2024屆江西省九江市高三第三次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省九江市2024屆高三第三次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某校開展“奮進(jìn)新征程，強(qiáng)國伴我行”二十大主題知識(shí)競(jìng)賽，其中高三年級(jí)選派8名同學(xué)參賽，這8名同學(xué)的成績(jī)（總分10分）依次如下：，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.8 B.9 C.9.5 D.10〖答案〗C〖解析〗8名同學(xué)成績(jī)數(shù)據(jù)由小到大重新排列為：是整數(shù)，分位數(shù)是第6位數(shù)和第7位數(shù)的平均數(shù)，即.故選：C.2.在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，由正弦定理，因?yàn)?，展開化簡(jiǎn)，又.故選:B.3.已知等差數(shù)列的公差為，是與的等比中項(xiàng)，則（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以.又因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以，化簡(jiǎn)得，即，所以.故選：A.4.考古發(fā)現(xiàn)在金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字“142857”，我們把它和自然數(shù)1到6依次相乘，得，，結(jié)果是同樣的數(shù)字，只是調(diào)換了位置.若將這組神秘?cái)?shù)字“142857”進(jìn)行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為（）A.24 B.36 C.72 D.144〖答案〗D〖解析〗第一步：將三個(gè)偶數(shù)看成一個(gè)整體，與三個(gè)奇數(shù)進(jìn)行全排列共種排法；第二步：將三個(gè)偶數(shù)進(jìn)行全排列共；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：將這組神秘?cái)?shù)字“142857”進(jìn)行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為.故選：D.5.已知圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓，則該圓錐的體積是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓錐底面圓半徑為，母線為，高為.由題意得，解得，，該圓錐的體積是.故選：A.6.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,過且傾斜角為的直線交于第一象限內(nèi)一點(diǎn).若線段的中點(diǎn)在軸上,的面積為,則的方程為（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖,為線段的中點(diǎn),為線段的中點(diǎn),,又軸,軸.在中,,設(shè),則的面積為,,,則C的方程為.故選：D.7.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，則，所以由，得，即，即，得，所以，故選：C.8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)(非原點(diǎn))，且，則的離心率為（）A. B. C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗設(shè)且，則，因?yàn)椋?，得，設(shè)直線的方程為，，由，得，由，得，所以，所以，①，因?yàn)?，是線段的中點(diǎn)，所以，即，化簡(jiǎn)得，由①，得，所以，所以，所以離心率，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知二項(xiàng)式，則（）A.展開式中的系數(shù)為45B.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)C.展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1D.展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)或第7項(xiàng)〖答案〗AD〖解析〗，當(dāng)時(shí)，，系數(shù)為，故A正確；由組合數(shù)性質(zhì)可知，中間項(xiàng)系數(shù)最大，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；令，得展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，故C錯(cuò)誤；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，系數(shù)為負(fù)數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，系數(shù)為正數(shù)，當(dāng)或時(shí)，系數(shù)最大，正確故選：AD.10.已知虛數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.的虛部為 D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，由，得正確；對(duì)于B，由，得，B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，，解得，的虛部為或，C錯(cuò)誤.對(duì)于D，又，D正確.故選：ABD.11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在截面內(nèi)，且，則（）A.三棱錐的體積為 B.線段的長(zhǎng)為C.點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為 D.