2024屆江西省九江市高三第三次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江西省九江市2024屆高三第三次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.為深入學習黨的二十大精神，某校開展“奮進新征程，強國伴我行”二十大主題知識競賽，其中高三年級選派8名同學參賽，這8名同學的成績（總分10分）依次如下：，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.8 B.9 C.9.5 D.10〖答案〗C〖解析〗8名同學成績數(shù)據(jù)由小到大重新排列為：是整數(shù)，分位數(shù)是第6位數(shù)和第7位數(shù)的平均數(shù)，即.故選：C.2.在中，角所對的邊分別為，已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，由正弦定理，因為，展開化簡，又.故選:B.3.已知等差數(shù)列的公差為，是與的等比中項，則（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為是與的等比中項，所以.又因為數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以，化簡得，即，所以.故選：A.4.考古發(fā)現(xiàn)在金字塔內有一組神秘的數(shù)字“142857”，我們把它和自然數(shù)1到6依次相乘，得，，結果是同樣的數(shù)字，只是調換了位置.若將這組神秘數(shù)字“142857”進行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為（）A.24 B.36 C.72 D.144〖答案〗D〖解析〗第一步：將三個偶數(shù)看成一個整體，與三個奇數(shù)進行全排列共種排法；第二步：將三個偶數(shù)進行全排列共；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：將這組神秘數(shù)字“142857”進行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為.故選：D.5.已知圓錐的側面展開圖是面積為的半圓，則該圓錐的體積是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設圓錐底面圓半徑為，母線為，高為.由題意得，解得，，該圓錐的體積是.故選：A.6.已知橢圓的左右焦點分別為,過且傾斜角為的直線交于第一象限內一點.若線段的中點在軸上,的面積為,則的方程為（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖,為線段的中點,為線段的中點,,又軸,軸.在中,,設,則的面積為,,,則C的方程為.故選：D.7.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，則，所以由，得，即，即，得，所以，故選：C.8.在平面直角坐標系中，已知直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點，是線段的中點，是軸上一點(非原點)，且，則的離心率為（）A. B. C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗設且，則，因為，所以，得，設直線的方程為，，由，得，由，得，所以，所以，①，因為，是線段的中點，所以，即，化簡得，由①，得，所以，所以，所以離心率，故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知二項式，則（）A.展開式中的系數(shù)為45B.展開式中二項式系數(shù)最大的項是第5項C.展開式中各項系數(shù)之和為1D.展開式中系數(shù)最大的項是第5項或第7項〖答案〗AD〖解析〗，當時，，系數(shù)為，故A正確；由組合數(shù)性質可知，中間項系數(shù)最大，展開式中二項式系數(shù)最大的項是第6項，故B錯誤；令，得展開式中各項系數(shù)之和為，故C錯誤；當為奇數(shù)時，系數(shù)為負數(shù)，當為偶數(shù)時，系數(shù)為正數(shù)，當或時，系數(shù)最大，正確故選：AD.10.已知虛數(shù)滿足，則下列結論正確的是（）A. B.C.的虛部為 D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由，得正確；對于B，由，得，B正確；對于C，設，則，，解得，的虛部為或，C錯誤.對于D，又，D正確.故選：ABD.11.如圖，正方體的棱長為1，點在截面內，且，則（）A.三棱錐的體積為 B.線段的長為C.點的軌跡長為 D.