蘇科版數(shù)學(xué)七年級上冊全程通關(guān)培優(yōu)(專項卷+章節(jié)復(fù)習(xí)+期中期末備考)專題4.3一元一次方程(章節(jié)復(fù)習(xí)+考點講練)特訓(xùn)（學(xué)生版+解析）

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)七年級上冊同步專題熱點難點專項練習(xí)專題4.3一元一次方程（章節(jié)復(fù)習(xí)+考點講練）知識點01：一元一次方程的概念1．方程：叫做方程．2．一元一次方程：只含有（元），未知數(shù)的次數(shù)都是，這樣的方程叫做一元一次方程．知識要點：判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：①只含有一個未知數(shù)的次數(shù)為；②未知數(shù)所在的式子是，即分母中不含未知數(shù)．3．方程的解：叫做這個方程的解．4．解方程：叫做解方程．知識點02：等式的性質(zhì)與去括號法則1．等式的性質(zhì)：等式的性質(zhì)1：，結(jié)果仍相等．等式的性質(zhì)2：，結(jié)果仍相等．2．合并法則：合并時，把系數(shù)保持不變．3．去括號法則：（1）括號外的因數(shù)是，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項的符號相同．（2）括號外的因數(shù)是，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項的符號相反．知識點03：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的(2)去括號：依據(jù)，先去小括號，再去中括號，最后去大括號．(3)移項：把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，移到方程另一邊．(4)合并：逆用，分別合并含有未知數(shù)的項及常數(shù)項，把方程化為(a≠0)的形式．(5)系數(shù)化為1：得到方程的解(a≠0)．(6)檢驗：把方程的解代入原方程，若相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．知識點04：用一元一次方程解決實際問題的常見類型1.行程問題：路程＝×?xí)r間2.和差倍分問題：增長量＝原有量×3.利潤問題：商品利潤＝商品售價－4.工程問題：工作量＝工作效率×，各部分勞動量之和＝5.銀行存貸款問題：本息和＝本金+利息，利息＝本金××6.數(shù)字問題：多位數(shù)的表示方法：例如：.【典例精講】（2021秋?崇川區(qū)校級月考）小紅在解關(guān)于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2時，誤將方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解為x＝1，則原方程的解為x＝﹣1．【思路點撥】把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，求出a的值，再把a(bǔ)的值代入原方程求解即可．【規(guī)范解答】解：把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，得3+1＝3a﹣2，解得a＝2，故原方程為﹣3x+1＝6﹣2，﹣3x＝3，解得x＝﹣1．故答案為：x＝﹣1．【考點評析】本題考查了一元一次方程的解的定義．使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．【變式訓(xùn)練1-1】（2013秋?南長區(qū)期末）已知x＝2是關(guān)于x的方程3x+a＝0的一個解，則a的值是（）A．﹣6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5【變式訓(xùn)練1-2】（2021秋?灌云縣校級月考）已知x＝5是方程ax﹣8＝20+a的解，則a的值是（）A．2 B．3 C．7 D．8【變式訓(xùn)練1-3】（2021秋?崇川區(qū)校級月考）方程2x+▲＝3x，▲處是被墨水蓋住的常數(shù)，已知方程的解是x＝2，那么▲處的常數(shù)是．【變式訓(xùn)練1-4】（2022秋?鼓樓區(qū)月考）（1）數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的A，B兩點之間距離|AB|＝|a﹣b|．（2）數(shù)軸上表示1和﹣3兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示x和﹣2兩點之間的距離是．（3）根據(jù)圖象比較大?。簗3+a||﹣3﹣b|（填“＜”、“＝”、“＞”）．若點A、B、C在數(shù)軸上分別表示數(shù)﹣1、4、c，且點C到點A、B的距離之和是7，則c＝（5）關(guān)于x的方程|x﹣m|+|x﹣n|＝k（m＞n，k＞0），借助數(shù)軸探究方程的解的情況，直接寫出結(jié)論．【典例精講】（2022秋?宿遷期中）下列說法：①若a為有理數(shù)，且a≠0，則a＜a2；②若＝a，則a＝1；③若a3+b3＝0，則a，b互為相反數(shù)；④若|a|＝﹣a，則a＜0．其中正確說法是③（填序號）．【思路點撥】根據(jù)有理數(shù)的乘方、等式的性質(zhì)、相反數(shù)、絕對值解決此題．【規(guī)范解答】解：①根據(jù)有理數(shù)的乘方，當(dāng)a＝，則，此時，即a＞a2，故①不正確．②根據(jù)等式的性質(zhì)，若＝a，則a＝±1，故②不正確．③根據(jù)有理數(shù)的乘方以及相反數(shù)的定義，由a3+b3＝0，得a3＝﹣b3，推斷出a3＝（﹣b）3，則a＝﹣b，即a，b互為相反數(shù)，故③正確．④根據(jù)絕對值的定義，由|a|＝﹣a≥0，得a≤0，故④不正確．綜上：正確的有③．故答案為：③．【考點評析】本題主要考查有理數(shù)的乘方、等式的性質(zhì)、相反數(shù)、絕對值，熟練掌握有理數(shù)的乘方、等式的性質(zhì)、相反數(shù)、絕對值是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2-1】（2022秋?宿城區(qū)期中）已知等式a＝b，則下列等式中不一定成立的是（）A．a(chǎn)+1＝b+1 B．2a﹣2b＝0 C． D．a(chǎn)c＝bc【變式訓(xùn)練2-2】（2022秋?蘇州期中）如圖，●，■，▲分別表示三種不同的物體，前兩架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右邊應(yīng)放的物體是（）■■ B．■■■ C．■■■■ D．■■■■■【變式訓(xùn)練2-3】（2021秋?泰州期末）我們知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性質(zhì)．【提出問題】能否借助一架天平和一個10克的砝碼測量出一個乒乓球和一個一次性紙杯的質(zhì)量？【實驗探究】準(zhǔn)備若干相同的乒乓球和若干相同的一次性紙杯（每個乒乓球的質(zhì)量相同，每個紙杯的質(zhì)量也相同），設(shè)一個乒乓球的質(zhì)量是x克，經(jīng)過試驗，將有關(guān)信息記錄在下表中：記錄天平左邊天平右邊天平狀態(tài)乒乓球總質(zhì)量一次性紙杯的總質(zhì)量記錄一6個乒乓球，1個10克的砝碼14個一次性紙杯平衡6x6x+10記錄二4個乒乓球1個一次性紙杯1個10克的砝碼平衡4x4x﹣10【解決問題】（1）將表格中兩個空白部分用含x的代數(shù)式表示；（2）分別求出一個乒乓球的質(zhì)量和一個一次性紙杯的質(zhì)量．【及時遷移】借助以上相關(guān)數(shù)據(jù)以及實驗經(jīng)驗，你能設(shè)計一種方案，使實驗中選取的乒乓球和紙杯的個數(shù)一樣多嗎？請補(bǔ)全下面橫線上內(nèi)容，完善方案，并說明方案設(shè)計的合理性．方案：將天平左邊放置，天平右邊放置，使得天平平衡．理由：【典例精講】（2022秋?亭湖區(qū)期末）若（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是關(guān)于x的一元一次方程，則a＝0．【思路點撥】依據(jù)只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程，列出關(guān)于a的不等式與方程求解即可．【規(guī)范解答】解：（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是關(guān)于x的一元一次方程，∴2﹣a≠0且|a﹣1|＝1，解得：a＝0．故答案為：0．【考點評析】本題主要考查的是一元一次方程的定義，依據(jù)一元一次方程的定義列出關(guān)于a的不等式組是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3-1】（2022秋?濱?？h月考）下列方程中，是一元一次方程的是（）A．x﹣y＝6 B．x2+x﹣3＝0 C．4x＝24 D．【變式訓(xùn)練3-2】（2019秋?東臺市期中）若關(guān)于x的方程mxm﹣2﹣m+3＝0是一元一次方程，則這個方程的解是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝2【變式訓(xùn)練3-3】（2015秋?