重難點(diǎn)01有理數(shù)相關(guān)概念的應(yīng)用

重難點(diǎn)01有理數(shù)相關(guān)概念的應(yīng)用目錄題型一：數(shù)軸題型二：絕對(duì)值題型三：非負(fù)數(shù)的性質(zhì)絕對(duì)值題型四：有理數(shù)乘方的應(yīng)用題型五：算“24點(diǎn)”技巧方法技巧方法一、數(shù)軸（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸．?dāng)?shù)軸的三要素：原點(diǎn)，單位長(zhǎng)度，正方向．（2）數(shù)軸上的點(diǎn)：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)．（一般取右方向?yàn)檎较?，?shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)任意實(shí)數(shù)，包括無理數(shù)．）（3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．二．絕對(duì)值（1）概念：數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值．①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等；②絕對(duì)值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，絕對(duì)值等于0的數(shù)有一個(gè)，沒有絕對(duì)值等于負(fù)數(shù)的數(shù)．③有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)．（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對(duì)值要由字母a本身的取值來確定：①當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它本身a；②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它的相反數(shù)﹣a；③當(dāng)a是零時(shí)，a的絕對(duì)值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）三．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，任意一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對(duì)值相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．根據(jù)上述的性質(zhì)可列出方程求出未知數(shù)的值．四．有理數(shù)的乘方（1）有理數(shù)乘方的定義：求n個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結(jié)果時(shí)，也可以讀作a的n次冪．）（2）乘方的法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0．（3）方法指引：①有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先要確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值；②由于乘方運(yùn)算比乘除運(yùn)算又高一級(jí)，所以有加減乘除和乘方運(yùn)算，應(yīng)先算乘方，再做乘除，最后做加減．能力拓展能力拓展題型一：數(shù)軸一．填空題（共1小題）1．（2021春?青浦區(qū)期末）在數(shù)軸上，到原點(diǎn)的距離等于3的點(diǎn)所表示的有理數(shù)是±3．【分析】在數(shù)軸上，+3和﹣3到原點(diǎn)0的距離都等于3，據(jù)此進(jìn)行填空即可．【解答】解：在數(shù)軸上，到原點(diǎn)的距離等于3的點(diǎn)所表示的有理數(shù)是±3．故答案為：±3．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了數(shù)軸，要注意數(shù)軸上距離某個(gè)點(diǎn)是一個(gè)定值的點(diǎn)有兩個(gè)，左右各一個(gè)，不要漏掉一種情況．把數(shù)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，二者互相補(bǔ)充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，在學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．二．解答題（共8小題）2．（2021春?浦東新區(qū)月考）如圖，已知a、b、c在數(shù)軸上的位置．（1）a+b＜0，abc＜0，＜0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a、c互為相反數(shù)，求＝﹣1．（3）化簡(jiǎn)：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．【分析】（1）根據(jù)a、b、c在數(shù)軸上的位置即可求解；（2）根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解；（3）結(jié)合數(shù)軸，根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)去絕對(duì)值符號(hào)，再合并即可求解．【解答】解：由數(shù)軸可知，a＜0＜b＜c，|a|＞|b|，則（1）a+b＜0，abc＜0，＜0．故答案為：＜，＜，＜；（2）∵a、c互為相反數(shù)，∴＝﹣1．故答案為：﹣1；（3）|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|＝b+c+2（a﹣b）+（b﹣c）＝b+c+2a﹣2b+b﹣c＝2a．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)軸、絕對(duì)值的性質(zhì)、整式的加減，根據(jù)數(shù)軸和題目條件判斷出a、b、c的大小關(guān)系和是解題的關(guān)鍵．