鄂西南三校合作體2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

鄂西南三校合作體2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．直線l：與橢圓C：相切于點(diǎn)P，橢圓C的焦點(diǎn)為，，由光學(xué)性質(zhì)知直線，與l的夾角相等，則的角平分線所在的直線的方程為（）A. B.C. D.2．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.3．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A. B.7C.6 D.4．拋物線的準(zhǔn)線方程是A.x=1 B.x=-1C. D.5．已知圓和橢圓．直線與圓交于、兩點(diǎn)，與橢圓交于、兩點(diǎn)．若時(shí)，的取值范圍是，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.6．若拋物線x＝﹣my2的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則m＝（）A.﹣4 B.C. D.±7．已知經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（5，m）和（m，8）的直線的斜率等于1，則m的值為（）A.5 B.8C. D.78．已知直線l1：y＝x+2與l2：2ax+y﹣1＝0垂直，則a＝（）A. B.C.﹣1 D.19．若，滿足約束條件則的最大值是A.-8 B.-3C.0 D.110．設(shè)，則A.2 B.3C.4 D.511．已知雙曲線，且三個(gè)數(shù)1，，9成等比數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A.的焦距為 B.的漸近線方程為C.的離心率為 D.的虛軸長(zhǎng)為12．如果一個(gè)矩形長(zhǎng)與寬的比值為，那么稱該矩形為黃金矩形.如圖，已知是黃金矩形，，分別在邊，上，且也是黃金矩形.若在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黃金矩形內(nèi)的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．達(dá)?芬奇認(rèn)為：和音樂(lè)一樣，數(shù)學(xué)和幾何“包含了宇宙的一切”，從年輕時(shí)起，他就本能地把這些主題運(yùn)用在作品中，布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的邊長(zhǎng)為1，則點(diǎn)到直線的距離是__________.14．過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______15．已知，若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則_________；若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則__________16．已知雙曲線C的方程為，，，雙曲線C上存在一點(diǎn)P，使得，則實(shí)數(shù)a的最大值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)且動(dòng)圓內(nèi)切于定圓：記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線方程；（2）若、是曲線上兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足求直線的方程.18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足_______請(qǐng)?jiān)冖?；②，；③三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，完成上述問(wèn)題．注：若選擇不同的條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和19．（12分）如圖，已知圓臺(tái)下底面圓的直徑為，是圓上異于、的點(diǎn)，是圓臺(tái)上底面圓上的點(diǎn)，且平面平面，，，、分別是、的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若直線上平面且過(guò)點(diǎn)，試問(wèn)直線上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角和平面與平面的夾角相等？若存在，求出點(diǎn)的所有可能位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）已知數(shù)列，，，且，其中為常數(shù)（1）證明：；（2）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由21．（12分）如圖，在梯形中，，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線段含端點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值.22．（10分）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，設(shè)，判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】先求得點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得的角平分線所在的直線的方程.【詳解】，直線的斜率為，由于直線，與l的夾角相等，則的角平分線所在的直線的斜率為，所以所求直線方程為.故選：A2、C【解析】把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，直接寫出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】，焦點(diǎn)在軸上，，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.3、A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，所以a4a5a6＝故答案為考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等知識(shí)，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想4、C【解析】先把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求得p，再根據(jù)拋物線性質(zhì)得出準(zhǔn)線方程【詳解】解：整理拋物線方程得，∴p＝∵拋物線方程開口向上，∴準(zhǔn)線方程是y＝﹣故答案為C【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題5、C【解析】由題設(shè)，根據(jù)圓與橢圓的對(duì)稱性，假設(shè)在第一象限可得，結(jié)合已知有，進(jìn)而求橢圓的離心率.【詳解】由題設(shè)，圓與橢圓的如下圖示：又時(shí)，的取值范圍是，結(jié)合圓與橢圓的對(duì)稱性，不妨假設(shè)在第一象限，∴從0逐漸增大至無(wú)窮大時(shí)，，故，∴故選：C.6、D【解析】把拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，即可得到結(jié)果，得到答案.【詳解】由題意，拋物線，可得，又由拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，即，解得.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】根據(jù)斜率的公式直接求解即可.【詳解】由題可知,,解得.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間斜率的計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】利用兩直線垂直斜率關(guān)系，即可求解.【詳解】直線l1：y＝x+2與l2：2ax+y﹣1＝0垂直，.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查兩直線垂直間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】作出可行域，把變形為，平移直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，最大.【詳解】作出可行域如圖：由得：，作出直線，平移直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，屬于中檔題.10、B【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，進(jìn)而可得到.