揚(yáng)州校級月考）已知：（a+2b）y2﹣＝3是關(guān)于y的一元一次方程．（1）求a、b的值；（2）若x＝a是方程﹣+3＝x﹣的解，求|a﹣b﹣2|﹣|b﹣m|的值．【變式訓(xùn)練3-4】（2017秋?廣陵區(qū)校級月考）已知關(guān)于x的方程（m+3）x|m+4|+18＝0是一元一次方程，試求：（1）m的值；（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．【典例精講】（2022秋?海門市期末）若關(guān)于x的方程5x﹣1＝2x+a的解與方程4x+3＝7的解互為相反數(shù)，則a＝﹣4．【思路點撥】求出第二個方程的解的相反數(shù)，代入第一個方程計算即可求出a的值．【規(guī)范解答】解：方程4x+3＝7，移項合并得：4x＝4，解得：x＝1，把x＝﹣1代入5x﹣1＝2x+a得：﹣6＝﹣2+a，解得：a＝﹣4，故答案為：﹣4【考點評析】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．【變式訓(xùn)練4-1】（2022秋?如皋市校級期末）已知關(guān)于x的方程3x﹣5＝x+a的解是x＝2，則a的值等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【變式訓(xùn)練4-2】（2021秋?宜興市校級月考）方程5y﹣7＝2y﹣中被陰影蓋住的是一個常數(shù)，此方程的解是y＝﹣1．這個常數(shù)應(yīng)是（）A．10 B．4 C．﹣4 D．﹣10【變式訓(xùn)練4-3】（2022秋?丹徒區(qū)期末）已知關(guān)于m的方程的解也是關(guān)于x的方程2（x﹣8）﹣n＝6的解．（1）求m、n的值；（2）如圖，數(shù)軸上，O為原點，點M對應(yīng)的數(shù)為m，點N對應(yīng)的數(shù)為n．①若點P為線段ON的中點，點Q為線段OM的中點，求線段PQ的長度；②若點P從點N出發(fā)以1個單位/秒的速度沿數(shù)軸正方向運(yùn)動，點Q從點M出發(fā)以2個單位/秒的速度沿數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動，經(jīng)過3或5秒，P、Q兩點相距3個單位．【變式訓(xùn)練4-4】（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）我們規(guī)定，關(guān)于x的一元一次方程mx＝n（m≠0）的解為x＝m+n，則稱該方程為和解方程，例如2x＝﹣4的解為x＝﹣2＝﹣4+2，則方程為和解方程．請根據(jù)上邊規(guī)定解答下列問題：（1）下列關(guān)于x的一元一次方程是“和解方程”的有．①；②；③5x＝﹣2．（2）若關(guān)于x的一元一次方程3x＝2a﹣10是和解方程，則a＝．（3）關(guān)于x的一元一次方程3x＝a+b是和解方程，則代數(shù)式a（a2b+1）+b（1﹣a3）的值為．（4）關(guān)于x的一元一次方程3x＝a+b是和解方程且它的解為x＝a，求代數(shù)式2ab（a+b）的值．【典例精講】．（2022秋?濱?？h月考）對于任意有理數(shù)a，b，我們規(guī)定：a?b＝a2﹣2b，例如：3?4＝32﹣2×4＝9﹣8＝1．若2?x＝3+x，則x的值為．【思路點撥】先根據(jù)新運(yùn)算得出算式，再根據(jù)等式的性質(zhì)求出方程的解即可．【規(guī)范解答】解：∵2?x＝3+x，∴22﹣2x＝3+x，∴4﹣2x＝3+x，∴﹣2x﹣x＝3﹣4，∴﹣3x＝﹣1，解得x＝．故答案為：．【考點評析】本題考查了解一元一次方程和有理數(shù)的混合運(yùn)算，能根據(jù)題意列出關(guān)于x的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5-1】（2022秋?海門市期末）解方程時，去分母正確的是（）A．2x+1﹣（10x+1）＝1 B．4x+1﹣10x+1＝6 C．4x+2﹣10x﹣1＝6 D．2（2x+1）﹣（10x+1）＝1【變式訓(xùn)練5-2】（2017秋?秦淮區(qū)期末）下列方程變形中，正確的是（）A．由3x＝﹣4，系數(shù)化為1得x＝ B．由5＝2﹣x，移項得x＝5﹣2 C．由，去分母得4（x﹣1）﹣3（2x+3）＝1 D．由3x﹣（2﹣4x）＝5，去括號得3x+4x﹣2＝5【變式訓(xùn)練5-3】（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）整式ax﹣b的值隨x的取值不同而不同，下表是當(dāng)x取不同值時對應(yīng)的整式的值，則關(guān)于x的方程﹣ax+b＝3的解是．x﹣202ax﹣b﹣6﹣30【變式訓(xùn)練5-4】（2020秋?惠山區(qū)期中）解方程：（1）3x+7＝32﹣2x；（2）．【變式訓(xùn)練5-5】（2022秋?丹徒區(qū)期末）解方程：（1）3（2x﹣1）+1＝4（x+2）；（2）．【典例精講】（2022秋?海陵區(qū)校級月考）已知關(guān)于x的方程|x+1|＝a﹣2只有一個解，那么xa＝1．【思路點撥】根據(jù)題意計算出a，x的值，再計算xa的值．【規(guī)范解答】解：∵關(guān)于x的方程|x+1|＝a﹣2只有一個解，∴a﹣2＝0，a＝2，∴x+1＝0，∴x＝﹣1，∴（﹣1）2＝1，故答案為：1．【考點評析】本題考查了含絕對值的一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值的定義，解一元一次方程．【變式訓(xùn)練6-1】（2022秋?張家港市期中）已知c為實數(shù)，討論方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|＝c解的情況．【變式訓(xùn)練6-2】（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）【我閱讀】解方程：|x+5|＝2．解：當(dāng)x+5≥0時，原方程可化為：x+5＝2，解得x＝﹣3；當(dāng)x+5＜0時，原方程可化為：x+5＝﹣2，解得x＝﹣7．所以原方程的解是x＝﹣3或x＝﹣7．【我會解】解方程：|3x﹣2|﹣5＝0．【變式訓(xùn)練6-3】（2022秋?高新區(qū)校級月考）小兵喜歡研究數(shù)學(xué)問題，在學(xué)習(xí)一元一次方程后，他給出一個新定義：若x0是關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝0的解，y0是關(guān)于y的方程的所有解的其中一個解，且x0，y0滿足x0+y0＝100，則稱關(guān)于y的方程為關(guān)于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的解是x＝99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，當(dāng)y0＝1時，x0+y0＝100，所以y2+1＝2為一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．（1）已知關(guān)于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，哪個方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？請直接寫出正確的序號是．（2）若關(guān)于y的方程|2y﹣2|+3＝5是關(guān)于x的一元一次方程x﹣＝a+1的“友好方程”，請求出a的值．【典例精講】（2022秋?海陵區(qū)校級期末）如果方程的解與方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，則代數(shù)式a﹣的值為﹣．【思路點撥】先解關(guān)于x的方程得出x＝10，將其代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1求得a的值，繼而代入計算可得．【規(guī)范解答】解：解方程得x＝10，將x＝10代入4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1得：40﹣3a﹣1＝60+2a﹣1，解得：a＝﹣4，則原式＝﹣，故答案為：﹣．【考點評析】本題主要考查方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握方程的解的概念和解一元一次方程的能力．【變式訓(xùn)練7-1】（2022秋?惠山區(qū)校級期末）關(guān)于x的方程kx＝2x+6與2x﹣1＝5的解相同，則k的值為（）A．4 B．3 C．5 D．6【變式訓(xùn)練7-2】（2022秋?姑蘇區(qū)校級期末）若關(guān)于x的方程＝5與kx﹣1＝15的解相同，則k的值為（）A．8 B．6 C．﹣2 D．2【變式訓(xùn)練7-3】（2017秋?崇川區(qū)校級月考）如果關(guān)于x的方程與的解相同，那么m的值是．【變式訓(xùn)練7-4】．（2021秋?廣陵區(qū)校級期末）已知方程6x﹣9＝10x﹣5與方程3a﹣1＝3（x+a）﹣2a的解相同；（1）求這個相同的解；（2）求a的值．