2023-2024學年七年級數(shù)學下冊單元速記·巧練（湘教版）第二章 整式的乘法（知識歸納+題型突破）（解析版）

第二章整式的乘法（知識歸納+題型突破）1、了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)；會用科學記數(shù)法表示數(shù)（包括在計算器上表示）．2、理解整式的概念，掌握合并同類項和去括號的法則；能進行簡單的整式加減運算，能進行簡單的整式乘法運算（多項式乘法僅限于一次式之間和一次式與二次式的乘法）．3、理解乘法公式a+ba?b=1、概念（1）單項式：像x、7、，這種數(shù)與字母的積叫做單項式。單獨一個數(shù)或字母也是單項式。單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)叫做這個單項式的次數(shù)。單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫單項式的系數(shù)。（2）多項式：幾個單項式的和叫做多項式。多項式的項：多項式中每一個單項式都叫多項式的項。一個多項式含有幾項，就叫幾項式。多項式的次數(shù):多項式里，次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)。不含字母的項叫常數(shù)項。升（降）冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┑捻樞蚺帕衅饋?，叫做把多項式按這個字母升（降）冪排列。（3）同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項。2、運算（1）整式的加減：合并同類項：把同類項的系數(shù)相加，所得結果作為系數(shù)，字母及字母的指數(shù)不變。去括號法則：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不變；括號前面是“–”號，把括號和它前面的“–”號去掉，括號里的各項都變號。添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變；括號前面是“–”號，括到括號里的各項都變號。整式的加減實際上就是合并同類項，在運算時，如果遇到括號，先去括號，再合并同類項。（2）整式的乘除：冪的運算法則：其中m、n都是正整數(shù)同底數(shù)冪相乘：；同底數(shù)冪相除：；冪的乘方：積的乘方：。單項式乘以單項式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同的字母，用它們的指數(shù)的和作為這個字母的指數(shù)；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。單項式乘以多項式：就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。多項式乘以多項式：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。單項除單項式：把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。多項式除以單項式：把這個多項式的每一項除以這個單項，再把所得的商相加。乘法公式：平方差公式：；完全平方公式：，題型一同底數(shù)冪的乘法【例1】（2024上·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）計算的結果是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，掌握冪的運算法則是解答本題的關鍵．同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．據(jù)此計算即可．【詳解】解：．故選：A【例2】（2023上·海南?？凇ぐ四昙壭？计谥校┰诘仁街?，括號內(nèi)所填的代數(shù)式應當是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法的運算及其性質(zhì)，解答本題的關鍵在于熟練掌握同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)及靈活運用．【詳解】解：由同底數(shù)冪的乘法運算法則可得，，∴∴括號內(nèi)所填的代數(shù)式應當是：．故選：C．【例3】（2024上·上海浦東新·七年級?？计谀┑挠嬎憬Y果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計算，同底數(shù)冪的乘法，先把原式變形為，進而得到．【詳解】解：，故選C．【例4】（2023上·河南周口·七年級周口市第四初級中學?？计谥校┰趯W習第一章有理數(shù)時，類比小學兩個正數(shù)的運算法則學習了有理數(shù)的加減法、有理數(shù)的乘除法，在第二章整式的加減時，類比第一章有理數(shù)的學習過程學習了整式的加減，那么整式的乘法是否可以類比有理數(shù)的乘法進行學習呢?我們從特殊情況入手對兩個同底數(shù)冪相乘進行探究．（1）探究根據(jù)乘方的意義填空，觀察計算結果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?①，②，③，（2）規(guī)律（都是正整數(shù)）．即______．（文字表達）（3）應用①計算；②把看成一個整體，計算．【答案】（1）①8；②6；③（2）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加（3）①；②【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法公式的推導和應用.掌握同底數(shù)冪的乘法公式的計算公式是關鍵；（1）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加解答即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加解答即可；（3）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加解答即可；【詳解】（1）①，②，③，故答案為：（2），即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；故答案為：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；（3）①；②鞏固訓練：1．（2023上·重慶江北·八年級?？计谥校┯嬎悖旱慕Y果是（

）A． B． C． D．a(chǎn)【答案】A【分析】本題考查了同底數(shù)冪乘法，根據(jù)同底數(shù)冪相乘的法則：底數(shù)不變，指數(shù)相加，即可計算求值．【詳解】解：，故選：A．2．（2024上·上海浦東新·七年級?？计谀┮阎?，則下列給出之間的數(shù)量關系式中，錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法計算，根據(jù)已知條件式得到，進而推出，則，據(jù)此逐一判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，，∴，，∴四個選項中只有C選項的關系式錯誤，符合題意；故選C．3．（2024上·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）已知，，m，n為正整數(shù)，則為（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握冪的運算法則是解題的關鍵．根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運算法則即可得出答案．【詳解】解：，，m，n為正整數(shù)，，故選B．4．（2023上·甘肅武威·八年級?？计谀┮阎?，，求的值是（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【分析】本題考查同底數(shù)冪的乘法的逆運算，解題的關鍵是熟練運用同底數(shù)冪的運算法則．根據(jù)同底數(shù)冪的運算法則即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：，，，．故選B5．（2024上·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）若，則．【答案】32【分析】本題考查同底數(shù)冪的乘法的逆用．掌握同底數(shù)冪的乘法法則，是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴；故答案為：32．6．（2023上·上海浦東新·七年級校聯(lián)考期末）已知：，那么．【答案】3【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握同底數(shù)冪的基本法則是解題的關鍵．轉(zhuǎn)化成以2為底的冪的乘法，根據(jù)指數(shù)相等建立等式計算．【詳解】∵∴∴∴∴．故答案為：3．7．（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級呼市四中?？计谥校┤?，，則；當時，則．【答案】68【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運算，熟練掌握相應的運算法則和逆運算是解題的關鍵．【詳解】解：由，可得，由，可得，故答案為：6，．8．（2023上·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高達米，底邊長米，用了約塊大石塊，每塊重約千克，請問：胡夫金字塔總重約為多少千克？【答案】胡夫金字塔總重約為千克【分析】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法運算，科學記數(shù)法的含義，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法進行法則進行計算，將最后的結果寫成科學記數(shù)法的形式即可得出答案．【詳解】解：由題意，得：（千克）答：胡夫金字塔總重約為千克．9．（2023上·四川涼山·七年級校考階段練習）請閱讀以下材料解決相關問題：已知，，例如，．(1)①_____．②______________．③(2)，(3)若，求的值【答案】(1)①；②；③(2)；(3)10【分析】本題主要考查同底數(shù)在的乘法：（1）直接運用同底數(shù)冪的運算法則進行計算即可；（2）分別把，當作底數(shù)，再運用同底數(shù)冪的運算法則進行計算即可；（3）根據(jù)逆用同底數(shù)冪運算法則求出，再代入計算即可得到答案．【詳解】（1）①；②；③故答案為：①；②；③（2），，故答案為：；（3）∵，∴∴∴，∴題型二冪的乘方與積的乘方【例1】（2024上·湖北武漢·八年級校考階段練習）已知，，為正整數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了同底數(shù)冪乘法的逆運算，冪的乘方的逆運算，通過同底數(shù)冪乘法的逆運算及冪的乘方的逆運算可將轉(zhuǎn)化為，代入已知條件運算即可求解，掌握同底數(shù)冪乘法的逆運算及冪的乘方的逆運算是解題的關鍵．【詳解】解：∵，又∵，，∴，故選：．【例2】（2023上·天津濱海新·八年級統(tǒng)考期末）計算的結果等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查積的乘方，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．利用積的乘方的法則進行運算即可．【詳解】解：故選：A．【例3】（2023上·內(nèi)蒙古通遼·八年級校考期中）已知，則的值為（

