高考理科數(shù)學概率題型歸納與練習(含復習資料)

專題三：高考理科數(shù)學概率與數(shù)學期望

一.離散型隨機變量的期望(均值)和方差

若離散型隨機變量X的分布列或概率分布如下:

???

x2

X

???

P\PiPn

P

1.其中,Pi=+P2+...+P,=1，則稱MP]+%2〃2+3+%，”為隨機變

量X的均值或X的數(shù)學期望，記為E(X)或〃.

數(shù)學期望E(X)=x}p}+x2p2+...+xnpn

性質(zhì)(1)E(c)=c;(2)E(aX+b)=aE(X)+b.(a,b,c為常數(shù))

22

2.(x,-ju)pt+(x2-ju)P2+...+(X,-nY(其中Pj20,i=1,2,…，4P]+p?+…+Pn=1)刻回了隨機變

量X與其均值〃的平均偏離程度，我們將其稱為離散型隨機變量X的方差，記

為D(X)或?

方差0X=(再-〃)2PI+(演-")2P?+…+區(qū)-")2P.

2.方差公式也可用公式D(X)==EX2-(EX)2計算.

r=l

3.隨機變量X的方差也稱為X的概率分布的方差，X的方差Z)(X)的算術平方

根稱為X的標準差，即0=內(nèi)方.

1?設X是一個離散型隨機變量，其分布列如下表，試求，。

X-101

5

P1-勿

9

二.超幾何分布

對一般情形，一批產(chǎn)品共N件，其中有M件不合格品，隨機取出的〃件

產(chǎn)品中，不合格品數(shù)X的分布如下表所示:

X012???/

x^n-1「2「刀-2

P???

QQ

其中/=min(/2,M)

一般地，若一個隨機變量X的分布列為P(X=r)=C^2,

CN

其中r=0,1,2,3,I=min(/?,A7),則稱X聽從超幾何分布，記為

并將P(X=r)=C1C：M記為

CN

1.高三(1)班的聯(lián)歡會上設計了一項嬉戲：在一個口袋中裝有10個紅球,

20個白球，這些球除顏色外完全相同.現(xiàn)一次從中摸出5個球,

(1)若摸到4個紅球1個白球的就中一等獎，求中一等獎的概率.

(2)若至少摸到3個紅球就中獎，求中獎的概率.

解：由2.2節(jié)例1可知，隨機變量X的概率分布如表所示:

X012345

258480758550380070042

p

237512375123751237512375123751

從而

￡(X)=0x洛lx迺,2x03x迪田?,二=-?1.6667

2375123751237512375123751237513

答：X的數(shù)學期望約為1.6667.

說明：一般地，依據(jù)超幾何分布的定義，可以得到E(X)=寸”三

占禺N

2.在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。從這10件產(chǎn)品

中任取3件，求：(I)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學期望;

()取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率。

三.二項分布

1.〃次獨立重復試驗

一般地，由〃次試驗構成，且每次試驗相互獨立完成，每次試驗的結果僅有

兩種對立的狀態(tài)，即4與每次試驗中P(A)=〃>0。我們將這樣的試驗稱為〃

次獨立重復試驗，也稱為伯努利試驗。

(1)獨立重復試驗滿意的條件第一：每次試驗是在同樣條件下進行的；其

次：各次試驗中的事務是相互獨立的；第三：每次試驗都只有兩種結果。

(2)n次獨立重復試驗中事務4恰好發(fā)生k次的概率P(X=k)=C：-p)i。

2.二項分布

若隨機變量X的分布列為尸(X=Z)=C：PV“，其中0<p<Lp+g=l,攵=0,1,2,,兒則

稱X聽從參數(shù)為小〃的二項分布，記作X

1.一盒零件中有9個正品和3個次品，每次取一個零件，假如取出的次品丕包

放回,求在取得止品前已取出的次品數(shù)X的概率分布。

2.一名學生每天騎車上學，從他家到學校的途中有6個交通崗，假設他在各個

交通崗遇到紅燈的事務是相互獨立的，并且概率都是"

⑴設J為這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求J的分布列；

(2)設〃為這名學生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求〃的分布列；

(3)求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率.