【變式訓(xùn)練7-5】（2022秋?濱?？h月考）已知關(guān)于的方程2﹣＝+3﹣x與方程4﹣＝3k﹣的解相同，求k的值．【典例精講】（2022秋?如皋市校級期末）《九章算術(shù)》中記載了這樣一個數(shù)學(xué)問題：今有甲發(fā)長安，五日至齊；乙發(fā)齊，七日至長安．今乙發(fā)已先二日，甲仍發(fā)長安．問幾何日相逢？譯文：甲從長安出發(fā)，5日到齊國；乙從齊國出發(fā)，7日到長安．現(xiàn)乙先出發(fā)2日，甲才從長安出發(fā)．問多久后甲乙相逢？設(shè)乙出發(fā)x日，甲乙相逢，則可列方程（）A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)題意設(shè)乙出發(fā)x日，甲乙相逢，則甲、乙分別所走路程占總路程的和，進(jìn)而得出等式．【規(guī)范解答】解：設(shè)乙出發(fā)x日，甲乙相逢，則甲出發(fā)（x﹣2）日，故可列方程為：+＝1．故選：D．【考點評析】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，正確表示出兩人所走路程所占比是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練8-1】（2022秋?濱?？h月考）有一些相同的房間需要粉刷墻面．一天3名一級技工去粉刷8個房間，結(jié)果其中有50m2墻面未來得及粉刷，同樣時間內(nèi)5名二級技工粉刷了10個房間之外，還多粉刷了另外的40m2墻面，每名一級技工比二級技工一天多粉刷10m2墻面．設(shè)每名二級技工一天粉刷墻面xm2，則列方程為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練8-2】（2021秋?如東縣期中）我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》一書中有這樣一道題：“一支竿子一條索，索比竿子長一托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托”．其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．如果1托為5尺，那么索和竿各為幾尺？設(shè)竿為x尺，可列方程為．【變式訓(xùn)練8-3】（2022秋?江寧區(qū)月考）新年將至，樂樂和麗麗所在的活動小組計劃做一批“中國結(jié)”．如果每人做8個，那么比計劃多了3個；如果每人做5個，那么比計劃少27個．問題：該小組共有多少人？計劃做多少個“中國結(jié)”？她倆經(jīng)過獨立思考后，分別列出了如下尚不完整的方程：樂樂的方法：8x□＝5x□；麗麗的方法：；（1）在樂樂、麗麗所列的方程中，“□”中是運(yùn)算符號，“”中是數(shù)字，試分別指出未知數(shù)x，y表示的意義：未知數(shù)x表示，未知數(shù)y表示；（2）分別用這兩種方法，將原題中的問題解答完成．【變式訓(xùn)練8-4】（2018秋?亭湖區(qū)校級期末）生態(tài)公園計劃在園內(nèi)的坡地上種植一片有A、B兩種樹的混合林，需要購買這兩種樹苗共100棵．假設(shè)這批樹苗種植后成活95棵，種植A、B兩種樹苗的相關(guān)信息如下表：品名單價（元/棵）栽樹勞務(wù)費（元/棵）成活率A15396%B20492%（1）設(shè)購買A種樹苗x棵，則購買B種樹苗棵，根據(jù)題意可列方程為，解得x＝．（2）求種植這片混合林的總費用需多少元？【變式訓(xùn)練8-5】（2021秋?姜堰區(qū)校級月考）為打造綠色生態(tài)環(huán)境，一段長為2400米的河道整治任務(wù)交由甲、乙兩個工程隊接力完成，共用時80天．已知甲隊每天整治32米，乙隊每天整治24米．（1）根據(jù)題意，小李、小張分別列出如下的一元一次方程（尚不完整）：小李：32x+24（）＝2400；小張：＝80；請分別指出上述方程中的意義，并補(bǔ)全方程：小李：x表示；小張：x表示．求甲、乙兩隊分別整治河道多少米？（寫出完整的解答過程）【典例精講】（2021秋?如皋市校級月考）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行八十步，善行者追之，問幾何步及之？“其意思為：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，現(xiàn)速度慢的人先走80步，速度快的人去追趕，則速度快的人要走200步才能追到速度慢的人．【思路點撥】設(shè)速度快的人追上速度慢的人所用時間為t，根據(jù)速度慢的人和速度快的人所用時間相等列方程，求出時間，進(jìn)而求出速度快的人所走的路程即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)速度快的人追到速度慢的人所用時間為t，根據(jù)題意列方程得：100t＝60t+80，解得t＝2，2×100＝200（步），∴速度快的人要走200步才能追到速度慢的人，故答案為：200．【考點評析】本題主要考查一元一次方程的知識，根據(jù)等量關(guān)系列出方程并正確求解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練9-1】（2019秋?鎮(zhèn)江期末）某超市在“元旦”活動期間，推出如下購物優(yōu)惠方案：①一次性購物在100元（不含100元）以內(nèi)，不享受優(yōu)惠；②一次性購物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以內(nèi)，一律享受九折優(yōu)惠；③一次性購物在350元（含350元）以上，一律享受八折優(yōu)惠；小敏在該超市兩次購物分別付了90元和270元，如果小敏把這兩次購物改為一次性購物，則小敏至少需付款（）元A．288 B．296 C．312 D．320【變式訓(xùn)練9-2】（2022秋?邗江區(qū)期末）某商店換季準(zhǔn)備打折出售，若按照原售價的八折出售，將虧損20元，而按原售價的九折出售，將盈利10元，則該商品的成本為（）A．230元 B．250元 C．260元 D．300元【變式訓(xùn)練9-3】（2020秋?鹽城期末）《算法統(tǒng)宗》中記有“李白沽酒”的故事．詩云：今攜一壺酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店飲半斗．相逢三處店，飲盡壺中酒．試問能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）大意是：李白在郊外春游時，做出這樣一條約定：遇見朋友，先到酒店里將壺里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照這樣的約定，在第3個店里遇到朋友正好喝光了壺中的酒．則李白的酒壺中原有升酒．【變式訓(xùn)練9-4】（2021秋?射陽縣校級期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點E是AB上的一點，且AE＝2BE．點P從點C出發(fā)，以2cm/s的速度沿點C﹣D﹣A﹣E勻速運(yùn)動，最終到達(dá)點E．設(shè)點P運(yùn)動時間為ts，若三角形PCE的面積為18cm2，則t的值為【變式訓(xùn)練9-5】（2022秋?濱?？h月考）我區(qū)某中學(xué)舉辦一年一屆的科技文化藝術(shù)節(jié)活動，需搭建一個舞臺，請來兩名工人．已知甲單獨完成需4小時，乙單獨完成需6小時．現(xiàn)由乙提前做1小時，剩下的工作由甲、乙兩人合做，問再合做幾小時可以完成這項工作？【變式訓(xùn)練9-6】（2022秋?邳州市期末）如圖數(shù)軸上有兩個點A、B，分別表示的數(shù)是﹣2，4．請回答以下問題：（1）﹣2的絕對值是，A與B之間距離為；（2）若數(shù)軸上有點C，使得BC的距離為3個單位長度，則點C表示的數(shù)是；（3）若點P從A點出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度向右做勻速運(yùn)動，點Q從B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度向右做勻速運(yùn)動，P，Q同時運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒：①當(dāng)點P運(yùn)動多少秒時，點P和點Q重合？②當(dāng)點P運(yùn)動多少秒時，P，Q之間的距離為3個單位長度？【變式訓(xùn)練9-7】（2019秋?贛榆區(qū)期末）某校七年級科技興趣小組計劃制作一批飛機(jī)模型，如果每人做6個，那么比計劃多做了10個，如果每人做5個，那么比計劃少做了14個．該興趣小組共有多少人？計劃做多少個飛機(jī)模型？

