專題17 拋物線（2大考向真題解讀）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁專題17拋物線命題解讀考向考查統(tǒng)計1.高考對拋物線的考查，重點(diǎn)是（1）拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）拋物線的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率）。（3）直線和拋物線的位置關(guān)系及綜合應(yīng)用。拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)2024·新高考Ⅱ卷，10拋物線的定義、直線與拋物線的綜合運(yùn)用2022·新高考Ⅰ卷，112022·新高考Ⅱ卷，102023·新高考Ⅱ卷，10命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷未考查拋物線，Ⅱ卷考查了拋物線與直線、圓知識點(diǎn)的綜合，涉及到拋物線的知識點(diǎn)主要有準(zhǔn)線和定義，難度適中。拋物線是高考考查的熱點(diǎn)，其中拋物線的定義、方程、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線及其幾何性質(zhì)的應(yīng)用是考查的重點(diǎn)。而且拋物線在多選題中考查的比較頻繁，考生可以多多加強(qiáng)練習(xí)。預(yù)計2025年高考還是主要考查拋物線的定義和直線與拋物線的綜合運(yùn)用。試題精講一、多選題1．（2024新高考Ⅱ卷·10）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動點(diǎn)，過P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時，C．當(dāng)時，D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個【答案】ABD【分析】A選項，拋物線準(zhǔn)線為，根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項，三點(diǎn)共線時，先求出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長；C選項，根據(jù)先算出的坐標(biāo)，然后驗證是否成立；D選項，根據(jù)拋物線的定義，，于是問題轉(zhuǎn)化成的點(diǎn)的存在性問題，此時考察的中垂線和拋物線的交點(diǎn)個數(shù)即可，亦可直接設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.【詳解】A選項，拋物線的準(zhǔn)線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準(zhǔn)線和相切，A選項正確；B選項，三點(diǎn)共線時，即，則的縱坐標(biāo)，由，得到，故，此時切線長，B選項正確；C選項，當(dāng)時，，此時，故或，當(dāng)時，，，，不滿足；當(dāng)時，，，，不滿足；于是不成立，C選項錯誤；D選項，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，，這里，于是時點(diǎn)的存在性問題轉(zhuǎn)化成時點(diǎn)的存在性問題，，中點(diǎn)，中垂線的斜率為，于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，，即的中垂線和拋物線有兩個交點(diǎn)，即存在兩個點(diǎn)，使得，D選項正確.方法二：（設(shè)點(diǎn)直接求解）設(shè)，由可得，又，又，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，，整理得，，則關(guān)于的方程有兩個解，即存在兩個這樣的點(diǎn)，D選項正確.故選：ABD一、多選題1．（2022新高考Ⅰ卷·11）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（

）A．C的準(zhǔn)線為 B．直線AB與C相切C． D．【答案】BCD【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點(diǎn)可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.【詳解】將點(diǎn)的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準(zhǔn)線方程為，A錯誤；，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故B正確；設(shè)過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正確；因為，，所以，而，故D正確.故選：BCD2．（2022新高考Ⅱ卷·10）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.【詳解】對于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.3．（2023新高考Ⅱ卷·10）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【分析】先求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得，根據(jù)弦長公式求得，根據(jù)圓與等腰三角形的知識確定正確答案.【詳解】A選項：直線過點(diǎn)，所以拋物線的焦點(diǎn)，所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.B選項：設(shè)，由消去并化簡得，解得，所以，B選項錯誤.C選項：設(shè)的中點(diǎn)為，到直線的距離分別為，因為，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.D選項：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.

