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陜西省渭南市尚德中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則數(shù)列的公差為()A.-2 B.2 C.4 D.72.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,且對(duì)于任意,滿足,則()A. B. C. D.3.盒子中有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的7個(gè)相同的球,從中任取3個(gè)編號(hào)不同的球,則取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率是()A. B. C. D.4.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,如果在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么實(shí)數(shù)的最大值為()A. B. C. D.5.下列不等式正確的是()A. B.C. D.6.已知全集,集合,則=()A. B.C. D.7.已知直線:過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與其中一條漸近線平行,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.8.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),且離心率等于,若該雙曲線的一條漸近線被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長(zhǎng)為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.9.已知,,分別為內(nèi)角,,的對(duì)邊,,,的面積為,則()A. B.4 C.5 D.10.已知向量,滿足||=1,||=2,且與的夾角為120°,則=()A. B. C. D.11.已知,則()A. B. C. D.212.函數(shù)的大致圖象是A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.我國(guó)古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載:“今有方錐下廣二丈,高三丈,欲斬末為方亭;令上方六尺:?jiǎn)柾し綆缀危俊贝笾乱馑际牵河幸粋€(gè)四棱錐下底邊長(zhǎng)為二丈,高三丈;現(xiàn)從上面截取一段,使之成為正四棱臺(tái)狀方亭,且四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為六尺,則該正四棱臺(tái)的高為_(kāi)_______尺,體積是_______立方尺(注:1丈=10尺).14.已知向量滿足,,則______________.15.已知,則的值為_(kāi)_____.16.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足,則點(diǎn)表示的區(qū)域面積為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值;(2)記關(guān)于的方程的兩根分別為,求證:.18.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),①求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;②比較與的大小;(2)當(dāng)時(shí),若對(duì)時(shí),,且有唯一零點(diǎn),證明:.19.(12分)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),顧客購(gòu)買每滿元的商品即可抽獎(jiǎng)一次.抽獎(jiǎng)規(guī)則如下:抽獎(jiǎng)?wù)邤S各面標(biāo)有點(diǎn)數(shù)的正方體骰子次,若擲得點(diǎn)數(shù)大于,則可繼續(xù)在抽獎(jiǎng)箱中抽獎(jiǎng);否則獲得三等獎(jiǎng),結(jié)束抽獎(jiǎng),已知抽獎(jiǎng)箱中裝有個(gè)紅球與個(gè)白球,抽獎(jiǎng)?wù)邚南渲腥我饷鰝€(gè)球,若個(gè)球均為紅球,則獲得一等獎(jiǎng),若個(gè)球?yàn)閭€(gè)紅球和個(gè)白球,則獲得二等獎(jiǎng),否則,獲得三等獎(jiǎng)(抽獎(jiǎng)箱中的所有小球,除顏色外均相同).若,求顧客參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲得三等獎(jiǎng)的概率;若一等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金元,二等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金元,三等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金元,記顧客一次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金為,若商場(chǎng)希望的數(shù)學(xué)期望不超過(guò)元,求的最小值.20.(12分)如圖,四棱錐的底面ABCD是正方形,為等邊三角形,M,N分別是AB,AD的中點(diǎn),且平面平面ABCD.(1)證明:平面PNB;(2)問(wèn)棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使平面DEM,求的值21.(12分)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的射線與曲線分別交于兩點(diǎn)(異于原點(diǎn)),求的取值范圍.22.(10分)如圖,四棱錐中,底面ABCD為菱形,平面ABCD,BD交AC于點(diǎn)E,F(xiàn)是線段PC中點(diǎn),G為線段EC中點(diǎn).Ⅰ求證:平面PBD;Ⅱ求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標(biāo)和的性質(zhì)求得,再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則則故選:B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
利用數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后求解數(shù)列的和,判斷選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】當(dāng)時(shí),.所以數(shù)列從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列,,所以,,.,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,是中檔題.3、B【解析】
由題意,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種,由古典概型的概率公式即得解.【詳解】由題意,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有,所有的情況有種由古典概型,取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率為:故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合在古典概型中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.4、B【解析】
根據(jù)條件先求出的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,則,設(shè),則當(dāng)時(shí),,,即,要使在區(qū)間上單調(diào)遞減,則得,得,即實(shí)數(shù)的最大值為,故選:B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換,考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),屬于中檔題.5、D【解析】
根據(jù),利用排除法,即可求解.【詳解】由,可排除A、B、C選項(xiàng),又由,所以.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及對(duì)數(shù)的比較大小問(wèn)題,其中解答熟記三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
先計(jì)算集合,再計(jì)算,最后計(jì)算.【詳解】解:,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交,補(bǔ)混合運(yùn)算,注意分清集合間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
根據(jù)直線:過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),得,又和其中一條漸近線平行,得到,再求雙曲線方程.【詳解】因?yàn)橹本€:過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),所以,所以,又和其中一條漸近線平行,所以,所以,,所以雙曲線方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