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)七年級上冊同步專題熱點難點專項練習(xí)專題4.3一元一次方程（章節(jié)復(fù)習(xí)+考點講練）知識點01：一元一次方程的概念1．方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程．知識要點：判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：①只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù)．3．方程的解：使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個方程的解．4．解方程：求方程的解的過程叫做解方程．知識點02：等式的性質(zhì)與去括號法則1．等式的性質(zhì)：等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等．2．合并法則：合并時，把系數(shù)相加(減)作為結(jié)果的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變．3．去括號法則：（1）括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項的符號相同．（2）括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項的符號相反．知識點03：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)．(2)去括號：依據(jù)乘法分配律和去括號法則，先去小括號，再去中括號，最后去大括號．(3)移項：把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，常數(shù)項移到方程另一邊．(4)合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項及常數(shù)項，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解(a≠0)．(6)檢驗：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．知識點04：用一元一次方程解決實際問題的常見類型1.行程問題：路程＝速度×?xí)r間2.和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率3.利潤問題：商品利潤＝商品售價－商品進(jìn)價4.工程問題：工作量＝工作效率×工作時間，各部分勞動量之和＝總量5.銀行存貸款問題：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期數(shù)6.數(shù)字問題：多位數(shù)的表示方法：例如：.【典例精講】（2021秋?崇川區(qū)校級月考）小紅在解關(guān)于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2時，誤將方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解為x＝1，則原方程的解為x＝﹣1．【思路點撥】把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，求出a的值，再把a(bǔ)的值代入原方程求解即可．【規(guī)范解答】解：把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，得3+1＝3a﹣2，解得a＝2，故原方程為﹣3x+1＝6﹣2，﹣3x＝3，解得x＝﹣1．故答案為：x＝﹣1．【考點評析】本題考查了一元一次方程的解的定義．使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．【變式訓(xùn)練1-1】（2013秋?南長區(qū)期末）已知x＝2是關(guān)于x的方程3x+a＝0的一個解，則a的值是（）A．﹣6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5【思路點撥】方程的解就是能夠使方程兩邊左右相等的未知數(shù)的值，即利用方程的解代替未知數(shù)，所得到的式子左右兩邊相等．【規(guī)范解答】解：把x＝2代入方程得：6+a＝0，解得：a＝﹣6．故選：A．【考點評析】本題主要考查了方程解的定義，已知x＝2是方程的解實際就是得到了一個關(guān)于a的方程．【變式訓(xùn)練1-2】（2021秋?灌云縣校級月考）已知x＝5是方程ax﹣8＝20+a的解，則a的值是（）A．2 B．3 C．7 D．8【思路點撥】根據(jù)方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值，把方程的解代入方程，可得答案．【規(guī)范解答】解：把x＝5代入方程ax﹣8＝20+a，得：5a﹣8＝20+a，解得：a＝7，故選：C．【考點評析】本題考查了方程的解，把方程的解代入方程，得關(guān)于a的一元一次方程，解一元一次方程，得答案．【變式訓(xùn)練1-3】（2021秋?崇川區(qū)校級月考）方程2x+▲＝3x，▲處是被墨水蓋住的常數(shù)，已知方程的解是x＝2，那么▲處的常數(shù)是2．【思路點撥】把x＝2代入已知方程，可以列出關(guān)于▲的方程，通過解該方程可以求得▲處的數(shù)字．【規(guī)范解答】解：把x＝2代入方程，得4+▲＝6，解得▲＝2．故答案為：2．【考點評析】此題考查的是一元一次方程的解的定義，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．【變式訓(xùn)練1-4】（2022秋?鼓樓區(qū)月考）（1）數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的A，B兩點之間距離|AB|＝|a﹣b|．（2）數(shù)軸上表示1和﹣3兩點之間的距離是4；數(shù)軸上表示x和﹣2兩點之間的距離是|x+2|．（3）根據(jù)圖象比較大?。簗3+a|＜|﹣3﹣b|（填“＜”、“＝”、“＞”）．（4）若點A、B、C在數(shù)軸上分別表示數(shù)﹣1、4、c，且點C到點A、B的距離之和是7，則c＝﹣2或5．（5）關(guān)于x的方程|x﹣m|+|x﹣n|＝k（m＞n，k＞0），借助數(shù)軸探究方程的解的情況，直接寫出結(jié)論．【思路點撥】（2）根據(jù)題中的兩點間的距離公式求解；（3）根據(jù)圖形中的位置判斷；（4）根據(jù)題意列方程求解；（5）分類討論，解方程．【規(guī)范解答】解：（2）|﹣3﹣1|＝4，|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，故答案為：4，|x+2|；（3）∵|3+a|＝|﹣3﹣a|，由圖可得：|3+a|＜|﹣3﹣b|，故答案為：＜；（4）由題意得：|c+1|+|c﹣4|＝7，解得：c＝﹣2或c＝5，故答案為：﹣2或5；（5）當(dāng)x＜n時，m﹣x+n﹣x＝k，解得x＝，當(dāng)n≤x≤m時，x﹣n+m﹣x＝k，若m﹣n＝k，有無數(shù)個解，當(dāng)m﹣n≠k時，無解，當(dāng)x＞m時，x﹣m+x﹣n＝k，解得：x＝．【考點評析】本題考查了方程的解和數(shù)軸，數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【典例精講】（2022秋?宿遷期中）下列說法：①若a為有理數(shù)，且a≠0，則a＜a2；②若＝a，則a＝1；③若a3+b3＝0，則a，b互為相反數(shù)；④若|a|＝﹣a，則a＜0．其中正確說法是③（填序號）．【思路點撥】根據(jù)有理數(shù)的乘方、等式的性質(zhì)、相反數(shù)、絕對值解決此題．【規(guī)范解答】解：①根據(jù)有理數(shù)的乘方，當(dāng)a＝，則，此時，即a＞a2，故①不正確．②根據(jù)等式的性質(zhì)，若＝a，則a＝±1，故②不正確．③根據(jù)有理數(shù)的乘方以及相反數(shù)的定義，由a3+b3＝0，得a3＝﹣b3，推斷出a3＝（﹣b）3，則a＝﹣b，即a，b互為相反數(shù)，故③正確．④根據(jù)絕對值的定義，由|a|＝﹣a≥0，得a≤0，故④不正確．綜上：正確的有③．故答案為：③．【考點評析】本題主要考查有理數(shù)的乘方、等式的性質(zhì)、相反數(shù)、絕對值，熟練掌握有理數(shù)的乘方、等式的性質(zhì)、相反數(shù)、絕對值是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2-1】（2022秋?宿城區(qū)期中）已知等式a＝b，則下列等式中不一定成立的是（）A．a(chǎn)+1＝b+1 B．2a﹣2b＝0 C． D．a(chǎn)c＝bc【思路點撥】根據(jù)等式的性質(zhì)，等式的兩邊都加或都減同一個整式，結(jié)果不變，等式的兩邊都乘以或除以同一個不為零的整式，結(jié)果不變，可得答案．【規(guī)范解答】解；A、兩邊都加1，故A正確，不符合題意；B、兩邊都乘以2，故B正確，不符合題意；C、當(dāng)c＝0時，無意義故C錯誤，符合題意；D、兩邊都乘以c時，故D正確，不符合題意；故選：C．【考點評析】本題考查了等式的性質(zhì)，注意等式的兩邊都除以同一個不為零的數(shù)，結(jié)果不變．【變式訓(xùn)練2-2】（2022秋?蘇州期中）如圖，●，■，▲分別表示三種不同的物體，前兩架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右邊應(yīng)放的物體是（）A．■■ B．■■■ C．■■■■ D．■■■■■【思路點撥】根據(jù)等式的性質(zhì)得出，●，■，▲三個圖形之間的關(guān)系即可．