎn)面積的函數(shù)關(guān)系式?-

利用相似三角形求面積轉(zhuǎn)換

動(dòng)點(diǎn)函數(shù)專題題型

作垂線求本角的銳角三角比

動(dòng)點(diǎn)銳角三角比的函數(shù)關(guān)系式

角度等里代換求銳角三角比

兩條邊分別求，參照翻折邊長(zhǎng)

'、r動(dòng)點(diǎn)比例的函數(shù)關(guān)系式在相似三角形找比例

利用兩個(gè)比例式組合

用邊相等，列出關(guān)系式求解

動(dòng)點(diǎn)下的等腰三角形作垂線解三角形(一般垂線都是橫平豎直的垂直)

不一定是三裝合一

【歷年真題】

1.(2021秋?長(zhǎng)寧區(qū)期末)已知，在△NBC中，AB=AC=5,BC=8,點(diǎn)E是射線C4上的

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是邊8c上的動(dòng)點(diǎn)，且OC=O￡,射線OE交射線加于點(diǎn)。.

(1)如圖，如果0c=2,求SAME的值;

‘△ODB

(2)聯(lián)結(jié)/。，如果△/E。是以/E為腰的等腰三角形，求線段OC的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)E在邊ZC上時(shí)，聯(lián)結(jié)BE、CD,NDBE=NCDO,求線段0c的長(zhǎng).

2.(202】秋?閔行區(qū)期末)已知四邊形Z8CD是菱形，48=4,點(diǎn)E在射線CB上，點(diǎn)在射

線CD上，且

(1)如圖①，如果/8/。=90°,求證：AE=AF；

A17

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在C8的延長(zhǎng)線上時(shí)，如果乙48。=60°,設(shè)。尸=工，——=y,試建

AE

立y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

(3)聯(lián)結(jié)NC,BE=2,當(dāng)△NEC是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出。尸的長(zhǎng).

圖①圖②

3.(2020秋?崇明區(qū)期末)如圖，RtZvlBC中，乙4c8=90°,AC=6,8c=8.點(diǎn)。為斜

邊N8的中點(diǎn)，EDL4B,交邊8c于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為射線NC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為邊3C上

的動(dòng)點(diǎn)，且運(yùn)動(dòng)過程中始終保持POL0D

(1)求證：IXADP?XEDQ；

(2)設(shè)/P=x,BQ=y.求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出該函數(shù)的定義域；

(3)聯(lián)結(jié)PQ,交線段EO于點(diǎn)?當(dāng)△尸DF為等腰三角形時(shí)，求線段工尸的長(zhǎng).

備用圖

4.(2020秋?虹口區(qū)期末)如圖，在△48C中，/48C=90°,4B=3,BC=4,過點(diǎn)N作

射線4W〃8C,點(diǎn)。、E是射線ZM上的兩點(diǎn)(點(diǎn)。不與點(diǎn)/重合，點(diǎn)E在點(diǎn)。右側(cè))，聯(lián)

結(jié)8。、8E分別交邊ZC于點(diǎn)尸、G,ZDBE=ZC.

（1）當(dāng)“。=1時(shí)，求FB的長(zhǎng)；

（2）設(shè)4Q=x,FG=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（3）聯(lián)結(jié)OG并延長(zhǎng)交邊8c于點(diǎn)”，如果△08”是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng).

備用圖

5.（2020秋?青浦區(qū)期末）在△48C中，ZC=90°,AC=2,8c=26,點(diǎn)。為邊/C

的中點(diǎn)（如圖），點(diǎn)尸、。分別是射線8C、8/上的動(dòng)點(diǎn)，且BQ=^BP,聯(lián)結(jié)P0、QD、

DP.

（1）求證：PQ1.AB；

（2）如果點(diǎn)尸在線段8c上，當(dāng)△P。。是直角三角形時(shí)，求8P的長(zhǎng)；

（3）將△尸0D沿直線0P翻折，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，如果點(diǎn)。位于△ABC內(nèi)，請(qǐng)直接

寫出8P的取值范圍.

