專題50 三角形的存在性綜合問題(解析版)

專題50三角形的存在性綜合問題【題型演練】一、解答題1．如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)如圖1，若，，求的面積；(2)如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)F使，分別連結(jié)，，交于點(diǎn)G．求證：．(3)如圖3，若，點(diǎn)M是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，，Q是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)32(2)見解析(3)【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用8字型圖，得到，易得，從而得到，再利用面積公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）延長(zhǎng)到，使，連接和，證明，得到，連接，推出是等腰三角形，過點(diǎn)作，得到，根據(jù)平行線間距離處處相等，得到，從而得到，即可得證；（3）過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，證明，推出點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在過點(diǎn)且垂直于的直線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)軸對(duì)稱和三角形的三邊關(guān)系以及垂線段最短，得到，得到三點(diǎn)共線時(shí)，且時(shí)，有最小值，根據(jù)，求出，證明，進(jìn)而得到，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，∵，∵，∴，∵，，∴∴，∵，∴，∴的面積為；（2）如圖2，延長(zhǎng)到，使，連接和，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，，連接，∵，∴是的中垂線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，過點(diǎn)作，則：，∵，∴，∴，又∵∴，（平行線間的距離處處相等）∴，∴；（3）如圖3，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，∵，∴，∴，∵將線段繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，∴點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在過點(diǎn)且垂直于的直線上運(yùn)動(dòng)；∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴，∵，∴的最小值為，∴當(dāng)時(shí)，有最小值：此時(shí)，，如圖4，，∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用軸對(duì)稱解決線段和最小問題．本題的綜合性強(qiáng)，難度大，解題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線，證明三角形全等．本題中蘊(yùn)含手拉手全等模型，將軍飲馬問題．2．已知正方形，點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作射線，交直線于點(diǎn)E，連接，取的中點(diǎn)，連接(1)如圖1，點(diǎn)在線段的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，①點(diǎn)P在線段上時(shí)，試判斷（1）中的結(jié)論是否成立，并說明理由；②若點(diǎn)P在直線上，，，直接寫出的長(zhǎng)；(3)設(shè)，若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)使為等邊三角形，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)①成立，理由見解析；②的長(zhǎng)為或；(3)的長(zhǎng)為或．【分析】（1）先證明是等腰直角三角形，因此可得；（2）①過點(diǎn)作于，于，先根據(jù)AAS證明，則可得，再根據(jù)ASA證明，則可得是等腰直角三角形，因此可得，再根據(jù)“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得，因此．②分兩種情況，分點(diǎn)在線段上和P點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上．作于點(diǎn)，先求出的長(zhǎng)，則可知的長(zhǎng)，再求出的長(zhǎng)，則可求出的長(zhǎng)，再根據(jù)求出的長(zhǎng)即可．（3）分兩種情況，點(diǎn)在上方和點(diǎn)在下方．①F點(diǎn)在上方時(shí)，由是等邊三角形可求出、的長(zhǎng)，再求出的長(zhǎng)，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程求出x，即可知的長(zhǎng)，則可求出的長(zhǎng)．②F點(diǎn)在下方時(shí)，是等邊三角形可求出、、的長(zhǎng)，再求出的長(zhǎng)，作于Q點(diǎn)，設(shè)，在中據(jù)勾股定理列方程求出x，即可知的長(zhǎng)，進(jìn)而可可求出的長(zhǎng)和的長(zhǎng)．【詳解】（1），理由如下：∵四邊形是正方形P是線段的中點(diǎn)∵F是中點(diǎn)（2）①如圖，點(diǎn)P在線段上時(shí)，（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：過P點(diǎn)作于G，于H又∴四邊形是矩形∵正方形中，平分又∴是等腰直角三角形∵F是中點(diǎn)∵Rt中，F(xiàn)是中點(diǎn)

②(ⅰ)如圖，P點(diǎn)在線段上時(shí)，作于Q由①知(ⅱ)如圖，若P點(diǎn)的延長(zhǎng)線，

過P點(diǎn)作于G，于H又∴四邊形是矩形∵正方形中，平分又∴是等腰直角三角形∵F是中點(diǎn)∵Rt中，F(xiàn)是中點(diǎn)