【規(guī)范解答】解：由題意知，在第二個天平兩邊都加入一個■，對比第一個天平即可得出●＝■■，把第二個天平中的●換成■■，則▲＝■■■，∴●▲＝■■■■■，故選：D．【考點評析】本題主要考查等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2-3】（2021秋?泰州期末）我們知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性質(zhì)．【提出問題】能否借助一架天平和一個10克的砝碼測量出一個乒乓球和一個一次性紙杯的質(zhì)量？【實驗探究】準(zhǔn)備若干相同的乒乓球和若干相同的一次性紙杯（每個乒乓球的質(zhì)量相同，每個紙杯的質(zhì)量也相同），設(shè)一個乒乓球的質(zhì)量是x克，經(jīng)過試驗，將有關(guān)信息記錄在下表中：記錄天平左邊天平右邊天平狀態(tài)乒乓球總質(zhì)量一次性紙杯的總質(zhì)量記錄一6個乒乓球，1個10克的砝碼14個一次性紙杯平衡6x6x+10記錄二4個乒乓球1個一次性紙杯1個10克的砝碼平衡4x4x﹣10【解決問題】（1）將表格中兩個空白部分用含x的代數(shù)式表示；（2）分別求出一個乒乓球的質(zhì)量和一個一次性紙杯的質(zhì)量．【及時遷移】借助以上相關(guān)數(shù)據(jù)以及實驗經(jīng)驗，你能設(shè)計一種方案，使實驗中選取的乒乓球和紙杯的個數(shù)一樣多嗎？請補(bǔ)全下面橫線上內(nèi)容，完善方案，并說明方案設(shè)計的合理性．方案：將天平左邊放置10個乒乓球，天平右邊放置10個一次性紙杯和1個10克的砝碼，使得天平平衡．理由：【思路點撥】解決問題：（1）用乒乓球的總質(zhì)量加上砝碼的總質(zhì)量可得答案；（2）根據(jù)題意列出方程，求解可得答案；及時遷移：根據(jù)乒乓球、紙杯、砝碼的質(zhì)量設(shè)計即可，只是平衡即可．【規(guī)范解答】解：（1）根據(jù)題意可得：記錄一中的一次性紙杯的總質(zhì)量為：6x+10；記錄二中的一次性紙杯的總質(zhì)量為：4x﹣10，故答案為：6x+10；4x﹣10，（2）由題意得：6x+10＝14（4x﹣10），解得：x＝3，∴4x﹣10＝2答：一個乒乓球的質(zhì)量為3克，一個一次性紙杯的質(zhì)量為2克．及時遷移：將天平左邊放置10個乒乓球，天平右邊放置10個一次性紙杯和1個10克的砝碼，使得天平平衡．故答案為：10個乒乓球，10個一次性紙杯和1個10克的砝碼，理由：不唯一，算術(shù)方法或者方程方法說明都可以，言之有理即可．【考點評析】此題考查的是等式的性質(zhì)、列代數(shù)式，掌握等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式是解決此題的關(guān)鍵．【典例精講】（2022秋?亭湖區(qū)期末）若（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是關(guān)于x的一元一次方程，則a＝0．【思路點撥】依據(jù)只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程，列出關(guān)于a的不等式與方程求解即可．【規(guī)范解答】解：（2﹣a）x|a﹣1|﹣5＝0是關(guān)于x的一元一次方程，∴2﹣a≠0且|a﹣1|＝1，解得：a＝0．故答案為：0．【考點評析】本題主要考查的是一元一次方程的定義，依據(jù)一元一次方程的定義列出關(guān)于a的不等式組是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3-1】（2022秋?濱海縣月考）下列方程中，是一元一次方程的是（）A．x﹣y＝6 B．x2+x﹣3＝0 C．4x＝24 D．【思路點撥】根據(jù)一元一次方程的定義即可求出答案．只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的整式方程叫一元一次方程．【規(guī)范解答】解：A．x﹣y＝6中有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程，故本選項不符合題意；B．x2+x﹣3＝0，不是一元一次方程，故本選項不符合題意；C．4x＝24，是一元一次方程，故本選項符合題意；D．﹣1＝24，不是一元一次方程，故本選項不符合題意．故選：C．【考點評析】本題考查一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用一元一次方程的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式訓(xùn)練3-2】（2019秋?東臺市期中）若關(guān)于x的方程mxm﹣2﹣m+3＝0是一元一次方程，則這個方程的解是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝2【思路點撥】只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常數(shù)且a≠0），高于一次的項系數(shù)是0．【規(guī)范解答】解：由一元一次方程的特點得m﹣2＝1，即m＝3，則這個方程是3x＝0，解得：x＝0．故選：A．【考點評析】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點．【變式訓(xùn)練3-3】（2015秋?揚(yáng)州校級月考）已知：（a+2b）y2﹣＝3是關(guān)于y的一元一次方程．（1）求a、b的值；（2）若x＝a是方程﹣+3＝x﹣的解，求|a﹣b﹣2|﹣|b﹣m|的值．【思路點撥】（1）先根據(jù)一元一次方程的定義列出關(guān)于a，b的方程組，求出a，b的值即可；（2）把x＝a代入方程求出m的值，再代入代數(shù)式求解即可．【規(guī)范解答】解：（1）∵（a+2b）y2﹣＝3是關(guān)于y的一元一次方程，∴，解得；（2）∵a＝4，x＝a是方程﹣+3＝x﹣的解，∴1﹣+3＝4﹣，解得m＝﹣，∴|a﹣b﹣2|﹣|b﹣m|＝|4+2﹣2|﹣|﹣2+|＝．【考點評析】本題考查的是一元一次方程的定義，熟知只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3-4】（2017秋?廣陵區(qū)校級月考）已知關(guān)于x的方程（m+3）x|m+4|+18＝0是一元一次方程，試求：（1）m的值；（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．【思路點撥】（1）根據(jù)一元一次方程的定義求解即可；（2）根據(jù)代數(shù)式求值，可得答案．【規(guī)范解答】解：（1）由題意，得|m+4|＝1且m+3≠0，解得m＝﹣5．（2）當(dāng)m＝﹣5時，2（3m+2）﹣3（4m﹣1）＝2×（﹣15+2）﹣3（﹣20﹣1）＝﹣26+63＝37．【考點評析】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點．【典例精講】（2022秋?海門市期末）若關(guān)于x的方程5x﹣1＝2x+a的解與方程4x+3＝7的解互為相反數(shù)，則a＝﹣4．【思路點撥】求出第二個方程的解的相反數(shù)，代入第一個方程計算即可求出a的值．【規(guī)范解答】解：方程4x+3＝7，移項合并得：4x＝4，解得：x＝1，把x＝﹣1代入5x﹣1＝2x+a得：﹣6＝﹣2+a，解得：a＝﹣4，故答案為：﹣4【考點評析】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．【變式訓(xùn)練4-1】（2022秋?如皋市校級期末）已知關(guān)于x的方程3x﹣5＝x+a的解是x＝2，則a的值等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【思路點撥】將x＝2代入3x﹣5＝x+a，再解出a即可．【規(guī)范解答】解：將x＝2代入3x﹣5＝x+a，得：3×2﹣5＝2+a，解得：a＝﹣1．故選：B．【考點評析】本題考查方程的解的定義．掌握方程的解就是使等式成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4-2】（2021秋?宜興市校級月考）方程5y﹣7＝2y﹣中被陰影蓋住的是一個常數(shù)，此方程的解是y＝﹣1．這個常數(shù)應(yīng)是（）A．10 B．4 C．﹣4 D．﹣10【思路點撥】將y＝﹣1代入方程計算可求解這個常數(shù)．【規(guī)范解答】解：將y＝﹣1代入方程5y﹣7＝2y﹣中，5×（﹣1）﹣7＝2×（﹣1）﹣，解得＝10，故選：A．【考點評析】本題主要考查一元一次方程的解，理解一元一次方程解的概念是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4-3】（2022秋?丹徒區(qū)期末）已知關(guān)于m的方程的解也是關(guān)于x的方程2（x﹣8）﹣n＝6的解．（1）求m、n的值；（2）如圖，數(shù)軸上，O為原點，點M對應(yīng)的數(shù)為m，點N對應(yīng)的數(shù)為n．①若點P為線段ON的中點，點Q為線段OM的中點，求線段PQ的長度；②若點P從點N出發(fā)以1個單位/秒的速度沿數(shù)軸正方向運(yùn)動，點Q從點M出發(fā)以2個單位/秒的速度沿數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動，經(jīng)過3或5秒，P、Q兩點相距3個單位．