3．（2020春?寶山區(qū)期中）用數(shù)軸上的點(diǎn)分別表示3，﹣3.5，，2，0和它們的相反數(shù)．【分析】依據(jù)相反數(shù)的概念確定各數(shù)的相反數(shù)后在數(shù)軸上表示即可．【解答】解：∵3，﹣3.5，，2，0，∴它們的相反數(shù)分別為：﹣3.3.5．﹣，﹣，0．將它們?cè)跀?shù)軸上表示如下：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)軸，相反數(shù)的應(yīng)用，求出各數(shù)的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．4．（2020春?寶山區(qū)期中）一出租車某天8：00～10：00以鐘樓為出發(fā)點(diǎn)在東西方向營運(yùn)，向東走為正，向西走為負(fù)，行車?yán)锍蹋▎挝唬簁m）依先后次序記錄如下：﹣4、+3、﹣6、+12、+5，試回答下列問題：（1）將最后一名乘客送到目的地后，出租車離出發(fā)點(diǎn)鐘樓有多遠(yuǎn)？出租車在鐘樓的什么方向？（2）若每千米的價(jià)格為2.4元，司機(jī)該天8：00～10：00的營業(yè)額是多少？【分析】（1）求出所有數(shù)據(jù)的代數(shù)和，結(jié)合結(jié)果的符號(hào)可得結(jié)論；（2）求出所有數(shù)據(jù)的絕對(duì)值，再乘以2.4可得結(jié)論．【解答】解：（1）﹣4+3﹣6+12+5＝20﹣10＝10（千米）．答：將最后一名乘客送到目的地后，出租車離出發(fā)點(diǎn)鐘樓10千米，出租車在鐘樓的東邊．（2）出租車共行駛：|﹣4|+|+3|+|﹣6|+|+12|+|+5|＝30（千米）．他的營業(yè)額是30×2.4＝72（元）．答：他的營業(yè)額是30×2.4＝72元．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)軸，正數(shù)和負(fù)數(shù)的應(yīng)用，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行正確處理是解題的關(guān)鍵．5．（2020春?金山區(qū)期中）補(bǔ)完整下面的直線，使它成為一條數(shù)軸，并把下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來．點(diǎn)A是﹣2，點(diǎn)B是|3.5|，點(diǎn)C是的相反數(shù)．【分析】分別算出點(diǎn)A，B，C所表示的數(shù)，然后在數(shù)軸上表示出來．【解答】解：點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2.5，點(diǎn)B表示的數(shù)為3.5，點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣0.25．點(diǎn)A，B，C標(biāo)在圖中所示位置【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)軸的相關(guān)知識(shí)，解題關(guān)鍵是掌握畫數(shù)軸的方法6．（2020春?閔行區(qū)期中）（1）用數(shù)軸上的點(diǎn)表示下列各數(shù)：點(diǎn)A表示﹣的倒數(shù)，點(diǎn)B表示﹣2的相反數(shù)，點(diǎn)C表示|﹣|；點(diǎn)D表示絕對(duì)值最小的數(shù)．（2）已知點(diǎn)E與B的距離為線段AB長(zhǎng)的一半，則點(diǎn)E表示的數(shù)是﹣或．【分析】（1）依據(jù)點(diǎn)A表示﹣的倒數(shù)，點(diǎn)B表示﹣2的相反數(shù)，點(diǎn)C表示|﹣|；點(diǎn)D表示絕對(duì)值最小的數(shù)，即可得出各點(diǎn)的位置；（2）依據(jù)點(diǎn)E與B的距離為線段AB長(zhǎng)的一半，即可得到EB＝AB＝，再分兩種情況進(jìn)行討論，即可得到點(diǎn)E表示的數(shù)．【解答】解：（1）如圖所示：（2）∵點(diǎn)E與B的距離為線段AB長(zhǎng)的一半，∴EB＝AB＝，若點(diǎn)E在點(diǎn)B的左側(cè)，則點(diǎn)E表示的數(shù)為2﹣＝﹣；若點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)，則點(diǎn)E表示的數(shù)為2+＝，故答案為：﹣或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)．7．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）定義：對(duì)于數(shù)軸上的三點(diǎn)，若其中一個(gè)點(diǎn)與其他兩個(gè)點(diǎn)的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系．如下圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時(shí)點(diǎn)B就是點(diǎn)A，C的一個(gè)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．（1）寫出點(diǎn)A，C的其他三個(gè)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”所表示的數(shù)：﹣2、2、7．（2）若點(diǎn)M表示數(shù)﹣2，點(diǎn)N表示數(shù)4，數(shù)﹣8，﹣6，0，2，10所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是C1，C2，C3，C4，C5，其中不是點(diǎn)M，N的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是點(diǎn)C2．（3）若點(diǎn)M表示的數(shù)是﹣3，點(diǎn)N表示的數(shù)是10，點(diǎn)P為數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①若點(diǎn)P在點(diǎn)N左側(cè)，且點(diǎn)P是點(diǎn)M，N的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)．