【詳解】，則，故，選B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題11、D【解析】先求得的值，然后根據(jù)雙曲線的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】方程表示雙曲線，則，成等比數(shù)列，則，所以雙曲線方程為，所以，故雙曲線的焦距為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.漸近線方程為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.離心率，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.虛軸長(zhǎng)，D選項(xiàng)正確.故選：D12、B【解析】由幾何概型的面積型，只需求小矩形的面積和大矩形面積之比.【詳解】由題意，不妨設(shè)，則，又也是黃金矩形，則，又，解得，于是大矩形面積為：，小矩形的面積為，由幾何概型的面積型，概率為若在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黃金矩形內(nèi)的概率為：.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意，求得△的三條邊長(zhǎng)，在三角形中求邊邊上的高線即可.【詳解】根據(jù)題意，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，如下所示：在△中，容易知：；同理，，滿足，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由等面積法可知：，解得，即點(diǎn)到直線的距離是.故答案為：.14、【解析】根據(jù)題意，作出拋物線的簡(jiǎn)圖，求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程，分析可得為直角梯形中位線，由拋物線的定義分析可得答案【詳解】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，分別過(guò)，作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，，則有過(guò)的中點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則為直角梯形中位線，則，即，解得.所以的橫坐標(biāo)為故答案為：15、①.4②.【解析】由等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】若a，b，c三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.所以.若a，b，c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列.所以故答案為：4，.16、2【解析】設(shè)出，根據(jù)條件推出在圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意要使雙曲線和圓有交點(diǎn)，則得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由得：，所以，化簡(jiǎn)得：，即滿足條件的點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，又點(diǎn)存在于上，故雙曲線與圓有交點(diǎn)，則,即實(shí)數(shù)a的最大值為2，故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切，以及圓過(guò)定點(diǎn)列式求軌跡方程；（2）利用重心坐標(biāo)公式可知，，再設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解直線方程.【詳解】（1）由已知可得，兩式相加可得則點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，則因此曲線的方程是(2)因?yàn)椋瑒t點(diǎn)是的重心，易得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消得：且①②由①②解得則直線的方程為即【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的問(wèn)題關(guān)系，本題的關(guān)鍵是根據(jù)求得，.18、（1）條件選擇見解析，；（2）.【解析】（1）選①，可得出，由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；選②，分析可知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，根據(jù)已知條件求出的值，利用等差數(shù)列的求和公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；選③，在等式中令可求得的值，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法可求得.【小問(wèn)1詳解】解：選①，因?yàn)椋瑒t，則，當(dāng)時(shí)，，也滿足，所以，對(duì)任意的，；選②，因?yàn)?，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以，，解得，則；選③，對(duì)任意的，，則，可得，因此，.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，因此?19、（1）證明見解析；（2）存在，點(diǎn)與點(diǎn)重合.【解析】（1）證明出，利用面面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知軸在平面內(nèi)，分析可知，設(shè)點(diǎn)，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)闉閳A的一條直徑，且是圓上異于、的點(diǎn)，故，又因平面平面，平面平面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】解：存在，理由如下：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知軸在平面內(nèi)，則，，，，，，由直線平面且過(guò)點(diǎn)，以及平面，得，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則則，即，取，得，易知平面的法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，平面與平面的夾角為，則，，由，得，即，解得，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成的角和平面與平面的夾角相等.20、（1）證明見解析（2）存在；理由見解析【解析】（1）由得兩式相減可得答案；（2）利用得，可得，是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，因此存在【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，，，兩式相減得，，由于，所以【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，，，可得，由（1）知，．令，解得，故，由此可得，是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，；又，同理，是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，所以，所以．因此存在，使得為等差數(shù)列21、（1）證明見解析（2）點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，二面角的余弦值為【解析】（1）先利用平面幾何知識(shí)和余弦定理得到及各邊長(zhǎng)度，利用線面平行的性質(zhì)和判定定理得到線面垂直，再利用線線平行得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用平面的法向量夾角求出二面角的余弦值，再通過(guò)二次函數(shù)的最值進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】證明：在梯形中，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以，即，解得，，所以，即.因?yàn)槠矫?，平面，所以，而平面平面，所以平?因?yàn)?，所以平?【小問(wèn)2詳解】解：分別以直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè)，則，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得，取，則，又是平面的一個(gè)法向