【思路點撥】（1）解方程求出m＝10的值，再把x＝10代入方程即可得出n的值；（2）①根據(jù)線段中點的定義求出OP和OQ的長度即可得出答案；②設(shè)運(yùn)動時間為x秒，列方程解答即可．【規(guī)范解答】解：（1）解方程得，m＝10，∵方程2（x﹣8）﹣n＝6的解為x＝10，∴4﹣n＝6，解得n＝﹣2，∴m、n的值分別為10，﹣2；（2）①∵點M對應(yīng)的數(shù)為10，點N對應(yīng)的數(shù)為﹣2，點P為線段ON的中點，點Q為線段OM的中點，∴OP＝ON＝1，OQ＝OM＝5，∴PQ＝OP+OQ＝1+5＝6；②設(shè)經(jīng)過x秒P、Q兩點相距3個單位，根據(jù)題意得：﹣2+x﹣（10﹣2x）＝3或（10﹣2x）﹣（﹣2+x）＝3，解得x＝5或x＝3，故經(jīng)過3秒或5秒，A、B兩點相距3個單位．故答案為：3或5．【考點評析】本題考查了數(shù)軸和一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是到達(dá)題意，用含字母的式子表示P，Q所表示的數(shù)．【變式訓(xùn)練4-4】（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）我們規(guī)定，關(guān)于x的一元一次方程mx＝n（m≠0）的解為x＝m+n，則稱該方程為和解方程，例如2x＝﹣4的解為x＝﹣2＝﹣4+2，則方程為和解方程．請根據(jù)上邊規(guī)定解答下列問題：（1）下列關(guān)于x的一元一次方程是“和解方程”的有②．①；②；③5x＝﹣2．（2）若關(guān)于x的一元一次方程3x＝2a﹣10是和解方程，則a＝．（3）關(guān)于x的一元一次方程3x＝a+b是和解方程，則代數(shù)式a（a2b+1）+b（1﹣a3）的值為﹣．（4）關(guān)于x的一元一次方程3x＝a+b是和解方程且它的解為x＝a，求代數(shù)式2ab（a+b）的值．【思路點撥】（1）根據(jù)“和解方程”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)“和解方程”的定義得到關(guān)于a的方程，解之即可；（3）根據(jù)“和解方程”的定義得到，將所求式子化簡后整體代入即可；（4）根據(jù)已知條件得到，可求出a，b值，代入計算即可．【規(guī)范解答】解：（1）①的解是，故不是“和解方程”；②的解是，故是“和解方程”；③5x＝﹣2的解是，故不是“和解方程”；故答案為：②；（2）∵3x＝2a﹣10是和解方程，∴，解得：，故答案為：；（3）∵3x＝a+b是和解方程，∴，化簡得：，∴a（a2b+1）+b（1﹣a3）＝a3b+a+b﹣a3b＝a+b＝，故答案為：﹣；（4）∵3x＝a+b是和解方程且它的解為x＝a，∴，∴解得：，b＝﹣3，∴．【考點評析】本題考查了一元一次方程的解，代數(shù)式求值，掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．【典例精講】．（2022秋?濱?？h月考）對于任意有理數(shù)a，b，我們規(guī)定：a?b＝a2﹣2b，例如：3?4＝32﹣2×4＝9﹣8＝1．若2?x＝3+x，則x的值為．【思路點撥】先根據(jù)新運(yùn)算得出算式，再根據(jù)等式的性質(zhì)求出方程的解即可．【規(guī)范解答】解：∵2?x＝3+x，∴22﹣2x＝3+x，∴4﹣2x＝3+x，∴﹣2x﹣x＝3﹣4，∴﹣3x＝﹣1，解得x＝．故答案為：．【考點評析】本題考查了解一元一次方程和有理數(shù)的混合運(yùn)算，能根據(jù)題意列出關(guān)于x的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5-1】（2022秋?海門市期末）解方程時，去分母正確的是（）A．2x+1﹣（10x+1）＝1 B．4x+1﹣10x+1＝6 C．4x+2﹣10x﹣1＝6 D．2（2x+1）﹣（10x+1）＝1【思路點撥】去分母的方法是方程兩邊同時乘以各分母的最小公倍數(shù)6，在去分母的過程中注意分?jǐn)?shù)線右括號的作用，以及去分母時不能漏乘沒有分母的項．【規(guī)范解答】解：方程兩邊同時乘以6得：4x+2﹣（10x+1）＝6，去括號得：4x+2﹣10x﹣1＝6．故選：C．【考點評析】在去分母的過程中注意分?jǐn)?shù)線起到括號的作用，并注意不能漏乘沒有分母的項．【變式訓(xùn)練5-2】（2017秋?秦淮區(qū)期末）下列方程變形中，正確的是（）A．由3x＝﹣4，系數(shù)化為1得x＝ B．由5＝2﹣x，移項得x＝5﹣2 C．由，去分母得4（x﹣1）﹣3（2x+3）＝1 D．由3x﹣（2﹣4x）＝5，去括號得3x+4x﹣2＝5【思路點撥】根據(jù)解方程的方法和等式的性質(zhì)可以判斷各個選項是否正確，從而可以解答本題．【規(guī)范解答】解：3x＝﹣4，系數(shù)化為1，得x＝﹣，故選項A錯誤，5＝2﹣x，移項，得x＝2﹣5，故選項B錯誤，由，去分母，得4（x﹣1）﹣3（2x+3）＝24，故選項C錯誤，由3x﹣（2﹣4x）＝5，去括號得，3x﹣2+4x＝5，故選項D正確，故選：D．【考點評析】本題考查解一元一次方程、等式的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確解方程的方法．【變式訓(xùn)練5-3】（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）整式ax﹣b的值隨x的取值不同而不同，下表是當(dāng)x取不同值時對應(yīng)的整式的值，則關(guān)于x的方程﹣ax+b＝3的解是x＝0．x﹣202ax﹣b﹣6﹣30【思路點撥】把x與ax﹣b的值的方程組成方程組，求出方程組的解得到a與b的值，即可求出方程的解．【規(guī)范解答】解：根據(jù)表格得：，把②代入①得：﹣2a+3＝﹣6，解得：a＝，∴方程為﹣x+3＝3，解得：x＝0．故答案為：x＝0．【考點評析】此題考查了解一元一次方程，二元一次方程組，以及代數(shù)式求值，熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5-4】（2020秋?惠山區(qū)期中）解方程：（1）3x+7＝32﹣2x；（2）．【思路點撥】（1）移項、合并同類項、系數(shù)化為1，據(jù)此求出方程的解是多少即可．（2）去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，據(jù)此求出方程的解是多少即可．【規(guī)范解答】解：（1）移項，可得：3x+2x＝32﹣7，合并同類項，可得：5x＝25，系數(shù)化為1，可得：x＝5．（2）去分母，可得：3（3x﹣1）﹣12＝2（5x﹣7），去括號，可得：9x﹣3﹣12＝10x﹣14，移項，合并同類項，可得：x＝﹣1．【考點評析】此題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．【變式訓(xùn)練5-5】（2022秋?丹徒區(qū)期末）解方程：（1）3（2x﹣1）+1＝4（x+2）；（2）．【思路點撥】（1）方程去括號，移項，合并同類項，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（2）方程去分母，去括號，移項，合并同類項，把x系數(shù)化為1，即可求出解．【規(guī)范解答】解：（1）去括號得：6x﹣3+1＝4x+8，移項得：6x﹣4x＝8+3﹣1，合并同類項得：2x＝10，解得：x＝5；（2）去分母得：2（2x﹣1）＝2x+1﹣6，去括號得：4x﹣2＝2x+1﹣6，移項得：4x﹣2x＝1﹣6+2，合并同類項得：2x＝﹣3，解得：x＝﹣1.5．【考點評析】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法是解本題的關(guān)鍵．【典例精講】（2022秋?海陵區(qū)校級月考）已知關(guān)于x的方程|x+1|＝a﹣2只有一個解，那么xa＝1．【思路點撥】根據(jù)題意計算出a，x的值，再計算xa的值．【規(guī)范解答】解：∵關(guān)于x的方程|x+1|＝a﹣2只有一個解，∴a﹣2＝0，a＝2，∴x+1＝0，∴x＝﹣1，∴（﹣1）2＝1，故答案為：1．【考點評析】本題考查了含絕對值的一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值的定義，解一元一次方程．【變式訓(xùn)練6-1】（2022秋?張家港市期中）已知c為實數(shù)，討論方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|＝c解的情況．【思路點撥】分類討論：x＜1，1≤x＜2，2≤x＜3，x≥3，根據(jù)絕對值的性質(zhì)，可化簡絕對值，根據(jù)解方程，可得答案．【規(guī)范解答】解：當(dāng)x＜1時，原方程等價于1﹣x﹣（2﹣x）+2（3﹣x）＝c，X＝，，否則無解．當(dāng)1≤x＜2時，原方程等價于x﹣1﹣（2﹣x）+2（3﹣x）＝cC＝3時，解為：1≤X＜2．否則無解．