6.（2020秋?奉賢區(qū)期末）已知。0的直徑N8=4,點(diǎn)尸為弧N8上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)以、PO,

點(diǎn)C為劣弧4P上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)4、尸重合），聯(lián)結(jié)8c交物、PO于點(diǎn)。、E.

7

（1）如圖，當(dāng)cos/C8O=一時(shí)，求8c的長(zhǎng)；

8

（2）當(dāng)點(diǎn)C為劣弧/P的中點(diǎn)，且與尸相似時(shí)，求NZ8C的度數(shù)；

（3）當(dāng)/O=2OP,且△8EO為直角三角形時(shí)，求四邊形工。即的面積.

7.(2019秋?浦東新區(qū)期末)在RtZ\Z8C中，ZA=90°,AB=4,AC=3,D為4B邊上一

動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。與點(diǎn)4、8不重合)，聯(lián)結(jié)CD,過點(diǎn)D作DELDC交邊BC于點(diǎn)、E.

(1)如圖，當(dāng)EO=E8時(shí)，求的長(zhǎng)；

(2)設(shè)BE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)定義域；

(3)把△88沿直線8翻折得△88,聯(lián)結(jié)/9，當(dāng)△C/夕是等腰三角形時(shí)，直接寫出

AD的長(zhǎng).

8.(2019秋?青浦區(qū)期末)如圖，在梯形/8CD中，AD//BC,BC=BD=10,CD=4,AD

=6.點(diǎn)尸是線段8。上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、。分別是線段。4、8。上的點(diǎn)，S.DE=DQ=BP,

聯(lián)結(jié)EP、EQ.

(1)求證：EQ//DC；

(2)當(dāng)2P>8。時(shí)，如果△EP0是以E0為腰的等腰三角形，求線段8尸的長(zhǎng);

(3)當(dāng)BP=m(0<w<5)時(shí)，求NPE0的正切值.(用含機(jī)的式子表示)

9.(2019秋?閔行區(qū)期末)己知：如圖，在Rt/X/BC和Rt&4C。中，/C=8C,ZACB=90°,

ZADC=90°,CZ)=2,(點(diǎn)力、8分別在直線CO的左右兩側(cè))，射線8交邊力8于點(diǎn)E,

點(diǎn)G是Rt△力8c的重心，射線CG交邊于點(diǎn)尸，AD=x,CE=y.

(1)求證：NDAB=NDCF；

(2)當(dāng)點(diǎn)￡在邊CD上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

(3)如果△CDG是以CG為腰的等腰三角形，試求的長(zhǎng).

10.(2019秋?崇明區(qū)期末)如圖，在△/8C中，AB=AC^\0,8C=16,點(diǎn)。為8c邊上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。不與點(diǎn)8、點(diǎn)。重合).以D為頂點(diǎn)作N4)E=NB,射線DE交/C邊

于點(diǎn)E,過點(diǎn)/作ZFLNO交射線于點(diǎn)F.

(1)求證：AB?CE=BD?CD；

(2)當(dāng)。尸平分/ZOC時(shí)，求NE的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)尸是等腰三角形時(shí)，求8。的長(zhǎng).

11.(2019秋?寶山區(qū)期末)如圖，OC是△48C中N8邊的中線，N4BC=36°,點(diǎn)D為

OC上一點(diǎn)，如果代OC,過。作。E〃C/交于84點(diǎn)E,點(diǎn)M是。E的中點(diǎn)，將4

ODE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度(其中0°<a<180°)后，射線OM交直線5c于點(diǎn)N.

(1)如果△ZBC的面積為26,求△OAE的面積(用人的代數(shù)式表示)；

(2)當(dāng)N和8不重合時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄縉0N8的度數(shù)y與旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)寫出當(dāng)△CW8為等腰三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

12.(2021秋?奉賢區(qū)期末)如圖1,已知銳角ZU8C的高8E相交于點(diǎn)R延長(zhǎng)X。至

G,?DG=FD,聯(lián)結(jié)8G,CG.

(1)求證：BD?AC=AD?BG；

(2)如果8c=10,設(shè)tan//8C=m.