的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，在正方體中，易證平面，平面平面，且兩平面間距離為，又的面積，所以三棱錐的體積故A正確；對(duì)于B，如圖①所示，設(shè)的中心為，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖②所示，由知，，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，由三段劣弧構(gòu)成，其長(zhǎng)度為圓周長(zhǎng)的一半故C正確；對(duì)于D，，為在方向上的投影，由圖①可知，當(dāng)位于點(diǎn)或的位置時(shí)，最小，此時(shí)取得最大值，如圖②所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題第1問2分，第2問3分.12.若集合，則__________.〖答案〗〖解析〗.又或，故.13.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗令，，，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，，解得.14.某兒童游樂場(chǎng)有一臺(tái)打地鼠游戲機(jī)，共有9個(gè)洞.游戲開始后，每次有且僅有一只地鼠從某洞中冒出，地鼠第1次從1號(hào)洞冒出來.假設(shè)游戲過程中地鼠從上一個(gè)洞繼續(xù)冒出的概率為，從其它洞冒出的可能性相等，則地鼠第3次從1號(hào)洞冒出的概率是__________.假設(shè)游戲結(jié)束時(shí)，地鼠一共冒出次，則地鼠從1號(hào)洞冒出的次數(shù)期望值為__________.〖答案〗〖解析〗令表示地鼠第次從1號(hào)洞冒出的概率，則.當(dāng)?shù)厥蟮?次從1號(hào)洞冒出時(shí)，第3次從1號(hào)洞冒出的概率為；當(dāng)?shù)厥蟮?次沒有從1號(hào)洞冒出時(shí)，第3次從1號(hào)洞冒出的概率為.同理可得：，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，也適合；游戲結(jié)束時(shí)，地鼠一共冒出次，則地鼠從1號(hào)洞冒出的次數(shù)期望值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.15.車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素，汽車行駛會(huì)導(dǎo)致輪胎胎面磨損.某實(shí)驗(yàn)室通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得轎車行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數(shù)據(jù)，如下表所示：行駛里程萬0.00.41.01.62.42.83.44.4輪胎凹槽深度8.07.87.26.25.64.84.44.0（1）求該品牌輪胎凹槽深度與行駛里程的相關(guān)系數(shù)，并判斷二者之間是否具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）（2）根據(jù)我國國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：轎車輪胎凹槽安全深度為（當(dāng)凹槽深度低于時(shí)剎車距離增大，駕駛風(fēng)險(xiǎn)增加，必須更換新輪胎）.某人在保養(yǎng)汽車時(shí)將小轎車的輪胎全部更換成了該品牌的新輪胎，請(qǐng)問在正常行駛情況下，更換新輪胎后繼續(xù)行駛約多少公里需對(duì)輪胎再次更換？附：變量與的樣本相關(guān)系數(shù)；對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，其線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：.解：（1）計(jì)算得，，由公式知，，二者之間具有很強(qiáng)的線性關(guān)系.（2）設(shè)輪胎凹槽深度與行駛里程的線性回歸方程為，則==，，線性回歸方程為，令，得，即更換新輪胎后繼續(xù)行駛約6.4萬公里需要對(duì)輪胎再次更換.16.如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，為等邊三角形.（1）證明：；（2）若二面角的大小為，求二面角的正弦值.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接線段，由，得，由，得為等邊三角形，則，又平面，于平面，又平面，所以.（2）解：由（1）知為二面角的平面角，即，在平面內(nèi)過作，顯然直線兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，由，得，，，設(shè)平面的法向量為，，，取，得，而，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，則，因此，所以二面角的正弦值為.17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為是上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，.（1）求的方程；（2）已知點(diǎn)是上不同兩點(diǎn).若四邊形是平行四邊形，證明：直線過定點(diǎn).解：（1）由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，過點(diǎn)A作軸的垂線，垂足為，作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線定義可得，因?yàn)橹本€的傾斜角為，則，可得，解得，所以的方程為.（2）設(shè)直線方程為，，聯(lián)立方程組，消去整理得，則，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，則，即，代入中得，整理得，則直線：，所以直線過定點(diǎn).18.已知函數(shù)，且.（1）討論的單調(diào)性；（2）若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.解：（1）解法一：，令，則，在上單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.解法二：，①當(dāng)時(shí)，由得，由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，同理可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）解法一：由，得，易得令，則又為偶函數(shù)，由（1）知在上單調(diào)遞增，，即有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.令，由，得由，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故，解得或，故的取值范圍是.