的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，在正方體中，易證平面，平面平面，且兩平面間距離為，又的面積，所以三棱錐的體積故A正確；對于B，如圖①所示，設的中心為，則，故B錯誤；對于C，如圖②所示，由知，，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，由三段劣弧構成，其長度為圓周長的一半故C正確；對于D，，為在方向上的投影，由圖①可知，當位于點或的位置時，最小，此時取得最大值，如圖②所示，建立空間直角坐標系，則，，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題第1問2分，第2問3分.12.若集合，則__________.〖答案〗〖解析〗.又或，故.13.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有三個零點，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗令，，，問題轉化為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有三個零點，，解得.14.某兒童游樂場有一臺打地鼠游戲機，共有9個洞.游戲開始后，每次有且僅有一只地鼠從某洞中冒出，地鼠第1次從1號洞冒出來.假設游戲過程中地鼠從上一個洞繼續(xù)冒出的概率為，從其它洞冒出的可能性相等，則地鼠第3次從1號洞冒出的概率是__________.假設游戲結束時，地鼠一共冒出次，則地鼠從1號洞冒出的次數(shù)期望值為__________.〖答案〗〖解析〗令表示地鼠第次從1號洞冒出的概率，則.當?shù)厥蟮?次從1號洞冒出時，第3次從1號洞冒出的概率為；當?shù)厥蟮?次沒有從1號洞冒出時，第3次從1號洞冒出的概率為.同理可得：，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，也適合；游戲結束時，地鼠一共冒出次，則地鼠從1號洞冒出的次數(shù)期望值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.15.車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素，汽車行駛會導致輪胎胎面磨損.某實驗室通過實驗測得轎車行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數(shù)據(jù)，如下表所示：行駛里程萬0.00.41.01.62.42.83.44.4輪胎凹槽深度8.07.87.26.25.64.84.44.0（1）求該品牌輪胎凹槽深度與行駛里程的相關系數(shù)，并判斷二者之間是否具有很強的線性相關性；（結果保留兩位有效數(shù)字）（2）根據(jù)我國國家標準規(guī)定：轎車輪胎凹槽安全深度為（當凹槽深度低于時剎車距離增大，駕駛風險增加，必須更換新輪胎）.某人在保養(yǎng)汽車時將小轎車的輪胎全部更換成了該品牌的新輪胎，請問在正常行駛情況下，更換新輪胎后繼續(xù)行駛約多少公里需對輪胎再次更換？附：變量與的樣本相關系數(shù)；對于一組數(shù)據(jù)，，其線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為：.解：（1）計算得，，由公式知，，二者之間具有很強的線性關系.（2）設輪胎凹槽深度與行駛里程的線性回歸方程為，則==，，線性回歸方程為，令，得，即更換新輪胎后繼續(xù)行駛約6.4萬公里需要對輪胎再次更換.16.如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，為等邊三角形.（1）證明：；（2）若二面角的大小為，求二面角的正弦值.（1）證明：取的中點，連接線段，由，得，由，得為等邊三角形，則，又平面，于平面，又平面，所以.（2）解：由（1）知為二面角的平面角，即，在平面內過作，顯然直線兩兩垂直，以為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，不妨設，則，，由，得，，，設平面的法向量為，，，取，得，而，設平面的法向量為，則，取，得，設二面角的平面角為，則，因此，所以二面角的正弦值為.17.在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點為是上第一象限內的動點.當直線的傾斜角為時，.（1）求的方程；（2）已知點是上不同兩點.若四邊形是平行四邊形，證明：直線過定點.解：（1）由題意可知：拋物線的焦點，準線，過點A作軸的垂線，垂足為，作準線的垂線，垂足為，由拋物線定義可得，因為直線的傾斜角為，則，可得，解得，所以的方程為.（2）設直線方程為，，聯(lián)立方程組，消去整理得，則，因為四邊形是平行四邊形，則，即，代入中得，整理得，則直線：，所以直線過定點.18.已知函數(shù)，且.（1）討論的單調性；（2）若方程有三個不同的實數(shù)解，求的取值范圍.解：（1）解法一：，令，則，在上單調遞增.又當時，，即；當時，，即，在上單調遞減，在上單調遞增.解法二：，①當時，由得，由得，在上單調遞減，在上單調遞增，②當時，同理可得在上單調遞減，在上單調遞增.綜上，當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）解法一：由，得，易得令，則又為偶函數(shù)，由（1）知在上單調遞增，，即有三個不同的實數(shù)解.