①如圖2,當(dāng)42G=90。時(shí)，用含機(jī)的代數(shù)式表示A8FG的面積；

②當(dāng)48=8,且四邊形8GCE是梯形時(shí)，求機(jī)的值.

圖1圖2

13.(2019秋?長(zhǎng)寧、金山區(qū)期末)如圖，已知在中，ZC=90°,AC=8,BC=6,

點(diǎn)、P、0分別在邊NC、射線CB上，且ZP=CQ,過點(diǎn)尸作PALL/8,垂足為點(diǎn)聯(lián)結(jié)

PQ,以PM、PQ為鄰邊作平行四邊形PQNM,談AP=x,平行四邊形PQNM的面積為y.

(1)當(dāng)平行四邊形PQVM為矩形時(shí)，求NPQM的正切值；

(2)當(dāng)點(diǎn)N在△ZBC內(nèi)，求〉關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

(3)當(dāng)過點(diǎn)尸且平行于5c的直線經(jīng)過平行四邊形PQNM一邊的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出x的值.

14.(2019秋?嘉定區(qū)期末)已知：點(diǎn)尸在△48C內(nèi)，且滿足尸C(如圖)，ZAPB+

ZBAC=lS0Q.

(1)求證：ARiBsAPCA；

PC

(2)如果/ZP8=120°,/Z8C=90°,求一的值；

PB

(3)如果/A4c=45°,且△/8C是等腰三角形，試求tan/P8C的值.

15.(2019秋?徐匯區(qū)期末)如圖，在△Z8C中，AB=AC=5,8c=6,點(diǎn)。是邊上的

動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。不與點(diǎn)45重合)，點(diǎn)G在邊的延長(zhǎng)線上，ZCDE=ZA,ZGBE=ZABC,

DE與邊BC交于點(diǎn)、F.

(1)求cos/的值；

(2)當(dāng)/N=2NNC。時(shí)，求的長(zhǎng)：

(3)點(diǎn)。在邊N8上運(yùn)動(dòng)的過程中，AD：8E的值是否會(huì)發(fā)生變化？如果不變化，請(qǐng)求

8E的值；如果變化，請(qǐng)說明理由.

16.(2019秋?普陀區(qū)期末)如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,ZC=90°,AD=2,BC=5,DC=3,

點(diǎn)E在邊BC上，tan/AEC=3,點(diǎn)M是射線DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D、C重合)，聯(lián)結(jié)BM

交射線AE于點(diǎn)N,設(shè)DM=x,AN=y.

⑴求BE的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在線段DC上時(shí)，試求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線BM與直線AE的夾角等于45。，請(qǐng)直接寫出這時(shí)線段DM的長(zhǎng).

專題動(dòng)點(diǎn)函數(shù)下的等腰、直角三角形

【歷年真題】

1.(2021秋?長(zhǎng)寧區(qū)期末)已知，在△Z8C中，AB=AC=5,8c=8,點(diǎn)E是射線C/上的

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是邊8C上的動(dòng)點(diǎn)，且OC=OE,射線OE交射線84于點(diǎn)。.

(1)如圖，如果OC=2,求S&ADE的值;

‘△ODB

(2)聯(lián)結(jié)/O,如果△/E。是以/E為腰的等腰三角形，求線段OC的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)E在邊4C上時(shí)，聯(lián)結(jié)8￡\CD,NDBE=ZCDO,求線段OC的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】三角形綜合題.

【專題】等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；推理能力.

【分析】(1)通過證明△/BCS^OEC,可求EC的長(zhǎng)，/E的長(zhǎng)，通過證明△/Ofs/xoos,

可求解；

(2)分兩種情況討論，利用相似三角形的性質(zhì)可求解；

CDACCDOC

(3)通過證明可得=,通過證明可得=,

BEBOBEAE

列出等式可求解.

