第二章有理數(shù)（壓軸題專練）-2023-2024學年學年七年級數(shù)學上學期單元精講速記巧練（蘇科版）

第二章有理數(shù)（壓軸題專練）一、數(shù)軸與絕對值的綜合應用1．閱讀下列材料：經過有理數(shù)運算的學習，我們知道可以表示5與3之差的絕對值，同時也可以理解為5與3兩個數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離，我們可以把這稱之為絕對值的幾何意義．同理，可以表示5與之差的絕對值，也可以表示5與兩個數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離．試探究：

(1)表示數(shù)軸上________與________所對應的兩點之間的距離．(2)表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應的點到________所對應的點之間的距離；表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應的點到________所對應的點之間的距離．(3)利用絕對值的幾何意義，請找出所有符合條件的整數(shù)，使得．這樣的整數(shù)有________．(4)利用絕對值的幾何意義，寫出的最小值為________．(5)利用絕對值的幾何意義，寫出的最小值為________．【答案】(1)4，1(2)5，(3)，，0，1，2，3，4，5(4)5(5)5【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上的兩點距離可直接進行求解；（2）根據(jù)數(shù)軸上的兩點距離可直接進行求解；（3）根據(jù)絕對值的幾何意義，得出該式表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應的點到的距離和到5的距離的和為7，繼而求解；（4）（5）首先結合數(shù)軸判斷出式子的幾何意義，再結合數(shù)軸判斷．【詳解】（1）解：表示數(shù)軸上4與1所對應的兩點之間的距離；（2）表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應的點到5所對應的點之間的距離；，則表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應的點到所對應的點之間的距離；（3）表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應的點到的距離和到5的距離的和為7，∴這樣的整數(shù)點有，，0，1，2，3，4，5，共8個；（4）表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應的點到的距離和到2的距離的和，則當時，的最小，且為5；（5）表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應的點到1和以及3的距離的和，∴當時，的最小，且為5．2．大家知道，它在數(shù)軸上表示5的點與原點（即表示0的點）之間的距離，又如式子，它在數(shù)軸上的意義是表示6的點與表示3的點之間的距離，即點A、B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a、b，則A、B兩點的距離可表示為：，根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是______；數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是______；(2)點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)x和．①用代數(shù)式表示A、B兩點之間的距離；②如果，求x的值；(3)直接寫出代數(shù)式的最小值及相應的x的取值范圍．【答案】(1)3，3(2)①；②或(3)5，【分析】（1）根據(jù)題意，可得數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是：；數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是：．（2）①根據(jù)點、在數(shù)軸上分別表示實數(shù)和，可得表示、兩點之間的距離是．②如果，則，據(jù)此求出的值是多少即可．（3）根據(jù)題意，可得代數(shù)式表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應的點到4和所對應的兩點距離之和，所以當時，代數(shù)式的最小值是表示4的點與表示的點之間的距離，即代數(shù)式的最小值是5．【詳解】（1）解：根據(jù)分析，可得數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是：；數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是：．（2）①．②如果，則，或，解得或．（3）代數(shù)式表示數(shù)軸上有理數(shù)所對應的點到4和所對應的兩點距離之和，當時，代數(shù)式的最小值是：，即代數(shù)式的最小值是5，的取值范圍是．3．數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離可記作；表示數(shù)的點與表示數(shù)的點的距離可記作．也就是說，在數(shù)軸上，如果A點表示的數(shù)記為點表示的數(shù)記為b．則兩點間的距離就可記作．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示和2的兩點之間的距離是_____________，數(shù)軸上表示和3的兩點之間的距離是_____________；(2)數(shù)軸上表示x與的兩點A和B之間的距離為5，那么x為_____________；(3)①找出所有使得的整數(shù)x；②求的最小值．【答案】(1)5，5(2)3，(3)①，0，1，2．

