專(zhuān)題02 圓中的重要模型-圓中的全等三角形模型（原卷版）

專(zhuān)題02圓中的重要模型-圓中的全等三角形模型知識(shí)儲(chǔ)備：垂徑定理及推理、圓周角、圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系等。圓中常見(jiàn)全等模型：切線長(zhǎng)模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型、對(duì)角互補(bǔ)模型、半角模型。模型1、切線長(zhǎng)模型圖1圖21）切線長(zhǎng)模型（標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)）條件：如圖1，P為外一點(diǎn)，PA，PB是的切線，切點(diǎn)分別為A，B。結(jié)論：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；2）切線長(zhǎng)模型（拓展類(lèi)）條件：如圖2，AD，CD，BC是的切線，切點(diǎn)分別為A，E，B。結(jié)論：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；例1．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）如圖，將直尺、含的直角三角尺和量角器按如圖擺放，角的頂點(diǎn)A在直尺上讀數(shù)為4，量角器與直尺的接觸點(diǎn)B在直尺上的讀數(shù)為7，量角器與直角三角尺的接觸點(diǎn)為點(diǎn)C，則該量角器的直徑是（

）．

A．3 B． C．6 D．例2．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，是圓的兩條切線，，為切點(diǎn)，線段交圓于點(diǎn)．下列說(shuō)法不正確的是（

）A． B． C．平分 D．例3．（2023·廣東汕頭·?？家荒＃┤鐖D，為的切線，A為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)C，交于點(diǎn)B，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．模型2.燕尾模型條件：OA，OB是的半徑，OC=OD。結(jié)論：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；例1．（2023·重慶九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，以O(shè)為圓心的兩個(gè)圓中，大圓的半徑分別交小圓于點(diǎn)C，D，連結(jié)，下列選項(xiàng)中不一定正確的是（

）A． B． C． D．例2．（2023秋·福建龍巖·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并回答問(wèn)題．[材料]自從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》實(shí)施以來(lái)，九年級(jí)的龍老師增加了一個(gè)習(xí)慣，就是在每個(gè)新章節(jié)備課時(shí)都會(huì)查閱新課標(biāo)，了解該章知識(shí)的新舊課標(biāo)的變化，并在上課時(shí)告訴學(xué)生．他通過(guò)查閱新課標(biāo)獲悉：切線長(zhǎng)定理由“選學(xué)”改為“必學(xué)”，并新增“會(huì)過(guò)圓外的一個(gè)點(diǎn)作圓的切線”．在學(xué)習(xí)完《切線的性質(zhì)與判定》后，龍老師布置了一道課外思考題：“已知：如圖，及外一點(diǎn)．求作：直線，使與相切于點(diǎn)”．班上小巖同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組經(jīng)過(guò)探索，給出了如下的一種作圖方法：（1）連接，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作大圓；（2）若交小圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作小圓的切線與大圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方）；（3）連接交小圓于，連接，則是小圓的切線．[問(wèn)題](1)請(qǐng)問(wèn)小巖同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組提供的作圖方法是否正確？請(qǐng)你按照步驟完成作圖（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡），并說(shuō)明理由．(2)延長(zhǎng)交大圓于，連接，若，，求的長(zhǎng)．例3．（2023秋·湖北·九年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡：(1)如圖1，與是圓內(nèi)接三角形，，，畫(huà)出圓的一條直徑．(2)如圖2，，是圓的兩條弦，且不相互平行，畫(huà)出圓的一條直徑．模型3.蝴蝶模型條件：OA，OE是的半徑，AD⊥OE，EB⊥OA。結(jié)論：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；例1．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)校聯(lián)考期末）在以為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦交小圓于，兩點(diǎn)．(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．(2)如圖②，大圓的另一條弦交小圓于，兩點(diǎn)，若，求證．例2．（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考一模）概念引入在一個(gè)圓中，圓心到該圓的任意一條弦的距離，叫做這條弦的弦心距．概念理解(1)如圖1，在中，半徑是5，弦，則這條弦的弦心距長(zhǎng)為．(2)通過(guò)大量的做題探究；小明發(fā)現(xiàn)：在同一個(gè)圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦的弦心距也相等．但是小明想證明時(shí)卻遇到了麻煩．請(qǐng)結(jié)合圖2幫助小明完成證明過(guò)程如圖2，在中，，，，求證：．概念應(yīng)用如圖3，在中，的直徑為20，且弦垂直于弦于，請(qǐng)應(yīng)用上面得出的結(jié)論求的長(zhǎng)．例3．（2022·江西·九年級(jí)統(tǒng)考期中）用無(wú)刻度的直尺作圖，保留作圖痕跡，分別作出圖中的平分線：（1）如圖1，的兩邊與一圓切于點(diǎn)，點(diǎn)是優(yōu)弧的三等分點(diǎn)；（2）如圖2，的兩邊與一圓交于，且．模型4.手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型注意：圓中的手拉手模型一般是需要輔助線構(gòu)造出來(lái)的（常用旋轉(zhuǎn)或截長(zhǎng)補(bǔ)短法）。條件：是△ABD的外接圓，且AD=BD，∠ADB=，C為圓O上一點(diǎn)。結(jié)論：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；特別地，當(dāng)=60°時(shí)，CD=CA+CB；當(dāng)=90°時(shí)，CD=CA+CB；例1．（2023春·浙江·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，，為直徑，若四邊形的面積是，的長(zhǎng)是，則與之間的數(shù)關(guān)系式是（