）A．16 B．25 C．32 D．64【答案】C【分析】此題考查了冪的乘方和同底數(shù)冪相乘的法則，熟練掌握法則是解題的關鍵．利用冪的乘方和同底數(shù)冪相乘的法則把進行變形后，再整體代入即可．【詳解】解：∴，∴，故選：C．【例4】（2023上·河南洛陽·八年級?？计谥校┮阎?，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了冪的乘方，變形為同底數(shù)冪的形式，再比較大小是解題關鍵．先把81，27，9轉(zhuǎn)化為底數(shù)為3的冪，再根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．然后根據(jù)指數(shù)的大小即可比較大?。驹斀狻拷猓骸?；；．則．故選：C．鞏固訓練1．（2023上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·八年級?？计谀?/p>

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了積的乘方的逆運算，同底數(shù)冪乘法的逆運算，先把原式變形為，進一步變形得到，據(jù)此計算求解即可．【詳解】解：，故選：B．2．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）計算的結果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查冪的乘方與積的乘方，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵．分別計算積的乘方和冪的乘方即可．【詳解】解：，故選：C．3．（2024上·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）已知，，則，的大小關系是（請用字母表示，并用“＜”連接）．【答案】【分析】本題考查了冪的乘方．把和變成指數(shù)為11的兩個數(shù)，再對底數(shù)進行比較即可．【詳解】解：，，，，故答案為：．4．（2023上·河南南陽·八年級?？茧A段練習）如果，，則．【答案】3【分析】本題主要考查了冪的乘方計算，同底數(shù)冪乘法的逆運算，先根據(jù)冪的乘方計算法則得到，再根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆運算法則得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，∴，即，∵，∴，∴，∴，故答案為：3．5．（2024上·天津河西·八年級統(tǒng)考期末）若，則．【答案】/0.5【分析】本題考查冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法的逆用．根據(jù)，進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，即：，∴．故答案為：．6．（2024上·北京朝陽·八年級北京市陳經(jīng)綸中學分校校考期中）比較大?。海ㄌ睢啊薄ⅰ啊被颉啊保敬鸢浮俊痉治觥勘绢}主要考查積的乘方法則，將兩數(shù)進行正確的變形是解題的關鍵．利用積的乘方將兩數(shù)變形后變形大小．【詳解】解：，，，，故．故答案為：．7．（2023上·陜西西安·七年級校考階段練習）已知，則之間的等量關系是．【答案】【分析】本題主要考查了冪的乘方，同底數(shù)冪乘法的逆運算，冪的乘方的逆運算，根據(jù)題意可得，進而得到，則，由此即可得到．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．8．（2023上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）“數(shù)與式大小的比較”一直是數(shù)學體系中的一個重要的研究課題．七年級的時候?qū)τ跀?shù)的大小比較，我們借助數(shù)軸獲取了“數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的總比左邊的大”進而得出“正數(shù)大于零大于一切負數(shù)”．本學期我們研究了代數(shù)式大小比較，通?？梢钥紤]將兩個代數(shù)式作差和0比較或者作商和1比較．更是通過靈活運用整式的乘除對于一些特殊的數(shù)與式進行了大小比較，例如：比較和的大小．我們是這么做的“∵，∵∴∴”問題得以解決，請同學們完成下面3個小題：(1)試比較和的大??；(2)若，，試比較a，b的大??；(3)若，且，試比較與的大?。敬鸢浮?1)(2)(3)【分析】本題考查了冪的運算性質(zhì)，正確理解題意、靈活應用冪的乘方逆運算法則是解題的關鍵．（1）可以將指數(shù)都化為2再進行比較；（2）可以將指數(shù)都化為15再進行比較．（3）根據(jù)整式的混合運算求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴∴．（2）解：∵∴∵∴∵∴∴（3）解：∵，，∴∴9．（2024上·北京朝陽·八年級北京市陳經(jīng)綸中學分校?？计谥校┮阎蟮闹担敬鸢浮?【分析】本題考查非負數(shù)性質(zhì)，絕對值定義，積的乘方．根據(jù)題意求出的值，再代入中即可求得本題結果．【詳解】解∶∵，∴，解得，∴，故答案為：．10．（2023上·廣東惠州·八年級?？计谥校?）若，，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法的逆用，冪的乘方的逆用．（1）先根據(jù)同底數(shù)冪的除法以及冪的乘方進行變形，再代入求出即可；（2）原式變形為，再代入數(shù)據(jù)求出即可．【詳解】解：（1）∵，，∴；（2）∵，∴．題型三單項式、多項式的乘法【例1】（2024上·天津西青·八年級統(tǒng)考期末）計算的結果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查單項式乘以多項式，根據(jù)單項式乘以多項式法則進行計算即可求解．【詳解】解：．故選：D【例2】（2023下·江蘇·七年級專題練習）計算：．【答案】【分析】本題考查單項式乘以單項式，根據(jù)“單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式中只含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式”計算即可．【詳解】解：．故答案為：．【例3】（2023上·廣東廣州·八年級廣東廣雅中學?？计谥校┯嬎悖海敬鸢浮俊痉治觥坷枚囗検匠艘远囗検降姆▌t展開后再合并同類項即可．【詳解】解：鞏固訓練1．（2023上·河南商丘·九年級校聯(lián)考階段練習）計算：．【答案】【分析】本題主要考查了積的乘方，單項式乘以單項式．先計算積的乘方，再計算單項式乘以單項式即可．【詳解】解：．2．（2023上·江西贛州·八年級校考階段練習）已知與的積與是同類項，求m，n的值．【答案】，【分析】本題考查了單項式與單項式相乘的運算法則，以及同類項的定義，先計算和的積，然后根據(jù)積與是同類項，即可求出m、n的值．解題的關鍵是熟練掌握運算法則進行化簡．【詳解】解：∵∴與是同類項．∴解得．所以3．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）已知單項式與的積與是同類項，求，的值．【答案】，【詳解】解：．因為與是同類項，所以，，解得，4．（2023上·吉林·八年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】本題考查了多項式和單項式之間的乘除運算法則，掌握該法則是解答本題的關鍵．原式利用單項式乘以多項式法則計算即可得到結果．【詳解】解：．5．（2023上·福建龍巖·八年級?？茧A段練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方、多項式乘以多項式，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵．（1）先計算同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方，再合并同類項即可；（2）先根據(jù)多項式乘以多項式的運算法則進行計算，再合并同類項即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．6．（2024上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【分析】本題考查多項式乘多項式，單項式乘多項式，由多項式與多項式相乘的法則，單項式與多項式相乘的運算法則，即可計算．【詳解】解：原式．7．（2023上·四川瀘州·八年級四川省瀘縣第一中學?？计谥校┯嬎悖骸敬鸢浮俊痉治觥勘绢}主要考查了整式的乘法，運用多項式乘以多項式運算法則進行計算即可得到答案．【詳解】題型四不含某項求字母的值【例1】（2024上·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）若的展開式中不含x的二次項，則（）A．0 B．2 C．2.5 D．【答案】B【分析】本題主要考查多項式乘以多項式法則，熟悉掌握法則是關鍵．原式利用多項式乘以多項式法則計算，合并后根據(jù)結果不含項，求出m的值．【詳解】解：，∵的展開式中不含x的二次項，∴，∴．故選：B．鞏固訓練1．（2023上·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考階段練習）若的結果不含x的一次項，則a的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】D【分析】本題考查了多項式乘多項式，解題的關鍵是注意當要求多項式中不含有哪一項時，應讓這一項的系數(shù)為0．【詳解】解：，∵積中不含x的一次項，∴，即，故選：D．2．（2023上·河南洛陽·八年級?？计谥校┑某朔e中不含和項，則的值為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題考查了多項式乘多項式，根據(jù)多項式乘以多項式的法則先把要求的式子進行整理，再根據(jù)多項式展開后不含和的項，得出，求出的值即可．【詳解】解：∴，解得：故選：C．3．（2023上·江西南昌·八年級?？计谀┤舻某朔e中不含x二次項，則a的值為．【答案】1【分析】本題考查的是多項式的乘法運算，同時考查多項式的概念中的項的次數(shù)，及不含某項的條件，掌握以上知識是解題的關鍵．【詳解】解：而上式不含x二次項，，故答案為：．4．（2024上·北京海淀·八年級北京市師達中學?？计谥校┤絷P于的多項式展開后不含有一次項，則實數(shù)的值為．【答案】【分析】本題考查多項式乘多項式不含某一項的問題．利用多項式乘多項式的法則化簡后，使一次項的系數(shù)為0，進行求解即可．【詳解】解：∵，∵乘積不含一次項，∴，∴；故答案為：．5．（2023上·河南南陽·八年級?？茧A段練習）若的展開式中不含和項，求m，n的值．【答案】，【分析】本題考查了多項式乘多項式．解題的關鍵在于正確的運算．先根據(jù)多項式乘以多項式法則展開，合并同類項，根據(jù)已知得出關于m、n的方程，求出m、n即可．【詳解】∵的展開式中不含和項，∴，解得，．題型五多項式乘多項式與圖形面積【例1】（2023上·河南商丘·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，正方形卡片A類，B類和長方形卡片C類若干張，如果要拼一個長為，寬為的大長方形，則需要B類卡片（