②若點(diǎn)P在點(diǎn)N右側(cè)，且點(diǎn)P，M，N中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是另外兩個(gè)點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)．【分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的概念即可解得．（2）根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的概念逐個(gè)點(diǎn)計(jì)算即可解得（3）①根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的概念表示出距離，根據(jù)2倍的數(shù)量關(guān)系列式即可解得．②根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的概念表示出距離，分四種情況進(jìn)行解答．【解答】解：（1）2﹣1＝1，4﹣2＝2，2是A，C的一個(gè)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，設(shè)x是A，C的一個(gè)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，x﹣1＝2（x﹣4）解得x＝7，設(shè)y是A，C的一個(gè)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，2（1﹣y）＝4﹣y解得y＝﹣2，A，C的其他三個(gè)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”所表示的數(shù)為：﹣2、2、7，故答案為：﹣2、2、7，（2）∵﹣2﹣（﹣8）＝6，4﹣（﹣8）＝12，∴C1是關(guān)聯(lián)點(diǎn)，∵﹣2﹣（﹣6）＝4，4﹣（﹣6）＝10，∴C2不是關(guān)聯(lián)點(diǎn)，∵0﹣（﹣2）＝2，4﹣0＝4，∴C3是關(guān)聯(lián)點(diǎn)，∵2﹣（﹣2）＝4，4﹣2＝2，∴C4是關(guān)聯(lián)點(diǎn)，∵10﹣（﹣2）＝12，10﹣4＝6，∴C5是關(guān)聯(lián)點(diǎn)，故答案為：C2．（3）①若點(diǎn)P在點(diǎn)N左側(cè)且在M的右側(cè)，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，當(dāng)2（x+3）＝10﹣x解得，當(dāng)x+3＝2（10﹣x）解得，若點(diǎn)P在M點(diǎn)左側(cè)，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，∴2（﹣3﹣x）＝10﹣x解得x＝﹣16，綜上所述：P表示的數(shù)為：；②若點(diǎn)P在點(diǎn)N右側(cè)，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，當(dāng)PN＝2MN時(shí)，則2×13＝x﹣10解得x＝36，當(dāng)MN＝2PN時(shí)，則13＝2×（x﹣10）解得，當(dāng)MP＝2MN時(shí)，則x+3＝2×13解得x＝23，當(dāng)MP＝2PN時(shí)，則x+3＝2×（x﹣10）解得x＝23，綜上所述：P表示的數(shù)為：，23.36．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的概念，讀懂題意并根據(jù)題意列出方程．8．（2022春?普陀區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為﹣12和8，兩只螞蟻M、N分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行．M的速度為2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，N的速度為3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒．（1）運(yùn)動(dòng)4秒鐘時(shí)，兩只螞蟻相遇在點(diǎn)P；點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣4；（2）若運(yùn)動(dòng)t秒鐘時(shí)，兩只螞蟻的距離為10，求出t的值（寫出解題過程）．【分析】（1）利用兩螞蟻的速度表示出行駛的路程，進(jìn)而得出等式求出即可；（2）分別利用在相遇之前距離為10和在相遇之后距離為10，求出即可．【解答】解：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，兩只螞蟻相遇在點(diǎn)P，根據(jù)題意可得：2x+3x＝8﹣（﹣12），解得：x＝4，﹣12+2×4＝﹣4．答：運(yùn)動(dòng)4秒鐘時(shí)，兩只螞蟻相遇在點(diǎn)P；點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)為：﹣4；（2）運(yùn)動(dòng)t秒鐘，螞蟻M向右移動(dòng)了2t，螞蟻N向左移動(dòng)了3t，若在相遇之前距離為10，則有2t+3t+10＝20，解得：t＝2．若在相遇之后距離為10，則有2t+3t﹣10＝20，解得：t＝6．綜上所述：t的值為2或6．故答案為：4；﹣4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用以及數(shù)軸的應(yīng)用，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．9．（2022春?奉賢區(qū)校級(jí)月考）根據(jù)下面給出的數(shù)軸，解答下面的問題：（1）請(qǐng)你根據(jù)圖中A，B兩點(diǎn)的位置，分別寫出它們所表示的有理數(shù)．（2）請(qǐng)問A，B兩點(diǎn)之間的距離是多少？（3）在數(shù)軸上畫出與點(diǎn)A的距離為2的點(diǎn)（用不同于A，B的其它字母表示），并寫出這些點(diǎn)表示的數(shù)．