專題07隱圓培優(yōu)綜合專項(xiàng)訓(xùn)練

專題07隱圓培優(yōu)綜合專項(xiàng)訓(xùn)練例題1：（與幾何綜合）（2023上·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形邊長為2．點(diǎn)O是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)，且．(1)連接，求的度數(shù)；(2)連接，若，求的長度；(3)將線段繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到線段，連接，線段長是否存在最小值，若無，說明理由；若有，求出這個(gè)最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）判斷出點(diǎn)E在以為直徑，且在正方形內(nèi)部的半圓上，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得結(jié)論；（2）由可知是半圓的切線，連接利用切線的性質(zhì)進(jìn)一步得出，再運(yùn)用勾股定理可得結(jié)論；（3）根據(jù)證明得到，求得的最小值即可【詳解】（1）∵點(diǎn)O為的中點(diǎn)，，，∴點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓上，且位于正方形內(nèi)部的半圓上，∴；（2）當(dāng)時(shí)，切于點(diǎn)E，連接，如圖1，∵四邊形是正方形，∴，，即是的切線，∴，∵∴，∴，且平分，∴，∴，∴∴∴在中，，∴，∴；（3）∵，即∴在和中，∴最小時(shí)，最小，如圖2，連接交于點(diǎn)，在中，，存在最小值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵例題2：（與二次函數(shù)綜合）（2023·廣東湛江·期末統(tǒng)考）如圖，直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D．

(1)求拋物線的解析式．(2)如果一個(gè)圓經(jīng)過點(diǎn)O、點(diǎn)B、點(diǎn)C三點(diǎn)，并交于拋物線段于點(diǎn)E，求的度數(shù)．(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）利用一次函數(shù)求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將其代入拋物線解析式求解即可；（2）先作出相應(yīng)圖形，得出，可得等腰直角三角形，利用同弧所對圓周角相等即可求解；（3）分點(diǎn)P在x軸上方、點(diǎn)P在x軸下方兩種情況，由勾股定理可求解．【詳解】（1）解：直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，令，則，令，則，∴點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為、，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，∴拋物線解析式；（2）解：如圖，

∵點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為、，∴，又∵，∴等腰直角三角形，∴，根據(jù)圓周角定理可得：；（3）解：①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖，

由（2）知，∴，令，解得或，∴，∴．過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，設(shè)，則，由拋物線的對稱性可得：，，由勾股定理得：，∴，解得，∴；②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，同理可得．綜上可得，的值為16+8．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對稱性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例題3：（最值綜合）（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）（1）如圖1，的半徑為1，，點(diǎn)P為上任意一點(diǎn)，則的最小值為；（2）如圖2，已知矩形，點(diǎn)E為上方一點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)F，點(diǎn)P是的內(nèi)心，求的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，若矩形的邊長，，，求此時(shí)的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)一點(diǎn)到圓上的距離可得當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)，有最小值，即可求解；（2）根據(jù)點(diǎn)是的內(nèi)心，得出，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）證明，結(jié)合（2）的結(jié)論，則，可得點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是在上運(yùn)動，且所含的圓周角為，作的外接圓，連接，，，過作，設(shè)的半徑為，交的延長線于，根據(jù)圓周角定理得出，得出是等腰直角三角形，勾股定理求得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)，有最小值，的最小值為：；故答案為：．（2）∵，∴，∴，∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，，∴，∴；（3）點(diǎn)是的內(nèi)心，，，，，由（2）可得，，∴點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是在上運(yùn)動，且所含的圓周角為，如圖，作的外接圓，連接，，，過作，交的延長線于，設(shè)的半徑為，則的最小值為：，∵所含的圓周角為，所對的圓心角為，，又，，是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，，∴，，故的最小值為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，求一點(diǎn)到圓上的距離，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，三角形外接圓，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．1．（2023上·廣東深圳·九年級考試）【問題情境】：如圖1，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，，，將直角三角形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度()，點(diǎn)、的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、．

【問題解決】：(1)如圖2，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)落在了上，求此時(shí)的長；(2)若，如圖3，得到(此時(shí)與重合)，延長交于點(diǎn)，①試判斷四邊形的形狀，并說明理由；②連接，求的長；(3)在直角三角形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出線段長度的取值范圍．【答案】(1)(2)①正方形，見解析；②(3)【分析】（1）由勾股定理得，再由正方形的性質(zhì)得，然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，即可求解；（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，再證四邊形是矩形，即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，證（），得，，則，再由勾股定理求解即可；（3）當(dāng)時(shí)，與重合，'最短；當(dāng)落在的延長線上時(shí)，，最長，即可得出答案．【詳解】（1），，，，四邊形是正方形，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，；（2）①四邊形是正方形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，，四邊形是矩形，又，四邊形是正方形；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：則，，，在和中，，，，，．

