2023-2024學(xué)年遼寧省葫蘆島市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省葫蘆島市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.下列各角中與終邊相同的角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗運(yùn)用終點(diǎn)相同角概念知道，與終邊相同的角為，則當(dāng)，.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.3.若平面向量與滿足，且與的夾角為，則（）A.1 B. C. D.31〖答案〗B〖解析〗，.故選：B.4.斛是我國(guó)古代的一種量器，如圖所示的斛可視為正四棱臺(tái)，若該正四棱臺(tái)的上?下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)面積為24，則該正四棱臺(tái)的體積為（）A.56 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由為四棱臺(tái)的斜高，設(shè)四棱臺(tái)的高為，則，所以四棱臺(tái)的體積為：.故選：C.5.已知函數(shù)，若將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，有最小值是.故選：C.6.已知角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，是角終邊上一點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，根據(jù)三角函數(shù)定義．故選：D.7.在中，是中點(diǎn)且，則向量在向量上的投影向量（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得為等邊三角形，故過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，所以向量在向量上的投影向量為，與方向相反，由是中點(diǎn)，為中點(diǎn)，有.故選：C.8.設(shè)集合，則集合A的元素個(gè)數(shù)為（）A.1013 B.1014 C.2024 D.2025〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，，由正切函數(shù)性質(zhì)知道，此時(shí)單調(diào)遞增，則集合至少有1012個(gè)元素，即為，當(dāng)時(shí)，由于正切函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則，，，，則當(dāng)增加時(shí)，元素與前面的重復(fù)，當(dāng)時(shí)，元素等于0，當(dāng)時(shí)，運(yùn)用正切函數(shù)的周期性知道，又元素重復(fù)出現(xiàn)了，則集合A的元素個(gè)數(shù)為1013個(gè).故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.）9.在中，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.的外接圓半徑為C.當(dāng)為角的角平分線時(shí)，D.當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，由題意及余弦定理得，故A正確；對(duì)于B，由A結(jié)合正弦定理可知的外接圓半徑為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)為角的角平分線時(shí)，則由，得，所以，即，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，有，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.設(shè)，已知是方程的兩根，則下列等式正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗是方程的兩根，則有，由，得，解得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，有，由，有，，由，所以，B選項(xiàng)正確；由得，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，D選項(xiàng)正確.故選：BD.11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得截面記為S，則下列命題正確的是（）A.直線與直線所成角的正切值為B.當(dāng)時(shí)，S等腰梯形C.當(dāng)時(shí)，S與交于點(diǎn)，則D.當(dāng)時(shí)，S為五邊形〖答案〗BCD〖解析〗正方體的棱長(zhǎng)為為的中點(diǎn)，對(duì)于A，，直線與直線所成角為，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，即為中點(diǎn)，此時(shí)，，，則截面為等腰梯形，B正確；對(duì)于C，，連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，直線交于，由，得，由是的中點(diǎn)，，得，因此，C正確；對(duì)于D，若，連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，直線交于，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接得截面，過(guò)點(diǎn)的平面與正方體的5個(gè)表面相交，因此截面是五邊形，D正確.故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知，且（其中為虛數(shù)單位），則__________.〖答案〗〖解析〗，則.故〖答案〗為：.13.2002年8月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖1所示，它是由4個(gè)直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若圖2中直角三角形的兩銳角分別為，大正方形的面積為25，小正方形的面積為1，則__________.〖答案〗〖解析〗依題意，大正方形的邊長(zhǎng)為5，小正方形的邊長(zhǎng)為1，結(jié)合圖形知，，即，兩式平方相加得，即，所以.故〖答案〗為：.14.足球起源于中國(guó)古代的蹴鞠游戲，“蹴”有用腳蹴?踢的含義，“鞠”最早系外包皮革內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴?踢皮球的活動(dòng).已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)，滿足平面，若三棱錐體積為，則該“鞠”的體積最小值為__________.〖答案〗〖解析〗取中點(diǎn)為，過(guò)作交于，則，即為中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)椋?，所以，，所以，是三棱錐外接球球心，為球的半徑，由，又，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，此時(shí)，所以球半徑，故，該“鞠”的體積最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.在同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，若.（1）若，求的坐標(biāo)；（2）若，且與垂直，求與的夾角的余弦值.解：（1），，其中，，或.（2）與垂直，，于是，，，.16.已知函數(shù)的部分圖象，如圖所示.（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2），求函數(shù)的值域；（3）若，求滿足不等式的的取值范圍.解：（1）由圖可得，則，因?yàn)椋?，所以，所以，由圖可知，則，解得，因?yàn)?，所以，?（2）由（1）知，設(shè)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?（3）由，得，則，解得或，解得或，又，所以.17.已知的內(nèi)角的對(duì)邊為，且.（1）求；（2）已知為的中點(diǎn)，底邊上中線長(zhǎng)為時(shí)，求面積的最大值.解：（1）由正弦定理，得，即，故，因?yàn)?，所以，所?（2）由（1）知，，在中，由余弦定理可得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得到等號(hào)，此時(shí)面積的最大值.18.如圖，是圓柱的底面直徑，是圓柱的母線且，點(diǎn)是圓柱底面圓周上的點(diǎn).（1）求圓柱的表面積；（2）證明：平面平面；（3）若是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，求的最小值.解：（1）圓柱的底面半徑，圓柱的側(cè)面積，圓柱的底面積為，所以表面積.（2）由題意知平面，又平面，所以，而平面，所以平面，又平面，故平面平面.（3）將繞著旋轉(zhuǎn)到使其與平面共面，且在的反向延長(zhǎng)線上，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，為，，，所以在三角形中，由余弦定理可得：，所以的最小值等于.19.