3.甲乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為工，乙每次擊中目標的

2

概率為1.

3

(1)記甲擊中目標的此時為3求J的分布列與數(shù)學期望；

(2)求乙至多擊中目標2次的概率；

(3)求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率.

【鞏固練習】

1.(2012年高考(浙江理))己知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定:取出

一個白球的2分,取出一個黑球的1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到

的機會均等)3個球,記隨機變量4為取出3球所得分數(shù)之和.

(I)求1的分布列;

(II)求X的數(shù)學期望￡0).

2.(2012年高考(重慶理))(本小題滿分13分，(I)小問5分，(H)小問8分.)

甲、乙兩人輪番投籃,每人每次投一球,.約定甲先投且先投中者獲勝,始終到

有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束.設甲每次投籃投中的概率為L乙

3

每次投籃投中的概率為L且各次投籃互不影響.

2

(I)求甲獲勝的概率；

(II)求投籃結束時甲的投籃次數(shù)g的分布列與期望

3.設籃球隊A與8進行競賽，每場競賽均有一隊勝，若有一隊勝4場則競賽

宣告結束，假定A8在每場競賽中獲勝的概率都是工，試求須要競賽場數(shù)的

2

期望.

3.(2012年高考(遼寧理))電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體

育節(jié)目的收視狀況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查.下面是依據(jù)調(diào)查結果

繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖；

將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.

(I)依據(jù)已知條件完成下面的2x2列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”

與性別

有關

(II)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采

納隨機抽

樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人

數(shù)為尤若每次抽取的結果是相互獨立的，求乃的分布列，期望E(X)和方差

D(X).

5.(2007陜西理)某項選拔共有三輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問

題者進入下一輪考試，否則即被淘汰，已知某選手能正確回答第一、二、三輪

的問題的概率分別為微、1、|,且各輪問題能否正確回答互不影響.（I）

求該選手被淘汰的概率；（II）該選手在選拔中回答問題的個數(shù)記為3

求隨機變量f的分布列與數(shù)數(shù)期望.（注：本小題結果可用分數(shù)表示）

6.一批產(chǎn)品共10件，其中7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件,

在下述三種狀況下，分別求宜至取得正品時所需次數(shù)J的概率分別布.

（1）每次取出的產(chǎn)品不再放回去；

（2）每次取出的產(chǎn)品仍放回去；

（3）每次取出一件次品后，總是另取一件正品放回到這批產(chǎn)品中.

7.（2007?山東）設b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機變量

C表示方程x2（）實根的個數(shù)（重根按一個計）.

（1）求方程犬0有實根的概次；

（）求&的分布列和數(shù)學期望；

8.（本題滿分12分）某商場為吸引顧客消費推出一項實惠活動.活動規(guī)則如，下:

消費額每滿100元可轉動如圖所示的轉盤一次，并獲得相應金額的返券，假

定指針等可能地停在任一位置.若指針停在A區(qū)域返券60元；停在B區(qū)域

返券30元；停在C區(qū)域不返券,例如：消費218元，.可轉動轉盤2次，所

獲得的返券金額是兩次金額之和.