【解答】解：(1)'：AB=AC=5,OE=OC=2,：.ZB=ZC,ZC=ZOEC,

：.ZB=ZOEC=ZAED,

p..,,.A.OCEC.2EC16

又.NC=/C,.?4ABCS&OEC,??=,.?—=,?>EC——,

ACBC585

:.AE=一，

5

,:NADE=NADE,NAED=NB,：./\ADE^/\ODB,

9

.^AADE-(AE>_(、5)2_9

：

SAODB-BO-8-2-100

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡1在NC上時(shí),

VZAEO>90°,△/EO是等腰三角形，：.AE=EO,

,、iOCECOCEC8

由（1）可知：AABCSAAOEC,?------=-----,?-------=-----,??EC=-OC,

ACBC585

825

'：AC=AE+EC=-OC+OC=5,：.OC=——；

513

當(dāng)點(diǎn)E在線段C4的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2,

圖2

,.?△4EO是等腰三角形，：.AE=AO,:.NE=NAOE,

"：ZB=ZC=ZOEC,：.ZB=ZAOE,

?AEQE.AEOE..

：.△ABCs^AOE,.?-----=------，..4E=

'AB-BC8

上，、?OCEC.OCEC5

由（1）可知：AABCSAOEC,**-----=-----，?.------=----->??EC——OC,

ACBC588

85

"：AC=EC-AE=5,：.-OC--OC=5,

58

39

?.OC------

200

綜上所述：線段OC的長(zhǎng)為工39或二25；

20013

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)￡在線段NC上時(shí),

，ZABC-ZABE=ZOEC-/ODC,：.ZEBO=ADCA.

ZDAC=ZABC-^ZACB=2ZACB9/BOE=NACB+/0EC=2NACB,

：./DAC=/BOE,

CDAC

?*.AACD/is△ABEO,------,

BEBO

CDOCACOC

VZABE^ZODC,NBAC=NDOC,：.^\ABE^/\ODC,：.—=——，；.——=——，

BEAEBOAE

?50c

8-OC5逆oc

5

.?.0C=8-屈或OC=8+屈（不合題意舍去），

AOC=8-病.

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加

恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

2.(202】秋?閔行區(qū)期末)已知四邊形Z8CC是菱形，/8=4,點(diǎn)E在射線C8上，點(diǎn)在射

線8上，且/

(1)如圖①，如果/8/。=90°,求證：AE=AF；

AJ7

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)石在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如果NZ8C=60°,設(shè)。/=%，一=?試建

AE

立V與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍：

(3)聯(lián)結(jié)/C,BE=2,當(dāng)是等腰三角形時(shí);請(qǐng)直接寫出。尸的長(zhǎng).

圖①圖②

【考點(diǎn)】四邊形綜合題.

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】(1)先證明四邊形N8CO是正方形，再證明A/IBE出△4。尸，從而命題得證；

(2)在49上截取OG=DE,先證明AOGF是正三角形，再證明進(jìn)一步求

得結(jié)果；

(3)當(dāng)/E=/C時(shí)，作4”JLCE于H,以尸為圓心，。尸為半徑畫弧交/。于G,作用V_L

DG]

AD于N,證明△/BZ/sZAGF=ZABE,可推出一-=再證明

DF2

4-DGGF

可推出-------=——，從而求得。尸，當(dāng)ZC=CE=6時(shí)，作Z”_LCE于，，以尸為圓心,

42

DF為半徑畫弧交AD于G,作FN±AD于N,作BMLAC于M,先根據(jù)S^ABC=-AC*BM

2

=LBCMH求得AH,進(jìn)而求得8”,根據(jù)LABE^/XAFF,也='和

2GF4

4+°G=_L,從而求得。凡根據(jù)三角形三邊關(guān)系否定力E=CE,從而確定。尸的結(jié)果，當(dāng)

GF2

點(diǎn)￡在8c的中點(diǎn)時(shí)，同樣的方法求得結(jié)果.

