新高考數(shù)學之圓錐曲線綜合講義第13講切點弦問題(原卷版+解析)

第13講切點弦問題一、解答題1．已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為，M是橢圓上的動點，的最大面積為1．（1）求橢圓的方程；（2）求證：過橢圓上的一點的切線方程為：；（3）設點P是直線上的一個動點，過P做橢圓的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB是否過定點？若是，求出這個定點坐標，否則，請說明理由．2．已知拋物線C：y2＝4x和直線l：x＝－1.(1)若曲線C上存在一點Q，它到l的距離與到坐標原點O的距離相等，求Q點的坐標；(2)過直線l上任一點P作拋物線的兩條切線，切點記為A，B，求證：直線AB過定點.3．已知拋物線C：（）上的一點到它的焦點的距離為.（1）求p的值.（2）過點（）作曲線C的切線，切點分別為P，Q.求證：直線過定點.4．已知圓O：上的點到直線的最小距離為1，設P為直線上的點，過P點作圓O的兩條切線PA、PB，其中A、B為切點.（1）求圓O的方程；（2）當點P為直線上的定點時，求直線AB的方程.5．已知點，，動點滿足．記點的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）設為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別是，．證明：直線過定點．6．已知拋物線的焦點F與雙曲線的一個焦點重合，D為直線上的動點，過點D作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B．（1）求拋物線C的方程；（2）證明直線過定點7．過直線上的動點作拋物線的兩切線，，，為切點.（1）若切線，的斜率分別為，，求證：為定值；（2）求證：直線過定點.8．已知圓，直線．（1）若直線與圓交于不同的兩點，當時，求的值；（2）若，是直線上的動點，過作圓的兩條切線，切點為，探究：直線是否過定點？若過定點，求出定點．9．已知兩個定點，動點滿足.設動點的軌跡為曲線，直線.（1）求曲線的軌跡方程；（2）若，是直線上的動點，過作曲線的兩條切線，切點為，探究：直線是否過定點.10．已知拋物線，直線，設為直線上的動點，過作拋物線的兩條切線，切點分別為.（1）當點在軸上時，求線段的長；（2）求證：直線恒過定點.11．已知拋物線，設為直線上一點，過作拋物線的兩條切線，切點分別為、.（1）證明：動直線恒過定點；（2）設與（1）中的定點的連線交拋物線與、兩點，證明.第13講切點弦問題一、解答題1．已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為，M是橢圓上的動點，的最大面積為1．（1）求橢圓的方程；（2）求證：過橢圓上的一點的切線方程為：；（3）設點P是直線上的一個動點，過P做橢圓的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB是否過定點？若是，求出這個定點坐標，否則，請說明理由．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）直線AB過定點.【分析】（1）當M是橢圓的短軸端點時，的面積最大，得到，再結合離心率及，可求得橢圓方程；（2）聯(lián)立，得(*)，又點在橢圓上得，即可將方程變形為，即直線和橢圓僅有一個公共點，可證得為橢圓的公切線.（3）設，切點，，由切線方程可知，，又P在切線上，，，可知直線AB的方程為：，可得直線AB過定點【詳解】（1）M是橢圓上的動點，，即時，，即，又，，，橢圓Γ的方程為（2）證明：聯(lián)立，得(*)點在橢圓上，，即，得，故直線和橢圓僅有一個公共點，為橢圓的公切線（3）設，切點，，由（2）的結論可知，切線的方程分別為，在切線上，，都滿足，即直線AB的方程為：直線AB過定點.【點睛】思路點睛：本題考查橢圓的簡單性質，橢圓的切線方程，直線與橢圓的位置關系，圓錐曲線中定點問題的兩種解法：（1）引進參數(shù)法：引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關系，找到定點．（2）特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關．2．已知拋物線C：y2＝4x和直線l：x＝－1.(1)若曲線C上存在一點Q，它到l的距離與到坐標原點O的距離相等，求Q點的坐標；(2)過直線l上任一點P作拋物線的兩條切線，切點記為A，B，求證：直線AB過定點.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】試題分析：（1）設Q(x，y)，則(x＋1)2＝x2＋y2，又y2＝4x，解得Q；（2）設點(－1，t)的直線方程為y－t＝k(x＋1)，聯(lián)立y2＝4x，則Δ＝0，得k2＋kt－1＝0，則切點分別為A，B，所以A，B，F(xiàn)三點共線，AB過點F(1，0)。