延長(zhǎng)，作于Q點(diǎn)∴

綜上，的長(zhǎng)為或（3）①如圖，F(xiàn)點(diǎn)在上方時(shí)∵為等邊三角形由①知是等腰直角三角形延長(zhǎng)，作于Q點(diǎn)則設(shè)則由得解得（舍去）

②①如圖，F(xiàn)點(diǎn)在下方時(shí)∵為等邊三角形∵是等腰直角三角形過P點(diǎn)作于Q點(diǎn)則設(shè)，則在Rt中解得（舍去），綜上，的長(zhǎng)為或【點(diǎn)睛】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理．正確的畫出圖形，并且正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．注意分類討論，不要漏解．3．在中，D為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接與相交于點(diǎn)F．(1)如圖1，若D為的中點(diǎn)，，，，連接，求線段的長(zhǎng)；(2)如圖2，G是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，D在線段上，連接，，若，，，，證明；(3)如圖3，若為等邊三角形，，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)，且，點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，，請(qǐng)直接寫出當(dāng)最小時(shí)的面積．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)．【分析】（1）根據(jù)題意由勾股定理可得長(zhǎng)度，作，交于，利用旋轉(zhuǎn)及互余可證得（AAS），則得，，可求出，再由勾股定理可得的長(zhǎng)度；（2）由旋轉(zhuǎn)可知，為等腰直角三角形，根據(jù)其性質(zhì)再利用互余可證得（AAS），則有，，由，可證，由，利用三角形內(nèi)角和定理可得，作，交延長(zhǎng)線于，連接，易知，為等腰直角三角形，可得，，，易得，可證四邊形是平行四邊形，即，利用可得證結(jié)論；（3）作，交于，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，證明（SAS），進(jìn)而證得，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，由對(duì)稱易知，易知當(dāng)最小時(shí)，即最小，亦即、、在同一直線，且，如圖，作，交于，易知四邊形是矩形，證得是等邊三角形，求出，的高，根據(jù)可得答案．【詳解】（1）解：∵為的中點(diǎn)，，，∴，則由勾股定理，可得：，作，交于，由題意可知，，，∴，，∴，又∵，∴（AAS），∴，，則，由勾股定理可得：；（2）證明：由旋轉(zhuǎn)可知，為等腰直角三角形，∴，，，∵，∴，又∵，，∴，，又∵，∴，在和中，，∴（AAS），∴，，則：，∵，∴，即：，∴，又∵，由三角形內(nèi)角和定理可得：，即：，∴，作，交延長(zhǎng)線于，連接，∴為等腰直角三角形，∴，，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，即，∴；（3）作，交于，∵是等邊三角形，∴，，平分，則，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則，，∴，∴（SAS），∴∴，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，由對(duì)稱易知，，∴當(dāng)最小時(shí)，即最小，亦即、、在同一直線，且，如圖：作，交于，則，∴，，∵，，∴，，四邊形是矩形，則，，即，由軸對(duì)稱可知，，∴是等邊三角形，則：，∵，∴，，∴，，則由勾股定理可得：，，∵，，則為，之間的距離，∴，即的高∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合題，考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，第（2）問證明，解決問題的關(guān)鍵，第（3）問弄清的運(yùn)動(dòng)軌跡是解決問題的關(guān)鍵．4．在中，，平分，為上一點(diǎn)．(1)如圖1，過作交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，若，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，過作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，猜想線段與之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想；(3)如圖3，將（2）中沿翻折得到，為上一點(diǎn)，連接，過作交于點(diǎn)，，，再將沿翻折得到，交、分別于點(diǎn)、，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，證明，得出，設(shè)，則，在中，，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解；（2）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，證明，設(shè)，繼而證明，得出，根據(jù)，即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由（2）可知是等腰直角三角形，則四邊形是正方形，得出是等腰直角三角形，證明，求得，在中，設(shè)，，繼而解直角三角形，求得，接下來求得的長(zhǎng)，設(shè)，勾股定理得出①，證明，得出②，聯(lián)立解關(guān)于的方程，即可求解，進(jìn)而求得比值即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵平分，，∴，∵，∴，又，，∴，設(shè)，則，在中，，∵，∴，∴，∴，解得：，∴；（2），理由如下，證明：如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，∴，∵，∴，∴，∵,∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴又，，∴，∴設(shè)，∵，∴∴，∴，在與中，∴∴∵，,又∵,∴,∴（3）解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由（2）可知是等腰直角三角形，依題意，則四邊形是正方形，∴，,∴，∴是等腰直角三角形，∴∵，，∴∴即∴∴,，則，∴,∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，在中，,∵折疊，∴設(shè)∴在中，∴∴，∴，∵，∴,設(shè)，則在中，，即①∵折疊，∴，又∵∴∴∴②，聯(lián)立①②得解得：或（舍去）∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角形，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．