）A． B． C． D．例2．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）如圖所示，等邊三角形內(nèi)接于圓，點(diǎn)是劣弧上任意一點(diǎn)（不與重合），連接、、，求證：．（2）[初步探索]小明同學(xué)思考如下：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，可得、、三點(diǎn)在同一直線上，進(jìn)而可以證明為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問(wèn)題：根據(jù)小明的思路，請(qǐng)你完成證明．若圓的半徑為，則的最大值為_(kāi)_____．（3）類(lèi)比遷移：如圖所示，等腰內(nèi)接于圓，，點(diǎn)是弧上任一點(diǎn)（不與、重合），連接、、，若圓的半徑為，試求周長(zhǎng)的最大值．（4）拓展延伸：如圖所示，等腰，點(diǎn)A、在圓上，，圓的半徑為連接，試求的最小值．例3．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）如圖1，在⊙O中，弦AD平分圓周角∠BAC，我們將圓中以A為公共點(diǎn)的三條弦BA，CA，DA構(gòu)成的圖形稱(chēng)為圓中“爪形A”，弦BA，CA，DA稱(chēng)為“爪形A”的爪．（1）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AB＝BC，①證明：圓中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求證：AD＋CD＝BD（2）如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，其中BA＝BC，連接BD．若AD⊥DC，此時(shí)“爪形D”的爪之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，它的周長(zhǎng)為22，若與三邊分別切于E，F(xiàn)，D三點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A．6 B．8 C．4 D．32．（2022秋·貴州黔西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，⊙O的半徑為2，PA，PB，CD分別切⊙O于點(diǎn)A，B，E，CD分別交PA，PB于點(diǎn)C，D，且P，E，O三點(diǎn)共線．若∠P＝60°，則CD的長(zhǎng)為（）A．4 B．2 C．3 D．63．（2023春·山東九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，切于點(diǎn)切于點(diǎn)交于點(diǎn)，下列結(jié)論中不一定成立的是（

）A．B．平分C．D．4．（2022秋·安徽淮南·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)和C、D分別在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓上，若，，則（）A． B． C． D．5．（2022春·廣西·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點(diǎn)在圓上，E點(diǎn)為AF中點(diǎn)，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點(diǎn)C，作CD⊥AB于點(diǎn)D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長(zhǎng)度．6．（2022春·江蘇九年級(jí)期中）如圖，已知，，分別切于點(diǎn)A，B，D，若，則的周長(zhǎng)是．若，則．

7．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，的半徑為2，為圓上一動(dòng)弦，以為邊作正方形，求的最大值．8．（2022·湖北黃岡·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，若點(diǎn)D在圓上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為π，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．9．（2023春·江西南昌·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，半圓O的直徑，射線和是它的兩條切線，D點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)（且不與點(diǎn)A重合），E點(diǎn)在半圓O上，滿足，連接并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)C．(1)求證：是半圓O的切線；(2)設(shè)，．①寫(xiě)出y與x的關(guān)系式；②若，求陰影部分的面積．

10．（2023春·北京西城·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，線段為的直徑，，分別切于點(diǎn)，，射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，于點(diǎn)．若，．(1)求證：；(2)求線段的長(zhǎng)．

11．（2022年山東省濟(jì)寧市創(chuàng)新聯(lián)盟第五次中考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖1，直線l是過(guò)圓心O的一條直線，點(diǎn)M，N是直線l上關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)．AB，CD是圓O的兩條直徑，其中，過(guò)點(diǎn)A，B，C，D作圓O的切線AN，BM，CN，DM．(1)求證：的角平分線垂直平分線段MN．(2)在若干個(gè)多邊形組成的整體中，位于整體外側(cè)的邊的延長(zhǎng)線相交組成的邊數(shù)最少的封閉多邊形，其面積被稱(chēng)為該整體的延展面積．例如圖2，虛線所示的矩形的面積為兩個(gè)小矩形所組成的整體的延展面積．則圖1中，若可發(fā)生變化且不為60°，要使由四邊形ANCO和四邊形BMDO組成的整體的延展面積與時(shí)的相同，求可能的度數(shù)．12．（2023·陜西西安·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，為圓的弦，半徑，分別交于點(diǎn)，．且．（1）求證：．（2）作半徑于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．13．（2022·綿陽(yáng)市·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD．（1）證明：點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)；（2）若AB=8，求CD的長(zhǎng)．14．（2023春·湖北武漢·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，A，B，C，P是圓上的四個(gè)點(diǎn)，．(1)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論．(2)若，求的長(zhǎng)

15．（2023·河南商丘·統(tǒng)考二模）閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對(duì)于了解古希臘數(shù)學(xué)，研究古希臘數(shù)學(xué)思想以及整個(gè)科技史都是十分寶貴的．其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱(chēng)之為該圓的一條折弦．一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)．如圖1，AB和BC是的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），．M是弧的中點(diǎn)，