）A．2張 B．3張 C．5張 D．7張【答案】B【分析】本題考查多項式乘多項式，根據(jù)多項式乘多項式的運算法則可求出長方形的面積．【詳解】解：長方形的面積為，類卡片的面積為，類卡片的面積為，類卡片的面積為，需要類卡片2張，類卡片3張，類卡片7張．故選：B．【例2】（2024上·黑龍江綏化·八年級統(tǒng)考期末）千年古鎮(zhèn)趙化開發(fā)的鑫城小區(qū)的內(nèi)壩是一塊長為米，寬為米的長方形地，物業(yè)部門計劃將內(nèi)壩進行綠化（如圖陰影部分），中間部分將修建一仿古小景點（如圖中間的長方形），則綠化的面積是多少平方米？并求出當，時的綠化面積．

【答案】綠化的面積是平方米，當，時的綠化面積是【分析】本題考查了多項式成多項式，代數(shù)式求值．根據(jù)矩形的面積公式，可得內(nèi)壩、景點的面積，根據(jù)面積的和差，可得答案．【詳解】由題意，得當，時，，答：綠化的面積是平方米，當，時的綠化面積是．鞏固訓練1．（2024上·北京大興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，某小區(qū)規(guī)劃在邊長為的正方形場地上，修建兩條寬為的甬道，其余部分種草，則甬道所占的面積（單位：）是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查整式表示幾何面積，按圖形列出代數(shù)式即可．【詳解】解：由圖知，甬道所占的面積正方形面積草坪面積，下面將甬道平移到兩邊便于理解：即甬道所占的面積，故選：D．2．（2023上·上海青浦·七年級統(tǒng)考期末）如圖，現(xiàn)有邊長為a的正方形A、邊長為b的正方形B和長為2b寬為a的長方形C的三類紙片（其中）．用這三類紙片拼一個長為、寬為的長方形（不重疊且不留縫隙），那么需要C類紙片張．【答案】10【分析】本題主要考查多項式乘以多項式的應用，熟練掌握多項式乘以多項式是解題的關鍵；根據(jù)大長方形的面積及A、B、C三類紙片的面積可進行求解．【詳解】解：長為、寬為的長方形的面積為，正方形A的面積為，正方形B的面積為，長方形C的面積為，∴需要A、B類紙片各6張，C類紙片10張；故答案為10．3．（2023上·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）現(xiàn)有甲、乙、丙三種卡片各若干張，其中甲、丙為正方形卡片，乙為長方形卡片，卡片的邊長如圖1所示（）．某同學分別用6張卡片拼出了兩個長方形（不重疊無縫隙），如圖2和圖3，其面積分別為．(1)①請用含的式子分別表示，即______，______；②當時，求的值；(2)比較與的大小，并說明理由．【答案】(1)①，；②；(2)，理由詳見解析．【分析】本題考查多項式乘多項式與圖形面積問題．（1）①根據(jù)已知圖形，確定長方形的長和寬，利用面積公式列式計算即可；②求出，將代入計算即可；（2）作差法比較與的大小即可．解題的關鍵是正確的識圖，列出代數(shù)式．【詳解】（1）解：①，，②當時，；（2），理由：，，，，，．4．（2023上·吉林長春·八年級校考期末）如圖，某社區(qū)有兩塊相連的長方形空地，一塊長為，寬為；另一塊長為，寬為．現(xiàn)將兩塊空地進行改造，計劃在中間邊長為的正方形（陰影部分）中種花，其余部分種植草坪．(1)求計劃種植草坪的面積；(2)已知，，若種植草坪的價格為30元/，求種植草坪應投入的資金是多少元？【答案】(1)計劃種植草坪的面積為(2)種植草坪應投入的資金是243000元【分析】本題考查了列代數(shù)式，多項式乘多項式，以及整式的混合運算-化簡求值，弄清楚題意是解答本題的關鍵．（1）計劃種植草坪的面積等于2個矩形的面積減去陰影部分的面積，利用多項式乘多項式法則，平方差公式和完全平方公式化簡，去括號合并得到最簡結果即可；（2）將a與b的值代入（1）中求得的栽花面積和草坪面積，再根據(jù)總價=單價×數(shù)量計算即可求解．【詳解】（1）解：（1）兩塊空地總面積：，，栽花面積：，草坪面積：．（2），，草坪價格為30元/，應投入的資金元．題型六多項式乘多項式：化簡求值【例1】（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級?？茧A段練習）化簡，其中【答案】【分析】本題主要考查整式乘法，注意按照多項式乘多項式運算法則，不要漏乘，最后合并同類項，結果為最簡．【詳解】解：原式當時，原式．【例2】（2023上·北京海淀·八年級北大附中?？计谥校┮阎?，求的值．【答案】【分析】先利用整式的混合運算化簡代數(shù)式，再把已知條件變形，最后整體代入求值即可．【詳解】解：∵，∴，．鞏固訓練1．（2023上·山東德州·八年級?？计谥校┫然?，再求值：，其中．【答案】，22【分析】本題主要考查整式的化簡求值，掌握整式化簡求值的方法是解題的關鍵．【詳解】解：，把代入，原式．2．（2023上·廣東廣州·八年級校聯(lián)考期中）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】此題考查整式的化簡求值，整式的混合運算，先根據(jù)多項式乘以多項式法則及單項式乘以多項式法則去括號，合并同類項，再將字母的值代入計算即可，熟練掌握整式混合運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：原式當時，原式．3．（2023上·廣西南寧·八年級南寧市天桃實驗學校?？计谥校┫然?，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查的是整式的乘法及加減混合運算，掌握整式的混合運算法則是解題的關鍵．根據(jù)多項式乘多項式、單項式乘多項式及整式的加減混合運算法則把原式化簡，代入計算即可．【詳解】解：原式=