如圖1，中，，，以為直徑的恰好經(jīng)過點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使得，連接．(1)求的半徑；(2)求證：；(3)如圖2，在上取點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求的值；②設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)的半徑是；(2)見解析(3)①；②．【分析】（1）由是的直徑，得，用勾股定理可得的半徑是；（2）證明直線是的垂直平分線，有，故；（3）①由，得，可得，，設(shè)，在中，，得，即得，，，從而得；②過A作于K；連接，由，得，而，即可得，，又，有，，再證，得，故，即得．【詳解】（1）解：∵是的直徑，∴，∴，∴的半徑是；（2）證明：由（1）知，∴，∵，∴直線是的垂直平分線，∴，∴；（3）解：①如圖：∵，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得，∴，，∴，∴；②過A作于K，連接，如圖：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)和相似三角形的判定定理．6．在中，，．點(diǎn)D是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．(1)如圖1，若點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，若點(diǎn)D為內(nèi)部一點(diǎn)，過點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，求證：；(3)如圖3，在（1）的條件下，點(diǎn)M是射線上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是線段上一點(diǎn)，且，連接，．當(dāng)最小時(shí)，直接寫出與的面積的和．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）連接，根據(jù)可證，得到，，然后在中根據(jù)勾股定理求解即可；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，角于點(diǎn)Q，根據(jù)可證，得出，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可證，進(jìn)而證出，然后根據(jù)平行線分線段成比例可得出，即可得出結(jié)論；（3）將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接交與N，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，過E作點(diǎn)H，根據(jù)可證，得出，進(jìn)而得出，故當(dāng)E，N，C三點(diǎn)共線時(shí)，最小，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出C，E的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求出直線解析式，可求，，再等腰三角形的性質(zhì)求出，，最后根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】（1）解：連接，∵繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，又，∴，又，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵，點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，且，∴，∴；（2）證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)Q，∵，∴，又，∴，又，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴；（3）解：將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接交與N，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，過E作點(diǎn)H則，∴，，又，∴，∴，∴，當(dāng)E，N，C三點(diǎn)共線時(shí)，最小，∵，，∴，∴，∴，∴，，設(shè)直線解析式為，則，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，即，∴，過N作于點(diǎn)P，過M作于點(diǎn)K，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．7．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，以為邊向右作等邊．①求證：②過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，連接，請(qǐng)判斷的長(zhǎng)度是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由．【類比探究】（2）如圖②，長(zhǎng)方形中，，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，當(dāng)點(diǎn)F從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路程．【答案】（1）①見解析；②是；；（2）4．【分析】（1）①作交于點(diǎn)Q，易證是等邊三角形，結(jié)合已知可得，，利用三角形外角求得從而計(jì)算出即可；②利用等腰三角形性質(zhì)和三角形外角求得，在證即可求解；（2）長(zhǎng)方形中，如圖2，連接，過點(diǎn)G做，易證是等腰直角三角形，可得，由、，可得，易證，可得為定值，如圖3，當(dāng)F在點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)G在點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)G在點(diǎn)處，由G到的距離始終為1，，由勾股定理及旋轉(zhuǎn)可求得，結(jié)合，可求得，在中運(yùn)用勾股定理可求解．【詳解】解：（1）①如圖①甲，作交于點(diǎn)Q，∵是等邊三角形，

