第一章空間向量與立體幾何夯實基礎(chǔ)-02空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

第一章空間向量與立體幾何02空間向量的數(shù)量積運(yùn)算問題導(dǎo)學(xué)：1.類比平面向量數(shù)量積，你能給出空間向量數(shù)量積的定義嗎？2.空間向量數(shù)量積有哪些注意點？向量夾角的取值范圍有要求嗎？3.怎樣定義向量垂直？4.類似的，在空間，向量a在向量b的投影有什么意義？向量a在直線的投影呢？向量a在平面的投影呢？知識構(gòu)建知識點一空間向量的夾角1．定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．2．范圍：0≤〈a，b〉≤π.，特別地，當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a⊥b.知識點二空間向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量、，則叫做向量與的數(shù)量積，記作，即。規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為。性質(zhì)設(shè)，是非零向量，是單位向量，則①；②；③或；④；⑤。運(yùn)算律①，；②（交換律）；③（分配律）。求空間向量數(shù)量積的步驟①將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；②利用向量的運(yùn)算規(guī)律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積；③代入求解。知識點三空間向量的投影①如圖(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，，向量稱為向量在向量上的投影向量．類似地，可以將向量向直線投影(如圖(2))。②如圖(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點和終點作平面的垂線，垂足分別為，得到，向量稱為向量在平面上的投影向量。這時，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角。類型剖析類型一、空間向量數(shù)量積的計算類型二、利用空間向量數(shù)量積求模長類型三：利用空間向量數(shù)量積求夾角類型四：利用空間向量數(shù)量積證明垂直問題四、類型應(yīng)用題型一空間向量數(shù)量積的計算【例1】如圖，已知棱長為的正四面體ABCD，點，，分別是，，的中點，求下列向量的數(shù)量積：

(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）（2）根據(jù)數(shù)量積的定義可得；（3）（4）根據(jù)三角形的中位線定理先得，再利用數(shù)量積定義可得.【詳解】（1）（2）（3）因為點，分別是，的中點，所以，所以（4）因為點，分別是，的中點，所以，所以【跟蹤訓(xùn)練11】（2023·全國·高二專題練習(xí)）正四面體的棱長為，點、分別是、的中點，則______．【答案】/0.25【詳解】如圖所示，正四面體的棱長為，點、分別是、的中點，所以，故故答案為：【跟蹤訓(xùn)練12】如圖，已知正方體的棱長為1，設(shè)，，，則（）A．1B．C．D．2【答案】A【解析】根據(jù)向量的加法法則得，因為正方體的邊長為1，為體對角線，所以，所以在直角三角形中，所以，故選：A【跟蹤訓(xùn)練13】（2024·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，求的值是__________．【答案】1【分析】選定基底，根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算表示出，再根據(jù)空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由題意得，，則,故答案為：1.類型二、利用空間向量數(shù)量積求模長【例2】如圖，在平行六面體中，，．求：(1)；(2)的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由空間向量數(shù)量積的定義，代入計算，即可得到結(jié)果.（2）根據(jù)題意，由結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得：.（2）因為則，所以.【跟蹤訓(xùn)練21】如圖，在平行六面體中，，，，，，求：(1)；(2)的長.【答案】(1)10(2)【分析】（1）利用數(shù)量積的定義即可求解；（2）根據(jù)模長公式即可求解.【詳解】（1）．（2）因為，所以類型三利用空間向量數(shù)量積求夾角【例3】如圖，在平行六面體中，，，，，，E是的中點，設(shè)，，．(1)求的長；(2)求和夾角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量基本定理得到，平方后結(jié)合空間數(shù)量積公式求出，求出答案；（2）先求出，結(jié)合空間向量夾角余弦公式求出答案.【詳解】（1）由題意得，又，，，，，故，故；（2），則.【跟蹤訓(xùn)練31】（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）點、分別是正四面體ABCD棱、的中點，則______．【答案】【分析】以為基底，，即可求解.【詳解】解：以為基底，它們兩兩之間均為，設(shè)正四面體ABCD棱長為2，則,所以，所以,故答案為：【跟蹤訓(xùn)練32】（2324高二上·湖北·期末）如圖，平行六面體的底面是菱形，且，，．(1)求的長．(2)求異面直線與所成的角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用及向量的運(yùn)算律和數(shù)量積求解即可.（2）利用及向量的數(shù)量積求夾角即可.【詳解】（1），所以，即的長為.（2），又由余弦定理得，所以設(shè)所求異面直線所成角為，.類型四：利用空間向量數(shù)量積證明垂直問題【例4】（2024秋·重慶九龍坡·高二重慶實驗外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，已知平行六面體中，底面是邊長為1的菱形，，(1)求線段的長；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）設(shè)，則，∵，則.∵，∴.故線段的長為.（2）證明：∵，∴.故.【跟蹤訓(xùn)練4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知正四面體的棱長為2，點是的重心，點是線段的中點.(1)用表示，并求出；(2)求證：.【答案】(1)，(2)證明見解析【詳解】（1）因為點是的重心，所以因為點是線段的中點，所以.因為正四面體的棱長為，所以,所以，所以.（2），所以.五、素養(yǎng)提升【例5】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，且，，．(1)求線段的長度；(2)求異面直線與所成角的余弦值；(3)若為的中點，證明：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由已知角的三邊作為空間向量的一組基底，由基底表示再進(jìn)行模長計算即可；（2）由基底表示、，再代入向量夾角公式計算即可；（3）由計算即可得結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以，∴，所以線段的長度為．（2）∵，，∴，故異面直線與所成角的余弦值為.（3）因為為的中點，所以，又∵，∴，即．六、隨堂檢測：1．棱長為2的正四面體ABCD中，點E是AD的中點，則（

）

A．1 B．－1 C． D．【答案】A【分析】由求解即可．【詳解】，所以．故選：A．2．已知空間單位向量，，兩兩垂直，則（

）A． B． C．3 D．6【答案】A【分析】先根據(jù)單位向量得出模長，再根據(jù)垂直得出數(shù)量積，最后應(yīng)用運(yùn)算律求解模長即可.【詳解】因為空間單位向量兩兩垂直,所以，所以.故選：A.3..（2324高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，則向量與的夾角是（）

A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】C【分析】由線面垂直推導(dǎo)出線線垂直，再利用向量運(yùn)算及夾角公式運(yùn)算求解.【詳解】∵平面，平面，平面，∴.∵，，∴，又，∴E為的中點，∴.∵，∴.∵∴＝,又，∴.故選：C.4.（2024·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行六面體中，，，，，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的基本定理和向量的數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】設(shè)，，，因為向量不共面，故可構(gòu)成空間的一組基底，結(jié)合，，，，，所以=0，，，則，，可得，，，所以，又因為異面直線所成角的范圍是，所以與所成角的余弦值為.故選：B.5（2324高二下·福建漳州·階段練習(xí)）在平行六面體中，，，，，，則=【答案】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再由空間向量的模長公式計算即可得.【詳解】因為，所以，故.故答案為：.6.如圖所示，平行六面體中，，.

(1)用向量表示向量，并求；(2)求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，得到，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，即可求解；（2）由空間向量的運(yùn)算法則，得到，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，可得，可得，所以.（2）解：由空間向量的運(yùn)算法則，可得，因為且，所以.7.（2324高二上·河南開封·期末）如圖，在空間四邊形ABCD中，，，，，.(1)求；(2)求CD的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義直接求解即可；（2）先利用加法法則表示，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】（1）因為，，，所以；（2）因