當時，原式4．（2023上·福建福州·八年級?？计谥校┗喦笾担海渲?，【答案】【分析】利用多項式乘多項式的法則分別展開，合并同類項，最后把值代入計算即可．【詳解】解：，當，時，原式．5．（2023上·北京海淀·八年級首都師范大學附屬中學校考期中）已知，求的值．【答案】【分析】根據(jù)題意可得，化簡式子，整體代入即可求解．【詳解】解：∵，∴，即，∴．6．（2023上·北京海淀·八年級北京交通大學附屬中學校考期中）已知，求的值．【答案】【分析】由，可得，根據(jù)，代值求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴的值為．7．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學校校考期中）化簡求值：，其中．【答案】，14【分析】先根據(jù)多項式乘以多項式以及單項式乘以多項式的運算法則運算，再合并同類項，然后把字母的值代入求值即可．【詳解】解：，當時，原式．題型七多項式乘法中的規(guī)律性問題【例1】（2023上·廣東廣州·八年級廣州市真光中學校考階段練習）我國宋代數(shù)學家楊輝所著《詳解九章算法》中記載了用如圖所示的三角形解釋了二項和的乘方展開式中的系數(shù)規(guī)律，我們把這種數(shù)字三角形叫做“楊輝三角”，請你利用楊輝三角，計算的展開式中，含項的系數(shù)是（

）1…………1…………………1

1………1

2

1………………1

3

3

1……1

4

6

4

1A．15 B． C．6 D．【答案】B【分析】本題考查了二項和的乘方的展開，運用楊輝三角來確定展開式中各項系數(shù)是解決本題的關鍵．根據(jù)上面規(guī)律，先找出的展開式中各項系數(shù)，再確定展開后的各項系數(shù)，即可確定展開后的各項系數(shù)，從而得出答案．【詳解】解：根據(jù)上面的規(guī)律，得，各項系數(shù)為：1，5，10，10，5，1展開后的各項系數(shù)為：1，6，15，20，15，6，1，展開后的各項系數(shù)為：1，，15，，15，，1．含項的是奇數(shù)次方，含項的系數(shù)是．故選：B．【例2】（2023·全國·八年級專題練習）觀察下列等式：，，，……，利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答：若，則的值是(

)A． B．0 C．1 D．【答案】A【分析】可得，從而可求，由即可求解．【詳解】解：由題意得，，，；故選：A．【例3】（2023上·北京東城·八年級匯文中學?？计谥校┮阎?，，，根據(jù)前面各式的規(guī)律，可得：的值是．【答案】【分析】本題考查多項式乘多項式的規(guī)律探究，根據(jù)給定的等式，得到，將乘以，即可得出結果．【詳解】解：∵，，，∴，∴；故答案為：．【例4】（2023下·湖南張家界·七年級統(tǒng)考期末）根據(jù)，，，…的規(guī)律，則可以得出的末位數(shù)字是．【答案】5【分析】根據(jù)前幾個等式的變化規(guī)律得到第n個等式為，進而求解即可．【詳解】解：第1個等式為，第2個等式為，第3個等式為，第4個等式為，……第n個等式為，∴，∵，，，，，，，……，∴的末位數(shù)是以2、4、8、6每四個一個循環(huán)，又，∴即的末位數(shù)為5，故答案為：5．鞏固訓練1．（2023上·甘肅定西·八年級校聯(lián)考階段練習）我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算術》一書中，用如圖的三角形解釋二項式的展開式的各項系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”根據(jù)“楊輝三角”請計算的展開式中第三項的系數(shù)為（

）A．45 B．55 C．2017 D．2018【答案】A【分析】本題考查數(shù)字變化規(guī)律．根據(jù)圖形中的規(guī)律即可求出的展開式中第三項的系數(shù)．【詳解】解：找規(guī)律發(fā)現(xiàn)的第三項系數(shù)為；的第三項系數(shù)為；的第三項系數(shù)為；∴的第三項系數(shù)為，∴第三項系數(shù)為，故選：A．2．（2023上·山西臨汾·八年級統(tǒng)考階段練習）觀察下列等式：，，，……，利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答：若，則的值是．【答案】【分析】觀察題目中所給的一系列等式可得到規(guī)律：，結合規(guī)律可知，據(jù)此求解的值，從而計算的值．【詳解】解：觀察可得，，．則．故答案為：．3．（2023下·山東青島·七年級?？茧A段練習）數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)：利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：求：．【答案】【分析】觀察題目所給的式子可以得到規(guī)律，然后把代入式子中進行求解即可．【詳解】解：；；；∴可以得到規(guī)律，當時：，．故答案為：．4．（2023上·河南許昌·八年級校聯(lián)考階段練習）我國著名數(shù)學家華羅庚談到，我國古代數(shù)學的許多成就和發(fā)展都居世界前列，“楊輝三角”就是一例。如下圖所示的“楊輝三角”告訴了我們二項式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律，如：第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應展開式中各項的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1，3，3，1恰好對應著的系數(shù)．根據(jù)數(shù)表中前四行的數(shù)字所反映的規(guī)律計算求值：．【答案】【分析】本題考查了整式的運算規(guī)律的探究，以及“楊輝三角”的認識，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．原式逆用“楊輝三角”系數(shù)規(guī)律變形，計算即可得到結果．【詳解】解：根據(jù)題意可得：．故答案為：．5．（2023上·四川宜賓·八年級?？茧A段練習）我國南宋時期杰出的數(shù)學家楊輝是錢塘人，下面的圖表是他在《詳解九章算術》中記載的“楊輝三角”．此圖揭示了為非負整數(shù)）、的展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關規(guī)律，由此規(guī)律可解決如下問題：(1)展開式共有_______項，第19項系數(shù)為_______；(2)根據(jù)上面的規(guī)律，寫出的展開式：_______；(3)利用上面的規(guī)律計算：；(4)假如今天是星期四，那么再過天是星期_______．【答案】(1)；(2)(3)(4)三【分析】本題主要考查了多項式乘法多的規(guī)律探索：（1）通過觀察式子可得規(guī)律展開式共有項，當時倒數(shù)第三項的系數(shù)為，據(jù)此代入求解即可；（2）先仿照題意求出的展開式每一項的系數(shù)，進而寫出對應的展開式即可；（3）當時，令，可推出，則；（4）根據(jù)（a、b、c…是一列常數(shù)），得到除以7的結果余數(shù)為6，則假如今天是星期四，那么再過天是星期三．【詳解】（1）解：，展開式有項，，展開式有項，倒數(shù)第三項系數(shù)為，，展開式有項，倒數(shù)第三項系數(shù)為，，展開式有兩項，倒數(shù)第三項系數(shù)為，，展開式有項，倒數(shù)第三項的性質(zhì)為……，以此類推，可知展開式共有項，當時倒數(shù)第三項的系數(shù)為，∴展開式共有項，第19項系數(shù)為，故答案為：；；（2）解：如下圖所示，可知，故答案為：．（3）解：∵，∴當時，，∴，∴；（4）解：（a、b、c…是一列常數(shù)），∵的值剛好是7的整倍數(shù)，∴除以7的結果余數(shù)為6，∴假如今天是星期四，那么再過天是星期三，故答案為：三．6．（2023上·新疆喀什·八年級期末）（1）計算并觀察下列各式：；；；（2）從上面的算式及計算結果，你發(fā)現(xiàn)了什么？請根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫下面的空格．；（3）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：．【答案】（1），，；（2）；（3）【分析】本題考查了多項式乘以多項式、整式乘法的規(guī)律，正確發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關鍵．（1）根據(jù)多項式乘以多項式法則計算即可得；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律即可得；（3）根據(jù)（1）和（2）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可得．【詳解】解：（1），，，故答案為：，，；（2）觀察（1）可知，第1個式子為，第2個式子為，第3個式子為，則，故答案為：；（3）由上述規(guī)律可知，，故答案為：．7．（2023上·四川宜賓·八年級?？茧A段練習）閱讀下列解題過程：