∴，∵，∴，，

∴是等邊三角形，∴，∵，

∴，∴，∴，

∴，∴，

∴，

∴；②∵，，

∴，在中，，∵是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，在和中，，

∴，∴；（2）長(zhǎng)方形中，，，，如圖2，連接，過點(diǎn)G做，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，如圖3，當(dāng)F在點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)G在點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)G在點(diǎn)處，∵G到的距離始終為1，∴，由旋轉(zhuǎn)可知，且，∴，在中，，即當(dāng)點(diǎn)F從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路程為4．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的證明和性質(zhì)、勾股定理、角的有關(guān)計(jì)算及即一線三角模型的應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是通過角的轉(zhuǎn)換證明三角形全等．8．如圖，等腰中，，平分．點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊得到．(1)若，試求出的長(zhǎng)度；(2)若，設(shè)與相交于點(diǎn)．①請(qǐng)求出的度數(shù)；②連接，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，．試求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可得出答案；（2）①如圖，連接，先證明是等邊三角形，得出，再利用三角形的外角的性質(zhì)得出即可；②過點(diǎn)作于，于，于，先證明，在中，，得出，設(shè)，則，推出，，，再證明，得出，由此構(gòu)建方程即可求解．【詳解】（1）解：∵，平分，，∴，∴．∴的長(zhǎng)度為．（2）解：①如圖，連接，∵，平分，∴，，∴，又∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，由翻折的性質(zhì)可知：，∴，∵平分，∴，∴，∴的度數(shù)為；②如圖，過點(diǎn)作于，于，于，∵平分，，∴，，∴，∴平分，∴，∵，∴，在中，，∴，在中，，∴，設(shè)，則，，∵，，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴線段的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，角平分線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，本題運(yùn)用了方程的思想．解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．9．在等邊三角形中，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，連接，將繞D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得到，連接，已知，；(1)如圖1，若，，連接，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，若，分別取的中點(diǎn)H，的中點(diǎn)F，連接，，求證：；(3)如圖3，若，P為上一點(diǎn)，且滿足，連接，將沿著所在直線翻折得到，連接，當(dāng)最大時(shí)，直接寫出的面積．【答案】(1)；(2)見解析；(3)．【分析】（1）解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及等邊三角形性質(zhì)可知，可證（SAS），得，由，可得，，根據(jù)，可得，從而通過可計(jì)算出結(jié)果；（2）延長(zhǎng)，使，連接，，則，根據(jù)題意可知，為的中位線，即，類比（1）可證得（SAS），可得，即，由為的中點(diǎn)，可得，，從而可得，即可得結(jié)論；（3）由（1）知，，，，由，則，可得，由，得，作，可得，利用相似三角形得性質(zhì)可列比例式，求得，，，可知點(diǎn)的軌跡為：以為圓心，為半徑的圓，由翻折可知，，而，當(dāng)，，在同一直線上時(shí)取最大值，即取最大值，此時(shí)，，，進(jìn)而可求得面積．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，∵旋轉(zhuǎn)角，∴是等邊三角形，則，，∵為等邊三角形，∴，，∴，即，∴（SAS），∴，∵，，，∴，，又∵，∴，∴；（2）證明：延長(zhǎng)，使，連接，，則，即為的中點(diǎn)，∵為的中點(diǎn)，∴為的中位線，即，旋轉(zhuǎn)角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∵為的中點(diǎn)，∴，平分，∴，，則，∴為等邊三角形，∴，，又∵為等邊三角形，∴，，∴，即，∴（SAS），∴，即，∵為的中點(diǎn)，∴，，∴∴．（3）由（1）知，，，，∵，則，∴，由，得，作，則：，∴，則，，，即點(diǎn)的軌跡為：以為圓心，為半徑的圓，由翻折可知，，而，當(dāng)，，在同一直線上時(shí)取最大值，即：取最大值，如圖此時(shí)，，，則．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何題綜合，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，添加輔助線構(gòu)造全等三角形及相似相似三角形是關(guān)鍵．10．【母體呈現(xiàn)】人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材56頁第10題，如圖的三角形紙片中，，，．沿過點(diǎn)的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．求的周長(zhǎng)．解：是由折疊而得到

