專題08解非直角三角形重難點(diǎn)專練-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練

專題08解非直角三角形重難點(diǎn)專練（解析版）第I卷（選擇題）一、單選題1．已知直角梯形的一腰長(zhǎng)為18cm，另一腰長(zhǎng)為9cm，則較長(zhǎng)的腰與底所成角為（）A．120°和60° B．45°和135° C．30°和150° D．90°【答案】C【分析】作梯形的另一高，得到一個(gè)矩形和一個(gè)直角三角形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等得該高等于9，則直角三角形中，斜邊是18，一條直角邊是9，所以較長(zhǎng)的腰與一底所成的角是30度．根據(jù)平行線的性質(zhì)，得與另一底所成的角是150°．【詳解】作DE⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC

∴四邊形ABED為平行四邊形

∴AB=DE=9

∴sinC∴∠C=30°

∴∠ADC=150°

∴較長(zhǎng)的腰與底所成的角為30°或150°

故選C．【點(diǎn)睛】考查了三角函數(shù)，解題關(guān)鍵是作直角梯形的另一高，組成了一個(gè)矩形和一個(gè)30°的直角三角形．2．如圖，一架飛機(jī)在點(diǎn)A處測(cè)得水平地面上一個(gè)標(biāo)志物P的俯角為α，水平飛行m千米后到達(dá)點(diǎn)B處，又測(cè)得標(biāo)志物P的俯角為β，那么此時(shí)飛機(jī)離地面的高度為()A．千米 B．千米 C．千米 D．千米【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念進(jìn)行作答.【詳解】在P點(diǎn)做一條直線垂直于直線AB且交于點(diǎn)O，由銳角三角函數(shù)知，AO=PO，BO=PO，又AB=m=AOBO=POPO=.所以答案選A.【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念，熟練掌握銳角三角函數(shù)是本題解題關(guān)鍵.第II卷（非選擇題）二、解答題3．已知：如圖，在△中，，，．求的長(zhǎng)．【答案】．【分析】過(guò)A作AD⊥BC于D，在直角△ABD與直角△ACD中，設(shè)，BD與CD都可以用含有k的式子表示出來(lái)，根據(jù)BD＋CD＝BC即可得到一個(gè)關(guān)于k的方程，即可求得AC．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于．在△中，，，設(shè)，則．在△中，，，∴，．∴，．∴．∵，∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解非直角三角形，解題的關(guān)鍵是利用輔助線構(gòu)造直角三角形，將一般三角形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形來(lái)解決．4．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)D與點(diǎn)B分別位于直線AC的兩側(cè)，且AD=AC,聯(lián)結(jié)BD、CD，BD交直線AC于點(diǎn)E.（1）當(dāng)∠CAD=90°時(shí)，求線段AE的長(zhǎng).（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD，垂足為點(diǎn)H，直線AH交BD于點(diǎn)F，①當(dāng)∠CAD<120°時(shí)，設(shè)，（其中表示△BCE的面積，表示△AEF的面積），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AE的長(zhǎng).【答案】（1）（2）()；（3）或【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．，則．根據(jù)構(gòu)建方程求出即可解決問題．（2）①證明，可得，由此構(gòu)建關(guān)系式即可解決問題．②分兩種情形：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求解即可解決問題．【詳解】解：（1）是等邊三角形，，．，，，，，，．過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．設(shè)，則．在中，，，，，在中，，，解得．所以線段的長(zhǎng)是．（2）①設(shè)，則，．，，，又，，，又，，，由（1）得在中，，，，．