．．．．．．(1)試求的值(2)判斷的值的個位數(shù)是幾？【答案】(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)題意可得規(guī)律，令，代入求解即可；（2）先計算該代數(shù)式的值得到結果為，再探究得到個位數(shù)字的規(guī)律即可得到答案．【詳解】（1）解：，，，，……，依此類推可知，，∴當時，，∴；（2）解：，∵的個位數(shù)是，的個位數(shù)是，的個位數(shù)是，的個位數(shù)是，的個位數(shù)是……，∴可得當（k為正整數(shù)）時，個位數(shù)是，當時，的個位數(shù)是，當時，的個位數(shù)是，當時，的個位數(shù)是，∵，∴的個位數(shù)是1．8．（2023上·四川內(nèi)江·八年級校考期中）閱讀下列材料，并解決有關問題．我們知道展開后等于，我們可以利用多項式乘法法則將展開．如果進一步，要展開，，你一定發(fā)現(xiàn)解決上述問題需要大量的計算，是否有簡單的方法呢？我們不妨找找規(guī)律！如果將（n為非負整數(shù)）的每一項按字母a的次數(shù)由大到小排列，就可以得到下面的等式：計算

結果的項數(shù)

各項系數(shù)

1

1

2

1

1

3

1

2

1

4

1

3

3

1(1)你能根據(jù)上表的規(guī)律寫出，的結果嗎？=__________________；=_____________________；(2)請你利用上表的規(guī)律求出下式的計算結果：．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)材料中計算結果的項數(shù)和系數(shù)的規(guī)律直接寫出答案即可；（2）根據(jù)所給算式可得原式是的展開式，然后進行計算即可．【詳解】（1）解：由材料可得：；；（2）解：原式．9．（2023上·四川宜賓·八年級校考階段練習）探索題：

……(1)當時，＝．(2)試求：的值．(3)判斷的值個位數(shù)字是．【答案】(1)；(2)63(3)5【分析】（1）根據(jù)閱讀部分的提示利用規(guī)律求解即可；（2）根據(jù)題意可得：，即可求解；（3）先根據(jù)題意求得，找出個位數(shù)字的循環(huán)規(guī)律，即可求解．【詳解】（1）解：當時，，（2）根據(jù)題意可得：則；（3）根據(jù)題意可得：∵，，，，，，，則個位數(shù)字是按照、、、四個數(shù)依次循環(huán)，，∴的個位數(shù)字為6則的個位數(shù)字為5．題型八平方差公式【例1】（2024上·河北石家莊·八年級統(tǒng)考階段練習）計算的結果為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的形式是解題的關鍵．兩次利用平方差公式計算即可．【詳解】解：，故選B．【例2】（2024上·天津河西·八年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】370000【分析】本題主要考查了應用平方差公式進行簡便計算，解題的關鍵是熟練掌握掌握平方差公式，準確計算．【詳解】解：．【例3】（2023上·河北廊坊·八年級?？计谀┱J真觀察下面這些等式，按其規(guī)律，完成下列各小題：①；②；③；④______；…(1)將橫線上的等式補充完整；(2)驗證規(guī)律：設兩個連續(xù)的正偶數(shù)為，（n為正整數(shù)），則它們的平方差是4的倍數(shù)；(3)拓展延伸：判斷兩個連續(xù)的正奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)嗎？并說明理由．【答案】(1)(2)驗證見解析(3)是，理由見解析【分析】此題主要考查了平方差公式的應用，正確發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化規(guī)律是解題關鍵．（1）根據(jù)已知算式寫出即可；（2）利用平方差公式計算得出答案；（3）這兩個偶數(shù)為為和，利用平方差公式計算得出答案．【詳解】（1）解：由題意得：；（2）解：．為正整數(shù)，為正整數(shù)，若兩個連續(xù)的正偶數(shù)為，（n為正整數(shù)），則它們的平方差是4的倍數(shù)；（3）解：是；理由：設兩個連續(xù)的正奇數(shù)為，（m為正數(shù)）．．為正整數(shù)，兩個連續(xù)的正奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)．鞏固訓練1．（2023上·河南商丘·八年級校聯(lián)考階段練習）計算：．【答案】/【分析】本題考查平方差公式，運用平方差公式求解即可．【詳解】．故答案為：2．（2023上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）若，，則．【答案】2【分析】本題考查了平方差公式“”，熟記完全平方公式是解題關鍵．先根據(jù)平方差公式可得，再將代入計算即可得．【詳解】解：∵，，又∵，，，故答案為：2．3．（2023上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）用簡便方法計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了平方差公式的應用，熟記公式的形式是解題關鍵．（1）將原式寫成，利用平方差公式即可求解；（2）利用平方差公式即可求解．【詳解】（1）解：原式（2）解：原式4．（2024上·北京大興·八年級統(tǒng)考期末）求證：當是整數(shù)時，兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是這兩個奇數(shù)的和的倍．【答案】證明見解析【分析】本題考查了平方差公式的應用，熟練掌握平方差公式是解答本題的關鍵．根據(jù)題意，得到是整數(shù)，與是兩個連續(xù)的奇數(shù)，則，，由此得到證明．【詳解】證明：根據(jù)題意得：是整數(shù)，與是兩個連續(xù)的奇數(shù)，，這兩個奇數(shù)和為：，，即當是整數(shù)時，兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是這兩個奇數(shù)的和的倍．5．（2023上·吉林·八年級?？计谥校倪呴L為a的正方形減掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．(1)上述過程所揭示的因式分解的等式是______；(2)若，，求的值；(3)．【答案】(1)(2)；(3)．【分析】本題考查了平方差公式與幾何圖形面積．（1）根據(jù)圖形面積相等即可求解；（2）根據(jù)平方差公式進行計算即可求解；（3）根據(jù)平方差公式進行計算即可求解．【詳解】（1）解：上述過程所揭示的乘法公式是，故答案為：；（2）解：，，，，∴；（3）解：．6．（2022上·湖南衡陽·八年級衡陽市外國語學校校考階段練習）實踐與探索：如圖1，在邊長為的大正方形里挖去一個邊長為的小正方形，再把圖1中的剩余部分（陰影部分）拼成一個長方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗證的等式是：______（請選擇正確的一個）A．B．C．(2)請應用這個等式完成下列各題：①已知，則______．②計算：．【答案】(1)A(2)①4②【分析】本題主要考查了平方差公式的應用，有理數(shù)的混合運算．（1）觀察圖形，利用拼接前后的面積關系即可得出結論；（2）①利用平方差公式解答即可；②將1看成，利用平方差公式解答即可．【詳解】（1）圖1的面積為，圖2的面積為：，由于拼接前后的面積相等，∴，∴上述操作能驗證的等式是A，故答案為：A；（2）①∵，∴，∴，故答案為：4；②∵，∴題型九求完全平方公式中的字母系數(shù)【例1】（2019上·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期中）若是完全平方式，則m的值等于（