，

的周長(zhǎng)為：【知識(shí)應(yīng)用】在中，沿過點(diǎn)的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為，過點(diǎn)作的平分線交于點(diǎn)連接．（1）如圖1，若，，求的面積；（2）如圖2，求證平分；【拓展應(yīng)用】如圖3，在中，沿過點(diǎn)的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為，過點(diǎn)作的平分線交于點(diǎn)連接，過點(diǎn)作．（3）若，，，直接寫出長(zhǎng)；（4）若，求證．【答案】（1）（2）證明過程見解析（3）（4）證明過程見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件可得，從而可以計(jì)算得解；（2）過點(diǎn)分別作、、邊的垂線，垂足分別為點(diǎn)、、，利用全等性質(zhì)，通過等量代換即可得到，通過角平分線性質(zhì)即可得證；（3）過點(diǎn)分別作、邊的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，連接，通過條件可證得，利用關(guān)系即可得解；（4）過點(diǎn)分別作、邊的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，連接，通過條件可證得，然后將整理化簡(jiǎn)，最后等量代換即可得證．【詳解】（1）解：由題可知，，，，；（2）證明：如圖，過點(diǎn)分別作、、邊的垂線垂足分別為點(diǎn)、、，由題可知，，，，平分，，，，則平分；（3）解：如圖，過點(diǎn)分別作、邊的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，連接，由題可知，，，,由（2）可知，，，,即，解得；（4）證明：如圖，過點(diǎn)分別作、邊的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，連接，由（2）可知，，，，，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，即，【點(diǎn)睛】本題考查了圖形折疊、全等三角形、角平分線性質(zhì)，適當(dāng)添加輔助線，采用等量代換的方法是解題關(guān)鍵．11．（1）已知中，，．①如圖1，點(diǎn)M，N均在邊上，，，，連接；請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系②如圖2，點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在的上方，且，求證：；（2）如圖3，在四邊形中，，平分，若與互余，則的大小為______（用含的式子表示）．【答案】（1）①；②詳見解析；（2）【分析】（1）①證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，證明，得出，由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；②如圖2，在上截取，連接，證明，得出，證明，得出，則可得出結(jié)論；（2）如圖3，過點(diǎn)D作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，在上截?。C明，得出，證明，得出，由三角形內(nèi)角和定理可求出答案．【詳解】解：（1）①．∵，，∴，，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．故答案為：．②如圖，在上截取，連接，∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，在上截取．∵平分，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加輔助線解決問題．12．如圖，在中，半徑弦于點(diǎn)E，連接，，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，連接、．(1)如圖1，求證；(2)如圖2，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，連接，，若，求證：平分；(3)如圖3，在（2）的條件下，平分，交于點(diǎn)K，連接，設(shè)與交于點(diǎn)H，，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】(1)根據(jù)半徑弦可得，，再根據(jù)圓周角定理可證得，據(jù)此即可證得結(jié)論；(2)首先可證得，可得，再根據(jù)圓周角定理可證得結(jié)論；(3)延長(zhǎng)到點(diǎn)P，使，連接，設(shè)，，設(shè)，設(shè)，根據(jù)圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形，可證得，據(jù)此即可證得是等腰三角形，，可證得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得，即可求得，，，，，過點(diǎn)O作于點(diǎn)L，連接、，可求得，，根據(jù)勾股定理可求得、、及的