17.1.1勾股定理(精練)-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期重要考點(人教版)

勾股定理一．選擇題1．已知△ABC中，AB＝17cm，AC＝10cm，BC邊上的高AD＝8cm，則邊BC的長為（）A．21cm B．9cm或21cm C．13cm D．13cm或21cm【分析】利用勾股定理列式求出BD、CD，再分點D在邊BC上和在CB的延長線上兩種情況求出BC的長度．【解答】解：過點A作AD⊥BC于D，由勾股定理得，BD＝＝＝15（cm），CD＝＝＝6（cm），分兩種情況：①如圖1，BC＝CD+BD＝21cm，②如圖2，BC＝BD﹣CD＝9cm，故選：B．2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，角平分線BD交AC于D，DE∥AB交BC于E，點F為AB上一點，連接DF，EF．已知DC＝5，CE＝12，則△DEF的面積是（）A．30 B．32.5 C．60 D．78【分析】作BM⊥DE于E，則∠M＝90°，由勾股定理求出DE，由角平分線和平行線的性質(zhì)證出∠2＝∠3，得出BE＝DE＝13，因此BM＝DC＝5，即可求出△DEF的面積．【解答】解：作BM⊥DE于E，如圖所示：則∠M＝90°，∵∠C＝90°，∴DE＝＝13，∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∵DE∥AB，∴∠3＝∠1，∴∠2＝∠3，∴BE＝DE＝13，∴BM＝DC＝5（等腰三角形兩腰上的高相等），∴△DEF的面積＝×13×5＝32.5；故選：B．3．如圖，在平面直角坐標系中，A（﹣1，0），B（0，2），以點A為圓心，AB為半徑畫弧，交x軸正半軸于點C，點C的橫坐標為（）A．﹣1 B．2 C．﹣1 D．1﹣【分析】求出OA、OB，根據(jù)勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC長即可．【解答】解：∵A（﹣1，0），B（0，2），∴OA＝1，OB＝2，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，∴AC＝AB＝，∴OC＝﹣1，∴點C的橫坐標為﹣1．故選：C．4．如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面積依次為6、10、24，則正方形C的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】根據(jù)勾股定理的幾何意義：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．【解答】解：由題意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C∵正方形A、B、D的面積依次為6、10、24，∴24﹣S正方形C＝6+10，∴S正方形C＝8．故選：C．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，若a+b＝14cm，c＝10cm，則Rt△ABC的面積是（）A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2【分析】根據(jù)勾股定理得a2+b2＝c2，再根據(jù)已知條件由完全平方公式即可得出ab的值，即可得出結(jié)果．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：a2+b2＝c2，∵a+b＝14cm，c＝10cm，∴（a+b）2＝196，即2ab＝196﹣（a2+b2）＝196﹣c2＝196﹣100＝96，∴，∴Rt△ABC的面積是24cm2，故選：A．二．填空題6．如圖，以直角三角形的三邊向外作正方形，其面積分別是25，169和B，則B的值是．【分析】根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【解答】解：由勾股定理得：AB2＝AD2﹣DE2＝169﹣25＝144，∴B的值是144，故答案為：144．7．如圖，在平面直角坐標系xOy中，若點A的坐標為（1，），則OA的長為．【分析】根據(jù)勾股定理計算即可．【解答】解：由點的坐標、勾股定理得，OA＝＝2，故答案為：2．8．如圖是2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標，它取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，由四個全等的直角三角形和一個小正方形的拼成的大正方形，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短邊為a，較長邊為b，那么（a+b）2的值是．【分析】根據(jù)大正方形的面積即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2＝c2，然后求得直角三角形的面積即可求得ab的值，根據(jù)（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab即可求解．【解答】解：∵大正方形的面積是13，∴c2＝13，∴a2+b2＝c2＝13，∵直角三角形的面積是＝3，又∵直角三角形的面積是ab＝3，∴ab＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25．故答案是：25．9．如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝12，BC＝10，將四個直角三角形中邊長為12的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是．【分析】在直角△BCD中，已知BC，CD，根據(jù)勾股定理即可計算BD的長，已知，AD＝AC＝12，故求得BD即可計算風(fēng)車的外圍周長．【解答】解：在直角△BCD中，BD為斜邊，已知BC＝10，CD＝2AC＝24，∴BD＝＝26，∵風(fēng)車的外圍周長為4（BD+AD）＝4（26+12）＝152．故答案為152．三．解答題10．如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BC＝20，AC＝15，AD＝9．（1）求CD的長；（2）求AB的長．【分析】（1）（2）根據(jù)勾股定理計算即可．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，CD＝＝12；（2）在Rt△BCD中，BD＝＝16，則AB＝AD+BD＝25．11．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，求BC．【分析】利用勾股定理求出BC的長即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝12．12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，求BC的長．