）A．8 B． C．16 D．8或【答案】D【分析】本題考查完全平方式，先根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)，中間一項為加上或減去x和4的積的2倍，即可確定m的值．【詳解】解：，是完全平方式，，或，故選D．鞏固訓練1．（2024上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）如果二次三項式是一個完全平方式，那么m的值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】本題考查完全平方式，記住完全平方式的特征是解題的關鍵，形如這樣的式子是完全平方式，屬于中考常考題型．根據(jù)完全平方公式的特點，即可求出m的值【詳解】解：∵，∴．故選：C．2．（2023上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）如果關于m的二次三項式是完全平方式，那么a的值為（

）A．1 B．4 C． D．【答案】A【分析】本題考查了完全平方式的性質(zhì)和應用，要熟練掌握，解答本題的關鍵是在理解的基礎上掌握完全平方公式．【詳解】解：∵是完全平方式，∴，∴，∴．故選：A．3．（天津市和平區(qū)2023-2024學年八年級上學期期末數(shù)學試題）已知是完全平方式，則．【答案】13或【分析】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項確定出這兩個數(shù)是解題的關鍵，也是難點，熟記完全平方公式對解題非常重要．先根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項即可確定的值．【詳解】解：，，或，解得或．故答案為：13或．4．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）已知代數(shù)式是一個完全平方式，則有理數(shù)的值為．【答案】6或【分析】本題考查了完全平方式的特點，熟記完全平方式的特點是解題的關鍵．根據(jù)積的2倍項的特點可得答案．【詳解】解：∵代數(shù)式是一個完全平方式，∴，∴或，故答案為：6或．5．（2024上·北京豐臺·八年級統(tǒng)考期末）如果關于的多項式是完全平方式，那么的值是．【答案】9【分析】本題是完全平方公式的運用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解．根據(jù)兩數(shù)和的完全平方等于兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，可得答案．【詳解】解：由是一個完全平方式，得，故答案為：9．6．（2024下·全國·八年級假期作業(yè)）已知關于的代數(shù)式是一個完全平方式，則的值為【答案】3或【分析】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項確定出這兩個數(shù)是解題的關鍵，也是難點，熟記完全平方公式對解題非常重要．先根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項即可確定的值．【詳解】解：，，或，解得或．故答案為：3或.7．（2021上·遼寧鞍山·八年級?？计谥校┤羰顷P于的完全平方式，則．【答案】或/或【分析】由是關于的完全平方式，得出，進而得出，即可求出的值．【詳解】解：∵是關于的完全平方式，∴，∴，解得：或，故答案為：或8．（2012上·八年級課時練習）若多項式是完全平方式，請你寫出所有滿足條件的單項式Q是．【答案】±4x,4x4，-1，-4x2【分析】根據(jù)題意可知本題是考查完全平方式，設這個單項式為Q，①如果這里首末兩項是2x和1這兩個數(shù)的平方，那么中間一項為加上或減去2x和1積的2倍，故Q=±4x;②如果如果這里首末兩項是Q和1，則乘積項是4x2=2×2x2，所以Q=4x4.【詳解】解：∵4x2+1±4x=(2x±1)24x2+1+4x4=(2x2+1)2;∴加上的單項式可以是±4x,4x4,-1，-4x2中任意一個,故答案為：±4x,4x4，-1，-4x2題型十完全平方公式與對稱式【例1】（2024上·天津濱海新·八年級校考期末）（1）已知，，則的值為．（2）已知，，則的值為．（3）已知滿足，則的值為．【答案】【分析】（1）本題考查了完全平方公式，利用完全平方公式將代數(shù)式變形，再整體代入求值，即可解題．（2）本題解法與（1）類似，先利用完全平方公式將代數(shù)式變形，再整體代入求值，即可解題．（3）本題利用數(shù)學整體的思想，設，將等式變成含的方程，表示出的值，即可求解．【詳解】（1）解：，，，，．故答案為：．（2）解：，，，，．故答案為：．（3）解：設，則，，，，有，整理得，，故答案為：．【例2】（2023上·四川宜賓·八年級校考階段練習）（1）已知，求代數(shù)式的值．（2）若，求【答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，完全平方公式的變形求值，（1）先根據(jù)完全平方公式和平方差公式去括號，然后合并同類項化簡，再由得到，最后利用整體代入法求解即可；（2）根據(jù)，把等式兩邊同時平方得到，則．【詳解】解：（1），∵，∴，∴原式；（2）∵，∴，∴，∴，∴．鞏固訓練1．（天津市和平區(qū)2023-2024學年八年級上學期期末數(shù)學試題）已知，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了完全平方公式的應用，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式的各種變式，利用完全平方公式變形即可．【詳解】解：，，故選：C．2．（2024上·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）已知，則代數(shù)式的值是（

）A．12 B．16 C．24 D．36【答案】D【分析】本題考查完全平方公式的應用．根據(jù)題意先將代數(shù)式整理成，再將題干已知代入代數(shù)式即可得到本題答案．【詳解】解：∵，又∵，即，∴，故選：D．3．（2023上·四川攀枝花·八年級?？计谥校┮阎?，，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了完全平方公式及其變形公式的運用，掌握公式形式是解題關鍵．（1）根據(jù)，整體代入，即可求解；（2）根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，∴．4．（重慶市合川區(qū)2023-2024學年八年級上學期期末考試數(shù)學試題）解決下列問題：(1)已知，分別求和的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】本題考查了完全平方公式的應用．（1）根據(jù)得到①，根據(jù)得到②，兩式進行加減即可求解；（2）根據(jù)得到，根據(jù)，得到，即可求出．【詳解】（1）解：，①，又，②，①+②得，，∴；①②得，，∴；（2）解：，∴，，∴，．5．（2024上·甘肅定西·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：若滿足，求的值．解：設，，則，所以請仿照上例解決下面的問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：若x滿足，求：的值．(2)若，求：的值．【答案】(1)21(2)【分析】本題考查了利用完全平方公式變形求值，熟記完全平方公式是解題關鍵．（1）設，則，再利用完全平方公式變形求值即可得；（2）設，則，再利用完全平方公式變形求值即可得．【詳解】（1）解：設，則，所以．（2）解：設，則，所以．6．（2023上·湖北孝感·八年級校聯(lián)考階段練習）已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)433．【分析】本題主要考查了多項式乘以多項式的化簡求值，完全平方公式的變形求值，熟知多項式乘以多項式的計算法則和完全平方公式是解題的關鍵．（1）根據(jù)多項式乘以多項式的計算法則求出，再把已知條件整體代入計算求解即可；（2）根據(jù)完全平方公式得到，再根據(jù)進行代值計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，，∴，∴．7．（2023上·四川宜賓·八年級四川省宜賓市第二中學校校考期中）解決下面的問題：①，求和的值；②已知，求的值．【答案】①1，13