當(dāng)2≤x＜3時，原方程等價于x﹣1﹣（x﹣2）+2（3﹣x）＝c，X＝，2時有解，此時：1＜C≤3有解：X＝，否則無解，當(dāng)x≥3時，原方程等價于x﹣1﹣（x﹣2）+2（x﹣3）＝c，X＝，時有解，此時：c≥1，有解：X＝，否則無解，綜上所述：c≥1方程有解，c＜1方程無解．【考點評析】本題目考查絕對值方程，需要討論，把絕對值方程轉(zhuǎn)化為一般的一元一次方程求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想．【變式訓(xùn)練6-2】（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）【我閱讀】解方程：|x+5|＝2．解：當(dāng)x+5≥0時，原方程可化為：x+5＝2，解得x＝﹣3；當(dāng)x+5＜0時，原方程可化為：x+5＝﹣2，解得x＝﹣7．所以原方程的解是x＝﹣3或x＝﹣7．【我會解】解方程：|3x﹣2|﹣5＝0．【思路點撥】類比題干的解題過程，先根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號，再解一元一次方程即可．【規(guī)范解答】解：當(dāng)3x﹣2≥0時，原方程可化為：3x﹣2﹣5＝0，解得x＝；當(dāng)3x﹣2＜0時，原方程可化為：﹣3x+2﹣5＝0，解得x＝﹣1．所以原方程的解是x＝或x＝﹣1．【考點評析】本題考查絕對值的定義以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)絕對值的定義將絕對值符號去掉，從而化為一般的一元一次方程求解．【變式訓(xùn)練6-3】（2022秋?高新區(qū)校級月考）小兵喜歡研究數(shù)學(xué)問題，在學(xué)習(xí)一元一次方程后，他給出一個新定義：若x0是關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝0的解，y0是關(guān)于y的方程的所有解的其中一個解，且x0，y0滿足x0+y0＝100，則稱關(guān)于y的方程為關(guān)于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的解是x＝99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，當(dāng)y0＝1時，x0+y0＝100，所以y2+1＝2為一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．（1）已知關(guān)于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，哪個方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？請直接寫出正確的序號是②．（2）若關(guān)于y的方程|2y﹣2|+3＝5是關(guān)于x的一元一次方程x﹣＝a+1的“友好方程”，請求出a的值．【思路點撥】（1）根據(jù)友好方程定義判斷．（2）根據(jù)友好方程的條件列出關(guān)于a的方程．【規(guī)范解答】解：（1）方程①的解為：y＝3，方程②的解為：y＝±2，方程3x﹣2x﹣102＝0的解為：x＝102．∵3+102≠100，﹣2+102＝100．∴方程①不是方程3x﹣2x﹣102＝0的友好方程，方程②是方程3x﹣2x﹣102＝0的友好方程．故答案為：②．（2）∵|2y﹣2|+3＝5．|2y﹣2|＝2，∴2y﹣2＝2或2y﹣2＝﹣2．∴y＝2或y＝0．∵方程x﹣＝a+1，∴3x﹣2x+2a＝3a+3．∴x＝a+3．∵兩個方程是友好方程，∴2+a+3＝100或0+a+3＝100．∴a＝95或a＝97．【考點評析】本題考查新定義解決數(shù)學(xué)問題，理解新定義是求解本題的關(guān)鍵．【典例精講】（2022秋?海陵區(qū)校級期末）如果方程的解與方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，則代數(shù)式a﹣的值為﹣．【思路點撥】先解關(guān)于x的方程得出x＝10，將其代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1求得a的值，繼而代入計算可得．【規(guī)范解答】解：解方程得x＝10，將x＝10代入4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1得：40﹣3a﹣1＝60+2a﹣1，解得：a＝﹣4，則原式＝﹣，故答案為：﹣．【考點評析】本題主要考查方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握方程的解的概念和解一元一次方程的能力．【變式訓(xùn)練7-1】（2022秋?惠山區(qū)校級期末）關(guān)于x的方程kx＝2x+6與2x﹣1＝5的解相同，則k的值為（）A．4 B．3 C．5 D．6【思路點撥】先解2x﹣1＝5得出x＝3，代入kx＝2x+6即可求解．【規(guī)范解答】解：2x﹣1＝5，解得：x＝3，代入kx＝2x+6，即3k＝6+6，解得：k＝4．故選：A．【考點評析】本題考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練7-2】（2022秋?姑蘇區(qū)校級期末）若關(guān)于x的方程＝5與kx﹣1＝15的解相同，則k的值為（）A．8 B．6 C．﹣2 D．2【思路點撥】先解出第一個方程的解，代入到第二個方程中，求出k的值．【規(guī)范解答】解：＝5，∴2x﹣1＝15，∴x＝8；把x＝8代入第二個方程得：8k﹣1＝15，解得：k＝2．故選：D．【考點評析】本題考查了同解方程，一元一次方程的解法，考核學(xué)生的計算能力，將第一個方程的解代入第二個方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練7-3】（2017秋?崇川區(qū)校級月考）如果關(guān)于x的方程與的解相同，那么m的值是±2．【思路點撥】本題中有兩個方程，且是同解方程，一般思路是：先求出不含字母系數(shù)的方程的解，再把解代入到含有字母系數(shù)的方程中，求字母系數(shù)的值．【規(guī)范解答】解：解方程＝整理得：15x﹣3＝42，解得：x＝3，把x＝3代入＝x+4+2|m|得＝3++2|m|解得：|m|＝2，則m＝±2．故答案為±2．【考點評析】本題考查了同解方程，使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是該方程的解，因此檢驗一個數(shù)是否為相應(yīng)的方程的解，就是把這個數(shù)代替方程中的未知數(shù)，看左右兩邊的值是否相等．【變式訓(xùn)練7-4】．（2021秋?廣陵區(qū)校級期末）已知方程6x﹣9＝10x﹣5與方程3a﹣1＝3（x+a）﹣2a的解相同；（1）求這個相同的解；（2）求a的值．【思路點撥】（1）根據(jù)移項、合并同類項、系數(shù)化為1，可得答案；（2）根據(jù)同解方程，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得答案．【規(guī)范解答】解：（1）6x﹣9＝10x﹣5移項，得：6x﹣10x＝﹣5+9，合并同類項，得：﹣4x＝4，系數(shù)化為1，得：x＝﹣1．（2）由方程6x﹣9＝10x﹣5與方程3a﹣1＝3（x+a）﹣2a的解相同，得3a﹣1＝3（﹣1+a）﹣2a，解得a＝﹣1．【考點評析】本題考查了同解方程，利用同解方程的出關(guān)于a的方程是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練7-5】（2022秋?濱?？h月考）已知關(guān)于的方程2﹣＝+3﹣x與方程4﹣＝3k﹣的解相同，求k的值．【思路點撥】先解方程2﹣＝+3﹣x，可得x＝1，然后再把x＝1代入方程4﹣＝3k﹣中得：4﹣＝3k﹣，最后進(jìn)行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：2﹣＝+3﹣x，12﹣2（x﹣1）＝3（1﹣x）+18﹣6x，12﹣2x+2＝3﹣3x+18﹣6x，﹣2x+3x+6x＝3+18﹣12﹣2，7x＝7，x＝1，由題意得：把x＝1代入方程4﹣＝3k﹣中得：4﹣＝3k﹣，4﹣＝3k，12﹣（k+2）＝9k，12﹣k﹣2＝9k，﹣k﹣9k＝2﹣12，﹣10k＝﹣10，k＝1，∴k的值為1．【考點評析】本題考查了同解方程，熟練掌握同解方程的意義是解題的關(guān)鍵．【典例精講】（2022秋?如皋市校級期末）《九章算術(shù)》中記載了這樣一個數(shù)學(xué)問題：今有甲發(fā)長安，五日至齊；乙發(fā)齊，七日至長安．今乙發(fā)已先二日，甲仍發(fā)長安．問幾何日相逢？譯文：甲從長安出發(fā)，5日到齊國；乙從齊國出發(fā)，7日到長安．現(xiàn)乙先出發(fā)2日，甲才從長安出發(fā)．問多久后甲乙相逢？設(shè)乙出發(fā)x日，甲乙相逢，則可列方程（）A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)題意設(shè)乙出發(fā)x日，甲乙相逢，則甲、乙分別所走路程占總路程的和，進(jìn)而得出等式．【規(guī)范解答】解：設(shè)乙出發(fā)x日，甲乙相逢，則甲出發(fā)（x﹣2）日，故可列方程為：+＝1．故選：D．