2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.2.1第1課時等差數(shù)列的定義課時作業(yè)含解析新人教B版選擇性必修第三冊1

PAGE課時作業(yè)(三)等差數(shù)列的定義一、選擇題1．已知等差數(shù)列{an}的前三項依次為a－1，a＋1,2aA．a(chǎn)n＝2n－5B．a(chǎn)n＝2n－3C．a(chǎn)n＝2n－1D．a(chǎn)n＝2n＋12．在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6＝()A．－1B．0C．1D．63．若數(shù)列{an}滿意3an＋1＝3an＋1，則數(shù)列是()A．公差為1的等差數(shù)列B．公差為eq\f(1,3)的等差數(shù)列C．公差為－eq\f(1,3)的等差數(shù)列D．不是等差數(shù)列4．等差數(shù)列20,17,14,11，…中第一個負(fù)數(shù)項是()A．第7項B．第8項C．第9項D．第10項二、填空題5．已知等差數(shù)列－8，－3,2,7，…，則該數(shù)列的第100項為________．6．已知數(shù)列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，則an＝________.7．首項為－24的等差數(shù)列，從第10項起起先為正數(shù)，則公差的取值范圍是________．三、解答題8．若{an}是等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．9．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.設(shè)bn＝eq\f(an,2n－1)，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．[尖子生題庫]10．已知數(shù)列{an}滿意a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2).(1)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否為等差數(shù)列？說明理由；(2)求an.課時作業(yè)(三)等差數(shù)列的定義1．解析：∵a－1，a＋1,2a＋3是等差數(shù)列{an}的前三項，∴2(a＋1)＝(a－1)＋(2a＋3)，解得∴a1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.故選B.答案：B2．解析：方法一：設(shè){an}的首項為a1，公差為d，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝4，,a1＋3d＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,d＝－1，))所以a6＝a1＋5d＝0.方法二：在等差數(shù)列{an}中，因為a2，a4，a6成等差數(shù)列，即a4是a2與a6的等差中項．所以a6＝2a4－a2＝2×答案：B3．解析：由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝eq\f(1,3).所以數(shù)列{an}是公差為eq\f(1,3)的等差數(shù)列．答案：B4．解析：a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2>0，a8＝－1<0.答案：B5．解析：依題意得，該數(shù)列的首項為－8，公差為5，所以a100＝－8＋99×5＝487.答案：4876．解析：因為n≥2時，an－an－1＝3，所以{an}是以a1＝3為首項，公差d＝3的等差數(shù)列．所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.答案：3n7．解析：設(shè)an＝－24＋(n－1)d，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a9＝－24＋8d≤0，,a10＝－24＋9d>0.))解得eq\f(8,3)<d≤3.答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，3))8．解析：法一：因為{an}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由a15＝8，a60＝20，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋14d＝8，,a1＋59d＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(64,15)，,d＝\f(4,15).))所以a75＝a1＋74d＝eq\f(64,15)＋74×eq\f(4,15)＝24.法二：因為{an}為等差數(shù)列，所以a15，a30，a45，a60，a75也為等差數(shù)列．設(shè)這個等差數(shù)列的公差為d，則a15為首項，a60為第4項，所以a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，解得d＝4，所以a75＝a60＋d＝20＋4＝24.法三：因為{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d.因為a60＝a15＋(60－15)d，所以d＝eq\f(20－8,60－15)＝eq\f(4,15)，所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×eq\f(4,15)＝24.9．證明：由已知an＋1＝2an＋2n得bn＋1＝eq\f(an＋1,2n)＝eq\f(2an＋2n,2n)＝eq\f(an,2n－1)＋1＝bn＋1.又b1＝a1＝1，因此{(lán)bn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．10．解析：(1)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列．理由如下：因為a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首項為