②119【分析】①利用公式變形計算即可；②利用公式變形計算即可．【詳解】①∵，∴；∵；∴；②∵，∴，∴，∴，∴．題型十一完全平方公式在幾何圖形中的應用【例1】（2023上·全國·八年級專題練習）圖①是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．(1)請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積．方法1：；方法2：；(2)觀察圖②請你寫出下列三個代數(shù)式；之間的等量關系；(3)根據(jù)（2）題中的等量關系，解決如下問題：①已知：，求：的值；②已知：，求：的值．【答案】(1)；(2)(3)①1；②9【分析】本題考查對完全平方公式幾何意義的理解：（1）表示出陰影部分的邊長，然后分別利用大正方形的面積減去四周四個矩形的面積列式；利用正方形的面積公式列式；（2）根據(jù)不同方法表示的陰影部分的面積相同解答；（3）①根據(jù)（2）的結論代入進行計算即可得解；②根據(jù)（2）的結論代入進行計算即可得解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：圖②中陰影部分的面積：方法1：，方法2：；故答案為：；；（2）解：；（3）解：①∵，∴；②．【例2】（2023上·浙江臺州·八年級臺州市書生中學?？计谥校?shù)學活動課上，老師準備了若干個如圖的三種紙片，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是長為、寬為的長方形，并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖的大正方形．

(1)觀察圖，請你寫出下列三個代數(shù)式：，，之間的等量關系；(2)若要拼出一個面積為的矩形，則需要號卡片張，號卡片張，號卡片______張．(3)根據(jù)題中的等量關系，解決如下問題：①已知：，，求的值；②已知，求的值．【答案】(1)(2)3(3)①的值為；②【分析】本題考查完全平方公式的意義和應用；（1）用兩種方法表示拼成的大正方形的面積，即可得出，，三者的關系；（2）計算的結果為，因此需要A號卡片1張，B號卡片2張，C號卡片3張；（3）①根據(jù)題（1）公式計算即可；②令，從而得到，代入計算即可．【詳解】（1）解：大正方形的面積可以表示為：，或表示為：；因此有；（2）解：，需要A號卡片1張，B號卡片2張，C號卡片3張，故答案為：；（3）解：，，，，，即的值為；令，...，...，，，解得．．．鞏固訓練1．（2023下·山東濰坊·七年級統(tǒng)考期末）圖1是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均裁成四塊小長方形，然后按如圖2所示的形狀拼成一個大正方形．

(1)圖2中的陰影部分正方形的邊長是（用含a，b的代數(shù)式表示）；(2)觀察圖1，圖2，能驗證的等式是：（請選擇正確的一個）；A．B．C．(3)如圖3，C是線段上的一點，以為邊向上分別作正方形和正方形，連接．若，求的面積．【答案】(1)(2)C(3)【分析】（1）根據(jù)圖2中的信息即可得出陰影部分正方形的邊長；（2）根據(jù)大正方形的面積等于小正方形的面積加上4個長方形的面積，進行求解即可；（3）設正方形的邊長為x，正方形的邊長為y，根據(jù)圖形中的關系得出，再求解，最后利用三角形面積公式即可得出答案；另解：設正方形的邊長為x，正方形的邊長為y，根據(jù)圖形中的關系得出，利用（2）的結論直接代入即可，最后根據(jù)三角形面積公式即可得出答案．【詳解】（1）圖2中的陰影部分正方形的邊長是；故答案為：（2）之間的等量關系是：，故選：C.（3）設正方形的邊長為x，正方形的邊長為y∴，解得，；

另解：設正方形的邊長為x，正方形的邊長為y，∴，

∴，∴，∴，

∴．2．（2023下·陜西西安·七年級陜西師大附中校考階段練習）兩個邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖①），其未疊合部分（陰影）面積為；若再在圖①中大正方形的右下角擺放一個邊長為b的小正方形（如圖②），兩個小正方形疊合部分（陰影）面積為．

(1)用含a、b的代數(shù)式分別表示、；(2)若，，求的值；(3)用a、b的代數(shù)式表示，并當時，求出圖③中陰影部分的面積．【答案】(1),=；(2)=77；(3)=18.【分析】（1）圖①中陰影部分的面積是邊長為a、b的正方形的面積差，圖②中陰影部分的面積是邊長為b的正方形面積減去邊長為b和的矩形面積的差；（2）由（1）用a、b表示出，然后將其配方后把，代入即可得解；（3）由圖形中面積之間的關系可以用含有a、b的代數(shù)式表示，然后再代入計算即可．【詳解】（1）解：由題意可得：,==；（2）由（1）可得：===,∴當，時，；（3）由題意可得：=，當時，，∴.3．（2023下·遼寧丹東·七年級統(tǒng)考期中）完全平方公式：適當?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學問題．例如：若，，求的值．解：因為，所以，即：，又因，所以根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：

(1)若，，則的值為______；(2)拓展：若，則______．(3)應用：如圖，在長方形中，，，點E、F是、上的點，且，分別以、為邊在長方形外側作正方形和正方形，若長方形的面積為160，求圖中陰影部分的面積和．【答案】(1)12(2)10(3)384【分析】（1）利用完全平方公式進行計算，即可解答；（2）設，，則，，然后完全平方公式進行計算，即可解答；（3）根據(jù)題意可得，，然后設，，則，，最后利用完全平方公式進行計算，即可解答．【詳解】（1）解：，，，．（2）解：設，，，，，．（3）解：四邊形是長方形，，，，，，設，，，長方形的面積為160，，正方形的面積正方形的面積，圖中陰影部分的面積和為384．4．（2023上·山西朔州·八年級統(tǒng)考期末）圖1是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．

(1)圖2中陰影部分的正方形的周長為；(2)觀察圖2，請寫出下列三個代數(shù)式，，之間的等量關系；(3)運用你所得到的公式，計算：若為實數(shù)，且，，試求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由拼圖可得陰影正方形的邊長，進而表示周長即可；（2）根據(jù)圖形中各個部分面積之間的關系即可得出答案；（3）由（2）的結論代入計算即可．【詳解】（1）解：由圖可得：陰影部分的正方形邊長為，周長為：，故答案為：；（2）解：由圖可得：大正方形面積可以看作四個矩形面積加陰影面積，故可表示為：，大正方形邊長為，故面積也可表達為：，；（3）解：由（2）知：，，，，或．5．（2023下·廣東韶關·七年級校考期中）在學習“整式的乘除”這一章時，我們經(jīng)常構造幾何圖形來對代數(shù)式的變形加以說明，借助直觀，形象的幾何模型加深對乘法公式的認識和理解．閱讀下列材料：材料1：如圖1，現(xiàn)有甲，乙，丙三種型號的卡片若干張，其中甲型號卡片是邊長為的正方形，乙型號卡片邊長為的正方形，丙型號卡片是長為寬為的長方形．