一、拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．注：若在定義中有，則動點(diǎn)的軌跡為的垂線，垂足為點(diǎn)．二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，，，，其中一次項與對稱軸一致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向圖形標(biāo)準(zhǔn)方程頂點(diǎn)范圍，，，，對稱軸軸軸焦點(diǎn)離心率準(zhǔn)線方程焦半徑【拋物線常用結(jié)論】1、點(diǎn)與拋物線的關(guān)系（1）在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）．（2）在拋物線上．（3）在拋物線外．2、焦半徑拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．3、的幾何意義為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大．4、焦點(diǎn)弦若為拋物線的焦點(diǎn)弦，，，則有以下結(jié)論：（1）．（2）．（3）焦點(diǎn)弦長公式1：，，當(dāng)時，焦點(diǎn)弦取最小值，即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長度為．焦點(diǎn)弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）．（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）．5、拋物線的弦若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點(diǎn)為，則（1）弦長公式：（2）（3）直線AB的方程為（4）線段AB的垂直平分線方程為6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的快速方法（法）（1）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為（2）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為如，即，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為7、參數(shù)方程的參數(shù)方程為（參數(shù)）8、切線方程和切點(diǎn)弦方程拋物線的切線方程為，為切點(diǎn)切點(diǎn)弦方程為，點(diǎn)在拋物線外與中點(diǎn)弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點(diǎn)（含焦點(diǎn)）是弦AB的中點(diǎn)，中點(diǎn)弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點(diǎn)差法也可以得到同樣的結(jié)果．9、拋物線的通徑過焦點(diǎn)且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．對于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為．10、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：11、焦點(diǎn)弦的?？夹再|(zhì)已知、是過拋物線焦點(diǎn)的弦，是的中點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足．（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；（2），（3）；（4）設(shè)，為垂足，則、、三點(diǎn)在一條直線上一、單選題1．（2024·重慶·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．-1【答案】A【分析】設(shè)直線的傾斜角為，利用拋物線的焦半徑公式，表示出、，再根據(jù)，求出，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求，就是直線的斜率.【詳解】如圖：設(shè)直線傾斜角為，拋物線的準(zhǔn)線：作于，根據(jù)拋物線的定義，，所以，類似的.由知，得，故.故選：A2．（2024·河南·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若以為圓心，為半徑的圓被軸截得的弦長為，則該圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義，可以得到該圓的半徑為，再利用弦長公式，結(jié)合已知即可解出，最后根據(jù)該圓的半徑計算面積即可.【詳解】由于在上，故，即，所以.根據(jù)拋物線的定義，就是點(diǎn)到直線的距離，從而該圓的半徑為.由于圓心到軸的距離為，故該圓被軸截得的弦長為.從而據(jù)已知有，故，解得.所以該圓的半徑為，故面積為.故選：C.3．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為是上一點(diǎn)，是直線與的一個交點(diǎn)，若，則（

）A． B．3 C． D．2【答案】D【分析】由題意解出點(diǎn)橫坐標(biāo)，由拋物線的定義求解.【詳解】由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)，，則，因為，則，得，由拋物線定義得.故選：D.4．（2024·北京順義·三模）設(shè)M是拋物線上的一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，O足坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)，連接，分析出為等邊三角形，求出，即可得解.【詳解】過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)，連接，如下圖所示：因為，軸，則，由拋物線的定義可得，所以為等邊三角形，則，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，則，易知，，則.故選：B.5．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）過拋物線上的一點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)為，，則可能的取值是（

）A．1 B．4 C． D．5【答案】D【分析】設(shè)，利用圓的切線性質(zhì)，借助圖形的面積把表示為的函數(shù)，再求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】設(shè)，則，圓的圓心，半徑由切圓于點(diǎn)，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為，ABC不是，D是.故選：D