【分析】（1）讀出數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)值即可；（2）兩點(diǎn)的距離，即兩點(diǎn)表示的數(shù)的絕對(duì)值之和；（3）與點(diǎn)A的距離為2的點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)向左，一個(gè)向右．【解答】解：（1）根據(jù)所給圖形可知A：1，B：﹣2.5；（2）依題意得：AB之間的距離為：1+2.5＝3.5；（3）設(shè)這兩點(diǎn)為C、D，則這兩點(diǎn)為C：1﹣2＝﹣1，D：1+2＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了學(xué)生對(duì)數(shù)軸的掌握情況，要會(huì)畫出數(shù)軸，會(huì)讀準(zhǔn)數(shù)軸．題型二：絕對(duì)值一．填空題（共1小題）1．（2021春?徐匯區(qū)期中）絕對(duì)值小于2.5的整數(shù)有±2；±1；0．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義得到整數(shù)±2；±1；0的絕對(duì)值都小于2.5．【解答】解：絕對(duì)值小于2.5整數(shù)±2；±1；0，故答案為±2；±1；0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值：若a＞0，則|a|＝a；若a＝0，則|a|＝0；若a＜0，則|a|＝﹣a．二．解答題（共3小題）2．（2021春?普陀區(qū)校級(jí)月考）若a＞0，＝1；若a＜0，＝﹣1；①若，則＝1；②若abc＜0，則＝1或﹣3．【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值的性質(zhì)|a|＝，根據(jù)a的符號(hào)確定它的絕對(duì)值是它本身還是絕對(duì)值即可．【解答】解：∵a＞0，∴|a|＝a，∴＝＝1；∵a＜0，∴|a|＝﹣a，∴＝＝﹣1，故答案為：1，﹣1；①∵，∴ab＜0，∴|ab|＝﹣ab，∴＝＝1，故答案為：1；②∵abc＜0，∴a、b、c中有一個(gè)負(fù)數(shù)、兩個(gè)正數(shù)和三個(gè)負(fù)數(shù)兩種情況，當(dāng)a、b、c中有一個(gè)負(fù)數(shù)、兩個(gè)正數(shù)時(shí)，＝﹣1+1+1＝1，當(dāng)a、b、c中有三個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3，故答案為：1或﹣3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分類討論解決含字母參數(shù)絕對(duì)值的問題，關(guān)鍵是能確定含字母參數(shù)絕對(duì)值是它本身還是它的相反數(shù)．3．（2021春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）已知非零實(shí)數(shù)a，b，c，|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，化簡(jiǎn)|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|．【分析】根據(jù)已知三等式判斷出a，b及c的正負(fù)，進(jìn)而確定出絕對(duì)值里邊式子的正負(fù)，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果．【解答】解：∵|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，∴a＜0，b＜0，c＞0，∴a+b＜0，c﹣b＞0，a﹣c＜0，∴原式＝﹣b+a+b﹣c+b﹣a+c＝b．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的加減，以及絕對(duì)值，涉及的知識(shí)有：去括號(hào)法則，以及合并同類項(xiàng)法則，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．同時(shí)注意根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則正確判斷含有字母的式子的符號(hào)．4．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)月考）若x＞0，y＜0，求|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|的值．【分析】直接利用x，y的符號(hào)進(jìn)而去絕對(duì)值，再合并求出答案．【解答】解：∵x＞0，y＜0，∴x﹣y+2＞0，y﹣x﹣3＜0，∵|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|＝x﹣y+2+（y﹣x﹣3）＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了絕對(duì)值，正確得出各式的符號(hào)是解題關(guān)鍵．題型三：非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值一．填空題（共2小題）1．（2021春?浦東新區(qū)月考）已知|x﹣4|+|5+y|＝0，則（x+y）的值為﹣．【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：根據(jù)題意得，x﹣4＝0，5+y＝0，解得x＝4，y＝﹣5，所以，（x+y）＝×（4﹣5）＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0．2．（2021春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）|2x﹣4|+|x+2y﹣8|＝0，則（x﹣y）2021＝﹣1．【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出二元一次方程組，求解得到x、y的值，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：根據(jù)題意得，，由①得，x＝2，把x＝2代入②得，2+2y﹣8＝0，解得y＝3，∴（x﹣y）2021＝（2﹣3）2021＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程組，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握解二元一次方程組的方法，能夠正確利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0求出x、y的值．