材料2：用張甲，張乙和張丙型號的卡片，拼成正方形，可以驗證：，驗證如下：從整體看是一個邊長為的正方形，所以．從正方形的分割情況看，它的面積是由張甲，張乙和張丙卡片的面積之和，所以，比較兩種不同的計算方法，可得．根據(jù)以上材料，解答以下問題(1)用圖中的卡片，拼成圖所示長方形，可以驗證的等式為：；

(2)用張丙型號的卡片拼成圖所示正方形框，中間的陰影部分是邊長為的正方形，現(xiàn)用兩種不同的方法計算陰影部分的面積，可以驗證的等式為：；(3)已知圖中的紙片(足夠多)，利用種卡片設計一個幾何圖形來計算畫出圖形，寫出驗過程．【答案】(1)（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2(2)b﹣a；（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2(3)圖見解析，驗證過程見解析【分析】(1)根據(jù)圖3，利用不同的方法分別表示出長方形面積，即可確定出所求等式；(2)根據(jù)圖4，利用不同的方法分別表示出長方形面積，即可確定出所求等式；(3)利用多項式乘多項式的法則對式子進行運算，從而可確定所需卡片的類型與張數(shù)，做出相應圖形．【詳解】（1）大長方形的面積為：或，∴，故答案為：；（2）（2）中間的陰影部分的邊長為：，陰影部分的面積為：（b﹣a）2或；故答案為：；；（3）如圖，

，驗證：＝，．題型十二利用配方法求最值、解方程【例1】（2023下·湖南郴州·七年級?？计谥校╅喿x下列材料：，我們把形如“”或“”的多項式叫做完全平方式，因為是一個數(shù)的平方，具有非負性，我們常利用這一性質(zhì)解決問題，這種解決問題的思路方法叫做配方法．例如．可知當，即時，有最小值，最小值是2，根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問題：(1)有最小值______．(2)當a，b為何值時，多項式有最小值，并求出這個最小值．(3)已知a，b，c為的三邊，且滿足，試判斷此三角形的形狀．【答案】(1)3(2)當，時，多項式有最小值5(3)是等邊三角形【分析】（1）將化為，即可求解；（2）將化為，即可求解；（3）可得，即可求解．【詳解】（1）解：，即時，有最小值，最小值是；故答案：．（2）解：由題意得，∴當，時，多項式有最小值5；（3）解：由題意得，，，，，，，是等邊三角形．【例2】（2019·吉林長春·八年級校聯(lián)考期末）閱讀下列解題過程，再解答后面的題目.例題：已知，求的值.解：由已知得即∵，∴有，解得∴.題目：已知，求的值.【答案】-【分析】先將左邊的式子寫成兩個完全平方的和的形式，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出x、y的值，再代入求出xy的值．【詳解】解：將，化簡得，即．∵，，且它們的和為0，∴，，∴.鞏固訓練1．（2023上·湖南長沙·八年級校聯(lián)考期中）我們定義：如果兩個多項式與的和為常數(shù)，則稱與互為“對消多項式”，這個常數(shù)稱為它們的“對消值”．如與互為“對消多項式”，它們的“對消值”為．(1)下列各組多項式互為“對消多項式”的是（填序號）；與；與；與(2)多項式與多項式（，為常數(shù)）互為“對消多項式”，求它們的“對消值”；(3)關于的多項式與互為“對消多項式”，“對消值”為．若，，求代數(shù)式的最小值．【答案】(1)；(2)它們的“對消值”為；(3)代數(shù)式的最小值是．【分析】此題考查了求代數(shù)式值的能力，()運用題目中的定義進行逐一計算、辨別；()先運用題目中的定義求得，的值，再代入求解；()先求得，再將原式進行配方變形進行求解；解題的關鍵是能準確運用題目的新定義進行求解．【詳解】（1）∵，,，∴組多項式不是互為“對消多項式”，組多項式是互為“對消多項式”，故答案為：；（2），，∵與互為“對消多項式”，，，，，∴它們的“對消值”為；（3），，，∵與互為“對消多項式”且“對消值”為，∴，∴，，，，，，，，∴代數(shù)式的最小值是．2．（2023上·湖北荊州·九年級校聯(lián)考階段練習）閱讀下列材料：利用完全平方公式，將多項式變形為的形式，然后由就可求出多項式的最小值．

例：求多項式的最小值．解：．因為所以當時，，因此有最小值，最小值為1，即的最小值為1．通過閱讀，理解材料的解題思路，請解決以下問題：(1)【理解探究】已知代數(shù)式，求A的最小值；(2)【類比應用】張大爺家有甲、乙兩塊長方形菜地，已知甲菜地的兩邊長分別是米、米，乙菜地的兩邊長分別是米、米，試比較這兩塊菜地的面積和的大小，并說明理由；(3)【拓展升華】如圖，中，，cm，cm，點M，N分別是線段AC和BC上的動點，點M從A點出發(fā)以的速度向C點運動；同時點N從C點出發(fā)以的速度向B點運動，當其中一點到達終點時，兩點同時停止運動．設運動的時間為t，則當t的值為多少時，的面積最大，最大值為多少？【答案】(1)(2)(3)當t的值為4時，的面積最大，最大值為【分析】（1）直接利用完全平方公式可得答案；（2）先求出，再利用完全平方公式即可求解；（3）根據(jù)題意表示出，再利用完全平方公式即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∴當時，有最小值，最小值為－9即A的最小值為－9；（2）解：∵，，∴∵，∴，∴（3）解：由題意得：，，∴∵，∴，∴，∴當時，有最大值，最大值為16．即當t的值為4時，的面積最大，最大值為．3．（2023下·廣東佛山·七年級統(tǒng)考階段練習）【閱讀材料】配方法是數(shù)學中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結合非負數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個整數(shù)能表示成（、是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，是“完美數(shù)”．理由：因為，所以是“完美數(shù)”．【解決問題】(1)數(shù)61“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；【探究問題】(2)已知，則；(3)已知（、是整數(shù)，是常數(shù)），要使為“完美數(shù)”，試求出符合條件的值；【拓展結論】(4)已知、滿足，求的最小值．【答案】(1)是；(2)；(3)；(4)【分析】（1）根據(jù)新定義求解；（2）先把登上的左邊進行配方，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出、的值，再求；（3）先根據(jù)的前四項進行配方，再根據(jù)相等的條件求解；（4）根據(jù)條件求出的值，再進行配方求解．【詳解】（1）解：∵，∴是“完美數(shù)”，故答案為：是；（2）解：∵，∴，，∴，故答案為：；（3）解：∵，為“完美數(shù)”，∴∴；（4）解：∵，∵，∴，∴，∴當，時，的最小值為：．4．（2022上·四川巴中·八年級統(tǒng)考期中）圖1是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．

(1)圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于．(2)觀察圖2你能寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關系．(3)運用你所得到的公式，計算若，求：①的值．②的值．(4)用完全平方公式和非負數(shù)的性質(zhì)求代數(shù)式的最小值．【答案】(1)(2)(3)①

②(4)