【解答】(1)證明：???四邊形/8CD是菱形，/8力。=90。，.?.菱形/8CD是正方形，

NBAE=NABC=ZADF=90°,AD=AB,

VZBAE=ZDAF,：.AABE^/\ADF(ASA),

.".AE—AF；

(2)如圖1,

在AD上截取DG=DF,

:四邊形/BCD是菱形，.,./，DF=N/8C=60。，AD=AB=6,

.?.△QG廠是正三角形，

Z.ZDFG=60°,GF=DF=DG=x,

.?./ZGF=//8E=120°,ZG=4-x,

AFAG

VZBAE=ZDAF,:.AAABESMGF,：.——=——

AEAB

4一%

(0<x<4)

當(dāng)NE=/C時(shí)，作4HLCE于H,以尸為圓心，。尸為半徑畫弧交X。于G,作/WL4Z）于

N,

：.CH=-CE=-x(4+2)=3,ZFND=ZAHB=90°,ZD=ZFGD,DG=2DN,

22

：.BH=BC-CH=4-3=1,

?四邊形/8C￡>是菱形，

AABHs叢FND,NAGF=NABE,

DNBH1DG1

DFAB4GF2

AGGF

■:NBAE=NDAF,：.^ABE^^AGF,：.——=——，

ABBE

八

...-4---D--G--=—GF②，

42

QQ

由①②得，GF=~,:.DF=一,

55

S3

當(dāng)ZC=CE=6時(shí)，作NH_LCE于”，以F為圓心，。尸為半徑畫弧交4）于G,作用V_L4。

于N,

AC

作于V,ACM=——=3,

2

：.BM=>JBC2-CM2=S,

由=-8C%，得，6幣=4?AH,：.AH=--

222

:.BH=yjAB2-AH2=-,

2

由第一種情形知：AABHsAFGN,AABEsdAFF,

.GNBH_1AGAB1

GF_5E-2,

2G1

-=①4+DG

GF4-

GF

由①②得，GF——,；?DF——,

77

'：AB+BE>AE,：.BC+BE>AE,即CE>AE,

如圖4,

當(dāng)當(dāng)￡是8c的中點(diǎn)時(shí)，CE=/C時(shí)，

作CG_L/8于G,

,:BE=CE=2,：.EG=BE=-BC,：.ZB=ZBGE,

2

VZB=ZACD,：.ZBGE=ZADC,：.ZAGE=ZADF,

:/BAD=NEAF,:.NBAE=NDAF,

GEAG

：.AGEsAAADF,；.——=——，

DFAD

由CCHBd-BG2=AC2-AG2得，

Z.42-(4-/G)2=22-NG2,：.AG^-,

4

2

,二。尸=16,

DF

圖5

當(dāng)月E=/C時(shí)，作NG_LBC于G,作ER=BE=2,：.EG=CG=\,

BG3

：.BG=BC-CG=3,：,cosB=——=一

AB4

33

:.BH=BE?cosB=2x-=-,：.BR=2BH=3,

42

―“ARER12

：.AR=\,由上知：=

ADDF4-DF1

:.DF=8,

綜上所述：。尸=?或蛆，或16或8.

57

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，面積法等

知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形.

3.(2020秋?崇明區(qū)期末)如圖，RtZ\NBC中，ZACB=90°,ZC=6,BC=8.點(diǎn)。為斜

邊的中點(diǎn)，EDL4B,交邊BC于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為射線/C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為邊8c上

的動(dòng)點(diǎn)，且運(yùn)動(dòng)過程中始終保持PZ)J_QD

(1)求證：XADP心EDQ；

(2)設(shè)NP=x,BQ=y.求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出該函數(shù)的定義域；

(3)聯(lián)結(jié)尸。，交線段ED于點(diǎn)、F.當(dāng)尸為等腰三角形時(shí)，求線段ZP的長(zhǎng).

C.

E

D

備用圖

【考點(diǎn)】三角形綜合題.

【專題】幾何綜合題；分類討論；等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；解直角三角形及

其應(yīng)用；推理能力.

【分析】（1）證=NEDQ=N4DP,即可得出

1c75APAD

(2)證△￡D8sA4C8,求出匹=2,EB=—,由(1)得：尸得一=一,

44EQED

解得：EQ=-x,進(jìn)而得出結(jié)論；

4

(3)iiEtanZ0PD=^=—=—=tanB,得NQPD=NB,再證△PDPSAB。。，得^

DPADBD

PDB為等腰三角形時(shí)，△8。。也為等腰三角形，再分三種情況：①若00=80,②BQ=BD,

③DQ=DB,分別求解即可.