二．解答題（共1小題）3．（2021春?上海期中）已知：△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，a是最小的合數(shù)，b、c滿足等式：|b﹣5|+（c﹣6）2＝0，點(diǎn)P是△ABC的邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿著△ABC的邊按BA→AC→CB順序順時(shí)針移動(dòng)一周，回到點(diǎn)B后停止，移動(dòng)的路程為S，如圖1所示．（1）試求出△ABC的周長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到AC邊上時(shí)，化簡(jiǎn)：|S﹣4|+|3S﹣6|+|4S﹣45|．【分析】（1）根據(jù)a是最小的合數(shù)，b、c滿足等式：|b﹣5|+（c﹣6）2＝0，找到a、b、c的值即可計(jì)算△ABC的周長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到AC邊上時(shí)，6≤S≤11，再去絕對(duì)值化簡(jiǎn)即可求值．【解答】解：（1）∵a是最小的合數(shù)，∴a＝4，又∵|b﹣5|+（c﹣6）2＝0，∴b＝5，c＝6，∴C△ABC＝4+5+6＝15，（2）由題意得當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到AC邊上時(shí)，6≤S≤11，原式＝S﹣4+3S﹣6+45﹣4S＝35．【點(diǎn)評(píng)】本題考查偶次方的非負(fù)性以及絕對(duì)值的非負(fù)性，本題討論出S的取值范圍化簡(jiǎn)絕對(duì)值是解題關(guān)鍵．題型四：有理數(shù)乘方的應(yīng)用一．填空題（共5小題）1．（2022春?明水縣期末）地球表面的總面積是（五億一千零八萬三千零四十二）平方千米，括號(hào)里的數(shù)寫作510083042km2；省略億后面的尾數(shù)約是5億平方千米．【分析】按照整數(shù)的寫法和四舍五入求近似值法進(jìn)行求解．【解答】解：∵五億一千零八萬三千零四十二記作510083042，省略億后面的尾數(shù)約是5億平方千米，故答案為：510083042，5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整數(shù)的寫法和求近似值等問題的解決能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．2．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖為一正方形網(wǎng)，若在第一個(gè)點(diǎn)上放1枚棋子，在第二個(gè)點(diǎn)上放2枚棋子，在第三個(gè)點(diǎn)上放4枚棋子，在第四個(gè)點(diǎn)上放8枚棋子，以次類推，則在最后一個(gè)點(diǎn)上應(yīng)放224枚棋子．（結(jié)果用冪的形式表示）【分析】第1個(gè)點(diǎn)放1枚，即20枚；第2個(gè)點(diǎn)放2枚，即21枚；第3個(gè)點(diǎn)放4枚，即22枚；第4個(gè)點(diǎn)放8枚，即23枚；……此正方形網(wǎng)格格點(diǎn)共5×5＝25個(gè)格點(diǎn)，所以，第25個(gè)點(diǎn)放224．【解答】解：第1個(gè)點(diǎn)放1枚，即20枚；第2個(gè)點(diǎn)放2枚，即21枚；第3個(gè)點(diǎn)放4枚，即22枚；第4個(gè)點(diǎn)放8枚，即23枚；……第n個(gè)點(diǎn)放2n﹣1枚．此正方形網(wǎng)格格點(diǎn)共5×5＝25個(gè)點(diǎn)，所以，第25個(gè)點(diǎn)放225﹣1＝224．故答案為：224．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)字規(guī)律題，關(guān)鍵是根據(jù)前幾個(gè)條件，找到規(guī)律是：第n個(gè)點(diǎn)放2n﹣1枚．3．（2021春?寶山區(qū)期末）如果有理數(shù)a滿足a61＜0，在數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是a622，點(diǎn)B所表示的數(shù)是a2021；那么在數(shù)軸上點(diǎn)A在點(diǎn)B（填點(diǎn)A和點(diǎn)B中哪個(gè)點(diǎn)在哪個(gè)點(diǎn)）的右邊．【分析】利用a61＜0可知a＜0，于是可得a622＞0，a2021＜0，根據(jù)原點(diǎn)左邊的數(shù)為負(fù)數(shù)，原點(diǎn)右邊的數(shù)為正數(shù)可得結(jié)論．【解答】解：∵a61＜0，∴a＜0．∴a622＞0，a2021＜0，∴點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊．故答案為：點(diǎn)A在點(diǎn)B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，數(shù)軸．利用負(fù)數(shù)的偶次方是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇數(shù)次方是負(fù)數(shù)的法則是解題的關(guān)鍵．4．（2021春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）閱讀理解：①根據(jù)冪的意義，an表示n個(gè)a相乘；則am+n＝am?an；②an＝m，知道a和n可以求m，我們不妨思考；如果知道a，m，能否求n呢？對(duì)于an＝m，規(guī)定[a，m]＝n，例如：62＝36，所以[6，36]＝2．記[5，x]＝4m，[5，y﹣3]＝4m+2；y與x之間的關(guān)系式為y＝25x+3．【分析】由題意得：x＝54m，y﹣3＝54m+2，然后根據(jù)同底數(shù)冪的逆用得問題的答案．【解答】解：由題意得：x＝54m，y﹣3＝54m+2，∴y﹣3＝54m×52＝25x，即y＝25x+3．