令，由，得由，得，在上單調遞增，在上單調遞減，且在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減當時，；當時，，故，解得或，故的取值范圍是.解法二：由得，易得，令，則在上單調遞減，在上單調遞增.由，得或，兩邊同時取以為底的對數(shù)，得或，，即有三個不同的實數(shù)解下同解法一.19.已知數(shù)列共有項，且，若滿足，則稱為“約束數(shù)列”.記“約束數(shù)列”的所有項的和為.（1）當時，寫出所有滿足的“約束數(shù)列”；（2）當時，設“約束數(shù)列”為等差數(shù)列.請判斷是的什么條件，并說明理由；（3）當時，求的最大值.解：（1）當時，所有滿足的“約束數(shù)列”有：①；②；③（2）是的充分不必要條件.理由：①當時，.則，當且僅當時，成立，“約束數(shù)列”是公差為1的等差數(shù)列.②當“約束數(shù)列”是等差數(shù)列時，由，得，或，或，若，則的公差為；若，則的公差為；若，則的公差為，即當“約束數(shù)列”是等差數(shù)列時，或或2024.由①②，得是的充分不必要條件.（3）要使得取最大值，則，當且僅當同時滿足以下三個條件時，取最大值.①當時，；②當時，；③當時，..江西省九江市2024屆高三第三次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.為深入學習黨的二十大精神，某校開展“奮進新征程，強國伴我行”二十大主題知識競賽，其中高三年級選派8名同學參賽，這8名同學的成績（總分10分）依次如下：，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.8 B.9 C.9.5 D.10〖答案〗C〖解析〗8名同學成績數(shù)據(jù)由小到大重新排列為：是整數(shù)，分位數(shù)是第6位數(shù)和第7位數(shù)的平均數(shù)，即.故選：C.2.在中，角所對的邊分別為，已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，由正弦定理，因為，展開化簡，又.故選:B.3.已知等差數(shù)列的公差為，是與的等比中項，則（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為是與的等比中項，所以.又因為數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以，化簡得，即，所以.故選：A.4.考古發(fā)現(xiàn)在金字塔內有一組神秘的數(shù)字“142857”，我們把它和自然數(shù)1到6依次相乘，得，，結果是同樣的數(shù)字，只是調換了位置.若將這組神秘數(shù)字“142857”進行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為（）A.24 B.36 C.72 D.144〖答案〗D〖解析〗第一步：將三個偶數(shù)看成一個整體，與三個奇數(shù)進行全排列共種排法；第二步：將三個偶數(shù)進行全排列共；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：將這組神秘數(shù)字“142857”進行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為.故選：D.5.已知圓錐的側面展開圖是面積為的半圓，則該圓錐的體積是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設圓錐底面圓半徑為，母線為，高為.由題意得，解得，，該圓錐的體積是.故選：A.6.已知橢圓的左右焦點分別為,過且傾斜角為的直線交于第一象限內一點.若線段的中點在軸上,的面積為,則的方程為（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖,為線段的中點,為線段的中點,,又軸,軸.在中,,設,則的面積為,,,則C的方程為.故選：D.7.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，則，所以由，得，即，即，得，所以，故選：C.8.在平面直角坐標系中，已知直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點，是線段的中點，是軸上一點(非原點)，且，則的離心率為（）A. B. C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗設且，則，因為，所以，得，設直線的方程為，，由，得，由，得，所以，所以，①，因為，是線段的中點，所以，即，化簡得，由①，得，所以，所以，所以離心率，故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知二項式，則（）A.展開式中的系數(shù)為45B.展開式中二項式系數(shù)最大的項是第5項C.展開式中各項系數(shù)之和為1D.展開式中系數(shù)最大的項是第5項或第7項〖答案〗AD〖解析〗，當時，，系數(shù)為，故A正確；由組合數(shù)性質可知，中間項系數(shù)最大，展開式中二項式系數(shù)最大的項是第6項，故B錯誤；令，得展開式中各項系數(shù)之和為，故C錯誤；當為奇數(shù)時，系數(shù)為負數(shù)，當為偶數(shù)時，系數(shù)為正數(shù)，當或時，系數(shù)最大，正確故選：AD.10.