（I）若某位顧客消費128元，求返券金額不低于30元的概率；

O若某位顧客恰好消費280元，并按規(guī)則參加.了活動，他獲得返券的金

額記為X（元），求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

%（本題滿分12分）中國?黃石第三屆國際礦冶文化旅游.節(jié)將于2012年8月20

日在黃石鐵山實行，為了搞好，接待工作，組委會打算在湖北理工學院和湖北師

范學院分別招募8名和12名志愿者，將這20名志愿者的身高編成如下莖葉圖

（單位：）

若身高在175以上（包括175）定義為“高個子”，身高在175以下（不包

括175）定義為“非高個子”，且只有湖北師范學院的“高個子”才能擔當“兼

職導游二

（1）依據(jù)志愿者的身高編莖葉圖指出湖北師范學院志愿者身高的中位數(shù)；

（2）假如用分層抽樣的方法從“.高個子”和“非高個子”中抽取5人，再

從這5人中選2人，則至少有一人是“高個子”的概率是多少？

（3）若從全部“高個子”中選3名志愿者，用J表示所選志愿者中能擔當

“兼職導游”的人數(shù)，試寫出4的分布列，并求4的數(shù)學期望

10.某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2,……,8,

其中X25為標準A,X23為標準B,已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的

零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假

定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應的執(zhí)行標準

（I）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X的概率分布列如下所示：

$5678

P0.4ab0.1

且X的數(shù)字期望尸6,求a,b的值；

（）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2,從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應

的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：

3533855634

6347534853

8343447567

用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學

期望.

11.受轎車在保修期內(nèi)修理費等因素的影響，企業(yè)產(chǎn)生每輛轎車的利潤與該轎

車首次出現(xiàn)故障的時間有關，某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期

均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機抽取50輛，統(tǒng)計書數(shù)據(jù)如下:

將頻率視為概率，解答下列問題：

（I）從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保

修期內(nèi)的概率；

O若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記住生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X-

生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為九，分別求九的分布列:

()該廠預料今后這兩種品牌轎車銷量相當，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中

一種品牌轎車，若從經(jīng)濟效益的角度考慮，你認為應當產(chǎn)生哪種品牌

的轎車？說明理由。

鞏固練習答案

【解析】本題主要考察分布列，數(shù)學期望等學問點.

(I)才的可能取值有：3,4,5,6.

故,所求X的分布列為

X3456

52010155

42=2?42-1442=2?

P42

(II)所求￥的數(shù)學期望以乃為：

E(X)=^i-P(X=i)=—.

【答案】(I)見解析；(II)

【考點定位】本題考查離散隨機變量的分布列和期望與相互獨立事務的概率，

考查運用概率學問解決實際問題的實力,相互獨立事務是指兩事務發(fā)生的概

率互不影響，留意應用相互獨立事務同時發(fā)生的概率公式.

解:設4,8,分別表示甲、乙在第2次投籃投中，則

(1)記“甲獲勝”為事務C,由互斥事務有一個發(fā)生的概率與相互獨立事務同

時發(fā)生的概率計算公式知,「(。)=2(4)+「(無瓦42)+尸伍瓦工瓦4)

(2"的全部可能為：1,2,3

由獨立性知:P(舁1)=尸⑶+咽4)=那

綜上知，g有分布列

123

P222

399

從而，E^=\x-+2x-+3x-=—（次）

3999

3.解：（1）事務“X=4”表示，A勝4場或8勝4場（即8負4場或A負4場）,

且兩兩互斥.

（2）事務“X=5”表示，A在第5場中取勝且前4場中勝3場，或8在第

5場中取勝且前4場中勝3場（即笫5場A負且4場中A負了3場），且這兩

者又是互斥的，所以

（3）類似地，事務“X=6”、“X=7”的概率分別為

競賽場數(shù)的分布列為

X

4567

2455

16161616

P

故競賽的期望為E（X）=4X2+5X2+6XA+7X9=5.8125（場）

16161616

這就是說，在競賽雙方實力相當?shù)臓顩r下，平均地說，進行6場才能分出輸

贏.

4.【答案與解析】

（I）由頻率頒布直方圖可知,在抽取的100人中，“體育迷”有25人,從而2

X2列聯(lián)表如下：

由2X2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計算,得：

因為3.03（X3.841,所以,沒有理由認為“體育迷”與性別有關.