【解答】(1)證明：；//C8=90°,，/Z+/8=90°,

"."EDA-AB,：.ZEDB=90°,1.NDEQ+NB=90°,

N4=NDEQ,

又：PDJ-QQ,AZPDQ^90a,

；.NEDQ+NPDE=NADP+NPDE=90°,；.NEDQ=NADP,

：./\ADPsXEDQ；

(2)解：'：ZACB=90°,AC=6,BC=S,.'.AB=^62+S2=10,

??,點(diǎn)D為斜邊的中點(diǎn)，：.AD=BD=1AB=5,

2

■:/EDB=NACB=90°,NB=NB,：.AEDB<^AACB,

.EDEBBDEDEB5

??---=---=---,Kn|nJ---=---=-9

ACABBC6108

解得：￡￡)=工，EB=生,

44

由(1)得：△ADPs/s.EDQ,：.—=—

EQED

43

—，解得：EQ=—x>

34

25

：.BQ=BE-EQ=—

44

'：AP^O,：.x^0,

253

/.------x20,

44

3~125、

--x(OWxW—)；

EOEDED

(3)解：由(1)得：AADP?AEDQ,：.—=——=—,

APADBD

■:PDLQD,：.ZPDQ=90°,

.seeDQEDED?

??tan/QPD=-==tanB,

DPADBD

：.ZQPD=ZB,

又?：/PDQ=/BDE=90°,:?/PDF=/BDQ,

：.APDFs^BD。,

.??△PO尸為等腰三角形時(shí)，△BD。也為等腰三角形,

①若DQ=BQ,過。作。于G,如圖所示：

BGBC84

則DG=BG=—BD=-9,**cos5=-----

BQAB105

74&力的2525

,=一，解得：X=—，a即nNP=一；

253566

--------X

44

25。5

②若80=2。，則三-當(dāng)=5,解得：x=-,

443

即AP=--,

3

③若DQ=DB,則

；NB+NDQB+NBDQ=2NB+NBDQ<18O°,此種情況舍去:

綜上所述，當(dāng)尸為等腰三角形時(shí)，線段/P的長(zhǎng)為在或上.

63

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等

腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角

形和直角三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

4.（2020秋?虹口區(qū)期末）如圖，在△Z8C中，N/8C=90°,4B=3,BC=4,過點(diǎn)Z作

射線4W〃8C,點(diǎn)。、E是射線上的兩點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)Z重合，點(diǎn)E在點(diǎn)。右側(cè)），聯(lián)

結(jié)80、8E分別交邊/C于點(diǎn)八G,NDBE=NC.

（1）當(dāng)/。=1時(shí)，求尸8的長(zhǎng)；

（2）設(shè)4O=x,FG=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（3）聯(lián)結(jié)DG并延長(zhǎng)交邊8C于點(diǎn)，，如果△08〃是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出力。的長(zhǎng).

備用圖

【考點(diǎn)】三角形綜合題.

【專題】幾何綜合題；推理能力.

【分析】（1）利用勾股定理計(jì)算/C和8。的長(zhǎng)，再證明尸s/\C8/，列比例式可得8尸

的長(zhǎng)；

（2）如圖1,先證明△/OFsaBGF,得”=匕，再證明尸s/\c8凡得

BFFG

-=—=—=分別表示。F,4尸和3尸的長(zhǎng)，代入比例式計(jì)算即可；根據(jù)NZ）8E無

BFCFBC4

限接近NDBC時(shí)，4。的值接近4,可得x的取值;

(3)分三種情況：①當(dāng)8。=?！〞r(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)BH=DH時(shí),分別根據(jù)平行

線分線段成比例定理列比例式，結(jié)合方程可解答.

