2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章空間向量與立體幾何2.2空間向量的運(yùn)算學(xué)案含解析北師大版選修2-1

PAGE2空間向量的運(yùn)算授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第14頁一、空間向量的運(yùn)算空間向量的運(yùn)算定義(或法則)運(yùn)算律空間向量的加減法加法設(shè)a和b是空間兩個向量，過一點(diǎn)O作a和b的相等向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，以O(shè)A、OB為邊作平行四邊形，則對角線OC對應(yīng)的向量eq\o(OC,\s\up6(→))就是a與b的和，記作a＋b，如圖．①結(jié)合律：(a＋b)＋c＝b＋a；②交換律：a＋b＝a＋(－b)空間向減法a－b＝a＋(b＋c)，其中－b是b的相反向量量的數(shù)乘λa是一個向量，大?。簗λa|＝|λ||a|，方向：當(dāng)λ>0時，λa與a方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與a方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0①λa＝aλ(λ∈R)；②λ(a＋b)＝λa＋λb，(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ∈R，μ∈R)；③(λμ)a＝λ(μa)(λ∈R，μ∈R)空間向量的數(shù)量積空間兩個向量a和b的數(shù)量積是一個數(shù)，等于|a||b|cos〈a，b〉，記作a·b①交換律：a·b＝b·a；②安排律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)與數(shù)量積有關(guān)的結(jié)論①|(zhì)a|＝eq\r(a·a)；②a⊥b?a·b＝0；③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)二、共線向量基本定理空間兩個向量a與b(b≠0)共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使得a＝λ B.三、單位向量對于隨意一個非零向量a，把eq\f(a,|a|)叫作向量a的單位向量，記作a0.a0與a同方向．[想一想]1．(a·b)·c與c有什么關(guān)系？(a·b)·c＝a·(b·c)成立嗎？提示：由數(shù)量積的定義知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉是一個數(shù)，從而(a·b)·c與c共線，又a·(b·c)＝(b·c)·a是與a共線的一個向量，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不肯定成立．2．a(chǎn)＝λb是向量a與b共線的充要條件嗎？提示：不是．由a＝λb可得出a，b共線．而由a，b共線不肯定能得到a＝λb，如當(dāng)b＝0，a≠0時．[練一練]3．已知向量a0，b0是分別與a，b同方向的單位向量，那么下列式子正確的是()A．a(chǎn)0＝b0 B．a(chǎn)0＝1C．a(chǎn)0，b0共線 D．|a0|＝|b0|解析：向量a，b不肯定是共線向量，因此，當(dāng)a，b不共線時，a0，b0也不共線，此時a0，b0不相等，故A，C錯誤；向量與數(shù)量不能比較，故B錯；單位向量的模都是1，因此|a0|＝|b0|.故選D.答案：D4．已知空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，則eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A．a(chǎn)＋b－c B．c－a－bC．c＋a－b D．c＋a＋b解析：eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a－b＋c＝c－a－ B.答案：B5．若a，b均為非零向量，則a·b＝|a||b|是a，b共線的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件解析：由a·b＝|a||b|cosθ＝|a||b|可知cosθ＝1，由此可得a與b共線；反過來，若a，b共線，則cosθ＝±1，a·b＝±|a||b|.故a·b＝|a||b|是a，b共線的充分不必要條件．答案：A6．如圖，在平行六面體ABCDEFGH中，若eq\o(AG,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))－2yeq\o(BC,\s\up6(→))＋3zeq\o(DH,\s\up6(→))，則x＋y＋z等于__________．解析：易知eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DH,\s\up6(→))，則x＝1，y＝－eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,3)，故x＋y＋z＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第15頁探究一空間向量的線性運(yùn)算[典例1]如圖所示，在四面體O-ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為△ABC的重心，試用a、b、c表示向量eq\o(OD,\s\up6(→))和eq\o(OE,\s\up6(→)).[解析]已知D為BC的中點(diǎn)，E為△ABC的重心，則點(diǎn)E在直線AD上，且滿意AE∶ED＝2∶1，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，(1)由平行四邊形法則易得：eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(b＋c)．(2)eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b＋c)．在進(jìn)行向量的加減法運(yùn)算時要牢記加減法的運(yùn)算法則，最終的表達(dá)方式是唯一的，但在詳細(xì)的解題過程中，留意封口多邊形法則的應(yīng)用，只要形成封閉圖形即可，在解題過程中留意敏捷選擇．1．已知空間四邊形ABCD，如圖，連接AC，BD，設(shè)M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá)式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))；(3)eq\o(AG,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．解析：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→)).(3)eq\o(AG,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AG,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MG,\s\up6(→)).2．如圖所示，在六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F(1)化簡eq\o(A1F1,\s\up6(→))－eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(FF1,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(F1A1,\s\up6(→))，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量；(2)化簡eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(E1F1,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E1,\s\up6(→))，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量．解析：(1)eq\o(A1F1,\s\up6(→))－eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(FF1,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(F1A1,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AB1,\s\up6(→))＋0eq\a\vs4\al(＝)eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(ED1,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→)).eq\o(AD1,\s\up6(→))在圖中所示如下：(2)eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(E1F1,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E1,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1D1,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(BD1,\s\up6(→))＝0eq\a\vs4\al(＋)eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→)).eq\o(BD1,\s\up6(→))在圖中所示如下：探究二向量共線問題[典例2]如圖所示，四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，推斷eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))是否共線？[解析]M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，而四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形．所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).又因為eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，所以eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝2(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→)))．