設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中（，2，…，k，）為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，且．（1）求直四棱柱在各個(gè)頂點(diǎn)的離散曲率之和；（2）若直四棱柱在點(diǎn)A處的離散曲率為x，直四棱柱體積為，求函數(shù)的〖解析〗式及單調(diào)區(qū)間．解：（1）在直四棱柱中，，底面ABCD為菱形，由離散曲率的定義知：的離散曲率相等，的離散曲率相等，所以處的曲率為，而處的曲率為，又，所以、兩處的曲率和為，故直四棱柱在各個(gè)頂點(diǎn)的離散曲率之和.（2）由題設(shè)，處的曲率，故，所以直四棱柱底面面積，故直四棱柱高為1，故體積為，令，，可得，，即，上遞增；令，，可得，，即，上遞減；所以增區(qū)間為，減區(qū)間為，.遼寧省葫蘆島市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.下列各角中與終邊相同的角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗運(yùn)用終點(diǎn)相同角概念知道，與終邊相同的角為，則當(dāng)，.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.3.若平面向量與滿足，且與的夾角為，則（）A.1 B. C. D.31〖答案〗B〖解析〗，.故選：B.4.斛是我國(guó)古代的一種量器，如圖所示的斛可視為正四棱臺(tái)，若該正四棱臺(tái)的上?下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)面積為24，則該正四棱臺(tái)的體積為（）A.56 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由為四棱臺(tái)的斜高，設(shè)四棱臺(tái)的高為，則，所以四棱臺(tái)的體積為：.故選：C.5.已知函數(shù)，若將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，有最小值是.故選：C.6.已知角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，是角終邊上一點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，根據(jù)三角函數(shù)定義．故選：D.7.在中，是中點(diǎn)且，則向量在向量上的投影向量（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得為等邊三角形，故過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，所以向量在向量上的投影向量為，與方向相反，由是中點(diǎn)，為中點(diǎn)，有.故選：C.8.設(shè)集合，則集合A的元素個(gè)數(shù)為（）A.1013 B.1014 C.2024 D.2025〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，，由正切函數(shù)性質(zhì)知道，此時(shí)單調(diào)遞增，則集合至少有1012個(gè)元素，即為，當(dāng)時(shí)，由于正切函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則，，，，則當(dāng)增加時(shí)，元素與前面的重復(fù)，當(dāng)時(shí)，元素等于0，當(dāng)時(shí)，運(yùn)用正切函數(shù)的周期性知道，又元素重復(fù)出現(xiàn)了，則集合A的元素個(gè)數(shù)為1013個(gè).故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.）9.在中，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，則（）A.B.的外接圓半徑為C.當(dāng)為角的角平分線時(shí)，D.當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，由題意及余弦定理得，故A正確；對(duì)于B，由A結(jié)合正弦定理可知的外接圓半徑為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)為角的角平分線時(shí)，則由，得，所以，即，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，有，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.設(shè)，已知是方程的兩根，則下列等式正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗是方程的兩根，則有，由，得，解得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，有，由，有，，由，所以，B選項(xiàng)正確；由得，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，D選項(xiàng)正確.故選：BD.11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得截面記為S，則下列命題正確的是（）A.直線與直線所成角的正切值為B.當(dāng)時(shí)，S等腰梯形C.當(dāng)時(shí)，S與交于點(diǎn)，則D.當(dāng)時(shí)，S為五邊形〖答案〗BCD〖解析〗正方體的棱長(zhǎng)為為的中點(diǎn)，對(duì)于A，，直線與直線所成角為，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，即為中點(diǎn)，此時(shí)，，，則截面為等腰梯形，B正確；對(duì)于C，，連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，直線交于，由，得，由是的中點(diǎn)，，得，因此，C正確；對(duì)于D，若，連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，直線交于，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接得截面，過(guò)點(diǎn)的平面與正方體的5個(gè)表面相交，因此截面是五邊形，D正確.故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知，且（其中為虛數(shù)單位），則__________.〖答案〗〖解析〗，則.故〖答案〗為：.13.2002年8月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖1所示，它是由4個(gè)直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若圖2中直角三角形的兩銳角分別為，大正方形的面積為25，小正方形的面積為1，則__________.〖答案〗〖解析〗依題意，大正方形的邊長(zhǎng)為5，小正方形的邊長(zhǎng)為1，結(jié)合圖形知，，即，兩式平方相加得，即，所以.故〖答案〗為：.14.足球起源于中國(guó)古代的蹴鞠游戲，“蹴”有用腳蹴?踢的含義，“鞠”最早系外包皮革內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴?踢皮球的活動(dòng).已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)，滿足平面，若三棱錐體積為，則該“鞠”的體積最小值為__________.〖答案〗〖解析〗取中點(diǎn)為，過(guò)作交于，則，即為中點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)?，所以，所以，，所以，是三棱錐外接球球心，為球的半徑，由，又，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，此時(shí)，所以球半徑，故，該“鞠”的體積最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.在同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，若.（1）若，求的坐標(biāo)；（2）若，且與垂直，求與的夾角的余弦值.解：（1），，其中，，或.（2）與垂直，，于是，，，.16.已知函數(shù)的部分圖象，如圖所示.（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2），求函數(shù)的值域；（3）若，求滿足不等式的的取值范圍.解：（1）由圖可得，則，因?yàn)?，且，所以，所以，由圖可知，則，解得，因?yàn)椋?，?（2）由（1）知，設(shè)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?（3）由，得，則，解得或，解得或，又，所以.17.已知的內(nèi)角的對(duì)邊為，且.（1）求；（2）已知為的中點(diǎn)，底邊上中線長(zhǎng)為時(shí)，求面積的最大值.解：（1）由正弦定理，得，即，故，因?yàn)?，所以，所?（2