【考點評析】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，正確表示出兩人所走路程所占比是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練8-1】（2022秋?濱?？h月考）有一些相同的房間需要粉刷墻面．一天3名一級技工去粉刷8個房間，結(jié)果其中有50m2墻面未來得及粉刷，同樣時間內(nèi)5名二級技工粉刷了10個房間之外，還多粉刷了另外的40m2墻面，每名一級技工比二級技工一天多粉刷10m2墻面．設(shè)每名二級技工一天粉刷墻面xm2，則列方程為（）A． B． C． D．【思路點撥】設(shè)每名二級技工一天粉刷墻面xm2，則每名一級技工一天粉刷（x+10）m2墻面，即可得出關(guān)于x的一元一次方程．【規(guī)范解答】解：設(shè)每名二級技工一天粉刷墻面xm2，則每名一級技工一天粉刷（x+10）m2墻面，依題意，得：＝．故選：A．【考點評析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練8-2】（2021秋?如東縣期中）我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》一書中有這樣一道題：“一支竿子一條索，索比竿子長一托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托”．其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．如果1托為5尺，那么索和竿各為幾尺？設(shè)竿為x尺，可列方程為（x+5）＝x﹣5．【思路點撥】設(shè)竿為x尺，則索為（x+5）尺，根據(jù)“一支竿子一條索，索比竿子長一托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托”，即可得出關(guān)于x一元一次方程．【規(guī)范解答】解：設(shè)竿為x尺，則索為（x+5）尺，根據(jù)題意得：（x+5）＝x﹣5，故答案為：（x+5）＝x﹣5．【考點評析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練8-3】（2022秋?江寧區(qū)月考）新年將至，樂樂和麗麗所在的活動小組計劃做一批“中國結(jié)”．如果每人做8個，那么比計劃多了3個；如果每人做5個，那么比計劃少27個．問題：該小組共有多少人？計劃做多少個“中國結(jié)”？她倆經(jīng)過獨立思考后，分別列出了如下尚不完整的方程：樂樂的方法：8x□﹣3＝5x□+27；麗麗的方法：；（1）在樂樂、麗麗所列的方程中，“□”中是運(yùn)算符號，“”中是數(shù)字，試分別指出未知數(shù)x，y表示的意義：未知數(shù)x表示該小組人數(shù)，未知數(shù)y表示計劃做“中國結(jié)”的個數(shù)；（2）分別用這兩種方法，將原題中的問題解答完成．【思路點撥】（1）樂樂的方法是根據(jù)做“中國結(jié)”的個數(shù)不變列的方程，麗麗的方法是根據(jù)該小組的人數(shù)不變列的方程；（2）可設(shè)該小組有x人，根據(jù)做“中國結(jié)”的個數(shù)不變先列出方程，再求解作答．【規(guī)范解答】解：（1）﹣3；+27；未知數(shù)x表示的是該小組人數(shù)；未知數(shù)y表示的是計劃做“中國結(jié)”的個數(shù)；故答案為：﹣3；+27；該小組人數(shù)；計劃做“中國結(jié)”的個數(shù)；（2）設(shè)該小組有x人，由題意得8x﹣3＝5x+27，解這個方程，得x＝10，計劃做“中國結(jié)”的個數(shù)：8×10﹣3＝77（個）．答：該小組共有10人，計劃做“中國結(jié)”77個．【考點評析】本題考查了列一元一次方程解決實際問題，掌握解一元一次方程應(yīng)用題的一般步驟是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練8-4】（2018秋?亭湖區(qū)校級期末）生態(tài)公園計劃在園內(nèi)的坡地上種植一片有A、B兩種樹的混合林，需要購買這兩種樹苗共100棵．假設(shè)這批樹苗種植后成活95棵，種植A、B兩種樹苗的相關(guān)信息如下表：品名單價（元/棵）栽樹勞務(wù)費（元/棵）成活率A15396%B20492%（1）設(shè)購買A種樹苗x棵，則購買B種樹苗（100﹣x）棵，根據(jù)題意可列方程為96%x+92%（100﹣x）＝95，解得x＝75．（2）求種植這片混合林的總費用需多少元？【思路點撥】（1）設(shè)購買A種樹苗x棵，則購買B種樹苗（100﹣x）棵，根據(jù)成活棵數(shù)＝種植A種樹苗的棵數(shù)×成活率+種植B種樹苗的棵數(shù)×成活率，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)總費用＝（A種樹苗的單價+種植A種樹苗的栽樹勞務(wù)費）×種植A種樹苗的棵數(shù)+（B種樹苗的單價+種植B種樹苗的栽樹勞務(wù)費）×種植B種樹苗的棵數(shù)，即可求出種植這片混合林的總費用．【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)購買A種樹苗x棵，則購買B種樹苗（100﹣x）棵，依題意，得：96%x+92%（100﹣x）＝95，解得：x＝75．故答案為：（100﹣x）；96%x+92%（100﹣x）＝95；75．（2）（15+3）×75+（20+4）×（100﹣75）＝1950（元）．答：種植這片混合林的總費用需1950元．【考點評析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列式計算．【變式訓(xùn)練8-5】（2021秋?姜堰區(qū)校級月考）為打造綠色生態(tài)環(huán)境，一段長為2400米的河道整治任務(wù)交由甲、乙兩個工程隊接力完成，共用時80天．已知甲隊每天整治32米，乙隊每天整治24米．（1）根據(jù)題意，小李、小張分別列出如下的一元一次方程（尚不完整）：小李：32x+24（80﹣x）＝2400；小張：＝80；請分別指出上述方程中的意義，并補(bǔ)全方程：小李：x表示甲隊工作的時間；小張：x表示甲隊整治河道的長度．（2）求甲、乙兩隊分別整治河道多少米？（寫出完整的解答過程）【思路點撥】（1）根據(jù)所列方程可得第一個方程為32x+24（80﹣x）＝2400，x表示的是甲隊工作的時間，第二個方程為+＝80，x表示的是甲隊整治河道的長度；（2）求解第二個方程即可．【規(guī)范解答】解：（1）由題意得，第一個方程為32x+24（80﹣x）＝2400，x表示的是甲隊工作的時間，第二個方程為+＝80，x表示的是甲隊整治河道的長度，故答案為：80﹣x，甲隊工作的時間，甲隊整治河道的長度；（2）設(shè)甲隊整治河道的長度為x米，列方程得：+＝80，解得：x＝1920，則2400﹣x＝480．答：甲、乙兩隊分別整治河道1920米，480米．【考點評析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解．【典例精講】（2021秋?如皋市校級月考）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行八十步，善行者追之，問幾何步及之？“其意思為：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，現(xiàn)速度慢的人先走80步，速度快的人去追趕，則速度快的人要走200步才能追到速度慢的人．【思路點撥】設(shè)速度快的人追上速度慢的人所用時間為t，根據(jù)速度慢的人和速度快的人所用時間相等列方程，求出時間，進(jìn)而求出速度快的人所走的路程即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)速度快的人追到速度慢的人所用時間為t，根據(jù)題意列方程得：100t＝60t+80，解得t＝2，2×100＝200（步），∴速度快的人要走200步才能追到速度慢的人，故答案為：200．【考點評析】本題主要考查一元一次方程的知識，根據(jù)等量關(guān)系列出方程并正確求解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練9-1】（2019秋?鎮(zhèn)江期末）某超市在“元旦”活動期間，推出如下購物優(yōu)惠方案：①一次性購物在100元（不含100元）以內(nèi)，不享受優(yōu)惠；②一次性購物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以內(nèi)，一律享受九折優(yōu)惠；③一次性購物在350元（含350元）以上，一律享受八折優(yōu)惠；小敏在該超市兩次購物分別付了90元和270元，如果小敏把這兩次購物改為一次性購物，則小敏至少需付款（）元A．288 B．296 C．312 D．320【思路點撥】設(shè)第一次購物購買商品的價格為x元，第二次購物購買商品的價格為y元，分0＜x＜100及100≤x＜350兩種情況可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之可求出x的值，由第二次購物付款金額＝0.9×第二次購物購買商品的價格可得出關(guān)于y的一元一次方程，解之可求出y值，再利用兩次購物合并為一次購物需付款金額＝0.8×兩次購物購買商品的價格之和，即可求出結(jié)論．【