（）由頻率頒布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25,將頻率視為概率，即

從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為［，由題意，

4

“~鞏3,彳），從而x的分布列為：

【點評】本題主要考查統(tǒng)計中的頻率分布直方圖、獨立性檢驗、離散型隨機

變量的分布列，期望次X）和方差D（X）,考查分析解決問題的實力、運算求解

實力,難度適中.精確讀取頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)是解題的關鍵.

5.（I）解法一：記“該選手能正確回答第i輪的問題”的事務為4"=123）,

則尸（A）=丁P（A）=y,尸（4）=丁

該選手被淘汰的概率

（I）解法二：記“該選手能正確回答第i輪的問題”的事務為A（i=123）,

432

則P（A）=1，P（4）=g，尸⑷=g?

了.該選手被淘汰的概率

（II）J的可能值為1,2,3,尸C=1）=P（Q=],

.?4的分布列為

123

812

P

52525

6.(1)X的全部可能值為1,2,3,4oX的分布列為

P⑴=7/10,

P(2)=3/10X7/9=7/30,

P(3)=3/10X2/9X7/8=7/120,

P(4)=3/10X2/9X1/8=1/120。

(2)X的全部可能值為1,2,3,4。X的分布列為

P。二(―)tH.—,1,2,3,……

1010

(3)X的全部可能值為1,2,3,4。X的分布列為

P⑴=7/10,

P(2)=3/10X8/10=6/25,

P(3)=3/10X2/10X9/10=27/500，

P(4)=3/10X2/10X1/10=3/500。

7.解：(I)由題意知，本題是一個等可能事務的概率,

試驗發(fā)生包含的基本領件總數(shù)為6X6=36,

滿意條件的事務是使方程有實根，則△ZYceO,即b±2五

下面針對于c的取值進行探討

當1時，2,3,4,5,6；

當2時，3,4,5,6；

當3口寸，4,5,6；

當4時，4,5,6；

當5時,5,6；

當6時，5,6,

目標事務個數(shù)為5+4+3+3+2+2=19,

因此方程x20有實根的概率為之

36

()由題意知用隨機變量€表本方程(0實根的個數(shù)得到，二0,1,2

依據(jù)第一問做出的結果得到

貝iJP(g=O)=1Z,P(&=1)=-1=1,P(g=2)=—,

36361836

???€的分布列為

012

P1■17■■1■1■7.

361836

???鄉(xiāng)的數(shù)學期望Eg=0xU+lX，+2xU=l,

361836

8.設指針落在區(qū)域分別記為事務.

則P(A)=J,P(3)=?,尸(O=(............3分

632

(I)若返券金額不低于30元，則指針落在A或B區(qū)域.

:.P=P(A)+P(B)=-+-=-

632...........4分

即消費128元的顧客，返券金額不低于30元的概率是

（II）由題意得，該顧客可轉動轉盤2次.

隨機變量X的可能值為0,30,60,90,120.

............5分

P（X=O）=lxl=l；

/>(X=30)=ix1x2=1;

P(X=60)=—x—x2+-x-=—;

263318

P(X=90)=-x!x2=-；

369

P(X=120)=-xl=—.

6636.......10分

所以，隨機變.量x的分布列為：

P0306090120

X521

4318936.......11

其數(shù)學期望

EX=0xi+30xl+60x—+90xl+120x—=40

4318936.......12分

9、解：（1）依據(jù)志愿者的身高編莖葉圖知湖北師范學院志愿者身高的中位數(shù)為:

168+169,八

-------=1168A.Q5.…2分

2

（2）由莖葉.圖可知，“高個子”有8人，“非高個子”有12人，

依據(jù)分層抽樣抽取的5人中“高個子”為5x&=2人，“非高個子”為5x絲=3

2020

人；

則至少有1人為高個子的概率P=l-.§-=-……6分

砥10

（3）由題可知：湖北師范學院的高個子只有3人，貝”的可能取值為0,1,2,3；

故PR=O)吟=￡C2C]30C'C215

P(〈=l)=*='P^=2)=^=-

以56C836

S備親

即J的分布列為:

0123