②當(dāng)時(shí)，，則有，整理得，解得或（舍棄），．當(dāng)時(shí)，同法可得當(dāng)時(shí)，，整理得，解得（舍棄）或1，．綜上所述：當(dāng)∠CAD<120°時(shí)，；當(dāng)120°<∠CAD<180°時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．5．如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)C在軸上，OC=4，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段BC上，ED⊥AD.（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)BD，求cot∠BDE的值；（3）點(diǎn)G在直線BC，且∠EDG=45°，求點(diǎn)G的坐標(biāo).【答案】（1）（4,1）；（2）2；（3）（4，）或（4,6）.【分析】（1）先求出OA、OD、DC的長(zhǎng)度，再證明△AOD≌△DCE，從而得出EC=OD，即可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；（2）作EQ⊥BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求DQ和EQ的長(zhǎng)度，即可求出cot∠BDE；（3）分G在C點(diǎn)下方和B點(diǎn)上方兩種情況討論，借助三角形的相似即可求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)A在y軸上，∴A(0,3)，即OA=3當(dāng)y=0時(shí)，，解得x=1∴D(1,0)，即OD=1∵矩形OABC中OC=4，∴OB=OA=3,DC=OCOD=3∠AOC=∠BCD=90°.∴∠OAD+∠ADO=90°∵ED⊥AD∴∠EDC+∠ADO=90°∴∠EDC=∠OAD又∵OA=CD=3∴△AOD≌△DCE（ASA）∴CE=OD=1∴E（4,1）.（2）過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥BD，與BD相交于Q.∵DC=BC=3，∠BCD=90°，∴△BCD為等腰直角三角形，∴BD=，∠DBC=45°∵EQ⊥BD∴△EBQ為等腰直角三角形∵CE=1∴BE=BCCE=2∴BQ=QE=∴QD=∴(3)如圖①當(dāng)G點(diǎn)在C點(diǎn)上方時(shí)∵∠EDG=45°=∠EDC+∠GDC∠BDC=45°=∠BDE+∠EDC∴∠GDC=∠BDE∴Rt△GCD∽R(shí)t△EQD∴即解得GC=故G（4，）；②當(dāng)G‘點(diǎn)在B點(diǎn)上方時(shí)∵∠DG‘C+∠G‘DB=∠DBC=45°∠G‘DB+∠BDE=∠EDG‘=45°∴∠DG‘C=∠BDE∵∠DBC=∠EDG‘=45°∴△DEG‘∽△BED∴∵,BE=2,∴EG‘=5∴CG‘=6即G‘（4,6）故G點(diǎn)坐標(biāo)為（4，）或（4,6）.【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形，平面直角坐標(biāo)系，解直角三角形等，熟練掌握相關(guān)定理，并能借助定理求出線段的長(zhǎng)度，是解決此題的關(guān)鍵.6．一條漁船距對(duì)岸4km，以2km/h速度向垂直于對(duì)岸的方向劃去，到達(dá)對(duì)岸時(shí)，船的實(shí)際航程為8km，求河水的流速.【答案】【解析】【分析】由題意知，由勾股定理求出水流的距離，然后求解河水的流速.【詳解】解：如圖，設(shè)表示船垂直于對(duì)岸的速度，表示水流的速度，則由，就是漁船實(shí)際航行的速度，航行的時(shí)間為在中，，【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量在物理中的應(yīng)用，直角三角形以及勾股定理模型的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵.7．△ABC中，∠ACB＝90°，tanB＝，AB＝5，點(diǎn)O為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓交射線BC于點(diǎn)E，以A為圓心，OB為半徑的圓交射線AC于點(diǎn)G．