已知虛數(shù)滿足，則下列結論正確的是（）A. B.C.的虛部為 D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由，得正確；對于B，由，得，B正確；對于C，設，則，，解得，的虛部為或，C錯誤.對于D，又，D正確.故選：ABD.11.如圖，正方體的棱長為1，點在截面內，且，則（）A.三棱錐的體積為 B.線段的長為C.點的軌跡長為 D.的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，在正方體中，易證平面，平面平面，且兩平面間距離為，又的面積，所以三棱錐的體積故A正確；對于B，如圖①所示，設的中心為，則，故B錯誤；對于C，如圖②所示，由知，，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，由三段劣弧構成，其長度為圓周長的一半故C正確；對于D，，為在方向上的投影，由圖①可知，當位于點或的位置時，最小，此時取得最大值，如圖②所示，建立空間直角坐標系，則，，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題第1問2分，第2問3分.12.若集合，則__________.〖答案〗〖解析〗.又或，故.13.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有三個零點，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗令，，，問題轉化為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有三個零點，，解得.14.某兒童游樂場有一臺打地鼠游戲機，共有9個洞.游戲開始后，每次有且僅有一只地鼠從某洞中冒出，地鼠第1次從1號洞冒出來.假設游戲過程中地鼠從上一個洞繼續(xù)冒出的概率為，從其它洞冒出的可能性相等，則地鼠第3次從1號洞冒出的概率是__________.假設游戲結束時，地鼠一共冒出次，則地鼠從1號洞冒出的次數(shù)期望值為__________.〖答案〗〖解析〗令表示地鼠第次從1號洞冒出的概率，則.當?shù)厥蟮?次從1號洞冒出時，第3次從1號洞冒出的概率為；當?shù)厥蟮?次沒有從1號洞冒出時，第3次從1號洞冒出的概率為.同理可得：，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，也適合；游戲結束時，地鼠一共冒出次，則地鼠從1號洞冒出的次數(shù)期望值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.15.車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素，汽車行駛會導致輪胎胎面磨損.某實驗室通過實驗測得轎車行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數(shù)據(jù)，如下表所示：行駛里程萬0.00.41.01.62.42.83.44.4輪胎凹槽深度8.07.87.26.25.64.84.44.0（1）求該品牌輪胎凹槽深度與行駛里程的相關系數(shù)，并判斷二者之間是否具有很強的線性相關性；（結果保留兩位有效數(shù)字）（2）根據(jù)我國國家標準規(guī)定：轎車輪胎凹槽安全深度為（當凹槽深度低于時剎車距離增大，駕駛風險增加，必須更換新輪胎）.某人在保養(yǎng)汽車時將小轎車的輪胎全部更換成了該品牌的新輪胎，請問在正常行駛情況下，更換新輪胎后繼續(xù)行駛約多少公里需對輪胎再次更換？附：變量與的樣本相關系數(shù)；對于一組數(shù)據(jù)，，其線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為：.解：（1）計算得，，由公式知，，二者之間具有很強的線性關系.（2）設輪胎凹槽深度與行駛里程的線性回歸方程為，則==，，線性回歸方程為，令，得，即更換新輪胎后繼續(xù)行駛約6.4萬公里需要對輪胎再次更換.16.如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，為等邊三角形.（1）證明：；（2）若二面角的大小為，求二面角的正弦值.（1）證明：取的中點，連接線段，由，得，由，得為等邊三角形，則，又平面，于平面，又平面，所以.（2）解：由（1）知為二面角的平面角，即，在平面內過作，顯然直線兩兩垂直，以為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，不妨設，則，，由，得，，，設平面的法向量為，，，取，得，而，設平面的法向量為，則，取，得，設二面角的平面角為，則，因此，所以二面角的正弦值為.17.在平面直角坐標系中，已知拋物線的焦點為是上第一象限內的動點.當直線的傾斜角為時，.（1）求的方程；（2）已知點是上不同兩點.若四邊形是平行四邊形，證明：直線過定點.解：（1）由題意可知：拋物線的焦