②4【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離公式直接代入計算即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離公式直接代入可得之間的距離為；當時，即時，可求得x的值；（3）①從數(shù)軸上可以看出只要x取和2之間的數(shù)（包括，2）就有，可得這樣的整數(shù)是；②對x進行討論，可得的最小值．【詳解】（1）表示和2的兩點之間的距離是，表示和3的兩點之間的距離是；故答案為：5，5；（2）由題意可得，，∴或，∴或；故答案為：3，．（3）①從數(shù)軸上可以看出只要x取和2之間的數(shù)（包括，2），就有，因此這樣的整數(shù)是；②對x進行討論：當時，，恒成立；當時，；當時，；綜上，的最小值為4．4．如圖，請回答問題：(1)點B表示的數(shù)是，點C表示的數(shù)是．(2)折疊數(shù)軸，使數(shù)軸上的點B和點C重合，則點A與數(shù)字重合．(3)m、n兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離可以表示為|m﹣n|，如5與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離可以表示為|5﹣（﹣2）|，從而很容易就得出在數(shù)軸上表示5與﹣2兩點之間的距離是7．①若x表示一個有理數(shù)，則|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝．②若x表示一個有理數(shù)，且|x﹣4|+|x+3|＝7，則滿足條件的所有整數(shù)x的和是．③當x＝時，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值．④當x取何值時，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值為多少？【答案】(1)﹣2，6(2)9(3)①3；②4；③4；④x＝，最小值為【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上點的特點，直接求解即可；（2）由折疊可知，折痕點對應的數(shù)是2，再由對稱性可知點A與數(shù)字9重合；（3）①當3≤x≤6時，|x﹣3|+|x﹣6|的值最??；②當﹣3≤x≤4時，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值為7，再求出符合條件的整數(shù)即可求解；③找到2，2，3，3，4，4，4，4，4的中間數(shù)即為所求；④由2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，可得4個，3個，1個，2個，3個3的中間數(shù)是，當x＝時，式子有最小值．【詳解】（1）解：由圖可得，點B表示的數(shù)是﹣2，點C表示的數(shù)是6，故答案為：﹣2，6；（2）解：∵折疊后點B和點C重合，∴BC的中點為折痕點，∴折痕點對應的數(shù)是2，∴點A與數(shù)字9重合，故答案為：9；（3）解：①|x﹣3|+|x﹣6|表示數(shù)軸上表示x的點到表示3的點和6的點的距離之和，∴當3≤x≤6時，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小，∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值為3，故答案為：3；②|x﹣4|+|x+3|表示數(shù)軸上表示x的點到表示﹣3的點和4的點的距離之和，∴當﹣3≤x≤4時，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值為7，∵|x﹣4|+|x+3|＝7，∴x的整數(shù)值為﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，∴，∴滿足條件的所有整數(shù)x的和是4，故答案為：4；③2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|表示2倍的x到2的距離，2倍的x到3的距離，5倍的x到4的距離之和，∴2，2，3，3，4，4，4，4，4的中間數(shù)是4，∴當x＝4時，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|的最小值；故答案為：4；④2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，表示4倍的x到的距離，3倍x到的距離，x到的距離，2倍x到的距離，3倍x到3的距離之和，∴4個，3個，1個，2個，3個3的中間數(shù)是，∴當x＝時，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|的值最小，最小值為．數(shù)軸動點問題5．數(shù)軸上點A表示，點B表示6，點C表示12，點D表示18．如圖，將數(shù)軸在原點O和點B、C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．在“折線數(shù)軸”上，把兩點所對應的兩數(shù)之差的絕對值叫這兩點間的和諧距離．例如，點A和點D在折線數(shù)軸上的和諧距離為個單位長度．動點M從點A出發(fā)，以4個單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運動，從點O運動到點C期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，過點C后繼續(xù)以原來的速度向終點D運動；點M從點A出發(fā)的同時，點N從點D出發(fā)，一直以3個單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”負方向向終點A運動，其中一點到達終點時，兩點都停止運動．設運動的時間為t秒．(1)當秒時，M、N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離為__________；(2)當點M、N都運動到折線段上時，O、M兩點間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；C、N兩點間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；__________時，M、N兩點相遇；(3)當__________時，M、N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度；當__________時，M、O兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離相等．