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、G分別在邊BC、AC上，且CE＝CG時(shí)，請(qǐng)判斷圓A與圓O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)圓O與圓A存在公共弦MN時(shí)(如圖2)，設(shè)OB＝x，MN＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(3)設(shè)圓A與邊AB的交點(diǎn)為F，聯(lián)結(jié)OE、EF，當(dāng)△OEF為以O(shè)E為腰的等腰三角形時(shí)，求圓O的半徑長(zhǎng)．【答案】(1)圓A與圓O外切，理由見解析；(2)y＝(＜x＜5)；(3)當(dāng)△OEF為以O(shè)E為腰的等腰三角形時(shí)，圓O的半徑長(zhǎng)為或或5．【分析】（1）由三角函數(shù)得出AC＝3，BC＝4，作OP⊥BE于P，則PB＝PE，OP∥AC，得出＝，設(shè)PB＝PE＝x，則CG＝CE＝4﹣2x，得出OB＝x，AG＝AC﹣CG＝2x﹣1，得出方程，得出x＝，OB═，求出OA＝AB﹣OB＝2OB，即可得出結(jié)論；（2）連接OM，由相交兩圓的性質(zhì)得出OA與MN垂直平分，∠ODM＝90°，DM＝MN＝y(tǒng)，AD＝OD＝（5﹣x），由勾股定理得出方程，整理即可；（3）分三種情況：①當(dāng)圓O與圓A外切，OE＝OF時(shí)，圓O與圓A外切，圓O的半徑長(zhǎng)OB＝；②當(dāng)OE＝FE時(shí)，圓O與圓A相交，作EH⊥OF于H，則OF＝OH＝﹣OB，證明△BEH∽△BAC，得出EH＝，在Rt△OEH中，由勾股定理得出方程，解方程即可；③當(dāng)O與A重合時(shí)，OE＝OF，OE＝AB＝5；即可得出結(jié)論．【詳解】(1)圓A與圓O外切，理由如下：∵∠ACB＝90°，tanB＝，AB＝5，∴AC＝3，BC＝4，作OP⊥BE于P，如圖1所示：則PB＝PE，OP∥AC，，設(shè)PB＝PE＝x，則CG＝CE＝4﹣2x，解得：x＝，∴OB═，∴OA＝AB﹣OB＝5＝2OB，∴圓A與圓O外切；(2)連接OM，如圖2所示：∵圓O與圓A存在公共弦MN，∴OA與MN垂直平分，∴∠ODM＝90°，DM＝由勾股定理得：DM2＝OM2﹣OD2，即整理得：y2＝3x2+10x﹣25，∴y＝；(3)分三種情況：①當(dāng)圓O與圓A外切，OE＝OF時(shí)，圓O與圓A外切，圓O的半徑長(zhǎng)OB＝；②當(dāng)OE＝FE時(shí)，圓O與圓A相交，如圖3所示：作EH⊥OF于H，則OF＝OH＝﹣OB，∵∠B＝∠B，∠EHB＝90°＝∠C，∴△BEH∽△BAC，∴，∴EH＝，在Rt△OEH中，由勾股定理得：＝OE2＝OB2，解得：OB＝；③當(dāng)O與A重合時(shí)，OE＝OF，F(xiàn)與B重合，OE＝AB＝5；綜上所述，當(dāng)△OEF為以O(shè)E為腰的等腰三角形時(shí)，圓O的半徑長(zhǎng)為或或5．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題目，考查了兩圓的位置關(guān)系、相交兩圓的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．8．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是邊AB的中點(diǎn)，CE=CB，CD=5，.求：（1）BC的長(zhǎng)．（2）tanE的值．【答案】（1）BC=8;（2）tanE=3.【解析】【分析】（1）先利用直角三角形斜邊的性質(zhì)求出AC，再利用即可求出AB。再利用勾股定理即可求出BC的長(zhǎng)；（2）作EH⊥BC垂足為，求得△EHC∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)求出EH,CH，BH，再利用三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，是邊的中點(diǎn);∴,∵;∴;∵sin∠ABC=;由解得;∵∴.（2）作EH⊥BC垂足為；∴；∵D是邊AB的中點(diǎn)；∴BD=CD=AB；∴∠DCB=∠ABC;∵∠ACB=90°；∴∠EHC=∠ACB；∴△EHC∽△ACB∴；由BC=8，CE=CB,得CE=8，∠CBE=∠CEB，；∴解得EH=,CH=；;∴，即tanE=3.【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定與性質(zhì).9．如圖，已知中，，，．（1）求邊AC的長(zhǎng)；（2）將沿直線l翻折后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，直線l分別與邊AB、BC相交于點(diǎn)D、E，求的值．【答案】（1）;（2）【分析】（1）過(guò)A作AH⊥BC，垂足為H，根據(jù)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到AH=3，根據(jù)，求出CH,根據(jù)勾股定理即可求出邊AC的長(zhǎng).