【分析】根據(jù)題意直接利用勾股定理求出即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，∴BC＝＝＝2．13．做8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直線邊分別為a，b，斜邊為c，再做3個邊長分別為a，b，c的正方形，把它們按圖4，圖5所示的方式拼成兩個正方形．利用兩個正方形的面積相等來證明勾股定理：a2+b2＝c2．【分析】通過兩個組合正方形的面積之間相等的關(guān)系即可證明勾股定理．【解答】解：由圖可知大正方形的邊長為：a+b，則面積為（a+b）2，圖中把大正方形的面積分為了四部分，分別是：邊長為a的正方形，邊長為b的正方形，還有兩個長為b，寬為a的長方形，根據(jù)面積相等得：（a+b）2＝a2+b2+4×ab，由右圖可得（a+b）2＝c2+4×ab．所以a2+b2＝c2．14．將圖①沿中間的小正方形的對角線剪開，得到圖②所示的梯形，請利用圖②面積的兩種表示式驗證勾股定理．【分析】根據(jù)梯形的面積等于三個直角三角形的面積之和列式整理即可得證．【解答】解：梯形的面積＝（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，所以，a2+2ab+b2＝ab+ab+c2，所以，a2+b2＝c2．15．一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟發(fā)人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的證法．如圖，火柴盒的一個側(cè)面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，連接CC′，設(shè)AB＝a．BC＝b，AC＝c，請利用四邊形BCC′C的面積證明勾股定理．【分析】根據(jù)梯形面積公式表示梯形BCC′D′的面積；【解答】解：梯形BCC′D′的面積＝（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab．SRt△CC'A＝c2，SRt△ABC＝SRt△AD′C＝ab；（3）由圖形可知S梯形BCC′D′＝SRt△CC'A+2SRt△ABC，則（a+b）（a+b）＝c2+2×ab∴（a2+b2）+ab＝c2+ab．因此，a2+b2＝c2．16．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC比AC大2，DE垂直平分AB，交AB于D，交AC的延長線于E．求：（1）AC，BC的長；（2）CE的長．【分析】（1）在Rt△ACB中，設(shè)AC＝x，根據(jù)勾股定理列等式x2+（x+2）2＝102，據(jù)此即可求出AC和BC的長；（2）證出△ACB∽△ADE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）在Rt△ACB中，設(shè)AC＝x，有AC2+BC2＝AB2，∵x2+（x+2）2＝102，即（x﹣6）（x+8）＝0，解得，x1＝6，x2＝﹣8（舍去）．∴AC＝6，BC＝6+2＝8．（2）∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADE，∴△ACB∽△ADE，∴＝，∴＝，∴AE＝，∴CE＝AE﹣AC＝﹣6＝﹣＝．17．已知AD是△ABC的角平分線，且AC＝2，AB＝3，∠A＝60°，求AD的長．【分析】如圖，過點D分別作AC、AB的高線DE、DF，垂足分別是E、F．過C點作CH⊥AB于點H，勾股定理可得BC長度，利用面積法可得DE，即可得AD．【解答】解：如圖，過點D分別作AC、AB的高線DE、DF，垂足分別是E、F．∵AD是△ABC的角平分線，∴DF＝DE．過C點作CH⊥AB于點H．∵在直角△AHC中，AC＝2，∠A＝60°，∴AH＝AC?cos60°＝AC＝1，CH＝AC?sin60°＝．又∵AB＝3，∴BH＝AB﹣AH＝3﹣1＝2，∴在直角△CBH中，由勾股定理得到BC＝＝＝．∴AB?CH＝AB?DF+AC?DE＝（AB+AC）?DE，即×3×＝×（2+3）×DE，解得DE＝，又∵在直角△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，∴AD＝2DE＝．即AD＝．18．如圖，在平面直角坐標系中，每個小正方形的邊長均為1，請回答下列問題：（1）點A的坐標是，點B的坐標是；（2）分別求出線段OB和線段AB的長度．【分析】（1）根據(jù)平面直角坐標系、點的坐標的確定方法解答；（2）根據(jù)勾股定理計算即可．【解答】解：（1）點A的坐標是（4，3），點B的坐標是（﹣2，﹣5）；（2）OB＝＝，AB＝＝10．19．如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，點A，B的坐標分別為A（5，1），B（2，﹣2）．（1）請在圖中建立合適的直角坐標系；（2）連接AB，則線段AB的長為；（3）設(shè)O為坐標原點，連接OA，OB，求△ABO的面積．【分析】（1）根據(jù)A點坐標畫出平面直角坐標系xOy即可；（2）由勾股定理可求出答案；（3）利用分割法避實就虛面積轉(zhuǎn)化為矩形面積減去三個三角形面積．【解答】解：（1）如圖所示：（2）∵A（5，1），B（2，﹣2），∴AB＝＝3，故答案為：3；（3）如圖，S△AOB＝5×3﹣×5×1﹣×3×3＝6．20．在Rt△ABC中，已知AC＝2，BC＝1，AB＝x，求代數(shù)式（x﹣1）2+2x的值．【分析】分AC是直角邊，AC是斜邊兩種情況，根據(jù)勾股定理得出x的值，進而代入解答即可．【解答】解：①AC是直角邊時，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∵AC＝2，BC＝1，∴AB＝＝，∵AB＝x，∴x＝，∴（x﹣1）2+2x＝x2﹣2x+1+2x＝x2+1＝5+1＝6；②AC是斜邊時，在Rt△ABC中，AC2＝BC2+AB2，∵AC＝2，BC＝1，∴AB＝＝，∵AB＝x，∴x＝，∴（x﹣1）2+2x＝x2﹣2x+1+2x＝x2+1＝3+1＝4．∴代數(shù)式（x﹣1）2+2x的值是6或4．21．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，BD＝3，BC＝，求AB的長．【分析】根據(jù)勾股定理求出CD，再根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：設(shè)AB＝AC＝x，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴CD＝＝1，∴AD＝x﹣1，在Rt△BDA中，BD2+AD2＝AB2，即32+（x﹣1）2＝x2，解得，x＝5，即AB＝5．22．如圖所示的是由5個邊長是1的正方形組成的圖形．（1）求BA12，BA22，BA32的值；（2）從（1）中尋找規(guī)律，當(dāng)有10個正方形時