由題得,,又,聯(lián)立解方程組即可得,,進(jìn)而得出雙曲線方程.【詳解】由題得①又該雙曲線的一條漸近線方程為,且被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長(zhǎng)為2,所以②又③由①②③可得:,,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),圓的方程的有關(guān)計(jì)算,考查了學(xué)生的計(jì)算能力.9、D【解析】
由正弦定理可知,從而可求出.通過(guò)可求出,結(jié)合余弦定理即可求出的值.【詳解】解:,即,即.,則.,解得.,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角形的面積公式,考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過(guò)正弦定理結(jié)合已知條件,得到角的正弦值余弦值.10、D【解析】
先計(jì)算,然后將進(jìn)行平方,,可得結(jié)果.【詳解】由題意可得:∴∴則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的數(shù)量積的運(yùn)算和模的計(jì)算,屬基礎(chǔ)題。11、B【解析】
結(jié)合求得的值,由此化簡(jiǎn)所求表達(dá)式,求得表達(dá)式的值.【詳解】由,以及,解得..故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求值,考查二倍角公式,屬于中檔題.12、A【解析】
利用函數(shù)的對(duì)稱性及函數(shù)值的符號(hào)即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù),可排除B選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,可排除D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即,可排除C選項(xiàng),故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷,函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、213892【解析】
根據(jù)題意畫(huà)出圖形,利用棱錐與棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求出正四棱臺(tái)的高,再計(jì)算它的體積.【詳解】如圖所示:正四棱錐P-ABCD的下底邊長(zhǎng)為二丈,即AB=20尺,高三丈,即PO=30尺,截去一段后,得正四棱臺(tái)ABCD-A'B'C'D',且上底邊長(zhǎng)為A'B'=6尺,所以,解得,所以該正四棱臺(tái)的體積是,故答案為:21;3892.【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐與棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問(wèn)題,也考查了棱臺(tái)的體積計(jì)算問(wèn)題,屬于中檔題.14、1【解析】
首先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求出,再根據(jù)計(jì)算可得;【詳解】解:因?yàn)?,所以又所以所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
先求,再根據(jù)的范圍求出即可.【詳解】由題可知,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解,涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.16、【解析】
先畫(huà)出滿足條件的平面區(qū)域,求出交點(diǎn)坐標(biāo),利用定積分即可求解.【詳解】畫(huà)出實(shí)數(shù)x,y滿足表示的平面區(qū)域,如圖(陰影部分):則陰影部分的面積,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了定積分求曲邊梯形的面積,考查了微積分基本定理,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),對(duì)參數(shù)討論,得函數(shù)單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求出極值;(2)是方程的兩根,代入方程,化簡(jiǎn)換元,構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最值可解.【詳解】(1)依題意,;若,則,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)既無(wú)極大值,也無(wú)極小值;若,則,令,解得,故當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,此時(shí)函數(shù)有極大值,無(wú)極小值;若,則,令,解得,故當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,此時(shí)函數(shù)有極大值,無(wú)極小值;(2)依題意,,則,,故,;要證:,即證,即證:,即證,設(shè),只需證:,設(shè),則,故在上單調(diào)遞增,故,即,故.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)極值及利用導(dǎo)數(shù)證明二元不等式.證明二元不等式常用方法是轉(zhuǎn)化為證明一元不等式,再轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本方法:(1)若與的最值易求出,可直接轉(zhuǎn)化為證明;(2)若與的最值不易求出,可構(gòu)造函數(shù),然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或最值,證明.18、(1)①見(jiàn)解析,②見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)①把代入函數(shù)解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到,再求出,利用直線方程的點(diǎn)斜式求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;②令,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.(2)由題意,,在上有唯一零點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,當(dāng),時(shí),在,上單調(diào)遞增,得到.由在恒成立,且有唯一解,可得,得,即.令,則,再由在上恒成立,得在上單調(diào)遞減,進(jìn)一步得到在上單調(diào)遞增,由此可得.【詳解】解:(1)①當(dāng)時(shí),,,,又,切線方程為,即;②令,則,在上單調(diào)遞減.又,當(dāng)時(shí),,即;當(dāng)時(shí),,即;當(dāng)時(shí),,即.證明:(2)由題意,,而,令,解得.,,在上有唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,當(dāng),時(shí),,在,上單調(diào)遞增..在恒成立,且有唯一解,,即,消去,得,即.令,則,在上恒成立,在上單調(diào)遞減,又,,.在上單調(diào)遞增,.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查邏輯思維能力與推理論證能力,屬難題.19、;.【解析】
設(shè)顧客獲得三等獎(jiǎng)為事件,因?yàn)轭櫩蛿S得點(diǎn)數(shù)大于的概率為,顧客擲得點(diǎn)數(shù)小于,然后抽將得三等獎(jiǎng)的概率為,求出;由題意可知,隨機(jī)變量的可能取值為,,,相應(yīng)求出概率,求出期望,化簡(jiǎn)得,由題意可知,,即,求出的最小值.【詳解】設(shè)顧客獲得三等獎(jiǎng)為事件,因?yàn)轭櫩蛿S得點(diǎn)數(shù)大于的概率為,顧客擲得點(diǎn)數(shù)小于,然后抽將得三等獎(jiǎng)的概率為,所以;由題意可知,隨機(jī)變量的可能取值為,,,且,,,所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,,化簡(jiǎn)得,由題意可知,,即,化簡(jiǎn)得,因?yàn)?,解得,即的最小值?【點(diǎn)睛】本題主要考查概率和期望的求法,屬于常考題.20、(1)證明見(jiàn)解析;(2)存在,.【解析】
(1)根據(jù)題意證出,,再由線面垂直的判定定理即可證出.(2)連接AC交DM于點(diǎn)Q,連接EQ,利用線面平行的性質(zhì)定理可得,從而可得,在正方形ABCD中,由即可求解.【詳解】(1)證明:在正方形ABCD中,M,N分別是AB,AD的中點(diǎn),∴,,.∴.∴.又,∴,∴.∵為等邊三角形,N是AD的中點(diǎn),∴.又平面平面ABCD,平面PAD,平面平面,∴平面ABCD.又平面ABCD,∴.∵平面PNB,,∴平面PNB.(2)解:存在.如圖,連接AC交DM于點(diǎn)Q,連接EQ.∵平面DEM,平面PAC,平面平面,∴.∴.在正方形ABCD中,,且.∴,∴.故.所以棱PA上存在點(diǎn)E,使
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