6．（2024·河北張家口·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，O為原點(diǎn)，直線與該拋物線交于M，N兩點(diǎn)，且，則（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【分析】將拋物線與直線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求解出，利用垂直關(guān)系，求解，即可得到，代入即可得到答案.【詳解】設(shè)，將直線與拋物線聯(lián)立，消去有：，有，則,由于，因此，即，得到,因此，由于拋物線中，拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線的距離，因此.故選：B7．（2024·新疆·三模）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，在拋物線C上存在四個點(diǎn)P，M，Q，N，若弦與弦的交點(diǎn)恰好為F，且，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，應(yīng)用拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)，，，，結(jié)合三角的恒等變換的化簡可得，即可求解.【詳解】由拋物線得，則，，不妨設(shè)PQ的傾斜角為，則由，得，，所以，，得，，所以.故選：B.8．（2024·山西運(yùn)城·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，動點(diǎn)在上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對稱性可得，即點(diǎn)為的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，作垂直于的準(zhǔn)線于點(diǎn)，結(jié)合拋物線的定義可知()，結(jié)合圖象可得當(dāng)直線與相切時，最小，求出切線的斜率即可得答案.【詳解】依題意，，，設(shè)，則，解得，即，點(diǎn)為的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，作垂直于的準(zhǔn)線于點(diǎn)，設(shè)，由拋物線的定義得，于是，當(dāng)直線與相切時，最大，最小，取得最小值，此時直線的斜率為正，設(shè)切線的方程為，由消去x得，則，得，直線的斜率為，傾斜角為，于是，，所以的最小值為.故選：A二、多選題9．（2024·廣東汕頭·三模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)在上，若定點(diǎn)滿足，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為 B．周長的最小值為5C．四邊形可能是平行四邊形 D．的最小值為【答案】BD【分析】首先表示出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，由距離公式得到方程，即可求出，求出拋物線方程，即可判斷A；根據(jù)拋物線的定義判斷B，求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷C；設(shè)，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算分析求解.【詳解】對于選項A：因為拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，又點(diǎn)滿足，則，整理得，解得或（舍去），即拋物線，所以準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為，故A錯誤；對于選項B：過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線的定義可知，則周長，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時取等號，所以周長的最小值為，故B正確；對于選項C：過點(diǎn)作的平行線，交拋物線于點(diǎn)，即，解得，即，則，所以四邊形不是平行四邊形，故C錯誤；對于選項D：設(shè)，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為，故D正確；故選：BD10．（2024·黑龍江·二模）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，過拋物線的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，與拋物線分別交于點(diǎn)，和點(diǎn)，，則（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程是B．過拋物線的焦點(diǎn)的最短弦長為C．若弦的中點(diǎn)為，則直線的方程為D．四邊形面積的最小值為【答案】BCD【分析】首先表示出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，依題意求出，即可得到拋物線方程，從而判斷A，根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)判斷B，利用點(diǎn)差法求出，即可判斷C，設(shè)直線為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，列出韋達(dá)定理，由焦點(diǎn)弦公式表示出，，再由及基本不等式計算面積最小值，即可判斷D.【詳解】拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，依題意可得，則拋物線方程為，所以準(zhǔn)線方程為，故A錯誤；過拋物線的焦點(diǎn)且與軸垂直時弦長最短，最短弦長為，故B正確；設(shè)，，則，，所以，即，又弦的中點(diǎn)為，所以，所以，即，又弦過焦點(diǎn)，所以弦的方程為，即，故C正確；依題意直線的斜率存在且不為，設(shè)直線為，由，消去整理得，顯然，所以，所以，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故D正確.故選：BCD11．（2024·遼寧大連·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)A、，使B．若點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離的最小值為C．平分D．以為直徑的圓與軸相切【答案】BCD【分析】設(shè)，直線m的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，根據(jù)判斷A，根據(jù)焦半徑公式判斷B，通過計算即可判斷C；結(jié)合題意結(jié)合拋物線的定義分析判斷D；【詳解】對于A，由題意可知：拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線，直線的斜率一定存在且與拋物線C相交，設(shè)，直線m的方程為，與拋物線聯(lián)立，得，則，，可得，所以為鈍角，故A錯誤；對于B，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以點(diǎn)M到直線的距離為，故B正確；對于C，因為點(diǎn)，因為，即直線和直線的傾斜角互補(bǔ)，所以平分，故C正確；對于D，由題意可知：的中點(diǎn)到x軸距離，可知以為直徑的圓與軸相切，故D正確．故選：BCD．12．（2024·河北·二模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的拋物線過點(diǎn)，過且與垂直的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為，則（