試題解析：(1)設Q(x，y)，則(x＋1)2＝x2＋y2，即y2＝2x＋1，由解得Q.(2)設過點(－1，t)的直線方程為y－t＝k(x＋1)(k≠0)，代入y2＝4x，得ky2－4y＋4t＋4k＝0，由Δ＝0，得k2＋kt－1＝0，特別地，當t＝0時，k＝±1，切點為A(1，2)，B(1，－2)，顯然AB過定點F(1，0).一般地方程k2＋kt－1＝0有兩個根，∴k1＋k2＝－t，k1k2＝－1，∴兩切點分別為A，B，∴＝，＝，又－＝2＝0，∴與共線，又與有共同的起點F，∴A，B，F(xiàn)三點共線，∴AB過點F(1，0)，綜上，直線AB過定點F(1，0).點睛：切點弦問題，本題中通過點P設切線，求得斜率k，再求出切點A，B，通過證明與共線，AB過點F(1，0)。一般的，我們還可以通過設切點，寫出切線方程，直接由交點P，結合兩點確定一條直線，寫出切點弦直線方程，進而得到定點。3．已知拋物線C：（）上的一點到它的焦點的距離為.（1）求p的值.（2）過點（）作曲線C的切線，切點分別為P，Q.求證：直線過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義列方程可得結果；（2）設過N的直線：，代入得，．根據(jù)判別式等于0，得，代入可得，設，的斜率分別為，，則．，，根據(jù)點斜式可得直線的方程，結合，可得結論.【詳解】（1）曲線C上點M到焦點的距離等于它到準線的距離．∴，∴，∴．（2）依題意，過點N的拋物線切線的斜率存在，故可設過N的直線：，代入得，．因為直線與曲線C相切，則得，即．所以，代入并化簡得，解得，設，的斜率分別為，，則．所以，，當時，直線的方程：．即：．．即：．．．．∴直線過定點．當時，即，則所在的直線為.過點綜上可得，直線過定點.【點睛】本題考查了拋物線的標準方程，考查了直線與拋物線相切的問題，考查了直線方程的點斜式，考查了直線過定點問題，考查了運算求解能力，屬于中檔題.4．已知圓O：上的點到直線的最小距離為1，設P為直線上的點，過P點作圓O的兩條切線PA、PB，其中A、B為切點.（1）求圓O的方程；（2）當點P為直線上的定點時，求直線AB的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）圓上的點到直線的最小距離是圓心到直線的距離減去圓的半徑，這樣就求得了半徑的值；（2）先設出兩個切點坐標，有四個坐標變量來表示兩條切線方程，兩條切線都過點，整理出關系式，再表示出直線AB的方程，消去變量整理就得到了.試題解析：（1）圓心到直線的距離（2）設，由于，有那么直線AB：，即考點：直線方程與圓的方程.5．已知點，，動點滿足．記點的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）設為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別是，．證明：直線過定點．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）把已知條件用坐標表示，并化簡即得的方程；（2）設，，，利用導數(shù)得出切線的方程，由在切線上，從而可得直線的方程，由直線方程可得定點坐標．【詳解】（1）設，則，，，，所以，可以化為，化簡得．所以，的方程為．（2）由題設可設，，，由題意知切線，的斜率都存在，由，得，則，所以，直線的方程為，即，①因為在上，所以，即，②將②代入①得，所以直線的方程為同理可得直線的方程為．因為在直線上，所以，又在直線上，所以，所以直線的方程為，故直線過定點．【點睛】關鍵點點睛：本題考查直接法求動點軌跡方程，考查拋物線中的直線過定點問題，解題方法是設出切線坐標，由導數(shù)的幾何意義寫出切線方程，再由在切線上，根據(jù)直線方程的意義得出直線方程，然后得定點坐標．6．已知拋物線的焦點F與雙曲線的一個焦點重合，D為直線上的動點，過點D作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B．（1）求拋物線C的方程；（2）證明直線過定點【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由雙曲線，求得，根據(jù)題意，得到，進而求得拋物線的方程；（2）設切線方程為，聯(lián)立方程組，結合（1）和根與系數(shù)的關系，求得，得到設，，進而得到直線的方程，即可求解．【詳解】（1）由題意，雙曲線，可得焦點，因為拋物線的焦點F與雙曲線的一個焦點重合，可得，解得，所以拋物線的方程為.（2）設，切線方程為，聯(lián)立方程組，整理得……（1）由，可得，設兩條切線的斜率分別為，，則，，由（1）知等根為，設，，則，所以直線的方程為：，化簡得，即，所以直線過定點．