所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→)).所以eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))共線．判定向量共線就是充分利用已知條件找到實數(shù)λ，使a＝λb成立，同時要充分利用空間向量運(yùn)算法則．結(jié)合詳細(xì)的圖形，化簡得出a＝λb，從而得出a∥b，即a與b共線．3．設(shè)e1，e2是平面上不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，求k的值．解析：eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1－4e2又eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，A，B，D三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，即2e1＋ke2＝λe1－4λe2.∵e1，e2是不共線向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,k＝－4λ.))∴k＝－8.4.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，F(xiàn)在對角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→)).求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．證明：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.∵eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))，∴eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up6(→)).∴eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(A1F,\s\up6(→))－eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)(a－eq\f(2,3)b－c)．又eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up6(→)).所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．探究三向量的數(shù)量積及其應(yīng)用eq\x(\a\al(空量,間積,向及,量其,的應(yīng),數(shù)用))—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(利用定義求兩個向量的數(shù)量積),—\x(證明垂直),—\x(求線段長度),—\x(求夾角)))5．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，如圖所示，點(diǎn)E、F、G分別是AB、AD、CD的中點(diǎn)，求：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))·(eq\o(GF,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→)))．解析：依據(jù)題意知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3).(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝1×1×coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).(2)同理可以求出eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0.(3)∵點(diǎn)E、F、G分別是AB、AD、CD的中點(diǎn)，∴eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，又∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))·(eq\o(GF,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→)))＝(2eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝－1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,4)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2).6．如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是邊長為eq\r(2)的正三角形，且側(cè)棱AA1⊥底面ABC.試?yán)每臻g向量的方法解決下列問題：(1)設(shè)側(cè)棱長為1，求證：AB1⊥BC1；(2)若AB1與BC1成60°角，求該三棱柱的側(cè)棱長．解析：(1)證明：eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)).∵BB1⊥平面ABC，∴eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.又△ABC為正三角形，∴〈eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝π－〈eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝π－eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3).∵eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))·(eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))2＋eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＋eq\o(BB1,\s\up6(→))2＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1.(2)結(jié)合(1)，知eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＋eq\o(BB1,\s\up6(→))2＝eq\o(BB1,\s\up6(→))2－1.又|eq\o(AB1,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(BB1,\s\up6(→))2)＝eq\r(2＋\o(BB1,\s\up6(→))2)＝|eq\o(BC1,\s\up6(→))|，∴cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BB1,\s\up6(→))2－1,2＋\o(BB1,\s\up6(→))2)))＝eq\f(1,2)，∴|eq\o(BB1,\s\up6(→))|＝2，即側(cè)棱長為2.7．如圖，正四面體VABC的高VD的中點(diǎn)為O，VC的中點(diǎn)為M.(1)求證：AO，BO，CO兩兩垂直；(2)求〈eq\o(DM,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))〉．解析：(1)證明：設(shè)eq\o(VA,\s\up6(→))＝a，eq\o(VB,\s\up6(→))＝b，eq\o(VC,\s\up6(→))＝c，正四面體的棱長為1，則eq\o(VD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b＋c)，eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(b＋c－5a)，eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(a＋c－5b)，eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(a＋b－5c)，所以eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(1,36)(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝eq\f(1,36)(18a·b－9|a|2)＝eq\f(1,36)(18×1×1×cos60°－9)＝0，所以eq\o(AO,\s\up6(→))⊥eq\o(BO,\s\up6(→))，即AO⊥BO.同理，AO⊥CO，BO⊥CO.所以AO，BO，CO兩兩垂直．(2)eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(DV,\s\up6(→))＋eq\o(VM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(a＋b＋c)＋eq\f(1,2)c＝eq\f(1,6)(－2a－2b＋c)，所以|eq\o(DM,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)－2a－2b＋c))2)＝eq\f(1,2).又|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)b＋c－5a))2)＝eq\f(\r(2),2)，eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(－2a－2b＋c)·eq\f(1,6)(b＋c－5a)＝eq\f(1,4)，所以cos〈eq\o(DM,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))〉＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2)×\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2).又〈eq\o(DM,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))〉∈(0，π)，所以〈eq\o(DM,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,4).證線面平行的方法[典例]已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)證明：BD∥平面EFGH.[證明]法一：(1)eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\