解法二：由得，易得，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由，得或，兩邊同時(shí)取以為底的對(duì)數(shù)，得或，，即有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解下同解法一.19.已知數(shù)列共有項(xiàng)，且，若滿足，則稱為“約束數(shù)列”.記“約束數(shù)列”的所有項(xiàng)的和為.（1）當(dāng)時(shí)，寫出所有滿足的“約束數(shù)列”；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)“約束數(shù)列”為等差數(shù)列.請(qǐng)判斷是的什么條件，并說明理由；（3）當(dāng)時(shí)，求的最大值.解：（1）當(dāng)時(shí)，所有滿足的“約束數(shù)列”有：①；②；③（2）是的充分不必要條件.理由：①當(dāng)時(shí)，.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，“約束數(shù)列”是公差為1的等差數(shù)列.②當(dāng)“約束數(shù)列”是等差數(shù)列時(shí)，由，得，或，或，若，則的公差為；若，則的公差為；若，則的公差為，即當(dāng)“約束數(shù)列”是等差數(shù)列時(shí)，或或2024.由①②，得是的充分不必要條件.（3）要使得取最大值，則，當(dāng)且僅當(dāng)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件時(shí)，取最大值.①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，..江西省九江市2024屆高三第三次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某校開展“奮進(jìn)新征程，強(qiáng)國伴我行”二十大主題知識(shí)競(jìng)賽，其中高三年級(jí)選派8名同學(xué)參賽，這8名同學(xué)的成績(jī)（總分10分）依次如下：，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.8 B.9 C.9.5 D.10〖答案〗C〖解析〗8名同學(xué)成績(jī)數(shù)據(jù)由小到大重新排列為：是整數(shù)，分位數(shù)是第6位數(shù)和第7位數(shù)的平均數(shù)，即.故選：C.2.在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋烧叶ɡ?，因?yàn)?，展開化簡(jiǎn)，又.故選:B.3.已知等差數(shù)列的公差為，是與的等比中項(xiàng)，則（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以.又因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以，化簡(jiǎn)得，即，所以.故選：A.4.考古發(fā)現(xiàn)在金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字“142857”，我們把它和自然數(shù)1到6依次相乘，得，，結(jié)果是同樣的數(shù)字，只是調(diào)換了位置.若將這組神秘?cái)?shù)字“142857”進(jìn)行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為（）A.24 B.36 C.72 D.144〖答案〗D〖解析〗第一步：將三個(gè)偶數(shù)看成一個(gè)整體，與三個(gè)奇數(shù)進(jìn)行全排列共種排法；第二步：將三個(gè)偶數(shù)進(jìn)行全排列共；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：將這組神秘?cái)?shù)字“142857”進(jìn)行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為.故選：D.5.已知圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓，則該圓錐的體積是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓錐底面圓半徑為，母線為，高為.由題意得，解得，，該圓錐的體積是.故選：A.6.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,過且傾斜角為的直線交于第一象限內(nèi)一點(diǎn).若線段的中點(diǎn)在軸上,的面積為,則的方程為（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖,為線段的中點(diǎn),為線段的中點(diǎn),,又軸,軸.在中,,設(shè),則的面積為,,,則C的方程為.故選：D.7.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，則，所以由，得，即，即，得，所以，故選：C.8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)(非原點(diǎn))，且，則的離心率為（）A. B. C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗設(shè)且，則，因?yàn)椋?，得，設(shè)直線的方程為，，由，得，由，得，所以，所以，①，因?yàn)椋蔷€段的中點(diǎn)，所以，即，化簡(jiǎn)得，由①，得，所以，所以，所以離心率，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知二項(xiàng)式，則（）A.展開式中的系數(shù)為45B.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)C.展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1D.展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)或第7項(xiàng)〖答案〗AD〖解析〗，當(dāng)時(shí)，，系數(shù)為，故A正確；由組合數(shù)性質(zhì)可知，中間項(xiàng)系數(shù)最大，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；令，得展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，故C錯(cuò)誤；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，系數(shù)為負(fù)數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，系數(shù)為正數(shù)，當(dāng)或時(shí)，系數(shù)最大，正確故選：AD.10.