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：半徑弦，，，，；（2）證明：，，，，，，平分；（3）解：如圖：延長(zhǎng)到點(diǎn)P，使，連接，，設(shè)，，則，，設(shè)，，平分，設(shè)，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，在與中，，，，，，是等腰三角形，，又，，得，解得，，，，，，過點(diǎn)O作于點(diǎn)L，連接、，，，在中，，，在中，，，，解得，在中，，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周定理，垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，綜合性很強(qiáng)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．13．如圖，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線交于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F，．(1)如圖（1）求證：．(2)如圖（2）若，求證：．(3)如圖（3）在（2）的條件下，作交CD于點(diǎn)G，于點(diǎn)M，若，，求線段OF的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）如圖：連接OB，設(shè)，根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得、；然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，最后根據(jù)圓周角定理得到即可解答；（2）根據(jù)可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和垂直的性質(zhì)可得、，然后由同弧所對(duì)的圓周角相等可得，由直角三角形的性質(zhì)可得最后、，進(jìn)而得到，最后由等邊對(duì)等角即可證明結(jié)論;（3）先證明可得，，進(jìn)而得到EG平分可得，設(shè)設(shè)，則，，，進(jìn)而求得；如圖：過點(diǎn)M作于H，連接，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，最后運(yùn)用正切函數(shù)和勾股定理即可解答．【詳解】（1）證明：如圖：連接OB，設(shè)，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，在中，，，∴，∴，∴．（3）解：如圖：過點(diǎn)M作于H，連接∵，∴垂直平分，∴，在中，EM為斜邊中線，∴，在和中，，∴（SSS），∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴EG平分，∴點(diǎn)G到、的距離相等，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，，∴，∴，∵等腰，∴，在中，勾股定理得，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，在中，，在中，，∴，∴，在中，勾股定理得，∴，，，∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、正切函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．14．在四邊形中，，；(1)如圖1，已知，求得的大小為___________；(2)已知，，在（1）的條件下，利用圖1，連接，并求出的長(zhǎng)度；(3)問題解決：如圖2，已知，，現(xiàn)需要截取某種四邊形的材料板，這個(gè)材料板的形狀恰巧符合如圖2所示的四邊形，為了盡可能節(jié)約，你能求出這種四邊形面積的最小值嗎？如果能，請(qǐng)求出此時(shí)四邊形面積的最小值；如果不能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)5；(3)能，四邊形面積的最小值為．【分析】（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為，即可求出的大??；（2）將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，，，，，易證是等邊三角形，得到，再證明，利用勾股定理即可得到答案；（3）將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，作的外接圓，連接，與交于點(diǎn)K，根據(jù)可知，當(dāng)面積最大時(shí)，四邊形的面積最小，求出面積的最大值即可得到答案．【詳解】（1）解：四邊形的內(nèi)角和為，，，，，故答案為：；（2）解：如圖①，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，，，，，是等邊三角形，，，，，；圖①（3）解：能，如圖②，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，作的外接圓，連接，與交于點(diǎn)K，