故答案為：y＝25x+3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘方、同底數(shù)冪乘法的逆用，正確理解新規(guī)定是解題的關(guān)鍵．5．（2020春?松江區(qū)期末）將一張紙對(duì)折一次可裁2張，對(duì)折兩次可裁4張，對(duì)折四次可裁16張．【分析】根據(jù)已知找到規(guī)律，即可列式求出答案．【解答】解：根據(jù)題意得：將一張紙對(duì)折四次可裁24＝16（張），故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)乘方的意義和運(yùn)算法則．二．解答題（共2小題）6．（2019春?普陀區(qū)期中）某數(shù)的2倍減去﹣4的差等于﹣6的平方，求這個(gè)數(shù)．【分析】設(shè)這個(gè)數(shù)是x，一個(gè)數(shù)的2倍是2x，2x減去﹣4的差等于﹣6的平方，列出方程進(jìn)行解答即可．【解答】解：設(shè)這個(gè)數(shù)是x，根據(jù)題意，得2x﹣（﹣4）＝（﹣6）2，2x+4＝36，2x＝32，x＝16．答：這個(gè)數(shù)是16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算．解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意，先弄清運(yùn)算順序，然后再列式計(jì)算．7．（2021春?浦東新區(qū)月考）請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面材料，并解答下列問題如果a（a＞0，a≠1）的b次冪等于N，即指數(shù)式ab＝N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)式記作：logaN＝b．例如：①因?yàn)橹笖?shù)式22＝4，所以以2為底4的對(duì)數(shù)是2，對(duì)數(shù)式記作：log24＝2；②因?yàn)橹笖?shù)式42＝16，所以以4為底16的對(duì)數(shù)是2，對(duì)數(shù)式記作：log416＝2．（1）填空：指數(shù)式62＝36對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)式是log＝2；對(duì)數(shù)式log327＝3對(duì)應(yīng)的指數(shù)式是33＝27．（2）計(jì)算：log232+log5625．【分析】（1）直接利用對(duì)數(shù)式的定義分析得出答案；（2）直接利用對(duì)數(shù)式的定義得出各數(shù)求出答案．【解答】解：（1）指數(shù)式62＝36對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)式是：log＝2，對(duì)數(shù)式log327＝3對(duì)應(yīng)的指數(shù)式是：33＝27；故答案為：log＝2，33＝27；（2）log232+log5625＝5+4＝9．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了有理數(shù)的乘方，正確理解對(duì)數(shù)式定義是解題關(guān)鍵．題型五：算“24點(diǎn)”一、填空題1．（2022秋·廣東河源·七年級(jí)校考期末）“點(diǎn)的規(guī)則是四個(gè)數(shù)用且只用一次進(jìn)行加、減、乘、除四則運(yùn)算，使結(jié)果等”．現(xiàn)在有四個(gè)有理數(shù)，，，，運(yùn)用上述規(guī)則列出算式_____．【答案】【分析】由“24點(diǎn)”游戲規(guī)則，根據(jù)，，，，列出算式，利用有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算，其結(jié)果為24，可得出此算式滿足題意．【詳解】解：，按上述規(guī)則寫出的算式為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運(yùn)算首先弄清運(yùn)算順序，先乘方，再乘除，最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里邊，同級(jí)運(yùn)算從左到右依次進(jìn)行計(jì)算，然后利用各種運(yùn)算法則計(jì)算．2．（2022秋·四川綿陽·七年級(jí)統(tǒng)考期中）有一種叫做“24點(diǎn)”的游戲，其游戲規(guī)則是這樣的：將4個(gè)絕對(duì)值為1至13之間的數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除四則運(yùn)算（每個(gè)數(shù)只能用一次，可以加括號(hào)），使其結(jié)果為24．例如，1，2，3，4可做運(yùn)算．現(xiàn)有4個(gè)有理數(shù)3，4，，10，運(yùn)用上述規(guī)則，寫出一個(gè)的算式______，使其結(jié)果為24．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意寫出符合題意的算式，本題答案不唯一；【詳解】解：；；；；故答案為：或或或．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的法則和運(yùn)算順序．3．（2023秋·廣東河源·七年級(jí)?？计谀┳鰯?shù)學(xué)“24點(diǎn)”游戲時(shí)，抽到的數(shù)是：，3，4，；你列出算式是：______（四個(gè)數(shù)都必須用上，而且每個(gè)數(shù)只能用一次．可以用加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，也可以加括號(hào)，列一個(gè)綜合算式，使它的結(jié)果為24或）．【答案】【分析】利用加、減、乘、除、乘方運(yùn)算得出即可．【詳解】解：抽到的數(shù)是：，3，4，，列出的算式是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算法則．4．