（3）直角三角形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度點(diǎn)、的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，點(diǎn)運(yùn)動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，當(dāng)時(shí)，與重合，最短；當(dāng)落在的延長線上時(shí)，，最長，線段長度的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東佛山·聯(lián)考）如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)E在射線上運(yùn)動，將沿翻折，使得點(diǎn)A與點(diǎn)G重合，連接交于點(diǎn)F．(1)【初步探究】當(dāng)點(diǎn)G落在邊上時(shí)，求的長；(2)【深入探究】在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，是否存在最小值，如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由；(3)【拓展延伸】如圖3，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)E在射線上運(yùn)動過程中，求長的最大值．【答案】(1)(2)在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，存在最小值，的最小值為(3)點(diǎn)在射線上運(yùn)動過程中，長的最大值為【分析】（1）由翻折得：，根據(jù)勾股定理可得，再由，即可求得答案；（2）以為圓心，長為半徑作，可得點(diǎn)在上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，最小，此時(shí)，，由勾股定理可得，即可求得的最小值為；（3）以為圓心，長為半徑作，延長至，使，連接，根據(jù)三角形中位線定理可得，則最大時(shí)，最大，由于點(diǎn)在上運(yùn)動，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，最大，即可求得答案．【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，如圖1，四邊形是矩形，，，，由翻折得：，在中，，；（2）如圖2，以為圓心，長為半徑作，由翻折得：，點(diǎn)在上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，最小，此時(shí)，，在中，，，故在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，存在最小值，的最小值為；（3）如圖3，以為圓心，長為半徑作，延長至，使，連接，

，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是的中位線，，則最大時(shí)，最大，

由翻折得：，點(diǎn)在上運(yùn)動，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，最大，如圖4，在中，，，，故點(diǎn)在射線上運(yùn)動過程中，長的最大值為．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理，圓的有關(guān)性質(zhì)，點(diǎn)到圓上各點(diǎn)距離的最大值和最小值的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角形中位線定理和圓中的最值．3.（2023·廣東廣州·統(tǒng)考）在四邊形中，，；(1)如圖1，已知，直接寫出的度數(shù)；(2)如圖2，已知，，，連接，求的長度；(3)如圖3，已知，，請判斷四邊形的面積是否有最小值？如果有，請求出它的最小值；如果沒有，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理求解即可；（2）將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．即得出，，，，從而可證是等邊三角形，即得出．再結(jié)合（1）可得出，進(jìn)而可求出，最后根據(jù)勾股定理求解即可．（3）如圖，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．易證為等邊三角形．根據(jù)，即得出當(dāng)面積最大時(shí)，四邊形的面積最?。挚汕螅Y(jié)合，即說明點(diǎn)A在定圓上運(yùn)動，則當(dāng)O、A、B共線時(shí)，的面積最大，此時(shí)，設(shè)交于K，，進(jìn)而可求．在上取點(diǎn)F，使得，則是等腰直角三角形．設(shè)，則，即可列出關(guān)于x的等式，解出x的值，結(jié)合三角形的面積公式和等邊三角形的面積公式求解即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴；（2）解：如圖，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．∴，，，．∵，∴，即，∴是等邊三角形，∴．∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．由（2）同理可證為等邊三角形，∴，∴當(dāng)面積最大時(shí)，四邊形的面積最小．∵，，∴，∴．∵，∴點(diǎn)A在定圓上運(yùn)動，如圖，則當(dāng)O、A、B共線時(shí)，的面積最大，此時(shí)，設(shè)交于K，∴．∵，∴．在上取點(diǎn)F，使得，如圖，則是等腰直角三角形．設(shè)，則，∴，解得：，∴．∵，∴，即四邊形的面積最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的內(nèi)角和，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，垂徑定理等知識．正確作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．4.（2023下·廣東廣州·九年級廣州市番禺區(qū)期中）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)P是線段上一動點(diǎn)（點(diǎn)P不與A，C重合），連接，過點(diǎn)A作直線的垂線段，垂足為點(diǎn)D，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．(1)求證：；(2)連接，延長交于點(diǎn)F，若的邊長為2；①求的最小值；②求的最大值．【答案】(1)見解析(2)①，②2【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而得出，即可求證，即可求證；（2）①根據(jù)題意可得，則點(diǎn)D在以為直徑的圓上運(yùn)動，連接，與相交于點(diǎn)D，此時(shí)最小，求解即可；②過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)G，通過證明得出點(diǎn)F是中點(diǎn)，再根據(jù)，得出點(diǎn)A，點(diǎn)F，點(diǎn)C，點(diǎn)E四點(diǎn)在以為直徑的圓上，即可求解，當(dāng)為直徑時(shí)，取得最大值，即可求解．【詳解】（1）證明：∵線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∵為等邊三角形，∴，，∴，即，在和中，，∴，∴．（2）解：①∵，∴，∴點(diǎn)D在以為直徑的圓上運(yùn)動，連接，與相交于點(diǎn)D，