【答案】(1)12(2)，，(3)或；8或【分析】（1）當秒時，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，即的M、N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離為；（2）當點M、N都運動到折線段上，即時，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，而M、N兩點相遇時，M、N表示的數(shù)相同，即得，可解得答案；（3）根據(jù)M、N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度，得，可解得或，由時，M運動到O，同時N運動到C，可知時，不存在M、O兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，當，即M在從點O運動到點C時，有，可解得或，當時，M在從C運動到D，速度變?yōu)?個單位/秒，不存在M、O兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，即可得答案．【詳解】（1）當秒時，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，∴M、N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離為，故答案為：12；（2）由（1）知，2秒時M運動到O，N運動到C，∴當點M、N都運動到折線段上，即時，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，∴O、M兩點間的和諧距離，C、N兩點間的和諧距離，∵M、N兩點相遇時，M、N表示的數(shù)相同，∴，解得，故答案為：，，；（3）∵M、N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度，∴，即，∴或，解得或，由（1）知，時，M運動到O，同時N運動到C，∴時，不存在M、O兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，當，即M在從點O運動到點C時，，即，∴或，解得或，當時，M在從C運動到D，速度變?yōu)?個單位/秒，不存在M、O兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，故答案為：或；8或．6．如圖，在數(shù)軸上有三點，分別表示有理數(shù)，，，且，，滿足式子；如圖：動點從點出發(fā)，以2個單位/秒的速度一直向右運動，點運動5秒后，長度為6個單位的線段（為線段左端點且與點重合，為線段右端點）從點出發(fā)以3個單位/秒的速度向右運動，當點到達點后，線段立即以同樣的速度返回向左運動，當點到達點后線段再以同樣的速度向右運動，如此往返．設點運動時間為秒．(1)求，，的值；(2)當______秒時，點與點重合，并求出此時線段上點所表示的數(shù)；(3)記線段的中點為，在運動過程中，當點與點的距離為1個單位時，求的值．【答案】(1)，，(2)22秒，11(3)或15【分析】（1）根據(jù)絕對值的非負的性質求解即可；（2）結合（1）確定之間的距離，然后根據(jù)點運動的速度可計算當秒時，點與點重合；當秒時，線段的運動時間為秒，即可確定線段從運動到所用時間為秒，結合數(shù)軸上點起始位置所表示數(shù)為，即可確定線段運動17秒后，點所表示數(shù)為；（3）由點為線段的中點，首先確定點的起始位置所表示數(shù)為，然后結合在運動過程中點所表示數(shù)為，分，，三個階段逐一分析計算即可獲得答案．【詳解】（1）解：，，，，，，，，，；（2）所表示數(shù)為，所表示數(shù)為14，，點從運動到所用時間為秒，即當秒時，點與點重合；線段的運動時間為秒，線段從運動到所用時間為秒，數(shù)軸上點起始位置所表示數(shù)為，線段運動17秒后，點所表示數(shù)為；（3）點的起始位置所表示數(shù)為：；在運動過程中，點所表示數(shù)為：，①當時，點所表示數(shù)為：，，（舍），（舍）；②當時，點所表示數(shù)為：，，，；③當時，點所表示數(shù)為：，，，．綜上所述，或15．7．觀察、理解與應用．題目：如圖數(shù)軸上有三點A、B和C，其中A點在處，B點在2處，C點在原點處．(1)，表示的意義是；(2)，，即用字母表示線段長，，猜想：，設P、Q在數(shù)軸上分別表示的數(shù)為和220，則線段；(3)歸納：如果M、N在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為，，則線；(4)應用：若動點P，Q分別從點和2處同時出發(fā)，沿數(shù)軸負方向運動；已知點P的速度是每秒1個單位長度，點Q的速度是每秒2個單位長度，問：①t為2秒時P，Q兩點的距離是多少？（列算式解答）②t為秒時P，Q兩點之間的距離為2？【答案】(1)3，數(shù)軸上表示的點到原點的距離(2)5，320(3)(4)①3；②3或7【分析】（1）根據(jù)絕對值的幾何意義進行解答即可得出答案；（2）根據(jù)題目所給的例題，根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離計算方法進行計算即可得出答案；（3）根據(jù)（2）中的結論進行解答即可得出答案；（4）①根據(jù)題意先計算出為2秒時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，根據(jù)（3）結論進行計算即可得出答案；②設經過秒，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，根據(jù)（3）中的結論可得，化簡得，根據(jù)絕對值的性質可得或，計算即可得出答案．【詳解】（1）解：，表示的意義是數(shù)軸上表示的點到原點的距離；故答案為：3，數(shù)軸上表示的點到原點的距離；（2），；故答案為：5，320；（3）根據(jù)題意可得：；故答案為：；（4）①根據(jù)題意可得，為2秒時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，；②設經過秒，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，則，化簡得，可得或，解得：或．故答案為：3或7．8．數(shù)軸是初中數(shù)學的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形進行完美地結合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了很多重要的規(guī)律，例如；數(shù)軸上點、點表示的數(shù)分別為、，則、兩點之間的距離，線段的中點表示的數(shù)為．如圖，數(shù)軸上點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為3．(1)直接寫出：