（2）由翻折得：，AE=BE，，根據(jù)，即可求出,AH=3,根據(jù)勾股定理即可求出，即可求出的值．【詳解】（1）過(guò)A作AH⊥BC，垂足為H∵AB=6，，AH⊥BC∴AH=3∵∴CH=2∴（2）連接AE,如圖所示：由翻折得：，AE=BE，∵∴∴∴，AH=3∴∴【點(diǎn)睛】考查解三角形，勾股定理等，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.10．如圖，某小區(qū)A棟樓在B棟樓的南側(cè)，兩樓高度均為90m，樓間距為MN．春分日正午，太陽(yáng)光線與水平面所成的角為55.7°，A棟樓在B棟樓墻面上的影高為DM；冬至日正午，太陽(yáng)光線與水平面所成的角為30°，A棟樓在B棟樓墻面上的影高為CM．已知CD＝44.5m．(1)求樓間距MN；(2)若B號(hào)樓共30層，每層高均為3m，則點(diǎn)C位于第幾層？(參考數(shù)據(jù)：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47)【答案】(1)50；(2)21層【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),設(shè)PE=x,在直角三角形PCE中表示出CE,利用CE=DF=MN,在直角三角形PDF中用三角函數(shù)即可求出結(jié)論,（2）根據(jù)上一問求出PE的長(zhǎng),進(jìn)而求出CM的長(zhǎng),利用每層樓高3米即可解題.【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AN與E,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AN與F,設(shè)AE=x,∵∠C=30°,∴CE=1.72x,EF=44.5,在△PDF中,DF==50,（2）由（1）知,CE=50,PE=CEtan30°=500.58=29,∴CM=61,∵每層高均為3m，∴點(diǎn)C位于第21層.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,中等難度,作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.11．如圖，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．（1）求邊AC的長(zhǎng)；（2）設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為D，求的值．【答案】（1）AC=；（2）．【詳解】【分析】（1）過(guò)A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AC的長(zhǎng)即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長(zhǎng)，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AD的長(zhǎng)，即可求出所求．【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC=，AB=5，∴AE=3，BE=4，∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理得：AC==；（2）∵DF垂直平分BC，∴BD=CD，BF=CF=，∵tan∠DBF=，∴DF=，在Rt△BFD中，根據(jù)勾股定理得：BD==，∴AD=5﹣=，則．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確添加輔助線、根據(jù)邊角關(guān)系熟練應(yīng)用三角函數(shù)進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵.12．如圖，在△ABC中，sinB=，點(diǎn)F在BC上，AB=AF=5，過(guò)點(diǎn)F作EF⊥CB交AC于點(diǎn)E，且AE∶EC=3∶5，求BF的長(zhǎng)與sinC的值．【答案】6，【詳解】分析：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CB，垂足為點(diǎn)D，根據(jù)解直角三角形的計(jì)算解答即可．詳解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CB，垂足為點(diǎn)D，∵sinB＝，∴cosB＝，在Rt△ABD中，BD＝AB?cosB＝5×＝3，∵AB=AF

