巧用放縮解高考題-國(guó)際應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)展

為命題的熱點(diǎn)之一，備受關(guān)注。本文研究2023年高考數(shù)學(xué)試題本在放縮法，下面將詳細(xì)說(shuō)明放縮法在高考題中總能起到承上啟下、至關(guān)重要的作用?！臼崭迦掌凇?023年7月21日【出刊日期】2023年9月15日【DOI】10.12208/j.aam.20231021Itisoftenencounteredinthederivativeclosingquestionsofcollegeentranceexaminatiocomprehensivequestionscombinedwithinequalities.Properthesolutionoftheproblem,andshrinkagemethodisalsoanimportantmathematicalidea.Thenewexaminationattachesgreatimportancetotheexaminationofthecorequalityomethodbearstheabilityofreasoningandargumentation,whichbelongstothecorequalityoflogicalreasoning[1],whichmakesitbecomeoneofthehottopicsofpropositionandattractsmuchattention.Thispaperstudiesthe2023andrationalthinking,andtheturningpointofthetopicisbasicallyinthereductionmethod,thefollowingwillbedetailedtoexplainthereductionmethodinthecollegeentranceexaminationquestionscainlinkingtheprecedingandthefollowing.【Keywords】Expansionandcontractionmethod;Collegeentranceex者的有效途徑，符合學(xué)生用現(xiàn)有高中知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核放縮法的本質(zhì)是不等式的傳遞性即若A>B,B>C，則A>C，一般用于兩式或不等式兩端差別較大的要平時(shí)做題時(shí)的經(jīng)驗(yàn)積累。它常常滲透在不等式的某個(gè)環(huán)節(jié)上，因例1（2023年全國(guó)Ⅰ卷22題）在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W。（1）求W的方程; （2）已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長(zhǎng)大于33.求最值問(wèn)題對(duì)考生來(lái)說(shuō)是“老朋友”了，但是在求解過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)“障礙”—運(yùn)算量過(guò)大（弦長(zhǎng)AB和BC解析y=x2+1k則設(shè)BA，DA的斜率分別為k和?1k2222令k2=m，則m∈=m2+3m+，當(dāng)時(shí)，f′<0，此時(shí),，f(m)>0，此時(shí)f(m)單調(diào)遞增，:矩形ABCD的周長(zhǎng)大于3明不等式的常見(jiàn)方法與技巧往往滲透其中，起到引數(shù)化為冪函數(shù)，可以起到化難為易，峰回路轉(zhuǎn)的作用，這一過(guò)程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思在數(shù)學(xué)高考中，三角函數(shù)是求導(dǎo)類題目的“?？汀?，這不僅僅是考察單個(gè)知識(shí)點(diǎn)，更強(qiáng)調(diào)的是知之間的整合，解決此類問(wèn)題需要熟練掌握三角函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性等性質(zhì)，通過(guò)這些特殊性質(zhì)，以用重要極限來(lái)合理放縮，可以解決大部分求導(dǎo)類大題中的三角函數(shù)問(wèn)題。通過(guò)歸納總結(jié)這類問(wèn)題，可好的培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。下例2（2023年全國(guó)Ⅱ卷22題1）證明：當(dāng)0<x<1時(shí)，x?x2<sinx<x;（2）f，若x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍。進(jìn)行求導(dǎo)，分類討論0<a2<2和a2≥2即可，并且在第一題中給了提示，當(dāng)0<a2≤2時(shí)，可利用sinx<x進(jìn)行放縮，當(dāng)a2≥2時(shí)，可利用x?x2<sinx進(jìn)行放縮，再根據(jù)極大值的定義分析求解。解析1）略（2）令1?x2>0，解得?1<x<1，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??1,1)，1?x2:y=?lnu在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，u=1?x2在(?1,0)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，在?ln1?x21?x2且f(?x)=cos(?bx)?ln1?(?x)2=cosbx?ln(1?x2)=f(x)，x)=?bsinbx 當(dāng)0<b2≤2時(shí)，取m=min，則bx∈ x?2結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知：f(x)在(?m,0)上單調(diào)遞減，∴x=0是f(x)的極小值點(diǎn)，不合題意;2>2時(shí)，取x∈0,,bx?b2x2)?=3x3+b2x2+b3x+2?b2),:h在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，>0，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知：f(x)在(?n,0)上單調(diào)遞增，:x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，符合題意;綜上所述：當(dāng)b2>2，即a2>2時(shí)，解得a>或a<?,u。函數(shù)的放縮來(lái)解決難題，這里總結(jié)了一些對(duì)數(shù)函數(shù)常用的放縮：lnx≤kx+b型，lnx≤ax2+bx+c型，lnx≤kx+b型等，具體放縮需要根據(jù)（2）是否存在a,b，使得曲線關(guān)于直線x=b對(duì)稱，若存在，求a,b的值，若不存在，說(shuō)明理對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論a≤0，a≥和0<a<三中情況即可求得實(shí)數(shù)a的?。?）由函數(shù)的解析式可得f′(，:f(x)在區(qū)間(0,+∞)存在極值點(diǎn)，:f′(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在變號(hào)零點(diǎn)，即零點(diǎn)兩側(cè)取異號(hào)，22:f(x)在區(qū)間(0,+∞)存在極值點(diǎn)，等價(jià)于g(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在變號(hào)零點(diǎn)，:g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減，:g(x)<g(0)=0，g(x)在區(qū)間(0,+∞)上無(wú)零點(diǎn)，不合題意;:<1，所以g′′(x)>0,g′(x:g′(x)>g′(0)=0，則g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)=0，:g(x)在區(qū)間(0,+∞)上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意;③當(dāng)0<a<時(shí)，由=2a?=0可得x=當(dāng)時(shí)，g′′<0，g′單調(diào)遞減，令=lnx?x2+x，則h′當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知：g′(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在唯一零點(diǎn)x0。當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)，g′(x)>:g(x0)<g(0)=0。,:n(x)單調(diào)遞減，注意到n(1)=0，,:g(x)=ax2+x?(x+1)ln(x+1)，,22:函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意。用切線放縮法時(shí)要“先證后用”，其次要注意等號(hào)成,1ln3解析1）?1ln334*，:h(n+1)?h(n)<0，故h(n)在n∈N*上遞減，故h(n)≤h(1)=1;當(dāng)0<x<1時(shí)，φ′(x)>0，φ(x)遞增，當(dāng)x>1時(shí)φ′(x)<0，φ(x)遞減，,:a1:h(x)在x>0時(shí)單調(diào)遞減，則有h=0，即ln評(píng)析：第三問(wèn)采用兩種方法證明，一種是直接證明，通過(guò)作差法研究函數(shù)單調(diào)性，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行放縮，經(jīng)過(guò)累加證出;另一種是通過(guò)分析法，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性，進(jìn)行放縮，可想到累加和證明，兩種方法的本質(zhì)都是相同的，均采用合適的放縮來(lái)達(dá)到目的，讀者可結(jié)合兩種方法共同分析和出色的解題能力，還要求考生熟練的基本技能和臨場(chǎng)[1]姜宗帥.巧用放縮法解決高中導(dǎo)數(shù)壓軸題[J].讀寫算,2021(15)