圖②由（2）可知是等邊三角形，，當(dāng)面積最大時(shí)，四邊形的面積最小，，，，，，，點(diǎn)A在定圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)O、A、B共線時(shí)，的面積最大，此時(shí)，，，，在上取一點(diǎn)F，使得，，，是等腰直角三角形，設(shè)，則，，，解得，，的面積最大值為，在中，，，四邊形的面積的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用輔助圓解決最值問題，屬于中考?jí)狠S題．15．問題探究：(1)如圖（1），在中，，，點(diǎn)為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作，且，，連．若，求的長(zhǎng)；(2)如圖（2），邊長(zhǎng)為4的等邊，點(diǎn)為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作，連接，則__________；__________；的周長(zhǎng)最小值是__________．問題解決：(3)如圖3，四邊形中，，，，，點(diǎn)分別為邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，是否存在點(diǎn)，使得四邊形面積最大且的周長(zhǎng)最小？若存在，求出四邊形面積最大值和的周長(zhǎng)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)的長(zhǎng)為(2)，4，(3)存在點(diǎn)，使得四邊形面積最大且的周長(zhǎng)最小，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，使得四邊形面積最大且的周長(zhǎng)最小，此時(shí)四邊形面積為，的周長(zhǎng)為【分析】（1）由得，通過證明，得到，從而得到，最后用勾股定理，計(jì)算即可得到答案；（2）由、為等邊三角形，可證明出，從而得到，即可求出，由的周長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)的周長(zhǎng)也最小，計(jì)算即可得到答案；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)含有角的直角三角形的性質(zhì)，可求出的長(zhǎng)，令，則，從而可以表示出四邊形面積，求出使四邊形面積最大時(shí)的的值，作，交的延長(zhǎng)線于，根據(jù)勾股定理，表示出的長(zhǎng)，從而表示出的周長(zhǎng)，求出使的周長(zhǎng)最小的的值，看兩個(gè)值是否相等，即可得到答案．【詳解】（1）解：，，，，在和中，，，，，，，，的長(zhǎng)為；（2）解：、為等邊三角形，，，，在和中，，，，，，的周長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，最小，，為的中點(diǎn)，，，周長(zhǎng)的最小值，故答案為：，4，；（3）解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，在中，，設(shè)，，，，，解得：，（舍），，，令，，，，，，，，隨的增大而增大，，當(dāng)時(shí)，最大，為，如圖所示，作，交的延長(zhǎng)線于，，，，，，的周長(zhǎng)，，，，當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)最小為，因此存在點(diǎn)，使得四邊形面積最大且的周長(zhǎng)最小，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，使得四邊形面積最大且的周長(zhǎng)最小，此時(shí)四邊形面積為，的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線．16．如圖1，已知，在中，，，，點(diǎn)D在AB上且，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，B出發(fā)沿線段，向終點(diǎn)B，C勻速移動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)．設(shè)，．(1)求的值．(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．(3)如圖2，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，連接，．①當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求x的值．②過D作于點(diǎn)F，作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在的內(nèi)部（不包括邊界）時(shí)，則x的取值范圍為___________．【答案】(1)(2)(3)①或或；②【分析】（1）求出的長(zhǎng)，進(jìn)一步求得結(jié)果；（2）先表示出的長(zhǎng)，進(jìn)而求得結(jié)果；（3）先表示出和的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)列出方程，從而求得結(jié)果．【詳解】（1）解：，，；（2）由題意得：，，，，；（3）①如圖1，作于G，在中，，，，，，在中，，，，，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得：，解得：（舍去），當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得：，解得：（舍去），當(dāng)時(shí)，，綜上所述：或或；②，，由（2）得：，，當(dāng)，且時(shí)，點(diǎn)在的內(nèi)部，此時(shí)，,，又，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的分類，勾股定理，一次函數(shù)，解直角三角形，軸對(duì)稱，解題的關(guān)鍵是具備較強(qiáng)的計(jì)算能力．17．問題提出

如圖1，點(diǎn)E為等腰內(nèi)一點(diǎn)，，，將繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，求證：．嘗試應(yīng)用

如圖2，點(diǎn)D為等腰外一點(diǎn)，，，過點(diǎn)A的直線分別交的延長(zhǎng)線和的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，M，求證：．問題拓展

如圖3，中，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，，，交于點(diǎn)H．若，，直接寫出的長(zhǎng)度（用含a，b的式子）．【答案】見解析【分析】問題提出：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證得，，進(jìn)而得證，即可利用證明．嘗試應(yīng)用：延長(zhǎng)，使，連接，由題意可知、、、四點(diǎn)共圓，可得，進(jìn)而可得，利用SAS可證得，根據(jù)其性質(zhì)得，，，進(jìn)而可證得，，即可得證．問題拓展：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則為等邊三角形，由，可知、、、、五點(diǎn)共圓，可得，，，根據(jù)，，可得，進(jìn)而得證，可得，則，作交于，則，可求得，，即可求得的長(zhǎng)度．【詳解】解：?jiǎn)栴}提出：證明：∵，，將繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，即：，在與中，，∴．嘗試應(yīng)用：延長(zhǎng)，使，連接，∵為等腰直角三角形，∴，，又∵，即：，