【解答】解：⑴■:AMHBC,

：.ZDAB+ZABC=\?>0o,

VZABC=90°,；.NDAB=90°,

由勾股定理得：BD=^ADr+ABr=712+32=VlO,

ADDF

'：AM//BC,:.△AADFsLACBF,：.——=——

BCBF

1回-BF

'：AD=\,-------------

4BF

：.BF=^y/W;

(2)如圖1,YAM//BC,

圖1

：.ZC=ZCAM,

.：/DBE=NC,:?/DBE=/CAM,

AJ7DF

■:NBFG=NAFD,：./\ADF<^/\BGF,—

BFFG

:.AF?FG=BF,DF,

■:AM//BC,

：.AADFSMBF,

.DFAFAD_x

"BF~CF~BC~^

DFXAFx

y/x2+9x+4'ACx+4'

x=2,l5x

AF=------

b=3x+4

4&+9

同理得：BF

x+4

,5xx\Jx2+94A/X2+9

??—??，

x+4x+4x+4

4X2+36

..y=-----------；

-5x+20

如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在直線8c上時(shí)，ZDBC=ZACB=ZADB,

圖2

,：AB=BA,NABC=ND4B,

：./XDAB^ACBA(AAS),."Z)=8C=4,

的取值范圍是0<x<4；

(3)分三種情況：

①當(dāng)80=。，時(shí)，如圖3,過點(diǎn)。作。P_L8c于尸,

圖3

"：BD=DH,:.BP=PH=AD=x,

：.CH=4-2x,ZDBP=NDHP,

NDBE+ZGBH=ZC+ZCGH,：.ZCGH=ZGBH,

CGCH

"：ZC=ZC,:.△CHGsACGB，：.——=——，

BGCG

；.CG2=4(4-2x),

'：AD//CH,

.ADAGAD+CHAG+CG

：.---=——,即nn----------=---------,

CHCGCHCG

.x+4-2x_5.■.CG=^^

4-2x~CG4-x

_25(4-2x)2

Z.4(4-2x)

(4-x)2

.,.2?+9x-18=0,

3

.*.xi=—>x2=-6(舍)，

2

,3

：.AD=-；

2

由勾股定理得：BD=BH=yJx2+9,

204x2+364(4-x)

由(2)同理得：CG=CF-FG=-------

4+x5x+205-

.ADAG

?:ADaCH,,?--------=--------

CHCG

.AD+CHAG+CGHnx+4-x/7+95

CHCG4-777?4(X—4)

5

(9+4x)y/x2+9=4(/+9),解得：x=—,

8

7

：.AD=~；

8

③當(dāng)8〃=。〃時(shí)，如圖5,過點(diǎn)。作。K_L8C于K,

圖5

設(shè)KH=a,

■:BK=AD=x,:?DH=BH=x+a,

在RtZV)KH中，由勾股定理得：D產(chǎn)+101=D*

77..79—d

..3z+az=(Q+X),，.'.a=-----,

2x

9-x2_-x2+8x-9

：.CH=4-BH=4-x-

2x2x

?：AD〃CH,

—x^+8x—9

x+

.ADAG.AD+CHAG+CGnn2x5

CHCGCHCG-X2+8X-94(4-X)

F5

.X2+8X-925

"x2-8x+94(尤-4)'

,、9

Z.(X2+9)(4x-9)=0,.”=一，

4

??AD=一,

4

綜上，的長(zhǎng)是士3或L7或'9.

284

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角

形的性質(zhì)和判定等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用分類討論的思想解決問題，并與方程相結(jié)合,

本題計(jì)算量大，屬于中考?jí)狠S題.

5.（2020秋?青浦區(qū)期末）在△/BC中，/C=90°,AC=2,8c=26,點(diǎn)。為邊/C

/T

的中點(diǎn)(如圖)，點(diǎn)尸、。分別是射線BC、以上的動(dòng)點(diǎn)，且BQ=~yBP,聯(lián)結(jié)P0、QD、

DP.

(1)求證：PQ1.AB-,

(2)如果點(diǎn)P在線段8C上，當(dāng)△P。。是直角三角形時(shí)，求8P的長(zhǎng)；

(3)將△尸0。沿直線QP翻折，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，如果點(diǎn)。位于△45C內(nèi)，請(qǐng)直接

寫出8P的取值范圍.