（2021秋·福建寧德·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）你玩過24點(diǎn)游戲吧，請(qǐng)你運(yùn)用加、減、乘、除運(yùn)算和括號(hào)，寫出數(shù)5、5、5、1得到24的算式__________（每個(gè)數(shù)只能用一次）．【答案】5×（51÷5）=24【分析】根據(jù)，列出正確算式即可．【詳解】解：5×（51÷5）=24，故答案為：5×（51÷5）=24．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)用，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用運(yùn)算符號(hào)和括號(hào)列出準(zhǔn)確算式．二、解答題5．（2023秋·重慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有一種“24點(diǎn)”游戲的規(guī)則是這樣的：任取4個(gè)1至13之間的自然數(shù)，將這4個(gè)數(shù)（每個(gè)數(shù)用且只用一次）進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算，使其結(jié)果等于24．(1)現(xiàn)有4個(gè)有理數(shù)3，4，，10，運(yùn)用上述規(guī)則寫出三種不同方法的運(yùn)算式子，使其結(jié)果等于24；(2)對(duì)于4個(gè)數(shù)3，，7，，你能行嗎？(3)如果在2，，4，，6這幾個(gè)數(shù)中任意挑選4個(gè)，試試看，你能運(yùn)用上述規(guī)則寫出運(yùn)算式子，使其結(jié)果等于24嗎？【答案】(1)，，(2)(3)【分析】（1）按照要求的規(guī)則，寫出算式，并計(jì)算驗(yàn)證滿足條件即可；（2）按照要求的規(guī)則，寫出算式，并計(jì)算驗(yàn)證滿足條件即可；（3）按照要求的規(guī)則，寫出算式，并計(jì)算驗(yàn)證滿足條件即可．【詳解】（1）解：∵，，,∴，，三種不同方法的運(yùn)算式子滿足要求；（2）∵，∴滿足要求；（3）∵，∴滿足要求．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，讀懂規(guī)則，找到正確的算式是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·河北保定·七年級(jí)統(tǒng)考期中）有個(gè)填寫運(yùn)算符號(hào)的游戲：在“1□2□6□9”中的每個(gè)□內(nèi)，填入+，，×，÷中的某一個(gè)（可重復(fù)使用），然后計(jì)算結(jié)果．(1)計(jì)算：；(2)若□，請(qǐng)推算□內(nèi)的符號(hào)；(3)將1，2，6，9這4個(gè)數(shù)字進(jìn)行+，，×，÷混合運(yùn)算，每個(gè)數(shù)字只能用一次，使結(jié)果為24，寫出一個(gè)運(yùn)算式子．【答案】(1)(2)(3)（答案不唯一）【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減法可以解答；（2）根據(jù)題目中式子的結(jié)果，可以得到□內(nèi)的符號(hào)；（3）根據(jù)有理數(shù)運(yùn)算法則列式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：□，□，□，□內(nèi)的符號(hào)是“”；（3）解：(答案不唯一)【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題得關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算法則．7．（2022秋·湖北孝感·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明有5張寫著不同數(shù)字的卡片，請(qǐng)你按要求選擇卡片，完成下列各問題：(1)從中選擇兩張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字的乘積最大．這兩張卡片上的數(shù)字分別是________，積為________；(2)從中選擇兩張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字相除的商最?。@兩張卡片上的數(shù)字分別是________，商為________；(3)從中選擇4張卡片，每張卡片上的數(shù)字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當(dāng)方法（可加括號(hào)），使其運(yùn)算結(jié)果為24，寫出運(yùn)算式子及運(yùn)算過程．（寫出一種即可）【答案】(1)5和3，15(2)5和+3，；(3)(答案不唯一)【分析】（1）依題意，積為正數(shù)才有最大值，也就是必須選擇同號(hào)的兩個(gè)數(shù)相乘，然后取積最大的兩個(gè)卡片即可．（2）依題意，商為負(fù)數(shù)才最小值，也就是必須選擇異號(hào)的兩個(gè)數(shù)相除且被除數(shù)的絕對(duì)值要大于除數(shù)的絕對(duì)值，然后選擇商最小的兩個(gè)卡片即可．（3）把分解因數(shù)，可得到，，，然后找到合適的卡片能夠通過運(yùn)算得到的因數(shù)即可．【詳解】（1）依題意，積為正數(shù)才有最大值，選擇同號(hào)的兩個(gè)數(shù)相乘則有，積最大為，選擇卡片和卡片；故答案為：5和3，15；（2）依題意，商為負(fù)數(shù)才最小值，選擇異號(hào)的兩個(gè)數(shù)相除且被除數(shù)的絕對(duì)值要大于除數(shù)的絕對(duì)值．則有，，商最小為，所選擇卡片和卡片，故答案為：5和+3，；（3）【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·遼寧鞍山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明和同學(xué)們玩撲克牌游戲．游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每張牌上的數(shù)字只能用一次，并使得運(yùn)算結(jié)果等于24．(1)小明抽到的牌如圖所示，請(qǐng)幫小明列出一個(gè)結(jié)果等于24的算式；(2)請(qǐng)你抽取任意數(shù)字不相同的4張撲克牌，并列出一個(gè)結(jié)果等于24的算式．