）A． B．C． D．直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)【答案】ACD【分析】將點(diǎn)代入拋物線方程可確定拋物線方程，可判斷A；由拋物線定義可求，可判斷B；求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立解得點(diǎn)，從而求出，可判斷C；易求出直線與準(zhǔn)線交點(diǎn)，可判斷D.【詳解】由拋物線過點(diǎn)，可得，則，故A正確；由上可知拋物線，準(zhǔn)線方程為，所以，故B錯誤；由已知可得，所以直線的方程為，即，聯(lián)立方程組，得，解得或，故，所以，故C正確；由直線的方程，令，得，所以直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，故D正確.故選：ACD13．（2024·河南·二模）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其中在第一象限，若，點(diǎn)在拋物線上，則（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為 B．C．直線的傾斜角為 D．【答案】AC【分析】由拋物線方程可判斷AD，聯(lián)立直線與拋物線方程，由結(jié)合韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間距離公式可判斷BC，，【詳解】選項A：因為拋物線，所以，準(zhǔn)線方程為，故A正確；選項B：設(shè)，設(shè)直線，與聯(lián)立得，所以，由得，即，所以，所以，可得，則，故錯誤；選項C：直線的斜率為，傾斜角為，故C正確；選項D：，故，故D錯誤.故選：AC.

14．（2024·河北滄州·二模）已知為拋物線的焦點(diǎn)，直線過且與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，則（

）A．過點(diǎn)且與拋物線僅有一個公共點(diǎn)的直線有3條B．當(dāng)?shù)拿娣e為時，C．為鈍角三角形D．的最小值為【答案】ACD【分析】由拋物線的定義及點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可求解拋物線的方程，判斷點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系即可判斷A；聯(lián)立直線與拋物線方程，得韋達(dá)定理，即可根據(jù)弦長公式求解面積，利用焦半徑公式即可求解B；根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解C；根據(jù)焦半徑公式，結(jié)合基本不等式即可求解D.【詳解】如圖①所示，因為，所以，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.對于A，因為，當(dāng)時，，故點(diǎn)在拋物線的外部，所以與僅有一個公共點(diǎn)的直線有3條，故A正確；對于B，由拋物線的方程可知，焦點(diǎn)，設(shè)的方程為，聯(lián)立消去，整理得，所以，又，所以，解得，則，則，故B錯誤；對于C，由選項B可知，所以，故為鈍角，所以為鈍角三角形，故C正確；對于D，由選項B可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故D正確.故選：ACD.圖①15．（2024·湖北襄陽·二模）拋物線的焦點(diǎn)為，為其上一動點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動到時，，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線的方程為：B．拋物線的準(zhǔn)線方程為：C．當(dāng)直線過焦點(diǎn)時，以AF為直徑的圓與軸相切D．【答案】BC【分析】根據(jù)焦半徑即可求解A，根據(jù)準(zhǔn)線方程即可求解B，求解圓心和半徑即可判斷C，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，韋達(dá)定理，利用焦半徑公式求出，即可判斷D.【詳解】對于A：當(dāng)運(yùn)動到時，，故，即拋物線為，故A錯誤；對于B：由，故拋物線的準(zhǔn)線方程為：，故B正確；對于C：當(dāng)直線過焦點(diǎn)時，設(shè)為，則，故以為直徑的圓的半徑為，又，故以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，圓心到軸的距離與該圓半徑相等，即該圓與軸相切，故C正確；對于D：由題意直線斜率存在，設(shè)的方程為，聯(lián)立，整理得，，即，所以，所以，，所以，不能確定什么時候最小，則D錯誤.故選：BC16．（2024·河北·三模）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，，為拋物線上不同的兩動點(diǎn)，分別過M，N作拋物線C的切線，兩切線交于點(diǎn)P，則（