【點睛】本題主要考查拋物線的標準方程的求解、及直線與拋物線的位置關系的綜合應用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程，應用一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等。7．過直線上的動點作拋物線的兩切線，，，為切點.（1）若切線，的斜率分別為，，求證：為定值；（2）求證：直線過定點.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）設切線的直線方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)，結果根與系數(shù)的關系，即可求解；（2）設切點坐標，，取得中點中點坐標為，結合直線的點斜式方程，即可求解.【詳解】（1）設過與拋物線相切的直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，因直線與拋物線相切，所以，即，可得為定值.（2）設切點坐標為，即，，可得的中點坐標為，且斜率為，所以的方程為，即，由（1）知，所以直線的方程為，可得直線過定點.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關系，以及直線過定點問題的求解，其中解答中聯(lián)立方程組，合理應用一元二次方程性質，以及直線方程的形式求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.8．已知圓，直線．（1）若直線與圓交于不同的兩點，當時，求的值；（2）若，是直線上的動點，過作圓的兩條切線，切點為，探究：直線是否過定點？若過定點，求出定點．【答案】（1）；（2）過定點.【分析】（1）根據(jù)可確定點到的距離；利用點到直線距離公式表示出點到的距離，由此構造方程求得的值；（2）由四點共圓可確定為圓與四點所共圓的公共弦；設，求得圓的方程后，兩圓方程作差可求得方程，根據(jù)直線過定點的求法可確定所求定點.【詳解】（1）由圓的方程知：圓心，半徑，直線與圓交于不同的兩點，若，則點到的距離，又直線方程為，則有，解得：；（2）由題意可知：，四點共圓且在以為直徑的圓上，設，以為直徑的圓的方程為：，即，又在圓上，即為兩個圓的公共弦所在的直線，則的方程為：，即，令，解得：，直線過定點.【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與圓問題中的定點問題的求解，解題關鍵是確定直線為兩圓公共弦所在直線，通過兩圓方程作差即可求得公共弦所在直線方程.9．已知兩個定點，動點滿足.設動點的軌跡為曲線，直線.（1）求曲線的軌跡方程；（2）若，是直線上的動點，過作曲線的兩條切線，切點為，探究：直線是否過定點.【答案】（1）；（2）直線是過定點【分析】（1）設點的坐標為，根據(jù)代入數(shù)據(jù)化簡得到答案.（2）判斷都在以為直徑的圓上，圓方程為，聯(lián)立得到，解得直線方程為得到答案.【詳解】（1）設點的坐標為，由可得，，整理可得，所以曲線的軌跡方程為.（2）依題意，，則都在以為直徑的圓上是直線上的動點，設則圓的圓心為，且經過坐標原點即圓的方程為又因為在曲線上由，可得即直線的方程為由且可得，解得所以直線是過定點.·【點睛】本題考查了軌跡方程，定點問題，意在考查學生的計算能力和轉化思想.10．已知拋物線，直線，設為直線上的動點，過作拋物線的兩條切線，切點分別為.（1）當點在軸上時，求線段的長；（2）求證：直線恒過定點.【答案】（1）4（2）直線過定點(1，2)．【解析】分析：（1）設切點坐標，求導，利用導數(shù)的幾何意義分別寫出過兩點的切線方程，再利用點是兩切線交點進行求解；（2）由（1）寫出直線的斜率，聯(lián)立直線和拋物線方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系得到，再利用直線的點斜式方程進行證明．詳解：（1）設，，的導數(shù)為，以為切點的切線方程為，即，同理以為切點的切線方程為，∵在切線方程上，∴，，∴，軸，∴（2）證明：設，由（1）得∴，由已知直線的斜率必存在，設的方程為，由得，∴，，∴，由在直線上可得，則方程為，即，∴直線過定點(1,2)．點睛：本題考查導數(shù)的幾何意義、直線和拋物線的位置關系、直線恒過定點等知識，意在考查學生的邏輯思維能力和基本計算能力．11．已知拋物線，設為直線上一點，過作拋物線的兩條切線，切點分別為、.（1）證明：動直線恒過定點；（2）設與（1）中的定點的連線交拋物線與、兩點，證明.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）設點、、，利用導數(shù)求出直線、的方程，將點的坐標代入兩切線方程，觀察等式的結構，可求得直線的方程，進而可求得點所過定點的坐標；（2）分析出，設點、，寫出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，分