【答案】(1)，答案不唯一(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意將其進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算得到24即可；（2）假設(shè)一組數(shù)字，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）由題意得：；（2）由題意得，假設(shè)抽取的卡牌上的數(shù)字為：2、3、4、6，則．（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算的應(yīng)用，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．9．（2023秋·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小剛與小明在玩數(shù)字游戲，現(xiàn)有5張寫著不同數(shù)字的卡片（如圖），小剛請(qǐng)小明按要求抽出卡片，完成下列問題：(1)從中抽取2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，如何抽取?最大值是多少？(2)從中抽取2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小，如何抽取?最小值是多少？(3)從中抽取4張卡片，用學(xué)過的運(yùn)算方法，使結(jié)果為24，如何抽取?寫出運(yùn)算式子．（一種即可）【答案】(1)抽取5和4，20；(2)抽取和5，；(3)見解析．【分析】（1）根據(jù)題意和給出的五張卡片可以解答本題；（2）根據(jù)題意和給出的五張卡片可以解答本題；（3）根據(jù)題意可以寫出相應(yīng)的算式即可．【詳解】（1）解：由題意可得，從中抽取2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，抽取5和4，最大值是，即抽取5和4，最大值是20．（2）解：由題意可得，從中抽取2張卡片，使這兩張卡片數(shù)相除的商最小，抽取和5，最小值是，即抽取和5，最小值是．（3）由題意可得，解：（答案不唯一），即抽取0、、4、即可滿足．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算、有理數(shù)大小的比較等知識(shí)點(diǎn)，掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．10．（2022秋·湖北宜昌·七年級(jí)?？计谥校┈F(xiàn)有5張卡片寫著不同的數(shù)字，利用所學(xué)過的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算按要求解答下列問題（每張卡片上的數(shù)字只能用一次）．(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的和最小，則和的最小值為_________．(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的差最大，則差的最大值為________．(3)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最大，則商的最大值為_________．(4)從中取出3張卡片，使這3張卡片上數(shù)字的乘積最大，乘積的最大值為__________．(5)從中取出4張卡片，使這4張卡片上的數(shù)字運(yùn)算結(jié)果為24．寫出兩個(gè)不同的等式，分別為，．【答案】(1)9(2)11(3)6(4)90(5)，【詳解】（1）解：這五個(gè)數(shù)中，最小的兩個(gè)數(shù)是3和6，所以要使這2張卡片上數(shù)字的和最小，則和的最小值為．故答案為：9；（2）解：這五個(gè)數(shù)中，最小的兩個(gè)數(shù)是6，最大的數(shù)是5，所以要使這2張卡片上數(shù)字的差最大，則差的最大值為．故答案為：11；（3）解：取出6和1，相除得．所以商的最大值為6；故答案為：6（4）解：取出6，3,5，則乘積的最大值為．故答案為：90；（5）解：，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減乘除以及混合運(yùn)算，熟知有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．11．（2022秋·陜西延安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）樂樂有5張寫著以下數(shù)字的卡片．請(qǐng)你按要求抽出卡片，解決下列問題．(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字相乘的積最大，求出最大值；(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字相除的商最小，求出最小值；(3)從中取出4張卡片．用學(xué)過的運(yùn)算方法，使計(jì)算結(jié)果為24，請(qǐng)寫出一種符合要求的運(yùn)算式子．（注：每個(gè)數(shù)字只能用一次）【答案】(1)15(2)(3)見解析【分析】（1）找出兩張卡片，使其積最大即可；（2）找出兩張卡片，使其商最小即可；（3）找出四張卡片，利用24點(diǎn)游戲規(guī)律列出算式即可．【詳解】（1）解：抽取的2張卡片是、，乘積的最大值為15．（2）抽取的2張卡片是、1，商的最小值．（3）抽取的4張卡片是、1、3、4，算式為或（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．12．（2022秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）點(diǎn)游戲是一種撲克牌類的益智類游戲，游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉大小王）中任意抽取張牌，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算（每張牌必須用且只能用一次，可以加括號(hào)），使得運(yùn)算結(jié)果為或．例如：抽到的數(shù)字為“，，，”，則