已知虛數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.的虛部為 D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，由，得正確；對(duì)于B，由，得，B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，，解得，的虛部為或，C錯(cuò)誤.對(duì)于D，又，D正確.故選：ABD.11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)在截面內(nèi)，且，則（）A.三棱錐的體積為 B.線段的長(zhǎng)為C.點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為 D.的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，在正方體中，易證平面，平面平面，且兩平面間距離為，又的面積，所以三棱錐的體積故A正確；對(duì)于B，如圖①所示，設(shè)的中心為，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖②所示，由知，，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓的一部分，由三段劣弧構(gòu)成，其長(zhǎng)度為圓周長(zhǎng)的一半故C正確；對(duì)于D，，為在方向上的投影，由圖①可知，當(dāng)位于點(diǎn)或的位置時(shí)，最小，此時(shí)取得最大值，如圖②所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題第1問2分，第2問3分.12.若集合，則__________.〖答案〗〖解析〗.又或，故.13.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗令，，，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，，解得.14.某兒童游樂場(chǎng)有一臺(tái)打地鼠游戲機(jī)，共有9個(gè)洞.游戲開始后，每次有且僅有一只地鼠從某洞中冒出，地鼠第1次從1號(hào)洞冒出來.假設(shè)游戲過程中地鼠從上一個(gè)洞繼續(xù)冒出的概率為，從其它洞冒出的可能性相等，則地鼠第3次從1號(hào)洞冒出的概率是__________.假設(shè)游戲結(jié)束時(shí)，地鼠一共冒出次，則地鼠從1號(hào)洞冒出的次數(shù)期望值為__________.〖答案〗〖解析〗令表示地鼠第次從1號(hào)洞冒出的概率，則.當(dāng)?shù)厥蟮?次從1號(hào)洞冒出時(shí)，第3次從1號(hào)洞冒出的概率為；當(dāng)?shù)厥蟮?次沒有從1號(hào)洞冒出時(shí)，第3次從1號(hào)洞冒出的概率為.同理可得：，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，也適合；游戲結(jié)束時(shí)，地鼠一共冒出次，則地鼠從1號(hào)洞冒出的次數(shù)期望值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.15.車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素，汽車行駛會(huì)導(dǎo)致輪胎胎面磨損.某實(shí)驗(yàn)室通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得轎車行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數(shù)據(jù)，如下表所示：行駛里程萬0.00.41.01.62.42.83.44.4輪胎凹槽深度8.07.87.26.25.64.84.44.0（1）求該品牌輪胎凹槽深度與行駛里程的相關(guān)系數(shù)，并判斷二者之間是否具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）（2）根據(jù)我國國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：轎車輪胎凹槽安全深度為（當(dāng)凹槽深度低于時(shí)剎車距離增大，駕駛風(fēng)險(xiǎn)增加，必須更換新輪胎）.某人在保養(yǎng)汽車時(shí)將小轎車的輪胎全部更換成了該品牌的新輪胎，請(qǐng)問在正常行駛情況下，更換新輪胎后繼續(xù)行駛約多少公里需對(duì)輪胎再次更換？附：變量與的樣本相關(guān)系數(shù)；對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，其線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：.解：（1）計(jì)算得，，由公式知，，二者之間具有很強(qiáng)的線性關(guān)系.（2）設(shè)輪胎凹槽深度與行駛里程的線性回歸方程為，則==，，線性回歸方程為，令，得，即更換新輪胎后繼續(xù)行駛約6.4萬公里需要對(duì)輪胎再次更換.16.如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，為等邊三角形.（1）證明：；（2）若二面角的大小為，求二面角的正弦值.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接線段，由，得，由，得為等邊三角形，則，又平面，于平面，又平面，所以.（2）解：由（1）知為二面角的平面角，即，在平面內(nèi)過作，顯然直線兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，由，得，，，設(shè)平面的法向量為，，，取，得，而，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，則，因此，所以二面角的正弦值為.17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為是上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，.（1）求的方程；（2）已知點(diǎn)是上不同兩點(diǎn).若四邊形是平行四邊形，證明：直線過定點(diǎn).解：（1）由題意可知：拋物線的焦