AD⊥CB，∴BF=2BD=6，∵EF⊥CB

AD⊥CB，∴EF∥AD，∴，∵AE：EC=3：5DF=BD=3，∴CF=5，∴CD=8，在Rt△ABD中，AD＝AB?sinB＝5×＝4，在Rt△ACD中，AC＝＝4，∴sinC＝．點(diǎn)睛：此題考查解直角三角形問題，關(guān)鍵是根據(jù)解直角三角形的計(jì)算解答．三、填空題13．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，則S△ABC＝_____（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】先根據(jù)AB＝5，∠B＝60°，求出△ABC中BC邊上的高，再根據(jù)三角形的面積公式代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵AB＝5，∠B＝60°，∴△ABC中，BC邊上的高＝sin60°×AB＝×5＝，∵BC＝8，∴S△ABC＝×8×＝10；故答案為：10．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，關(guān)鍵是利用解直角三角形求出BC邊上的高，用到的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形、三角形的面積公式，難度不大．14．如圖，海中有個(gè)小島A，一艘輪船由西向東航行，在點(diǎn)B處測(cè)得小島A位于它的東北方向，此時(shí)輪船與小島相距20海里，繼續(xù)航行至點(diǎn)D處，測(cè)得小島A在它的北偏西60°方向，此時(shí)輪船與小島的距離為________海里．【答案】20【分析】過(guò)點(diǎn)A作AC⊥BD，根據(jù)方位角及三角函數(shù)即可求解．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥BD，依題意可得∠ABC=45°∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)在Rt△ACD中，∠ADC=90°60°=30°∴AD=2AC=20(海里)故答案為：20．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值．15．等腰三角形的周長(zhǎng)為，腰長(zhǎng)為1，則底角等于____________【答案】30°【分析】作底邊上的高，根據(jù)底和腰的關(guān)系可求得底角的余弦值，可求得底角．【詳解】如圖∵△ABC的周長(zhǎng)為，腰長(zhǎng)為1，∴AB=AC=1,BC=，∴過(guò)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,則BD=，在Rt△ABD中,，∴∠B=30°，故填30°.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì).解決此題時(shí)需注意①根據(jù)已知題意構(gòu)造圖形可以更加直觀的觀察線段與角之間的關(guān)系；②題中邊BD，邊AB和∠B滿足鄰邊與斜邊的關(guān)系，故用余弦解直角三角形.16．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，它恰好能按圖示方式被分割成四個(gè)全等的直角梯形，則AB：BC＝_____．【答案】【分析】如圖連接EC，設(shè)AB＝a，BC＝b則CD＝2b．只要證明∠D＝60°，根據(jù)，即可解決問題．【詳解】解：如圖連接EC，設(shè)AB＝a，BC＝b則CD＝2b．由題意四邊形ABCE是矩形，∴CE＝AB＝a，∠A＝∠AEC＝∠CED＝90°，∵∠BCF＝∠DCF＝∠D，又∵∠BCF+∠DCF+∠D＝180°，∴∠D＝60°，∴，∴，∴，∴故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查直角梯形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，利用角相等這個(gè)信息解決問題，發(fā)現(xiàn)特殊角是解題的突破口，屬于中考?？碱}型．17．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，CD＝5，那么∠D的度數(shù)是_____．【答案】60°或120°【解析】【分析】該題根據(jù)題意分為兩種情況，首先正確畫出圖形，根據(jù)已知易得直角三角形DEC的直角邊和斜邊的長(zhǎng)，然后利用三角函數(shù)，即可求解.【詳解】①如圖1，過(guò)D作DE⊥BC于E，則∠DEC＝∠DEB＝90°，∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝90°，∴四邊形ABED是矩形，∴∠ADE＝90°，AB＝DE＝，∵CD＝5，∴sinC＝＝，∴∠C＝60°，∴∠EDC＝30°，∴∠ADC＝90°+30°＝120°；②如圖2，此時(shí)∠D＝60°，即∠D的度數(shù)是60°或120°，故答案為：60°或120°．【點(diǎn)睛】該題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，解決該題的關(guān)鍵一是：能根據(jù)題意畫出兩種情況，二是：把該題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，從而即可求解.18．如圖，在△中，，,.則邊的長(zhǎng)為___________.【答案】【分析】過(guò)A作AD⊥BC于D點(diǎn)，根據(jù)，可求得C