）A．若，則直線MN的傾斜角為B．直線PM的方程為C．若線段MN的中點(diǎn)為Q，則直線PQ平行于y軸D．若點(diǎn)P在拋物線C的準(zhǔn)線上，則【答案】BD【分析】由點(diǎn)在拋物線上，聯(lián)立方程組，作差結(jié)合斜率公式，可判定A不正確；求得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線方程，可判定B正確；聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為及，得到，由時，可得直線與軸重合，可判定C不正確；求得點(diǎn)，得到和，結(jié)合，可判定D正確.【詳解】對于A中，由點(diǎn)，為拋物線上，可得，兩式相減得，因為，可得，即的斜率為，所以直線的傾斜角為，所以A不正確；對于B中，由，可得，則，所以，即過點(diǎn)的切線的斜率為，所以切線的方程為，即，又因為，所以切線方程為，所以B正確；對于C中，同理可得，切線方程為，聯(lián)立方程組，解得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，又因為為的中點(diǎn)，可得，所以，當(dāng)時，可得軸，；但當(dāng)時，可得直線與軸重合，所以C不正確；對于D中，由拋物線，可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，若點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，可得點(diǎn)，所以，又由A項，可得，即直線的斜率為因為，所以，所以，所以D正確.故選：BD.17．（2024·黑龍江佳木斯·三模）過拋物線C：上的一點(diǎn)作兩條直線，，分別交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．過點(diǎn)與拋物線有且只有一個公共點(diǎn)的直線有1條C．若，則D．若，則【答案】AD【分析】將代入拋物線方程，求出，即可判斷A；分直線斜率是否為零討論即可判斷B；設(shè)，根據(jù)，求出，再根據(jù)焦半徑公式即可判斷C；設(shè)直線的方程為，則的方程為，聯(lián)立方程，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)斜率公式即可判斷D.【詳解】由題意可得，所以，則拋物線C的方程為，準(zhǔn)線方程為，故A正確；當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率等于零時，直線方程為，直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，只有一個交點(diǎn)，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不等于零時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消得，當(dāng)過點(diǎn)與拋物線有且只有一個公共點(diǎn)時，，解得，綜上所述，過點(diǎn)與拋物線有且只有一個公共點(diǎn)的直線有2條，故B錯誤；設(shè)，，由，得，所以，即，所以，故C錯誤；對于D選項，由題意，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，則的方程為，聯(lián)立，消得，則，所以，則，所以，同理可得，則，故D正確.

故選：AD.18．（2024·安徽·三模）已知拋物線和的焦點(diǎn)分別為，動直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，其中，且當(dāng)過點(diǎn)時，，則下列說法中正確的是（

）A．的方程為B．已知點(diǎn)，則的最小值為3C．D．若，則與的面積相等【答案】ACD【分析】對于A，設(shè)，聯(lián)立拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出即可判斷；對于B，結(jié)合拋物線定義、三角形三邊關(guān)系即可判斷；對于C，設(shè)，分別聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可判斷；對于D，由C選項分析可得，結(jié)合以及韋達(dá)定理即可得出兩個三角形的高相等，顯然三角形同底，由此即可判斷.【詳解】當(dāng)過點(diǎn)時，設(shè)，聯(lián)立，可得，，故，解得，則，故A正確；過點(diǎn)向的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離，由拋物線定義可知，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為與拋物線的交點(diǎn)，故錯誤；設(shè)，由，可得，，由，可得，，故，同理可得，故正確；，故，注意到，可得，所以，從而與的面積相等，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項的關(guān)鍵是得出，由此即可順利得解.三、填空題19．（2024·北京·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為；過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，則的面積為．【答案】【分析】由給定的拋物線方程直接求出焦點(diǎn)坐標(biāo)；利用拋物線定義求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再求出三角形面積.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則，解得，于是，，所以的面積為.故答案為：；20．（2024·北京·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)B在C上.若，則直線AB的方程為.【答案】或【分析】先