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.

【專題】幾何綜合題；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱：運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】(1)判斷出得出N80P=N/CB=9O°,即可得出結(jié)論；

(2)先判斷出/尸。。＜90°,再分兩種情況，利用銳角三角函數(shù)或相似三角形得出比例式,

即可得出結(jié)論；

(3)找出分界點(diǎn)，利用三角函數(shù)和勾股定理求解，即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)在RtZ\/8C中，NC=2,8c=2G，

根據(jù)勾股定理得，AB=y/AC2+BC2=小個(gè)+(26￥=4,

._2A/3_V3

.BQ=也.BQ=BC=6

BP,

,?而一而—E

,/NQBP=NCBA,：.△BPQS/\B4C,

:.NBQP=NACB=9Q°,

：.PQLAB-,

（2）?點(diǎn)。是NC的中點(diǎn)，

：.AD=CD=-AC=\,

2

由（1）知，PQLAB,：.ZAQP=90°,

AZPQD<90°,

,/△P0D是直角三角形，

:.①當(dāng)NDPQ=90°時(shí)，如圖1,

在RtZ\N8C中，AC=2,AB=4,

AC1

：.s\nAABC=——=一，ZABC=30°,

AB2

：.ZQPB=90°-ZABC=60°,

CD1

AZDPC=900-NBPQ=30°,：.CP=

tanZCPDtan30c

:.BP=BC-CP=g,

②當(dāng)NPOQ=90。時(shí)，

AZADQ+ZPDC=90°,

如圖2,過。作Q￡L4c于￡,

AZDEQ=90°=ZACB,：.ZADQ+ZDQE=90°,ZDQE=ZPDC,

：.△E0￡>s/\s尸，

?DEQE?DEED

''~CP~~CD'''~CD~~CP'

設(shè)BP『,則CP=BC-BP=2G-t,

6

在RtZXBQP中，BQ=BPcos30°=tf

2

72=4一爭(zhēng)

9-4)?與=26-%但加=2一爭(zhēng)

在RtZ\/EQ中，QE=/Qcos30°=

，…”烏7,

4

26T

■,^7-1―

156一5T,15出+回」?用仝土、

:?t=---------------或￡=，=----------------(大于213,舍去)

66

??Dr-I----------------;

6

_A-.15百一局

即nnBP=,3或1=-----------；

6

(3)理由：如圖3,

①當(dāng)點(diǎn)。恰好落在邊BC上時(shí)，

由折疊知，PD'=PD,PQ±DD',

由(1)知，PQLAB,

：.DD'//AB,：.ZDD'C=ZABC=30Q,：.CD'=CD=y/3,

設(shè)BP=m,則CP=8C-8P=26-m,

:.DP=D'P=CD'-CP=m-73,

在Rt^COP中，根據(jù)勾股定理得，。尸=Cp2+c02,

/.(m-A/3)2—(2V3-〃？)2+l,

3

②當(dāng)點(diǎn)。落在。時(shí)，即尸。過點(diǎn)。，

在Rtz^C。尸中，/P=90°-/。。尸'=30°,

BPC

圖］

A

圖1

【點(diǎn)評(píng)】此題是幾何變換綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳

角三角函數(shù)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

6.(2020秋?奉賢區(qū)期末)已知。。的直徑/8=4,點(diǎn)P為弧上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)以、PO,

點(diǎn)C為劣弧NP上一點(diǎn)(點(diǎn)C不與點(diǎn)兒尸重合)，聯(lián)結(jié)交RJ、尸。于點(diǎn)。、E.

7

(1)如圖，當(dāng)cos/CBO=—時(shí)，求8c的長(zhǎng)；

8

(2)當(dāng)點(diǎn)C為劣弧4尸的中點(diǎn)，且尸與△NOP相似時(shí)，求N48C的度數(shù);

(3)當(dāng)/。=2。尸，且△8E。為直角三角形時(shí)，求四邊形/的面積.

【專題】幾何綜合題；推理能力.

【分析】(1)解法一：如圖1,